\documentclass[uebung]{../../../lecture} \title{Einführung in die Numerik: Übungsblatt 10} \author{Leon Burgard, Christian Merten} \begin{document} \punkte \begin{aufgabe} Beh.: Seien $n$ paarweise verschiedene Stützstellen $\{x_0, \ldots, x_{n-1}\} $ gegeben und eine Permutation derselben $\{\tilde{x}_0, \ldots, \tilde{x}_{n-1}\} $. Dann gilt \[ f[x_0, \ldots, x_{n-1}] = f[\tilde{x}_0, \ldots, \tilde{x}_{n-1}] .\] \begin{proof} Es gilt nach VL mit der Newtondarstellung für das Interpolationspolynom zu den Stützstellen $x_0, \ldots, x_{n-1}$: \begin{salign*} p(x) &= \sum_{i=0}^{n-1} y[x_0, \ldots, x_i] N_i(x) \\ &= \sum_{i=0}^{n-2} y[x_0, \ldots, x_i] N_i(x) + y[x_0, \ldots, x_{n-1}] N_{n-1}(x) \\ &= \mathcal{O}(x^{n-2}) + y[x_0, \ldots, x_{n-1}] \prod_{i=0}^{n-2} (x - x_i) \\ &= \mathcal{O}(x^{n-2}) + y[x_0, \ldots, x_{n-1}] \left(x^{n-1} + \mathcal{O}(x^{n-2})\right) \\ &= y[x_0, \ldots, x_{n-1}] x^{n-1} + \mathcal{O}(x^{n-2}) .\end{salign*} Der Leitkoeffizient des Interpolationspolynoms in der Monombasis ist also $y[x_0, \ldots, x_{n-1}]$. Dieser ist unabhängig von der Reihenfolge der Stützstellen. Damit folgt die Behauptung. \end{proof} \end{aufgabe} \begin{aufgabe} Beh.: Für $N \ge 2 \pi 10^{3}$ gilt $\displaystyle \max_{0 \le x \le 1} |f(x) - s(x)| < 10^{-12}$. \begin{proof} Es ist $f \in C^{4}([0, 1])$. Dann gilt nach VL \[ \delta \coloneqq \max_{0 \le x \le 1} |f(x) - s(x)| \le h^{4} \max_{0 \le x \le 1} |f^{(4)}(x)| .\] Mit $f(x) = \sin(2\pi x)$ folgt sofort \[ f^{(4)}(x) = 16 \pi^{4} \sin(2 \pi x) \quad \text{also}\quad \max_{0 \le x \le 1} |f^{(4)}(x)| = 16 \pi^{4} .\] Mit $h = \frac{1}{N}$ ergibt sich \[ \delta \le 16 \frac{\pi^{4}}{N^{4}} \implies N \ge 2 \pi \sqrt[4]{\delta } = 2 \pi 10^{3} .\] \end{proof} \end{aufgabe} \begin{aufgabe} Beh.: Das komplexe trigonometrische Interpolationspolynom ist gegeben als \[ t ^{*}(x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} e^{ix} - \frac{1}{4} e^{3ix} .\] \begin{proof} Die Stützstellen sind als $x_j = \frac{2 \pi j}{4}$, $j = 0, \ldots, 3$ gegeben. Damit folgt \begin{salign*} f(x_0) &= f(0) = \min \{0, 2\} = 0 \\ f(x_1) &= f\left(\frac{\pi}{2}\right) = \min \left\{ \frac{1}{2}, \frac{3}{2} \right\} = \frac{1}{2} \\ f(x_2) &= f(\pi) = \min \{1, 1\} = 1 \\ f(x_3) &= f\left( \frac{3}{2}\pi \right) = \min \left\{ \frac{3}{2}, \frac{1}{2} \right\} = \frac{1}{2} .\end{salign*} Die Interpolationsbedingung ist erfüllt, denn \begin{salign*} t ^{*}(x_0) &= \frac{1}{2} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} = 0 = f(x_0) \\ t ^{*}(x_1) &= \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \underbrace{e^{i \frac{\pi}{2}}}_{= i} - \frac{1}{4} \underbrace{e^{i \frac{3}{2} \pi}}_{= -i} = \frac{1}{2} = f(x_1) \\ t ^{*}(x_2) &= \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \underbrace{e^{i \pi}}_{= -1} - \frac{1}{4} \underbrace{e^{i \pi}}_{= -1} = 1 = f(x_2) \\ t ^{*}(x_3) &= \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \underbrace{e^{i \frac{3}{2} \pi}}_{= i} - \frac{1}{4} \underbrace{e^{i \frac{3}{2} \pi}}_{= -i} = \frac{1}{2} = f(x_3) .\end{salign*} Aus der Eindeutigkeit des komplexen trigonometrischen Interpolationspolynoms folgt die Behauptung. \end{proof} \end{aufgabe} \begin{aufgabe} \begin{enumerate}[a)] \item \begin{enumerate}[(1)] \item Es ist \[ f_1''(x) = 6x - 14 \implies f_1''(0) = -14 \neq 0 .\] Also erfüllt $f_1$ nicht die natürlichen Randbedingungen, also $f_1 \not\in S(X)$. \item Es gilt für $0 \le x < 1$: \begin{salign*} f_2(x) &= -\frac{1}{2} x^{3} \xrightarrow{x \to 1} -\frac{1}{2}\\ f_2'(x) &= -\frac{3}{2} x^2 \xrightarrow{x \to 1} - \frac{3}{2} \\ f_2''(x) &= - 3x \xrightarrow{x \to 1} -3 \text{ und } f_2''(0) = 0 \intertext{Für $1 \le x \le 2$ gilt:} f_2(x) &= (x-1)^{3} -\frac{1}{2} x^{3} \implies f_2(1) = -\frac{1}{2} \\ f_2'(x) &= 3(x-1)^2 - \frac{3}{2} x^2 \implies f_2'(1) = -\frac{3}{2} \\ f_2''(x) &= 3x - 6 \implies f_2''(1) = -3 \text{ und } f_2''(2) = 0 .