\documentclass{../../lecture}

\author{Christian Merten}
\title{Auflösung unbeschränkter Komplexe}
\usepackage{tikz-cd}
\usepackage{amssymb}

\newcommand{\com}[1]{#1^{\bullet}}
\newcommand{\K}{\mathcal{K}}
\newcommand{\colim}{\underset{\longrightarrow}{\text{colim }}}
\renewcommand{\lim}{\underset{\longleftarrow}{\text{lim }}}
\newcommand{\final}[1]{\underset{\rightarrow}{#1}}

\begin{document}

\maketitle

\section{Einleitung}

\section{Derivierte Kategorien und abgeleitete Funktoren}

\section{Grundlagen}


% TODO: Bedingung (I) an Indexmengen

Wir benötigen im Folgenden mehrmals eine bestimmte Bedingung an inverse Systeme in
$\mathcal{A}b$. Wir sagen ein inverses System $(M_n)_{n \ge \N}$ genügt Bedingung
(R), wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind:
\begin{enumerate}[(i)]
    \item $M_1 = 0$
    \item Für $n > 1$ ist die Abbildung $M_n \to M_{n-1}$ surjektiv.
\end{enumerate}

\begin{lemma}
    Sei $I$ eine Indexmenge, die Bedingung (I) genügt und seien
    $(A_i)_{i \in I}$, $(B_{i})_{i \in I}$, $(C_i)_{i \in I}$ und $(D_i)_{i \in I}$
    inverse Systeme in $\mathcal{A}b$, die (R) erfüllen und seien
    \begin{equation}
    \begin{tikzcd}
        (A_i)_{i \in I} \arrow{r}{f_i} & (B_i)_{i \in I} \arrow{r}{g_i} &
        (C_i)_{i \in I} \arrow{r}{h_i} & (D_i)_{i \in I}
    \end{tikzcd}
    \label{eq:0.11-inv-systems}
    \end{equation}
    Morphismen von inversen Systemen mit $g_i \circ f_i = 0 = h_i \circ g_i$
    für $i \in I$ und sei
    \[
    \begin{tikzcd}
        A \arrow{r}{f} & B \arrow{r}{g} & C \arrow{r}{h} & D
    \end{tikzcd}
    \] der Limes von \eqref{eq:0.11-inv-systems}. Für $i \in I$ mit $i > I_{\text{min}}$
    seien $A_i'$, $B_i'$, $C_i'$ und $D_i'$ die jeweiligen Kerne
    der Übergangsabbildungen $A_i \to A_{i-1}$, $B_i \to B_{i-1}$, $C_i \to C_{i-1}$
    und $D_i \to D_{i-1}$.

    Sei weiter $j \in I$, s.d. für alle $i > j$ die Folge
    \[
    \begin{tikzcd}
        A_i' \arrow{r} & B_i' \arrow{r} & C_i' \arrow{r} & D_i'
    \end{tikzcd}
    \] exakt ist.

    Dann ist die natürliche Abbildung
    \[
    \text{ker } g / \text{im } f \longrightarrow \text{ker } g_j / \text{im } f_j
    \] ein Isomorphismus.
    \label{0.11}
\end{lemma}

\begin{proof}
    Durch Umbenennung können wir ohne Einschränkung annehmen, dass $I = \N$. Sei
    $j \in \N$ mit der beschriebenen Eigenschaft. Dann betrachte das kommutative Diagramm:
    \begin{equation}
        \begin{tikzcd}
            A \arrow{r}{f} \arrow{d} & \text{im } f \arrow{r}
                                     & \text{ker } g \arrow{r} \arrow{d}
                                     & B \arrow{r}{g} \arrow{d}
                                     & C \arrow{r}{h} \arrow{d}
                                     & D \arrow{d} \\
            A_j \arrow{r}{f_j} & \text{im } f_j \arrow{r}
                             & \text{ker } g_j \arrow{r}
                             & B_j \arrow{r}{g_j}
                             & C_j \arrow{r}{h_j}
                             & D_j \\
            A_{j+1} \arrow{r}{f_{j+1}} \arrow{u}{p_{A}} & \text{im } f_{j+1} \arrow{r} \arrow{u}
                                       & \text{ker } g_{j+1} \arrow{r} \arrow{u}
                                       & B_{j+1} \arrow{r}{g_{j+1}} \arrow{u}{p_B}
                                       & C_{j+1} \arrow{r}{h_{j+1}} \arrow{u}{p_C}
                                       & D_{j+1} \arrow{u}{p_D} \\
            \text{ker } p_{A_{j+1}} \arrow[from=4-1, to=4-4] \arrow{u} & &
                                       & \text{ker } p_{B_{j+1}} \arrow{r} \arrow{u}
                                       & \text{ker } p_{C_{j+1}} \arrow{r} \arrow{u}
                                       & \text{ker } p_{D_{j+1}} \arrow{u} \\
        \end{tikzcd}
        \label{eq:0.11-diag}
    \end{equation}
    Injektivität: Sei $(b_i)_{i \in \N} \in \text{ker } g$, sodass $b_j \in \text{im }f_j$.
    Dann existiert ein $a_j \in A_j$, sodass $f_j(a_j) = b_j$. Da $p_A$ surjektiv,
    existiert ein $x \in A_{j+1}$, sodass $p_A(x) = a_j$. Sei
    $y = f_{j+1}(x)$. Weil \eqref{eq:0.11-diag} kommutativ,
    ist $p_{B}(y) = b_j$. Da $(b_i)_{i \in \N}$ ein kompatibles
    System ist, gilt zudem $p_{B}(b_{j+1}) = b_j$. Also ist
    $b_{j+1} - y \in \text{ker } p_{B}$. Weil $y, b_{j+1} \in \text{ker } g_{j+1}$,
    existiert aufgrund der Exaktheit der unteren Zeile ein $\tilde{x} \in \text{ker } p_A$,
    sodass $f_{j+1}(\tilde{x}) = b_{j+1} - y$. Nun
    setze $a_{j+1} \coloneqq \tilde{x} + x$. Dann ist
    $f_{j+1}(a_{j+1}) = b_{j+1}$ und $p_{A}(a_{j+1}) = a_j$, denn
    $\tilde{x} \in \text{ker } p_{A}$. Konstruiere so induktiv eine kompatible
    Familie $(a_{i})_{i\ge j}$ mit $f(a_i) = (b_i)_{i \ge j}$. Für $i < j$ setze
    $a_i \coloneqq p_{A_{i+1}}(a_{i+1})$. Die Kommutativität von \eqref{eq:0.11-diag}
    liefert dann ein kompatibles System $(a_i)_{i \in \N}$ mit
    $f(a_{i}) = (b_{i})_{i \in \N}$

    Surjektivität: Sei $b \in \text{ker } g_j$. Weil $p_B$ surjektiv, existiert dann ein
    $y \in B_{j+1}$, sodass $p_B(y) = b$. Sei $z = g_{j+1}(y)$.
    Aufgrund der Kommutativität von
    \eqref{eq:0.11-diag} ist dann
    $p_C(z) = p_C(g_{j+1}(y)) = g_j(p_B(y)) = g_j(b) = 0$, also
    folgt $z \in \text{ker } p_C$. Da $h_{j+1} \circ g_{j+1} = 0$ folgt
    $h_{j+1}(z) = h_{j+1}(g_{j+1}(z)) = 0$. Da die untere Zeile exakt ist, existiert nun
    ein $\tilde{y} \in \text{ker } p_B$, s.d. $g_{j+1}(\tilde{y}) = z$. Also ist
    $y - \tilde{y} \in \text{ker } g_{j+1}$ und $p_B(y - \tilde{y}) = p_B(y) = b$.
    Setze $b_{j+1} \coloneqq y - \tilde{y}$ und $b_j \coloneqq b$.
    Dann konstruiere induktiv eine kompatible
    Familie $(b_i)_{i \ge j}$ mit $b_i \in \text{ker } g_{i}$. Für $i < j$ setze wie
    oben $b_i \coloneqq p_{B_{i+1}}(b_{i+1})$. Erneut liefert die Kommutativität von
    \eqref{eq:0.11-diag} ein kompatibles System $(b_i)_{i \in \N} \in \text{ker } g$ mit
    $b_j = b$.
\end{proof}

