\documentclass{../../../lecture}

\begin{document}

\section{Konvergenzkriterien für uneigentliche Integrale}

\begin{satz}[Cauchy-Kriterium]
    Es sei $-\infty < a < b \le + \infty$ und $f\colon [a,b) \to \R$ lokal
    integrierbar $\forall [a,c] \subset [a,b)$.
    Dann gilt: $\int_{a}^{b} f(x) dx $ konvergiert genau dann, wenn
    $\forall \epsilon > 0$ $\exists a < b_{\epsilon} < b$ s.d.
    $\forall b_{\epsilon} < b_1 < b_2 < b$ gilt
    \begin{align*}
        \left| \int_{b_1}^{b_2} f(x) dx  \right|  < \epsilon
    .\end{align*}
\end{satz}

\begin{satz}[Majoranten-Minoranten Kriterium]
    Seien $f, g, h \colon [a, b) \to \R (b \le \infty)$
    integrierbar $\forall [a,c] \subset [a,b)$ und
    $ 0 \le h(x) \le |f(x)| \le g(x)$ $\forall x \in [a,b)$.
    Dann gilt:
    \begin{align*}
        \int_{a}^{b} |f(x)| dx \begin{cases}
            \text{konvergent, falls } \int_{a}^{b} g(x) \d x \text{ konvergent}  \\
            \text{divergent, falls } \int_{a}^{b} h(x) \d t \text{ divergent} 
        \end{cases}
    .\end{align*}
\end{satz}

\begin{satz}[Grenzwertkriterium]
    Seien $f, g\colon [a, b) \to \R$ $(b \le \infty)$ integrierbar
    $\forall [a,c] \subset [a,b)$ und es ex. der Grenzwert
    $\lim_{t \nearrow b} \frac{f(t)}{g(t)} \in (0, +\infty) $ Dann
    sind die Integrale $\int_{a}^{b} f(x) \d x $ und
    $\int_{a}^{b} g(x) \d x $ entweder beide konvergent oder beide
    divergent.
\end{satz}

\begin{satz}
    Seien $a_n, b_n$ positiv und $\frac{a_n}{b_n} \xrightarrow{n \to \infty} q \in (0, \infty)$. Dann sind $\sum_{k=1}^{\infty} a_n$ und
    $\sum_{k=1}^{\infty} b_n$ entweder beide konvergent oder beide divergent.
\end{satz}

\begin{satz}[Dirichlet-Kriterium]
    Sei $f\colon [a, \infty) \to \R$ in $[a, \infty)$ integrierbar und
    $\sup_{x \ge a} \left| \int_{a}^{x} f(t) \d t \right| = M < \infty$.

    Sei $g\colon [a, \infty) \to \R_{+}$ differenzierbar und
    monoton gegen Null fallend, dann ex. das uneigentliche Integral
    \begin{align*}
        \int_{a}^{\infty} f(t) g(t) \d t = \lim_{x \to \infty} \int_{a}^{x} f(t)g(t) \d t 
    .\end{align*}
\end{satz}

\begin{bsp}
    $\int_{1}^{\infty} \frac{\sin x}{x} \d x$ mit
    $f(x) = \sin x$ und $g(x) = \frac{1}{x}$.
\end{bsp}

\begin{proof}
    $f, g$ sind integrierbar, $f\cdot g$ auch
    integrierbar auf $[a,x] \subset [a, \infty)$ $\forall x$.
    Das Integral $F(x) = \int_{a}^{x} f(t) \d t $ ex. und
    ist Stammfunktion von $f$ nach HDI.

    Es gilt (partielle Integration)
    \begin{align*}
        \int_{a}^{x} f(t) g(t) \d t = F(t) g(t) \Big|_{a}^{x} -
        \int_{a}^{x} f(t) g'(t) \d t
    .\end{align*}
    Sei $\epsilon > 0$ beliebig. Dann ex. $\beta_{\epsilon} > a$ s.d.
    \begin{align*}
        g(x) < \frac{\epsilon}{2M} \text{ für } x \ge \beta_{\epsilon}
        \quad g \text{ (monoton gegen Null fallend)}
    .\end{align*} und $g'(x) \le 0$.

    Sei $\beta > \alpha \ge \beta_{\epsilon}$ 
    \begin{align*}
        \left| \int_{\alpha}^{\beta} F(t) g'(t)\d t  \right| 
        &\le M \int_{\alpha}^{\beta} |g'(t)| \d t  \\
        &= - M \int_{\alpha}^{\beta} g'(t) \d t \\
        &= - M g(t) \Big|_{\alpha}^{\beta} \\
        &= - M (g(\beta) - g(\alpha)) = M (g(\alpha) - g(\beta)) \\
        &\le 2 M g(\alpha) \le \epsilon \quad
        \forall \alpha \ge \beta_{\epsilon}
    .\end{align*}

    Nach Cauchy-Kriterium existiert
    \begin{align*}
        \lim_{x \to \infty} \int_{a}^{x} F(t) g'(t) \d t 
        = \int_{a}^{\infty} F(t) g'(t) \d t
    .\end{align*}

    Dann gilt
    \begin{align*}
        \lim_{x \to \infty} \int_{a}^{x} f(t) g(t) \d t
        = \lim_{x \to \infty} \underbrace{F(x)}_{\text{beschränkt}}
        \underbrace{g(x)}_{\xrightarrow{x \to \infty} 0}
        - \lim_{x \to \infty} \underbrace{F(a)}_{= 0} g(a) -
        \underbrace{\int_{a}^{\infty} F(t) g'(t) \d t}_{\text{existiert}}
    .\end{align*}
    $\implies \lim_{x \to \infty} \int_{a}^{x} f(t) g(t) \d t $ existiert.
\end{proof}

\begin{satz}[Integralkriterium für Reihen]
    Sei $f\colon [n_0, \infty) \to \R$ eine stetige
    monton fallende Funktion. Dann gilt:
    \[
        \sum_{k=n_0}^{\infty} f(k) < \infty \iff
        \int_{n_0}^{\infty} f(x) \d x < \infty
    .\] 
\end{satz}

\begin{proof}
    ,,$\implies$'' Die Reihe ist konvergent. Sei $n > n_0$, $n \in \N$
    \[
        \int_{n_0}^{n+1} f(x) \d x = \sum_{k=n_0}^{n} \int_{k}^{k+1} f(x) \d x
        \quad \qquad \stackrel{f \text{ monoton fallend}}{\le } \qquad \quad
        \sum_{k=n_0}^{n} f(k) \cdot 1 \le \sum_{k=n_0}^{\infty} f(k) < \infty
    .\] $\implies \int_{n_0}^{\infty} f(x) \d x $ existiert.

    ,,$\impliedby$'' $\int_{n_0}^{\infty} f(x) \d x $ existiert. Dann gilt
    \begin{align*}
        \sum_{k=n_0}^{n} f(k) &= f(n_0) + \sum_{k=n_0}^{n-1} f(k+1) \\
                              &\le f(n_0) + \sum_{k=n_0}^{n-1} \int_{k}^{k+1} f(t) \d t \\
                              &\le f(n_0) + \int_{n_0}^{\infty} f(t) \d t 
                              < \infty \quad \forall n
    .\end{align*}
    $\implies$ die Reihe ist konvergent.
\end{proof}

\end{document}
