\documentclass{../../../lecture}

\usepackage{tikz}
\usepackage{pgfplots}
\usepackage{enumerate}

\begin{document}

\begin{bem}Rechenregeln für komplexe Zahlen
    \begin{enumerate}
        \item $\overline{z_1+z_2} = \overline{z_1} + \overline{z_2}$, $\overline{z_1z_2} = \overline{z_1} \cdot \overline{z_2}$, $\overline{\overline{z}} = z$ 
        \item $\text{Re}(z) = \frac{1}{2}(z + \overline{z})$, $\text{Im}(z) = \frac{i}{2}(z-\overline{z})$
        \item $|z| \ge 0$ und $|z| = 0 \iff z = 0$
        \item $|\overline{z}| = |z|$
        \item $|z_1 z_2| = |z_1| |z_2|$
        \item $|z_1+z_2| \le |z_1| + |z_2|$, $|z_1-z_2| \ge | |z_1| - |z_2| |$
    \end{enumerate}
\end{bem}

Reelle Zahlen: $z \in \R \iff \text{Im}(z) = 0 \iff z = \overline{z}$
 
Dies führt zur weiteren Darstellung komplexer Zahlen mit Hilfe von $\sin$ und $\cos$.

\textbf{Polardarstellung}

\begin{enumerate}[(a)]
    \item 
        \[
            z = r (\cos \varphi + i \sin \varphi) \qquad r = |z|
        .\] 
        Bsp.: $i = 1 \cdot \left(\cos\frac{\pi}{2} + i \sin\frac{\pi}{2}\right)$
    \item
        Definiere $e^{iy} := \cos y + i \sin y \qquad y \in \R$. Es folgt
        eine \textit{Exponentialdarstellung}.
        \[
            z = r \cdot e^{i \varphi} \text{ mit } r = |z| \quad \varphi = \text{Arg}(z)
        .\] 
\end{enumerate}

\begin{satz}[Vorteil der Exponentialdarstellung]
    Für $z = r e^{i \varphi} = r (\cos \varphi + i \sin \varphi)$
    \[
    z_k = r_k e^{i \varphi_k} \qquad k = 1,2 \text{ gilt}
    \] 
    \begin{enumerate}[(a)]
        \item $\overline{z} = r \cdot e^{-i\varphi}$
        \item $z_1 \cdot z_2 = r_1\cdot r_2 \cdot e^{i(\varphi_1 + \varphi_2)}$
        \item $\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}\cdot e^{i (\varphi_1 - \varphi_2)}$
        \item $z^{n} = r^{n} e^{in\varphi}$ \\
            insbesondere gilt die Formel von de Moivre:
            \[
                \left(e^{i\varphi}\right)^{n}
                = (\cos \varphi + i \sin\varphi)^{n}
                = \cos (n \varphi) + i \sin(n \varphi)
                = e^{in\varphi}
            .\] 
    \end{enumerate}
\end{satz}

\begin{proof}
    \begin{enumerate}[(a)]
        \item $\overline{z} =  \overline{r(\cos \varphi + i \sin\varphi)}
            = r (\cos\varphi - i \sin\varphi)
            = r (\cos(-\varphi) + i \sin(-\varphi))
            =  r\cdot e^{-\varphi}$
        \item \begin{align*}
                z_1 \cdot z_2 &= r_1\cdot r_2\left( \cos\varphi_1 \cos\varphi_2 - \sin\varphi_1 \sin\varphi_2 \right)
                            + i \left(\left( \cos\varphi_1\sin\varphi_2 + \cos\varphi_2 \sin\varphi_1 \right)\right) \\
                              &= r_1r_2(\cos(\varphi_1 + \varphi_2) + i \sin(\varphi_1 +\varphi_2)) \\
                              &= r_1 r_2 e^{i (\varphi_1 + \varphi_2)} 
            .\end{align*}
        \item folgt aus 2
        \item folgt aus 2
    \end{enumerate}
\end{proof}

tolle Grafik von der Kostina, die gibt's nur in der Vollversion.