\section{K-injektive und K-projektive Auflösungen}

Sei im Folgenden $\mathcal{A}$ eine feste abelsche Kategorie und $\mathcal{K} = \mathcal{K}(\mathcal{A})$ die
Komplexkategorie mit Komplexhomomorphismen bis auf Homotopie als Abbildungen.

\begin{definition}[K-injektiv bzw. K-projektiv]
    Ein Komplex $\com{X} \in \K$ heißt K-injektiv (bzw. K-projektiv), wenn für alle $\com{S} \in \K$, der Komplex
    $\com{\mathrm{Hom}}(\com{S}, \com{X})$ (bzw. $\com{\mathrm{Hom}}(\com{X}, \com{S})$) exakt ist.
\end{definition}

\begin{bem}
    Mit \ref{hom-compl-cohomgroups} ist $\com{X} $ genau dann K-injektiv (bzw. K-projektiv), wenn
    $\forall \com{S} \in K$ exakt: $\text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{S}[i] , \com{X}) = 0$
    (bzw. $\text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{X}, \com{S}[i]) = 0)$  $\forall i \in \Z$. Da Verschieben Exaktheit erhält
    folgt also
    \[
    \com{X}  \text{ K-projektiv} \iff \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{X} , \com{S} )  = 0 \quad \forall \com{S} \text{ exakt}
    \]
    \[
    \com{X}  \text{ K-injektiv} \iff \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{S} , \com{X} )  = 0 \quad \forall \com{S} \text{ exakt}
    .\]
\end{bem}

\subsection{Elementare Eigenschaften von K-injektiven und K-projektiven Komplexen} 

\begin{bem}
    Ein exakter K-projektiver oder K-injektiver Komplex $\com{X}$ ist zusammenziehbar, d.h. ist nullhomotop.
    \begin{proof}
        Betrachte $\mathrm{id}_{\com{X}} \in \mathrm{Hom}^{0}(\com{X}, \com{X}) = \mathrm{Mor}_{\K}(\com{X} , \com{X}) = \mathrm{H}^0 \com{\mathrm{Hom}}(\com{X}, \com{X}) = 0$. Also ist $\mathrm{id}_{\com{X} } = 0$ und damit
        $\com{X} = 0$ in $\K$.
    \end{proof}
\end{bem}

\begin{satz}
    Sei $\com{X} \in \K$ mit $X^{i} = 0$ $\forall i \neq 0$. Dann ist $\com{X} $ K-injektiv (bzw. K-projektiv) genau
    dann wenn $A^{0}$ injektiv (bzw. projektiv) in $\mathcal{A}$ ist.

    \label{satz:single-degree-compl-k-proj}
\end{satz}

\begin{proof}
    ,,$\implies$'': Sei $\com{X} $ K-projektiv und $\com{S} = 0 \to M \to  N \to  P \to 0$ kurze exakte Folge in $\mathcal{A}$. Sei
    $f\colon X^{0} \to P$. Das induziert einen Komplexhomomorphismus $\com{X} \to \com{S}$
\[\begin{tikzcd}
    0 \arrow{d} \arrow{r} & 0 \arrow{d} \arrow{r} & X^0 \arrow{d}{f} \arrow[dashed]{dl}{k} \arrow{r}
    & 0 \arrow{d} \arrow[dashed]{dl}\\
    M \arrow{r} & N \arrow{r}{v} & P \arrow{r} & 0
\end{tikzcd}\]
Nach Voraussetzung ist dieser nullhomotop, d.h. es existiert $k \colon X^{0} \to N$, s.d. $f = vk$. Also ist
$\text{Hom}(X^{0}, N) \to \text{Hom}(X^{0}, P)$ surjektiv und damit $X^{0}$ projektiv.

,,$\impliedby$'': Sei nun $X^{0}$ projektiv, $\com{S} \in \mathcal{K}$ exakt und $f\colon \com{X} \to \com{S}$
Komplexhomomorphismus. Dann betrachte
\[
diag
.\] 
Da $X^0$ projektiv, existiert $k^{0}\colon A^{0} \to S^{-1}$, s.d. $f^{0} = d^{-1} k^{0}$.
\end{proof}

\begin{satz}[]
    \begin{enumerate}[(i)]
        \item $\com{X} \in \mathcal{K}$ ist K-projektiv (bzw. K-injektiv) genau dann wenn $\com{X}[1]$ dies ist.
        \item Falls zwei Punkte eines ausgezeichneten Dreiecks in $\mathcal{K}$ K-projektiv (bzw. K-injektiv) sind,
            dann auch der dritte.
    \end{enumerate}
\end{satz}
    
\begin{proof}
    \begin{enumerate}[(i)]
        \item Das folgt, daraus dass für $\com{X}, \com{S} \in \mathcal{K}$ gilt: $\com{S} $ exakt $\iff \com{S} [-1]$
            exakt und
            \[
            \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{X}, \com{S}[-1]) = \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{X}[1], \com{S})
            .\] 
        \item Sei $(\com{X}, \com{Y}, \com{Z}, u, v, w)$ ein ausgezeichnetes Dreieck mit $\com{X}, \com{Y} $ K-projektiv
            und $\com{S} $ exakt. Nach Anwenden von $\text{Mor}_{\mathcal{K}}(-, \com{S})$
            \ref{hom-cohom-func} ist dann
            \[
                \underbrace{\text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{X}[1], \com{S})}_{= 0}
                \to \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{Z}, \com{S} )
                \to
                \underbrace{\text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{Y}, \com{S} )}_{= 0}
            \] exakt und die äußeren Terme $0$ nach Voraussetzung und (i). Also folgt
            $\text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{Z}, \com{S}) = 0$, also $\com{Z} $ K-projektiv. Der allgemeine Fall folgt nun
            mit \ref{TR2}.
    \end{enumerate}
\end{proof}

\begin{satz}
    Sei $\com{P} \in \mathcal{K}$. Dann sind äquivalent
    \begin{enumerate}[(i)]
        \item $\com{P} $ K-projektiv
        \item Für $\com{X} \to \com{Y} $ Quasiisomorphismus in $\mathcal{K}$ ist der natürliche Homomorphismus
            \[
            \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{X} ) \to \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{Y} ) 
            \] ein Isomorphismus.
        \item Für $\com{S} \in \mathcal{K}$ ist der natürliche Homomorphismus
            \[
                \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{S} ) \to \text{Mor}_{\mathcal{D}}(\com{P} , \com{S} ) 
            \] ein Isomorphismus.
    \end{enumerate}
    \label{satz:mork=mord-fuer-kproj}
\end{satz}

\begin{proof}
    (i)$\implies$(ii): Sei $f\colon \com{X} \to \com{Y} $ ein Quasiisomorphismus. Dann ist
    \[
    \begin{tikzcd}
        \com{X} \arrow{r}{f} & \com{Y} \arrow{r} & \com{C_f} \arrow{r} & \com{X}[1]
    \end{tikzcd}
    \] ein ausgezeichnetes Dreieck und $\com{C_f}$ ist nach \ref{mapping-cone-exact-for-qis} exakt. Anwenden von
    $\text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , -) $ liefert mit \ref{hom-cohom-func} eine exakte Folge:
    \[
        \begin{tikzcd}
            \underbrace{\text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{C_f}[-1]) \arrow{r}}_{= 0} &
            \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{X} ) \arrow{r} &
            \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{Y} ) \arrow{r} &
            \underbrace{\text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P}, \com{C_f} ) }_{= 0}
        \end{tikzcd}
    .\] Die äußeren Terme sind 0, da $\com{P} $ K-projektiv, also folgt der behauptete Isomorphismus.

