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\begin{document}

\chapter{Integration}

Es sei $f\colon [a,b] \to \R$ eine Funktion. Ziel: Fläche unter dem Graphen
berechnen.

\section{Riemannintegral}

\begin{definition}[Zerlegungen, Stützpunkte]
    Eine endliche Zerlegung $Z$ von einem (beschränkten) Intervall $[a,b]$ ist
    eine endliche Folge  $z = (x_0, x_1, \ldots, x_n)$ mit
    $x_0 = a < x_1 < \ldots < x_n = b$. $x_k$ heißen Teilungs- oder
    Stützpunkte. Die Intervalle $I_k = [x_{k-1}, x_k]$ heißen
    Teilintervalle. $h := \max_{k = 1\ldots n} \left| x_k - x_{k-1} \right| $ heißt
    Feinheit der Zerlegung.

    Eine Zerlegung mit $|x_k - x_{k-1}| = h$ $\forall k$ heißt
    äquidistant.

    $\mathcal{Z}(a,b) = $ Menge aller Zerlegungen des Intervalls $[a,b]$
\end{definition}

\begin{definition}[Ober- und Untersumme]
    Sei $f\colon [a,b] \to \R$ beschränkt, d.h. $\exists M \in \R$, s.d.
    $|f(x)| \le M$ $\forall x \in [a,b]$.

    Die Riemannschen Ober- / Untersummen sind
    \[
        \overline{S}_Z(f) := \sum_{k=1}^{n} \sup_{x \in I_k} f(x) \cdot (x_k - x_{k-1})
    .\] bzw.
    \[
        \underline{S}_Z(f) := \sum_{k=1}^{n} \inf_{x \in I_k} f(x) \cdot (x_k - x_{k-1})
    .\]
\end{definition}

\begin{bem}
    Eine Verfeinerung der Zerlegung $Z$ ist eine
    Zerlegung $Z'' = (x_0'', \ldots, x''_{n''})$
    s.d. $(x_0, \ldots, x_n) \subset (x_0'', \ldots, x''_{n''})$ und
    $h'' \le h$. Zu Zerlegungen $Z = (x_0, \ldots, x_n)$ und
    $Z' = (x_0', \ldots, x'_{n'})$ gibt es eine 
    gemeinsame Verfeinerung $Z''$
    \begin{align*}
        (x_0, \ldots, x_n) &\subset (x''_0, \ldots, x''_{n''}) \\
        (x'_0, \ldots, x'_{n'}) &\subset (x''_0, \ldots, x''_{n''}) \\
    .\end{align*}
    und $h'' \le \min \{h, h'\} $
\end{bem}

\begin{bem}
    Seien $Z_1, Z_2$ Zerlegungen und $Z_1$ feiner als $Z_2$ ist, dann gilt
    \[
        \inf \{f(x)  \mid x \in [a,b]\} \cdot (b-a) \le \underline{S}_{Z_2}(f) \le \underline{S}_{Z_1}(f)
        \le  \overline{S}_{Z_1}(f) \le \overline{S}_{Z_2}(f) \le
        \sup \{f(x)  \mid x \in [a,b] \} \cdot (b-a)
    .\] 
\end{bem}

\begin{definition}[Ober-/Unterintegral]
    Das Ober- / Unterintegral von $f$ sind definiert durch
    \[
        \overline{\int_{a}^{b}} f(x) dx :=
        \inf \{\overline{S}_Z(f)  \mid z \in Z(a,b)\} 
    .\] bzw.
    \[
        \underline{\int_{a}^{b}} f(x) dx :=
        \sup \{\underline{S}_Z(f)  \mid z \in Z(a,b)\} 
    .\]
\end{definition}

\begin{lemma}
    Sei $f\colon [a,b] \to \R$ beschränkt. Dann ex. für $f$ das
    Ober- und Unterintegral und für jede Folge von Zerlegungen
    $Z_n \in \mathcal{Z}(a,b)$, $n \in \N$ mit $h_n \xrightarrow{n \to \infty} 0$ gilt
    \[
        \lim_{n \to \infty} \underline{S}_{Z_n}(f)
    = \underline{\int_{a}^{b}  } f(x) dx
    \le \overline{\int_{a}^{b}} f(x) dx
    = \lim_{n \to \infty} \overline{S}_{Z_n}(f)
    .\] 
\end{lemma}

\begin{proof}
    Rannacher.
\end{proof}

\begin{definition}[Riemann-Integral]
    Sind Ober- und Unterintegral für eine beschränkte Funktion
    $f \colon [a,b] \to \R $ gleich, so heißt der gemeinsame Wert das
    (bestimmte) Riemann-Integral für $f$ über $I = [a,b]$
     \begin{align*}
         \underline{\int_{a}^{b}  } f(x) dx
         = \overline{\int_{a}^{b}  } f(x) dx
         = \int_{a}^{b} f(x) dx 
    .\end{align*}
    Die Funktion $f$ heißt Riemann-integrierbar.
\end{definition}