\end{salign*} $f_2$ ist auf beiden Teilintervallen ein Polynom von Grad $3$ und damit auf den Teilintervallen beliebig oft stetig differenzierbar. Außerdem ist $f_2$ $2$ mal stetig differenzierbar an der Stelle $1$, also insgesamt $f_2 \in C^{2}([0, 2])$. Die natürlichen Randbedingungen sind außerdem erfüllt, also folgt $f_2 \in S(X)$. \item Es ist \[ f_3''(x) = 6x - 2 \implies f_3''(0) = -2 \neq 0 .\] Also erfüllt $f_3$ nicht die natürlichen Randbedingungen, also $f_3 \not\in S(X)$. \end{enumerate} \item Der interpolierende Spline $s$ von $f(x) = x^{3}$ folgt mit der Darstellung der VL direkt als \[ s(x) = \begin{cases} 1 + 4x + 4,5 x^2 + 1,5 x^{3} & x \in [0, 1) \\ 8 + 8,5(x-1) - 1,5(x-1)^{3} & x \in [1,2] \end{cases} .\] \end{enumerate} \end{aufgabe} \begin{aufgabe} Auszüge aus \textit{splines.cc}: \begin{lstlisting}[language=C++, title=Schneller Löser für tridiagonale Matrizen, captionpos=b] template void solveTriDiag(hdnum::DenseMatrix &A, std::vector &x, std::vector &b) { int N = b.size(); x[0] = A[0][0]; // LU Zerlegung REAL l; for (int j=1; j=0; j--) { x[j] = (b[j] - A[j][j+1]*x[j+1])/x[j]; } }\end{lstlisting} Implementation in einer Klasse \lstinline{CubicSpline}. Die Funktion \lstinline{getCubicSpline} entspricht dem ersten Konstruktor. \begin{lstlisting}[language=C++, title=Konstruktion und Auswertung eines kubischen Splines, captionpos=b] template class CubicSpline { public: // erstelle einen kubischen spline mit vorgegebenen stuetzstellen // und werten CubicSpline(std::vector xs, std::vector ys) { calculateCoefficients(xs, ys); } // erstelle einen kubischen spline mit vorgegebenen stuetzstellen // und einer zu interpolierenden funktion CubicSpline(std::vector xs, REAL(*f)(REAL)) { int N = xs.size(); std::vector ys(N); for (int i=0; i xs(N+1); std::vector ys(N+1); for (int i=0; i<=N; i++) { xs[i] = a + (1.0*i)/N*(b-a); ys[i] = f(xs[i]); } calculateCoefficients(xs, ys); } // werte kubischen spline an vorgegebener stelle aus REAL evaluate(REAL x) { for (int i=1; i x_s[i] && i < x_s.size() - 1) { continue; } else { return a_0[i-1] + a_1[i-1] *(x - x_s[i]) + a_2[i-1]*std::pow(x - x_s[i], 2) + a_3[i-1]*std::pow(x-x_s[i], 3); } } return 0; } // gebe alle interpolations polynome aus void print() { for(int i=0; i x_s; // koeffizienten std::vector a_0; std::vector a_1; std::vector a_2; std::vector a_3; void calculateCoefficients(std::vector xs, std::vector ys) { // stuetzstellen from x_0 ... to x_n int n = xs.size()-1; // copy stuetzstellen x_s = std::vector(n+1); x_s = xs; // setup (n-1)x(n-1) matrix for a_2 hdnum::DenseMatrix A(n-1,n-1); std::vector b(n-1); std::vector x(n-1); REAL h; // h_i REAL h1; // h_{i+1} // setup LGS for a_2 // A has tridiagonal structure for (int i = 1; i 1) { A[i-1][i-2] = h; } if (i < n-1) { A[i-1][i] = h1; } A[i-1][i-1] = 2 * (h + h1); } // initialize vectors a_0 = std::vector(n); a_1 = std::vector(n); a_2 = std::vector(n); a_3 = std::vector(n); solveTriDiag(A,a_2,b); // natuerliche randbedingung a_2[n-1] = 0; // berechne restliche koeffizienten for (int i = 1; i<=n; i++) { h = xs[i] - xs[i-1]; // h_i h1 = xs[i+1] - xs[i]; // h_{i+1} a_0[i-1] = ys[i]; if (i == 1) { // a_2[-1] = 0 a_1[i-1] = (ys[i] - ys[i-1])/h + (h/3)*(2*a_2[i-1]); a_3[i-1] = (a_2[i-1])/(3*h); } else { a_1[i-1] = (ys[i] - ys[i-1])/h + h/3*(2*a_2[i-1] + a_2[i-2]); a_3[i-1] = (a_2[i-1] - a_2[i-2])/(3 * h); } } } };\end{lstlisting} \begin{figure}[h] \centering \begin{tikzpicture} \begin{axis}[xtick=\empty, ytick=\empty] \addplot[purple] table {saurier.dat}; \end{axis} \end{tikzpicture} \caption{Rekonstruktion des Sauriers} \label{fig:} \end{figure} \end{aufgabe} \end{document}