    (ii)$\implies$(iii): Injektivität: Sei $f\colon \com{P} \to \com{S} $, s.d. $\text{id}^{-1}f = 0$. Nach
    \ref{derived-cat-morphism-null} existiert ein $t\colon \com{S} \to \com{T} $ Quasiisomorphismus, s.d. $tf= 0$.
    Nach (ii) ist $t_{*}\colon \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{S} ) \to \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{T} ) $
    injektiv, also folgt $f = 0$. Surjektivität: Sei $a \in \text{Mor}_{\mathcal{D}}(\com{P} , \com{S} ) $. Dann
    ist $a$ ein Diagramm in $\mathcal{K}$
    \[
    \begin{tikzcd}
        & \com{M} & \\
        \com{P} \arrow{ur}{f} & & \arrow{ul}{s} \com{S} 
    \end{tikzcd}
    \] mit $s$ Quasiisomorphismus. Nach (ii) ist $s_{*}\colon \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{S} ) \to \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{M} ) $ surjektiv, also existiert ein $g\colon \com{P} \to \com{S} $, s.d. $sg = f$. Also
    kommutiert
    \[
    \begin{tikzcd}
        & \com{S} \arrow{d}{s} & \\
        \com{P} \arrow{dr}{f} \arrow{ur}{g} & \com{M} & \arrow{l}{s} \arrow{ul}{\text{id}} \com{S} \arrow{dl}{s}\\
        & \com{M} \arrow{u}{\text{id}} & \\
    \end{tikzcd}
    .\] Damit folgt $a = g\text{id}^{-1}$.

    (iii)$\implies$(i): Sei $\com{S} $ exakt. Dann ist $\com{S} \to 0$ ein Quasiisomorphismus, also
    $\com{S} \stackrel{\sim }{=} 0$ in $\mathcal{D}$, also
    \[
        \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{X} , \com{S} )
        \stackrel{\text{(ii)}}{=} \text{Mor}_{\mathcal{D}}(\com{X} , \com{S} )
        = \text{Mor}_{\mathcal{D}}(\com{X} , \com{0} ) = 0
    .\]
\end{proof}

\begin{satz}
    Sei $\com{P} \in \mathcal{K}$. Dann sind äquivalent
    \begin{enumerate}[(i)]
        \item $\com{P} $ K-projektiv.
        \item Für alle Diagramme in $\mathcal{K}$
            \[
            \begin{tikzcd}
                & \com{M} \arrow{d}{s}  \\
                \com{P} \arrow{r}{f} & \com{N}\\
            \end{tikzcd}
            \] mit $s$ Quasiisomorphismus, existiert genau ein $g\colon \com{P} \to \com{M} $, s.d.
            $sg= f$ in $\mathcal{K}$.
        \item Für alle Quasiisomorphismen $u\colon \com{S} \to \com{P} $ in $\mathcal{K}$ existiert ein
            $v\colon \com{P} \to \com{S} $, s.d. $uv = \text{id}_{\com{P} }$ in $\mathcal{K}$.
    \end{enumerate}
\end{satz}

\begin{proof}
    (i)$\implies$(ii): Betrachte das gegebene Diagramm in $\mathcal{D}$:
    \[
        \begin{tikzcd}
            & \com{X} \arrow{d}{\text{id}^{-1}s} \\
            \com{P} \arrow[dashed]{ur}{g} \arrow{r}{\text{id}^{-1}f} & \com{Y}
        \end{tikzcd}
    .\] Da $s$ Quasiisomorphismus, ist $s$ Isomorphismus in $\mathcal{D}$, also existiert ein
    $g\colon \com{P} \to \com{X} $ in $\mathcal{D}$, sodass das Diagramm kommutiert. \ref{satz:mork=mord-fuer-kproj}
    (iii) liefert das gewünschte Diagramm in $\mathcal{K}$.

    (ii)$\implies$(iii): Betrachte
    \[
    \begin{tikzcd}
        & \com{S} \arrow{d}{s} \\
        \com{P} \arrow{r}{\text{id}} & \com{P} 
    \end{tikzcd}
    .\] Da $s$ Quasiisomorphismus existiert mit (ii) ein $f\colon \com{P} \to \com{S}$, s.d. $sf = \text{id}_{\com{P} }$.

    (iii)$\implies$(ii): Erneut mit \ref{satz:mork=mord-fuer-kprof} genügt es zu zeigen, dass für
    $\com{S} \in \mathcal{K}$
    $\text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{S} ) \to \text{Mor}_{\mathcal{D}}(\com{P} , \com{S} ) $ bijektiv ist.
    Injektivität: Sei $f\colon \com{P} \to \com{S} $ mit $\text{id}^{-1}f = 0$ in $\mathcal{D}$. Dann
    existiert nach \ref{derived-cat-morphism-null} ein $t\colon \com{T} \to \com{P} $ Quasiisomorphismus mit $ft = 0$.
    Also existiert mit (iii) ein $s\colon \com{P} \to \com{T} $, s.d. $ts = \text{id}_{\com{P} }$, also
    \[
        f = f \text{id}_{\com{P} } = \underbrace{ft}_{=0}s = 0
    .\] 
    Surjektivität: Sei $a \colon \com{P} \to \com{S} $ in $\mathcal{D}$. Dann ist $a$ gegeben durch ein Diagramm
    \[
    \begin{tikzcd}
        & \com{Q} \arrow{dr}{f} \arrow{dl}{s} & \\
        \com{P} & & \com{S}
    \end{tikzcd}
    \] in $\mathcal{K}$ mit $s$ Quasiisomorphismus. Nach (iii) existiert ein $t\colon \com{P} \to \com{Q}$ mit
    $st = \text{id}_{\com{P} }$. Dann ist
    \[
    \begin{tikzcd}
        & \com{Q} \arrow{dl}{s} \arrow{dr}{f} & \\
        \com{P} & \com{P} \arrow{l}{\text{id}} \arrow{u}{t} \arrow{d}{\text{id}} & \com{S} \\
        & \com{P} \arrow{ul}{\text{id}} \arrow{ur}{ft} & \\
    \end{tikzcd}
    \] ein kommutatives Diagramm in $\mathcal{K}$, also folgt $s^{-1}f = \text{id}^{-1}(ft)$ in $\mathcal{D}$.
\end{proof}

Durch Umdrehen aller Pfeile erhalten wir analog:

\begin{satz}[]
    Für jeden Komplex $\com{I} \in \mathcal{K}$ sind äquivalent:
    \begin{enumerate}[(i)]
        \item $\com{I}$ K-injektiv
        \item Für $\com{S} \in \mathcal{K}$ ist der natürliche Homomorphismus
            \[
            \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{S} , \com{I} ) \to \text{Mor}_{\mathcal{D}}(\com{S} , \com{I} ) 
            \] ein Isomorphismus.
        \item Für jedes Diagramm in $\mathcal{K}$
            \[
            \begin{tikzcd}
                \com{Y} \arrow{r}{f} \arrow{d}{s} & \com{I} \\
                \com{X} 
            \end{tikzcd}
            \] mit $s$ Quasiisomorphismus, existiert genau ein $g\colon \com{X} \to \com{I} $, s.d. das Diagramm
            kommutiert.
        \item Für jeden Quasiisomorphismus $u\colon \com{I} \to \com{S} $ in $\mathcal{K}$ existiert ein
            $v\colon \com{S} \to \com{I} $, s.d. $vu = \text{id}_{\com{I} }$ in $\mathcal{K}$.
    \end{enumerate}
\end{satz}