\begin{satz}[Riemannsches Integrabilitätskriterium]
    Eine beschränkte Funktion $f\colon  [a,b] \to \R$ ist
    genau dann auf $I = [a,b]$ integrierbar, falls
    $\forall \epsilon > 0$ $\exists $ Zerlegung
    $Z \in \mathcal{Z}(a,b)$, s.d.
    $|\overline{S}_Z(f) - \underline{S}_Z(f)| < \epsilon$.
\end{satz}

\begin{proof}
    ohne Beweis.
\end{proof}

\begin{definition}[Riemann-Summen]
    Sei $Z = (x_0, x_1, \ldots, x_n)$ eine Zerlegung von
    $[a,b]$ und $x_{i-1} \le \xi_i \le x_i$, $i = 1 \ldots n$.
    \[
        RS_Z(f) = \sum_{k=1}^{n} f(\xi_i) (x_i - x_{i-1})
    .\] heißt eine Riemann-Summe von $f$.
\end{definition}

\begin{figure}[h!]
    \centering
\begin{tikzpicture}
    \def\a{1.7}
    \def\b{5.7}
    \def\c{3.7}
    \def\L{0.5} % width of interval

    \pgfmathsetmacro{\Va}{2*sin(\a r+1)+4} \pgfmathresult
    \pgfmathsetmacro{\Vb}{2*sin(\b r+1)+4} \pgfmathresult
    \pgfmathsetmacro{\Vc}{2*sin(\c r+1)+4} \pgfmathresult

    \draw[->,thick] (-0.5,0) -- (7,0) coordinate (x axis) node[below] {$x$};
    \draw[->,thick] (0,-0.5) -- (0,7) coordinate (y axis) node[left] {$y$};
    \foreach \f in {1.7,2.2,...,6.2} {\pgfmathparse{2*sin(\f r+1)+4} \pgfmathresult
    \draw[fill=blue!20] (\f-\L/2,\pgfmathresult |- x axis) -- (\f-\L/2,\pgfmathresult) -- (\f+\L/2,\pgfmathresult) -- (\f+\L/2,\pgfmathresult |- x axis) -- cycle;}
    \node at (\a-\L/2,-5pt) {\footnotesize{$a=x_0$}};
    \node at (\b+\L/2+\L,-5pt) {\footnotesize{$b=x_n$}};
    \draw[blue] (\c-\L/2,0) -- (\c-\L/2,\Vc) -- (\c+\L/2,\Vc) -- (\c+\L/2,0);
    \draw[dashed] (\c,0) node[below] {\footnotesize{$\xi_i$}} -- (\c,\Vc) -- (0,\Vc) node[left] {$f(\xi_i)$};
    \node at (\a+5*\L/2,-5pt) {\footnotesize{$x_{i-1}$}};
    \node at (\a+7*\L/2,-5pt) {\footnotesize{$x_i$}};
    \node at (\a+5*\L,-5pt) {\footnotesize{$x_{i+1}$}};
    \draw[blue,thick,smooth,samples=100,domain=1.45:6.2] plot(\x,{2*sin(\x r+1)+4});
    \filldraw[black] (\c,\Vc) circle (.03cm);
\end{tikzpicture}
\caption{Riemannsche Summen}
\end{figure}

\begin{satz}
    Eine beschränkte Funktion $f\colon I = [a,b] \to \R$ ist genau
    dann  R.-integrierbar wenn $\forall $ Folgen $Z_n \in \mathcal{Z}(a,b)$ mit
    $h_n \xrightarrow{n \to \infty} 0$ alle zugehörigen R.-Summen
    zu dem selben Limes konvergieren.
    \[
        RS_{Z_n}(f) \xrightarrow{n \to \infty} \int_{a}^{b} f(x) dx 
    .\] 
\end{satz}

\begin{proof}
    ,,$\implies$'': Sei $f$ R.-integrierbar. Sei $ Z \in \mathcal{Z}(a,b)$ mit
    Feinheit $h$. Dann gilt
    \[
        \underline{S}_Z(f) \le \underbrace{RS_Z(f)}_{\forall \xi = (\xi_1, \ldots, \xi_n)} \le \overline{S}_Z(f)
    .\] Aus der Konvergenz
    $|\underline{S}_Z(f) - \overline{S}_Z(f)| \to 0$, $n \to \infty$
    $\stackrel{\text{Sandwich}}{\implies} RS_z \xrightarrow{n \to \infty}
    \int_{a}^{b} f(x) dx$.

    ,,$\impliedby$'' Seien alle R.-Summen konvergent gegen denselben
    Limes. Sei  $ Z \in \mathcal{Z}(a,b)$, $\epsilon > 0$ beliebig.

    Offenbar $\exists $ R.-S. $\underline{RS}_Z(f)$, $\overline{RS}_Z(f)$
    s.d. $\underline{RS}_Z(f) - \epsilon \le \underline{S}_Z(f)$ und
    $\overline{S}_Z(f) \le \overline{RS}_Z(f) + \epsilon$.

