\documentclass[uebung]{../../../lecture}

\begin{document}

\punkte

\title{Analysis III: Übungsblatt 1}
\author{Leon Burgard, Christian Merten}

\begin{aufgabe}[]
    Beh.: $\mathcal{A}_{\mu}$ ist eine $\sigma$-Algebra auf $X$.
    \begin{proof}
        \begin{enumerate}[(i)]
            \item $X \in \mathcal{A}_{\mu}$, denn $\mu(\emptyset) = 0$, da
                $\mu$ Maß und $X \triangle X = \emptyset$. Mit (ii) ist
                auch $\emptyset = X^{C} \in \mathcal{A}_{\mu}$.
            \item Sei $A \in \mathcal{A}_{\mu}$. Dann ex.
                $B, C \in \mathcal{A}$ mit $\mu(C) = 0$ und
                $A \triangle B \subset C$. Dann ist
                \[
                    A^{c} \triangle \underbrace{B^{c}}_{\in \mathcal{A}}
                    = A^{c} \setminus B^{c} \cup B^{c} \setminus A^{c}
                    = B \setminus A \cup A \setminus B
                    = A \triangle B
                    \subset C
                .\] 
                Also $A^{c} \in \mathcal{A}_{\mu}$.
            \item Sei $A_i \in \mathcal{A}_{\mu}$ für $i \in \N$. Dann
                ex. $\forall i \in \N$ ein $B_i \in \mathcal{A}$ und
                $\mu$-Nullmenge $C_i \in \mathcal{A}$, s.d.
                $A_i \triangle B_i \subset C_i$.

                Betrachte nun $B := \bigcup_{i \in \N} B_i$
                und $C := \bigcup_{i \in \N} C_i$. Es ist
                $B, C \in \mathcal{A}$
                da $\mathcal{A}$ $\sigma$-Algebra. Außerdem
                ist $\mu(C) = 0$, wg. $\sigma$-Additivität von $\mu$.
                Damit folgt
                \begin{align*}
                    A \triangle B &=
                    \left( \bigcup_{i \in \N} A_i \right)
                    \triangle
                    \left( \bigcup_{i \in \N} B_i \right)  \\
                                  &=
                                  \left( \bigcup_{i \in \N} A_i \setminus \bigcup_{i \in \N} B_i \right) \cup \left( \bigcup_{i \in \N} B_i \setminus \bigcup_{i \in \N} A_i \right) \\
                                  &\subset
                                  \left( \bigcup_{i \in \N} A_i \setminus B_i \right) \cup \left( \bigcup_{i \in \N} B_i \setminus A_i \right) \\
                                  &= \bigcup_{i \in \N} \left( A_i \setminus B_i \cup B_i \setminus A_i \right) \\
                                  &\subset C_i \\
                                  &= C
                .\end{align*}
        \end{enumerate}
    \end{proof}

    Beh.: $\overline{\mu}$ ist ein Maß.
    \begin{proof}
        \begin{enumerate}[(i)]
            \item Z.z.: $\overline{\mu}$ wohldefiniert. Sei dazu
                $A \in \mathcal{A}_{\mu}$ und $B, B', C, C' \in \mathcal{A}$,
                s.d. $A \triangle B \subset C$ und $A \triangle B' \subset C'$.
                Definiere $\tilde{C} := C \cup C' \in \mathcal{A}$
                Es folgt direkt $\mu(\tilde{C}) = 0$. Es
                gilt weiter
                \begin{align*}
                    \tilde{C} \supset \underbrace{(A \triangle B)}_{\subset C} \triangle
                    \underbrace{(A \triangle B')}_{\subset C'}
                    &= \underbrace{A \triangle A}_{= \emptyset} \triangle B \triangle B' \\
                    &= B \triangle B' \\
                    &= B \setminus B' \cup B' \setminus B
                .\end{align*}
                Also insbesondere $B \setminus B' \subset \tilde{C}$ und
                $B' \setminus B \subset \tilde{C}$.
                Mit $B = (B \setminus B') \cup (B \cap B')$ disjunkt und
                der $\sigma$-Additivität von $\mu$ folgt
                \begin{align*}
                    \mu(B) &= \mu(\underbrace{B \setminus B'}_{\subset \tilde{C}}) + \mu(B \cap B') \\
                           &= 0 + \mu(B \cap B') + 0 \\
                           &= \mu(B \cap B') + \mu(\underbrace{B' \setminus B}_{\subset \tilde{C}}) \\
                           &= \mu(B')
                .\end{align*}
                Also $\overline{\mu}$ wohldefiniert.
            \item Z.z.: $\overline{\mu}(\emptyset) = 0$. Es ist
                $\emptyset \triangle \emptyset = \emptyset$, also
                $\overline{\mu}(\emptyset) = \mu(\emptyset) = 0$.
            \item Die $\sigma$-Additivität folgt direkt aus der
                $\sigma$-Additivität von $\mu$.
        \end{enumerate}
    \end{proof}
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\end{document}