\subsection{Spezielle inverse und direkte Systeme}

Um für einen Komplex $\com{A} $ eine K-injektive bzw. K-projektive Auflösung zu erhalten, konstruieren wir bestimmte
inverse bzw. direkte Systeme deren Limites die gewünschten Auflösungen liefern. Dazu benötigen wir folgenden Begriff:

\begin{definition}[Spezielles inverses System]
    Sei $\mathcal{J} \subset \mathcal{K}$ eine Klasse von Komplexen.
    \begin{enumerate}[(a)]
        \item Ein inverses System $(\com{I}_n)_{n \in \N}$ in $\mathcal{K}$ heißt
            $\mathcal{J}$-spezielles inverses System, falls folgende Bedingungen erfüllt sind:
            \begin{enumerate}[(i)]
                \item Falls $n = 1$, dann ist $\com{I}_n = 0$.
                \item Falls $n > 1$, dann sei $\com{C}_n$ der Kern der natürlichen Abbildung
                    $\com{I} _n \to \com{I}_{n-1}$. Dann ist $\com{C}_n \in \mathcal{J}$ und
                    die kurze exakte Folge
                    \[
                    0 \to \com{C}_n \to \com{I}_n \to \com{I} _{n-1} \to 0
                    \] zerfällt stufenweise.
            \end{enumerate}
        \item Die Klasse $\mathcal{J}$ heißt abgeschlossen unter speziellen inversen Limites, falls jedes
            $\mathcal{J}$-spezielle inverse System in $\mathcal{K}$ einen Limes in $\mathcal{J}$ besitzt und jeder
            Komplex in $\mathcal{K}$, der isomorph ist zu einem Komplex in $\mathcal{J}$, bereits in $\mathcal{J}$ ist.
    \end{enumerate}
    
\end{definition}

Im Folgenden möchten wir zeigen, dass die Klasse der K-projektiven Komplexe 
abgeschlossen unter speziellen inversen Limites ist. Dazu benötigen wir die folgenden Lemmata:

% TODO: beispiel funktioniert nicht mit N als indexmenge, wird nicht benoetigt
%\item Sei $\mathcal{J}$ eine Klasse von Komplexen abgeschlossen unter speziellen inversen Limites mit
%    $\com{A} \in \mathcal{J} \iff \com{A}[1] \in \mathcal{J}$. Dann ist für $\com{A}, \com{B} \in \mathcal{J}$
%    und $u \colon \com{A} \to \com{B} $, auch $\com{C}_u$ in $\mathcal{J}$. Denn 
%    \[
%        \com{C}_u \to \com{A}[1] \to 0
%    \] ist ein $\mathcal{J}$-spezielles inverses System mit Limes $\com{C}_u$.

\begin{lemma}
    Sei $\mathcal{J}_0$ eine Klasse von Objekten von $\mathcal{A}$. Sei weiter $\mathcal{J}$ eine
    unter speziellen inversen Limites abgeschlossene Klasse
    von Objekten in $\mathcal{K}$, so dass jeder Komplex $\com{A} \in \mathcal{K}$ mit nur einem nicht-null
    Term und mit $A^{i} \in \mathcal{J}_0$ für $i \in \Z$, in $\mathcal{J}$ enthalten ist. Dann
    ist jeder nach unten beschränkte Komplex $\com{A} \in \mathcal{K}$ mit $A^{i} \in \mathcal{J}_0$
    für $i \in \Z$ in $\mathcal{J}$ enthalten.

    \label{lemma:bounded-compl-in-complete-class}
\end{lemma}

\begin{proof}
    Sei $\com{A} \in \mathcal{K}^{+}$ mit $A^{i} \in \mathcal{J}_0$ für alle $i \in \Z$. Ohne Einschränkung
    sei $A^{i} = 0$ für alle $i < 0$. Dann sind die Spalten des nachstehenden Diagramms ein
    $\mathcal{J}$-spezielles inverses System $(\com{S}_n)_{n \ge 0}$ mit
    Übergangsabbildungen $p_n$,
    \[
    \begin{tikzcd}
        \cdots \arrow{r} & 0 \arrow{r} \arrow{d} & 0 \arrow{r} \arrow{d} & 0 \arrow{r} \arrow{d} & 0 \arrow{d}\\
        \cdots\arrow{r} & A^{0} \arrow{d} \arrow{r} & A^{0} \arrow{d} \arrow{r} & A^{0} \arrow{d} \arrow{r} & 0 \arrow{d}\\
        \cdots\arrow{r} & A^{1} \arrow{d} \arrow{r} & A^{1} \arrow{d} \arrow{r} & 0 \arrow{d} \arrow{r} & 0 \arrow{d}\\
        \cdots\arrow{r} & A^{2} \arrow{d} \arrow{r} & 0 \arrow{d} \arrow{r} & 0 \arrow{d} \arrow{r} & 0 \arrow{d} \\
        & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
    \end{tikzcd}
    \] denn für $n > 0$ ist $\com{\text{ker } p}_n$ = $[\cdots \to 0 \to \underbrace{A^{n-1}}_{\in \mathcal{J}_0} \to 0 \to \cdots ]$. Nach
    Voraussetzung ist also $\text{ker } p_n$ in $\mathcal{J}$ und die kurze exakte Folge
    $0 \to \com{\text{ker } p}_n \to \com{S}_n \to \com{S}_{n-1} \to 0$ zerfällt gradweise. Also folgt
    $\com{A} = \lim \com{S}_n \in \mathcal{J}$.
\end{proof}

\begin{lemma}
    Die Klasse der exakten Komplexe in $\mathcal{K}(\mathcal{A}b)$ ist abgeschlossen unter speziellen inversen Limites.

    \label{lemma:exact-comp-complete-inv}
\end{lemma}

\begin{proof}
    Sei $(\com{S}_n)_{n \in \N}$ ein spezielles inverses System in $\mathcal{K}(\mathcal{A}b)$. Für $i \in \Z$
    erfüllt $(S_n^{i})_{n \in \N}$ die Bedingung P aus \ref{0.11}. Sei also $i \in \Z$ beliebig. Dann erfüllt
    \[
        (S_n^{i-1})_{n \in \N} \to (S_n^{i})_{n \in \N} \to (S_n^{i+1})_{n \in \N} \to (S_n^{i+2})_{n \in \N}
    \] die Bedingungen von \ref{0.11}, da nach Voraussetzung für alle $n > 1$ $\text{ker}(\com{S}_n \to \com{S}_{n-1})$
    exakt ist. Also ist
    \[
    \begin{tikzcd}
        \lim S_n^{i-1} \arrow{r} \arrow{d}{=} & \lim S_n^{i} \arrow{d}{=} \arrow{r} & \lim S_n^{i+1} \arrow{d}{=}\\
        (\lim S_n)^{i-1} \arrow{r} & (\lim S_n)^{i} \arrow{r} & (\lim S_n)^{i+1}
    \end{tikzcd}
    \] exakt. Da $i \in \Z$  beliebig, folgt $\lim S_n$ exakt.
\end{proof}

\begin{satz}
    Sei $\mathcal{B}$ eine weitere abelsche Kategorie und $\mathcal{J} \subset \mathcal{K}(B)$ abgeschlossen
    unter speziellen inversen Limites. Angenommen inverse Limites existieren in $\mathcal{A}$ und sei
    $F\colon \mathcal{K}(A) \to \mathcal{K}(B)$ ein kovarianter Funktor, der mit inversen Limites vertauscht und
    gradweise zerfallende kurze exakte Folgen erhält.

    Dann ist $F^{-1}(\mathcal{J}) \subset \mathcal{K}(\mathcal{A})$ abgeschlossen unter speziellen inversen Limites.