    Dann
    \begin{align*}
        \underbrace{\underline{RS}_Z(f)}_{\xrightarrow{h \to 0} \int_{a}^{b} f(x) dx} - \epsilon \le \underline{S}_Z(f)
        \le \overline{S}_Z(f)
        \le
        \underbrace{\overline{RS}_Z(f)}_{\xrightarrow{h \to 0}
        \int_{a}^{b} f(x) dx} + \epsilon
    .\end{align*} Wegen $\epsilon$ beliebig folgt:
    \[
        \left| \underline{S}_Z(f) - \overline{S}_Z(f)\right|
        \xrightarrow{h \to 0} 0
    .\] 
\end{proof}

\begin{satz}
    Eine stetige Funktion $f\colon I = [a,b] \to \R$ ist
    Riemann-integrierbar.
\end{satz}

\begin{proof}
    $I = [a,b]$ kompakt  $\implies f$ auch gleichmäßig
    stetig $\implies \forall \epsilon > 0$, $\exists \delta_\epsilon >0$, s.d.
    $\forall x, x' \in I$ mit $|x - x'| < \delta_\epsilon$ gilt
    $|f(x) - f(x')| < \epsilon$.

    Sei $Z \in \mathcal{Z}(a,b)$ mit Feinheit $h < \delta_\epsilon$, dann
    \begin{align*}
        |\overline{S}_Z(f) - \underline{S}_Z(f)|
        &\le \sum_{k=1}^{n}
    \underbrace{\left| \sup_{x \in I_k} f(x) - \inf_{x \in I_k} f(x)\right|}_{< \epsilon} \cdot (x_k - x_{k-1}) \\
        &< \epsilon \cdot \sum_{k=1}^{n} (x_k - x_{k-1}) = \epsilon (b-a)
    .\end{align*}
    $\implies |\overline{S}_Z(f) - \underline{S}_Z(f)| \to 0$, $h \to 0$ \\
    $\implies f$ Riemann-integrierbar.
\end{proof}

\begin{satz}
    Eine beschränkte monotone Funktion $f \colon I = [a,b] \to \R$
    ist Riemann-integrierbar.
\end{satz}

\begin{proof}
    Sei $f$ monoton steigend. Dann gilt $f(a) \le f(x) \le f(b)$, $x \in I$.

    Sei $Z \in \mathcal{Z}(a,b)$ mit $h$.
    \begin{align*}
        \overline{S}_Z(f) - \underline{S}_Z(f)
        = \sum_{k=1}^{n} (x_k - x_{k-1}) (f(x_k) - f(x_{k-1}))
        \le h \sum_{k=1}^{n} \left( f(x_k) - f(x_{k-1}) \right)
        = h (f(b) - f(a))
    .\end{align*}
    Sei $\epsilon > 0$, dann wähle
    $h_\epsilon := \frac{\epsilon}{f(b) - f(a)}$ ($f(b) \neq f(a)$, sonst
    trivial). Dann gilt für $ h < h_{\epsilon}$
    \[
        \left| \overline{S}_Z(f) - \underline{S}_Z(f) \right| < \epsilon
    .\] 
\end{proof}

\begin{bsp}
    Nicht alle beschränkte Funktionen $f\colon  I \to \R$ sind
    R.-integrierbar, z.B.:
    \[
        f(x) = \begin{cases}
            0 & x \in \Q \\
            1 & x \in \R \setminus \Q
        \end{cases}
    .\] $I = [0,1]$. $\underline{S}_Z(f) = 0 \neq 1 = \overline{S}_Z(f)$.
\end{bsp}

\section{Eigenschaften des Riemann-Integrals}

\begin{satz}[Additivität]
    \begin{enumerate}
        \item Eine (beschr.) R.-integrierbare Funktion
            $f\colon [a,b] \to \R$ ist auch über jedem
            Teilintervall $[a', b'] \subset [a,b]$ R.-integrierbar. Insb.
            gilt für $c \in (a,b)$:
            \[
                \int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{c} f(x) dx +
                \int_{b}^{c} f(x) dx \quad (*)
            .\]
        \item Ist eine (beschr.) Funktion $f \colon [a,b] \to \R$
            für ein $c \in (a,b)$ über $[a,c]$ und  $[c,b]$
            R.-integrierbar, dann ist  $f$ über  $[a,b]$ integrierbar
            und es gilt $(*)$.
    \end{enumerate}
\end{satz}

\begin{proof}
    ohne Beweis.
\end{proof}

\begin{korrolar}
    Eine beschränkte Funktion $f\colon I = [a,b] \to \R$, welche
    bezüglich einer Zerlegung $Z = (x_0, \ldots, x_n)$ von
    $I$ stückweise stetig ist oder stückweise monoton ist,
    ist über $I$ Riemann-integrierbar und es gilt
    \begin{align*}
        \int_{a}^{b} f(x) dx = \sum_{k=1}^{n} \int_{x_{k-1}}^{x_k} f(x) dx  
    .\end{align*}
\end{korrolar}

\end{document}