\begin{bem}[Beobachtungen]
    \begin{enumerate}
        \item $e^{i \varphi} = 1 \iff \varphi \in \{2\pi k\mid k \in \Z\} $
            \begin{proof}
                durch Behauptung.
            \end{proof}
        \item $e^{i\varphi_1} = e^{i \varphi_2} \iff \varphi_1 - \varphi_2
            \in \{2 \pi k  \mid k \in \Z\} $
    \end{enumerate}
\end{bem}

\begin{satz}[$n$-te Wurzel in $\C$]
    Für $n \in \N$ und $0 \neq w = r e^{i\varphi}$ hat die Gleichung
    $z^{n} = w $ genau $n$ verschiedene Lösungen.
    \[
        z_k = \sqrt[n]{r} e^{i(\varphi + 2 \pi k)\cdot \frac{1}{n}}
        \qquad k = 0,1, \ldots, n-1
    .\] 
\end{satz}

\begin{proof}
    Sei $z = \rho e^{i \psi}$. Dann:
    \begin{align*}
        &z^{n} = \rho^{n} e^{i n \psi}
        \stackrel{!}{=} r e^{i \varphi} = w \\
        \iff &\rho^{n} = r \text{ und } n \psi = \varphi + 2 \pi k \quad k \in \Z \\
        \iff &\rho = \sqrt[n]{r} \text{ und } \psi = \frac{1}{n}(\varphi + 2 \pi k) \quad k \in \Z
    .\end{align*}

    Betrachte: $z_k = \sqrt[n]{r} e^{i\psi_k}, \psi_k = \frac{1}{n}\left( \varphi + 2 \pi k \right), k = 0, 1, \ldots, n-1$ 

    \begin{enumerate}
        \item Alle $z_k$ sind paarweise verschieden (klar).
        \item Wir zeigen, dass es keine weiteren Lösungen gibt.
            Sei $z$ eine beliebige Lösung $z^{n} = w$ und
            $z = |z| \cdot (\cos \psi + i \sin \psi)$. Es gilt
            $|z|^{n} = |w|$ und folglich $|z| = \sqrt[n]{|w|}  = \sqrt[n]{r} $.

            Weiterhin ist $n \psi = \varphi + 2 \pi l $ für ein $l \in \Z$
            (wegen $(e^{i \psi})^{n} = e^{i n \psi}$), dann
            $\psi = \frac{\varphi}{n} + l \frac{2\pi}{n}$.

            Teile $l$ durch $n$ mit Rest: $l = k + s \cdot n$.
            \[
            \frac{l}{n} = s + \frac{k}{n}, s \in \Z, 0 \le k \le n-1
            .\] 
            Dann
            \[
            \psi = \frac{\varphi}{n} + \frac{2\pi}{n}(k+sn)
        = \underbrace{\left( \frac{\varphi}{n} + \frac{2\pi}{n} k \right)}_{\psi_k} + 2\pi s
            .\]
            $\implies z = z_k, 0 \le k \le n-1$ \\
            $\implies$ Alle Lösungen gefunden
    \end{enumerate}
\end{proof}

\begin{bem}[Geometrische Interpretation]
    Die Lösungen sind die Ecken eines regelmäßigen $n$-Ecks auf
    dem Kreis mit Radius $|z| = \sqrt[n]{r} $.

    Im Fall $w = 1$ heißen $z_k$ die $n$-ten Einheitswurzeln.
\end{bem}

\begin{bsp}
    Die dritten Einheitswurzeln sind
    \begin{align*}
        &\left\{ e^{i 2 k \pi \frac{1}{3}}, k = 0,1,2 \right\} \\
        &= \left\{ \cos\left( k \frac{2\pi}{3} + i \sin (k \frac{2\pi}{3}, k = 0,1,2 \right) \right\}  \\
        &= \left\{1, -\frac{1}{2}+ i \frac{\sqrt{3} }{2} , -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}    }{2}\right\} 
    .\end{align*}
\end{bsp}

\end{document}