    \label{satz:complete-inv-system-functor}
\end{satz}

\begin{proof}
    Sei $(\com{S}_n)_{n \in \N}$ ein $F^{-1}(\mathcal{J})$-spezielles inverses System. Dann ist
    $(F(\com{S}_n))_{n \in \N}$ ein $\mathcal{J}$-spezielles System, denn
    \begin{enumerate}[(i)]
        \item $F(S_1) = F(1) = 0$, da $F$ mit inversen Limites vertauscht und die Null der Limes des leeren Diagramms
            ist.
        \item Für $n > 1$ ist nach Voraussetzung
            \[
            \begin{tikzcd}
                0 \arrow{r} & \text{ker } p_n \arrow{r} & \com{S}_n \arrow{r}{p_n} & \com{S}_{n-1} \arrow{r} & 0
            \end{tikzcd}
            \] 
            exakt, zerfällt gradweise und $\text{ker } p_n$ ist in $F^{-1}(\mathcal{J})$. Nach Voraussetzung ist damit
            \[
            \begin{tikzcd}
                0 \arrow{r} & F(\text{ker } p_n) \arrow{r} & F(\com{S}_n) \arrow{r}{F(p_n)} & F(\com{S}_{n-1}) \arrow{r} & 0
            \end{tikzcd}
            \] exakt und zerfällt gradweise. Aus der Exaktheit folgt damit auch
            $\text{ker } F(p_n) = F(\text{ker } p_n)$, also $\text{ker } F(p_n) \in \mathcal{J}$.
    \end{enumerate}
    Also $F(\lim \com{S}_n) = \lim F(\com{S}_n) \in \mathcal{J}$ und damit $\lim \com{S}_n \in F^{-1}(\mathcal{J})$.
\end{proof}

\begin{korollar}[]
    Sei $\mathcal{I}$ eine Klasse von Komplexen und angenommen in $\mathcal{A}$ existieren inverse Limites.

    Dann ist die Klasse aller Komplexe $\com{A} \in \mathcal{K}$, sodass
    $\com{\text{Hom}}(\com{T}, \com{A})$ exakt ist für alle $\com{T} \in \mathcal{I}$, abgeschlossen unter speziellen
    inversen Limites. Insbesondere ist die Klasse der K-injektiven Komplexe abgeschlossen unter speziellen inversen
    Limites.
\end{korollar}

\begin{proof}
    Sei $\mathcal{J}$ die Klasse der exakten Komplexe und für $\com{T} \in \mathcal{I}$ sei
    $\mathcal{E}_{\com{T}}$ die Klasse der Komplexe $\com{A} $, sodass
    $\com{\text{Hom}}(\com{T}, \com{A})$ exakt ist. Dann
    ist $\mathcal{E}_{\com{T}} = \com{\text{Hom}}(\com{T}, -)^{-1}(\mathcal{J})$. $\com{\text{Hom}}(\com{T}, -)$ erfüllt
    die Voraussetzungen von \ref{satz:complete-inv-system-functor}, denn:

    \begin{enumerate}[(i)]
        \item Nach \ref{lemma:exact-comp-complete-inv} ist
            $\mathcal{J}$ abgeschlossen unter speziellen inversen Limites.
        \item Wegen \ref{satz:adjunction-hom-tor-comp} ist $\com{\text{Hom}} (\com{T}, -)$ rechtsadjungiert und
            vertauscht daher mit Limites. Außerdem ist $\com{\text{Hom}}(\com{T}, -)$ gradweise additiv, erhält also
            gradweise zerfallende Folgen.
    \end{enumerate}
    Also ist $\mathcal{E}_{\com{T}}$ und damit $\bigcap_{\com{T} \in \mathcal{I}} \mathcal{E}_{\com{T} }$
    abgeschlossen unter speziellen inversen Limites.

    Das Insbesondere folgt wenn $\mathcal{I} = \mathcal{J}$ gesetzt wird.
\end{proof}

Wenn wir alle Pfeile umdrehen erhalten wir die folgende Definition und Ergebnisse:

\begin{definition}[Spezielles direktes System]
    Sei $\mathcal{P} \subset \mathcal{K}$ eine Klasse von Komplexen.
    \begin{enumerate}[(a)]
        \item Ein direktes System $(\com{P}_n)_{n \in \N}$ in $\mathcal{K}$ heißt $\mathcal{P}$-spezielles
            direktes System, falls folgende Bedingungen erfüllt sind:
            \begin{enumerate}[(i)]
                \item Falls $n = 1$, dann ist $\com{P}_n = 0$.
                \item Falls $n > 1$, dann sei $\com{C}_n$ der Kokern der natürlichen Abbildung
                    $\com{P}_{n-1} \to \com{P}_{n}$. Dann ist $\com{C}_n \in \mathcal{P}$ und
                    die kurze exakte Folge
                    \[
                    0 \to \com{P}_{n-1} \to \com{P}_{n} \to \com{C}_n \to  0
                    \] zerfällt stufenweise.
            \end{enumerate}
        \item Die Klasse $\mathcal{P}$ heißt abgeschlossen unter speziellen direkten Colimites, falls jedes
            $\mathcal{P}$-spezielle direkte System in $\mathcal{K}$ einen Colimes in $\mathcal{P}$ besitzt und jeder
            Komplex in $\mathcal{K}$, der isomorph ist zu einem Komplex in $\mathcal{P}$, bereits in $\mathcal{P}$ ist.
    \end{enumerate}
\end{definition}

Durch Umdrehen aller Pfeile, erhalten wir auch eine duale Version von \ref{lemma:bounded-compl-in-complete-class}.
Ebenfalls analog gilt:

% brauche ich nicht
%\begin{lemma}
%    Die Klasse der exakten Komplexe in $\mathcal{K}(\mathcal{A}b)$ ist abgeschlossen unter speziellen direkten Colimites.
%
%    \label{lemma:exact-comp-complete-inv}
%\end{lemma}
%
%\begin{proof}
%    
%\end{proof}

\begin{satz}
    Sei $\mathcal{B}$ eine weitere abelsche Kategorie und $\mathcal{J} \subset \mathcal{K}(B)$ abgeschlossen
    unter speziellen inversen Colimites. Angenommen direkte Colimites existieren in $\mathcal{A}$ und sei
    $F\colon \mathcal{K}(A) \to \mathcal{K}(B)$ ein kontravarianter Funktor, der direkte Colimites in
    inverse Limites überführt und gradweise zerfallende kurze exakte Folgen erhält.

    Dann ist $F^{-1}(\mathcal{J}) \subset \mathcal{K}(\mathcal{A})$ abgeschlossen unter speziellen direkten Colimites.

    \label{satz:complete-inv-system-functor}
\end{satz}

\begin{korollar}[]
    Sei $\mathcal{I}$ eine Klasse von Komplexen und angenommen in $\mathcal{A}$ existieren direkte Colimites.

    Dann ist die Klasse aller Komplexe $\com{A} \in \mathcal{K}$, sodass
    $\com{\text{Hom}}(\com{A},  \com{T})$ exakt ist für alle $\com{T} \in \mathcal{I}$, abgeschlossen unter speziellen
    direkten Colimites. Insbesondere ist die Klasse der K-projektiven Komplexe abgeschlossen unter speziellen direkten
    Colimites.
    \label{kor:k-proj-closed}
\end{korollar}


\begin{definition}[]
    Angenommen inverse (bzw. direkte) Limites existieren in $\mathcal{K}$ und sei $\mathcal{G}$ eine Klasse von
    Komplexen in $\mathcal{K}$. Dann nennen wir $\underset{\leftarrow}{\mathcal{G}}$
    (bzw. $\underset{\rightarrow}{\mathcal{G}})$ die kleinste Klasse von Komplexen in $\mathcal{K}$, die abgeschlossen
    unter speziellen inversen (bzw. direkten) Limites ist und $\mathcal{G}$ enthält.
\end{definition}

\subsection{Existenz von K-projektiven und K-injektiven Auflösungen}

\subsubsection{Linksauflösungen}

Sei $\mathcal{P}$ eine Klasse von Komplexen in $\mathcal{K}$. Die folgenden Bedingungen an $\mathcal{P}$ sind
äquivalent:

% TODO: wirklich notwendig die beschränkung nach oben??
\begin{enumerate}[(1)]
    \item Jeder nach oben beschränkte Komplex $\com{A} \in \mathcal{K}$ hat eine Auflösung $\com{P} \to \com{A} $
        nach links mit $\com{P} \in \mathcal{P}$ und $\com{P} $ nach oben beschränkt.
    \item Für alle $\com{A} \in \mathcal{K} $ und $n \in \Z$, existiert ein $\com{P} \in \mathcal{P}$ mit
        $H^{i}(\com{P}) = 0$ für $i > n$ und ein Komplexhomomorphismus $f\colon \com{P} \to \com{A} $, der
        einen Isomorphismus $H^{i}(\com{P}) \to H^{i}(\com{A})$ induziert für $i \le n$.
\end{enumerate}

\begin{proof}
    (1) $\implies$ (2): Sei $\com{A} \in \mathcal{K}$ und $n \in \Z$. Dann ist $\tau_{\le n} \com{A}$ nach oben
beschränkt, also existiert ein $\com{P} \in \mathcal{P}$ und ein Quasiisomorphismus $s\colon \com{P} \to \tau_{\le n}\com{A}$. Durch Komposition mit dem natürlichen Komplexhomomorphismus $\tau_{\le n}\com{A} \to \com{A}$ erhalten wir
ein $f\colon \com{P} \to \com{A} $.
Für $i > n$ ist nun $H^{i}(\com{P}) = H^{i}(\tau_{\le n}\com{A}) = 0 $. Für $i \le n$ ist
$H^{i}(\tau_{\le n}\com{A}) = H^{i}(\com{A})$, also induziert $f$ den gewünschten Isomorphismus.

    (2) $\implies$ (1): Sei $\com{A} \in \mathcal{K}^{-}$. Ohne Einschränkung ist $A^{i} = 0$ für alle $i > 0$. Dann
    existiert für $n = 0$ ein $f\colon \com{P} \to \com{A} $ mit $\com{P} \in \mathcal{P}$ und $f$ induziert
    $H^{i}(\com{P}) \xrightarrow[\sim]{0 = H^{i}(f)} 0 = H^{i}(\com{A})$ für $i > 0$ und
    $H^{i}(\com{P})\xrightarrow[\sim]{H^{i}(f)} H^{i}(\com{A})$ für $i \le 0$. Also ist $f$ ein Quasiisomorphismus.
\end{proof}

Im Folgenden nehmen wir an, dass $\mathcal{P}$ die Eigenschaft (1) erfüllt.

\begin{bsp}[]
    Falls $\mathcal{A}$ genügend Projektive hat, können wir $\mathcal{P}$ als die Klasse der nach oben beschränkten
    Komplexe
    $\com{P} \in \mathcal{K}$ mit $P^{i}$ projektiv für alle $i \in \Z$ wählen.

    Ein solches $\com{P}$ ist K-projektiv, denn: Für alle eingradigen Komplexe $\com{Q}$ mit
    $Q^{i}$ projektiv für alle $i \in \Z$ ist $\com{Q} $ nach \ref{satz:single-degree-compl-k-proj} K-projektiv. Da
    nach \ref{kor:k-proj-closed} die Klasse der K-projektiven
    abgeschlossen unter speziellen direkten Colimites ist, folgt mit dem Dual von
    \ref{lemma:bounded-compl-in-complete-class}, dass $\com{P} $ K-projektiv ist.

    Erneut nach \ref{kor:k-proj-closed} sind die Komplexe in $\underset{\rightarrow}{\mathcal{P}}$ damit ebenfalls
    $K$-projektiv.

    \label{bsp:bounded-above-projectives}
\end{bsp}

Unser Ziel ist nun für einen gegebenen Komplex $\com{A}$ eine Auflösung nach Links durch einen Komplex
aus $\mathcal{P}$ zu konstruieren. Dazu schneiden wir den Komplex nach oben ab und lösen schrittweise auf. Das
folgende Lemma führt diese Konstruktion aus.

\begin{lemma}
    Sei $\com{A} \in \mathcal{K}$. Dann existiert ein $\mathcal{P}$-spezielles direktes System $(\com{P}_n)_{n\ge -1}$ und
    ein direktes System von Kettenhomomorphismen $f_n \colon \com{P}_n \to \tau_{\le n}\com{A}$, sodass
    $f_n$ ein Quasiisomorphismus ist für alle $n \ge 0$.
    \label{lemma:constr-dir-system}
\end{lemma}

\begin{proof}
    Wir gehen induktiv vor. Setze $\com{P}_{-1} = 0$ und $f_{-1} = 0$. Nach (1) existiert ein Quasiisomorphismus
    $f_0 \colon \com{P}_0 \to \tau_{\le 0}\com{A} $ mit $\com{P}_0 \in \mathcal{P}$.

    Sei nun $n \ge 1$ und seien $\com{P}_{-1}, \ldots, \com{P}_{n-1}$ und $f_{-1}, \ldots, f_{n-1}$ konstruiert mit $\com{P}_i \in \mathcal{K}^{-}$. Dann
    setze $\com{P} = \com{P}_{n-1}$, $\com{B} = \tau_{\le n} \com{A} $. Es sei
    $a_{n-1}\colon \tau_{\le n-1}\com{A} \to \tau_{\le n} \com{A} $ der natürliche Komplexhomomorphismus
    und $f = a_{n-1}f_{n-1}$.

    Da $\com{B} = \tau_{\le n}\com{A}$ und $\com{P} $ nach oben beschränkt sind und
    $C_f^{i} = P^{i+1} \oplus B^{i}$, existiert mit (1) ein Quasiisomorphismus
    $g\colon \com{Q} \to \com{C}_f[-1] $ mit $\com{Q}[1] \in \mathcal{P}$ und
    $\com{Q} $ nach oben beschränkt. Da gradweise
    $C_f^{i}[-1] = P^{i} \oplus B^{i-1}$ ist $g = (g_i)_{i \in \Z}$ ist $g$ gradweise
    gegeben durch $g'_i\colon Q^{i} \to P^{i} $ und $g''_i\colon Q^{i} \to B^{i-1}$.

    Betrachte für $i \in \Z$ das folgende kommutative Diagramm:
    \[
    \begin{tikzcd}
        \cdots \arrow{r} & Q^{i} \arrow{r}{d_{Q}} \arrow{d}{(g', g'')}
                         & Q^{i+1} \arrow{r} \arrow{d}{(g', g'')} & \cdots\\
        \cdots \arrow{r} & P^{i} \oplus B^{i-1} \arrow{r}{d_{C_f[-1]}} &
        P^{i+1} \oplus B^{i} \arrow{r} & \cdots
        \tag{$*$} \label{eq:1}
    \end{tikzcd}
    \] In Matrixnotation ist
    \begin{align*}
        d_{C_f} &= \begin{pmatrix} d_{P}[1] & 0 \\ f[1] & d_{B} \end{pmatrix} 
        \intertext{Also folgt}
        d_{C_f}[-1] &= - d_{C_f} = \begin{pmatrix} -d_{P}[1] & 0 \\ -f[1] & -d_{B} \end{pmatrix} 
    .\end{align*}
    Auswerten von \eqref{eq:1} in beiden Summanden liefert nun
    \begin{align}
        d_P g' &= g' d_Q \label{eq:g'-comp-hom} \\
        g''d_Q &= -fg' - d_Bg'' \label{eq:g''}
    .\end{align}
    Aus \eqref{eq:g'-comp-hom} folgt, dass $g'\colon \com{Q} \to \com{P} $ ein
    Komplexhomomorphismus ist. Setze nun
    $h\colon \com{C}_{-g'} \to \com{B} $ durch
    \[
        h(x,y) = g''[1](x) + f(y)
    .\]
    Betrachte nun für $i \in \Z$ das folgende Diagramm:
    \[
    \begin{tikzcd}
        \cdots \arrow{r} & Q^{i+1} \oplus P^{i} \arrow{r}{d_{C_{-g'}}} \arrow{d}{h} & Q^{i+2} \oplus P^{i+1} \arrow{r} \arrow{d}{h}
               & \cdots \\
        \cdots \arrow{r} & B^{i} \arrow{r}{d_{B}} & B^{i+1} \arrow{r} & \cdots
    \end{tikzcd}
    .\] In Matrixnotation ist
    \begin{salign*}
        h d_{C_{-g'}} &= \begin{pmatrix} g''[1] & f \end{pmatrix}
        \begin{pmatrix} d_Q[1] & 0 \\ -g'[1] & d_P \end{pmatrix}  \\
            &= \begin{pmatrix} 
                g''[1] d_Q[1] - f g'[1] & f d_P
            \end{pmatrix} \\
            &\stackrel{\eqref{eq:g''}}{=}
            \begin{pmatrix} 
                d_B g'' & f d_P
            \end{pmatrix}  \\
            &\stackrel{\eqref{}}{=}
            \begin{pmatrix} 
                d_B g'' & d_B f
            \end{pmatrix}  \\
            &= d_B h
    .\end{salign*}
    Also ist $h$ Komplexhomomorphismus. Bleibt zu zeigen, dass $h$ ein Quasiisomorphismus
    ist. Dafür genügt es nach \ref{mapping-cone-exact-for-qis} zu zeigen, dass $\com{C}_h$
    exakt ist. Behauptung: $\com{C}_h = \com{C}_{-g}[1]$.

    Es ist gradweise für $ i \in \Z$
    \[
        C_h^{i} = C_{-g}^{i+1} \oplus B^{i} = (Q^{i+2} \oplus P^{i+1}) \oplus B^{i}
        = Q^{i+2} \oplus (P^{i+1} \oplus B^{i})
        = Q^{i+2} \oplus C_f^i
        = C_{-g}^{i}[1]
    .\] Für die Differentiale gilt, wieder in Matrixnotation:
    \begin{align*}
        d_{C_h} = \begin{pmatrix}
            d_{C_{-g'}}[1] & 0 \\
            h[1] & d_B \end{pmatrix}[1]
            = \begin{pmatrix}
                \begin{pmatrix} d_Q[1] & 0 \\
                    -g'[1] & d_P
                \end{pmatrix}[1] & 0 \\
                    \begin{pmatrix} g''[1] & f \end{pmatrix}[1] & d_B
            \end{pmatrix} 
            = \begin{pmatrix} 
                -d_Q & 0 & 0 \\
                g' & -d_P & 0 \\
                g'' & f & d_B
            \end{pmatrix}
    .\end{align*}
    Analog folgt
    \begin{align*}
        d_{C_{-g}[1]} =
        \begin{pmatrix}
            d_Q[1] & 0 \\
            -g & d_{C_f[-1]}
        \end{pmatrix} [1]
        = \begin{pmatrix} d_Q[1] & 0 \\
            \begin{pmatrix} -g' \\ -g'' \end{pmatrix}[1]
            & \begin{pmatrix} d_P[1] & 0 \\ f[1] & d_{B} \end{pmatrix}[-1]
        \end{pmatrix}[1]
        = \begin{pmatrix} 
            - d_Q & 0 & 0 \\
            g' & -d_P & 0 \\
            g'' & f & d_B
        \end{pmatrix} 
    .\end{align*}
    Also folgt die Behauptung. Da $g$ und demnach $-g$ ein Quasiisomorphismus ist
    und Verschieben Exaktheit erhält,
    folgt damit mit \ref{mapping-cone-exact-for-qis} die Exaktheit von $\com{C}_{-g}[1]$.

    Setze nun $\com{P}_n \coloneqq \com{C}_{-g'}$ und $f_n \coloneqq h$. Da nach
    Voraussetzung $\com{P} $ und $\com{Q} $ nach oben beschränkt sind, ist auch
    $\com{C}_{-g'}$ nach oben beschränkt.

    Sei $p_{n-1}\colon \com{P}_{n-1} = \com{P} \to \com{P}_n$ die natürliche Abbildung.
    Dann ist $p_{n-1}$ gradweise gegeben durch die natürliche Inklusion
    $P^{i} \to Q^{i+1} \oplus P^{i}$. Also folgt
    $\text{coker } p_{n-1} = \com{Q}[1] \in \mathcal{P}$ und wir haben gradweise
    zerfallende exakte Folgen:
    \[
    \begin{tikzcd}
        0 \arrow{r} & P^{i} \arrow{r}{p_{n-1}} & Q^{i+1} \oplus P^{i} \arrow{r}
                    & Q^{i+1} \arrow{r} & 0
    \end{tikzcd}
    .\]
    Also ist $(\com{P}_n)_{n \ge -1}$ ein $\mathcal{P}$-spezielles direktes System.
    Außerdem ist nach Definition von $h$: $f_n p_{n-1} = h p_{n-1} = f = a_{n-1} f_{n-1}$,
    also kommutiert
    \[
    \begin{tikzcd}
        \com{P}_{n-1} \arrow{r}{p_{n-1}} \arrow{d}{f_{n-1}}
        & \com{P}_{n} \arrow{d}{f_n = h} \\
        \tau_{\le n-1}\com{A} \arrow{r}{a_{n-1}} & \tau_{\le n}\com{A}
    \end{tikzcd}
    \] und $(f_n)_{n \ge -1}$ ist ein direktes System.
\end{proof}

Dieses Lemma können wir nun anwenden, um das zentrale Ergebnis zu zeigen:

\begin{satz}
    Angenommen direkte Colimites existieren in $\mathcal{A}$ und
    $\colim$ ist exakt.

    Dann hat jeder Komplex in $\mathcal{K}$ eine
    $\underset{\rightarrow}{\mathcal{P}}$-Linksauflösung.

    \label{satz:existence-left-resolutions}
\end{satz}

\begin{proof}
    Sei $\com{A} \in \mathcal{K}$ und $(\com{P}_n)_{n \ge -1}$, $(f_n)_{n \ge -1}$ wie
    in \ref{lemma:constr-dir-system}. Da direkte Colimites in $\mathcal{A}$ existieren und
    sich diese in $\mathcal{K}$ gradweise bilden, existieren direkte Colimites
    in $\mathcal{K}$. Nach der Definition von $\underset{\rightarrow}{\mathcal{P}}$ ist dann
    $\com{P} \coloneqq \colim \com{P}_n$ in $\underset{\rightarrow}{\mathcal{P}}$.

    Wir erhalten ebenfalls
    \[
    f\coloneqq \colim f_n \colon \com{P} \longrightarrow \colim \tau_{\le n}\com{A}
    = \com{A} 
    .\] Da $\colim$ exakt, folgt für $i \in \Z$:
    \[
        H^{i}(f) = H^{i}(\colim f_n) = \colim \underbrace{H^{i}(f_n)}_{\text{Isomorphismus}}
    .\] Also ist $f$ ein Quasiisomorphismus.
\end{proof}

\begin{korollar}[]
    Angenommen direkte Colimites existieren in $\mathcal{A}$ und
    $\colim$ ist exakt.

    Dann hat jeder Komplex in $\mathcal{K}$ eine K-projektive Linksauflösung.
\end{korollar}

\begin{proof}
    Wähle $\mathcal{P}$ wie in Beispiel \ref{bsp:bounded-above-projectives} und wende
    \ref{satz:existence-left-resolutions} an.
\end{proof}

\subsubsection{Rechtsauflösungen}

Sei $\mathcal{J}$ eine Klasse von Komplexen in $\mathcal{K}$. Im Folgenden nehmen wir an,
dass $\mathcal{J}$ die folgende Eigenschaft erfüllt:

\begin{enumerate}[(1)]
    \item Jeder nach unten beschränkte Komplex $\com{A} \in \mathcal{K}$ hat eine
        Auflösung $\com{A} \to \com{I} $ nach rechts mit $\com{I} \in \mathcal{J}$ und
        $\com{I}$ nach unten beschränkt.
\end{enumerate}

\begin{bsp}
    Falls $\mathcal{A}$ genügend Injektive hat, können wir dual zu Beispiel
    \ref{bsp:bounded-above-projectives} $\mathcal{J}$ als die Klasse
    der nach unten beschränkten Komplexe mit in $\mathcal{A}$ injektiven Objekten wählen.
\end{bsp}

Durch Umdrehen der Pfeile erhalten wir die duale Aussagen von
\ref{lemma:constr-dir-system} und \ref{satz:existence-left-resolutions}:

\begin{lemma}[]
    Sei $\com{A} \in \mathcal{K}$. Dann existiert ein $\mathcal{J}$-spezielles
    inverses System $(\com{I}_n)_{n \ge -1}$ und ein inverses System von
    Kettenhomomorphismen $f_n\colon \tau^{\ge-n}\com{A} \to \com{I}_n$, sodass
    $f_n$ ein Quasiisomorphismus ist.
    \label{lemma:constr-inv-system}
\end{lemma}

\begin{satz}[]
    Angenommen inverse Limites existieren in $\mathcal{A}$ und
    $\lim$ ist exakt.

    Dann hat jeder Komplex in $\mathcal{K}$ eine
    $\underset{\rightarrow}{\mathcal{P}}$-Rechtsauflösung.

    \label{satz:existence-right-resolutions}
\end{satz}

\begin{bem}
    Leider findet \ref{satz:existence-right-resolutions} in $\mathcal{A} = R\text{-Mod}$ für
    $R$ ein Ring keine Anwendung, da hier $\lim$ nicht exakt ist.

    Diese Voraussetzung wird jedoch nur verwendet, um zu zeigen, dass
    $f = \lim f_n\colon \com{A} \to \lim \com{I}_n$ ein Quasiisomorphismus ist.
    Wir können uns der speziellen Struktur des inversen Systems
    $(\com{I}_n)_{n \ge -1}$ bedienen, um für $\mathcal{A} = R\text{-Mod}$ zu zeigen,
    dass $f$ dennoch ein Quasiisomorphismus ist.
\end{bem}

\begin{satz}[]
    Sei $R$ ein Ring und $\mathcal{A}$ die Kategorie der R-links-Moduln. Dann
    hat jeder Komplex in $\mathcal{K}$ eine K-injektive Rechtsauflösung.
\end{satz}

\begin{proof}
    Seien $(\com{I}_n)_{n \ge -1}$ und $(f_n)_{n \ge -1}$ wie in
    \ref{lemma:constr-inv-system}.  Seien $\com{I} = \lim \com{I}_n$ und
    $f = \lim f_n$. Es genügt zu zeigen, dass $f$ ein Quasiisomorphismus ist.

    Sei $i \in \Z$ beliebig. Für $n > 1$ haben wir folgendes kommutative Diagramm:
    \[
    \begin{tikzcd}
        \com{I} \arrow{r} \arrow{d}{f} & \com{I}_n \arrow{r}{p_n} \arrow{d}{f_n} & \com{I_{n-1}} \arrow{d}{f_{n-1}} \\
        \com{A} \arrow{r} & \tau^{\ge -n} \com{A} \arrow{r} & \tau^{\ge -(n-1)} \com{A} 
    \end{tikzcd}
    \] Wende nun $H^{i}(-)$ auf dieses Diagramm an:
    \begin{equation}
    \begin{tikzcd}
        H^{i}(\com{I}) \arrow{r} \arrow{d}{H^{i}(f)} & H^{i}(\com{I}_n) \arrow{r}{H^{i}(p_n)}
        \arrow{d}{H^{i}(f_n)}[swap]{\sim} & H^{i}(\com{I_{n-1}}) \arrow{d}{H^{i}(f_{n-1})}[swap]{\sim} \\
        H^{i}(\com{A}) \arrow{r} & H^{i}(\tau^{\ge -n} \com{A}) \arrow{r} & H^{i}(\tau^{\ge -(n-1)} \com{A}) 
    \end{tikzcd}
    \label{eq:diag-hi-in}
    .\end{equation}
    Die rechten beiden vertikalen Pfeile sind Isomorphismen, da $f_k$ ein
    Quasiisomorphismus ist für alle $k \ge -1$.

    Sei nun $n \ge -i+1$. Dann ist $i \ge -n + 1 \ge -n$, also ist
    $H^{i}(\com{A}) = H^{i}(\tau^{\ge -n}\com{A}) = H^{i}(\tau^{\ge -(n-1)} \com{A})$. Also
    sind die Abbildungen in der unteren Zeile in \eqref{eq:diag-hi-in} Isomorphismen und
    damit ist
    $H^{i}(p_n)\colon H^{i}(\com{I}_n) \to H^{i}(\com{I}_{n-1})$
    ein Isomorphismus.

    Betrachte nun die kurze exakte Folge
    \[
    \begin{tikzcd}
        0 \arrow{r} & \text{ker } p_n \arrow{r} & \com{I}_n \arrow{r}{p_n} & \com{I}_{n-1}
        \arrow{r} & 0
    \end{tikzcd}
    .\] Das liefert eine lange exakte Kohomologiefolge:
    \begin{equation}
    \begin{tikzcd}
        H^{i-1}(\com{I}_{n}) \arrow{r}{H^{i-1}(p_n)} & H^{i-1}(\com{I}_{n-1}) \arrow{r}
                                       & H^{i}(\text{ker } p_n) \arrow{r}
                                       & H^{i}(\com{I}_n) \arrow{r}{H^{i}(p_n)}
                                       & H^{i}(\com{I}_{n-1})
    \end{tikzcd}
    \label{eq:long-ex-hi-in}
    \end{equation}
    Anwenden des obigen Arguments auf $i-1$ liefert für
    $n \ge -(i-1) + 1 = -i+2 \ge -i+1$ Isomorphismen $H^{i}(p_n)$ und $H^{i-1}(p_n)$.
    Aufgrund der Exaktheit von \eqref{eq:long-ex-hi-in} folgt, dann dass
    $H^{i}(\text{ker } p_n) = 0$ für alle $n \ge -i+2$.

    Sei nun $m \in \Z$ beliebig. Dann setze $N \coloneqq -m + 1$. Dann ist
    für alle $n > N$:
    \[
        H^{m}(\text{ker } p_n) = 0 = H^{m+1}(\text{ker } p_n)
    .\] 
    Also ist die Folge
    \begin{equation}
        \begin{tikzcd}
            \text{ker } p_n^{m-1} \arrow{r} &
            \text{ker } p_n^{m} \arrow{r} &
            \text{ker } p_n^{m+1} \arrow{r} &
            \text{ker } p_n^{m+2}
        \end{tikzcd}
    \end{equation}
    für $n > N$ exakt. Das System
    \begin{equation*}
        \begin{tikzcd}
            (I_n^{m-1})_{n\ge -1} \arrow{r} &
            (I_n^{m})_{n\ge -1} \arrow{r} &
            (I_n^{m+1})_{n\ge -1} \arrow{r} &
            (I_n^{m+2})_{n\ge -1}
        \end{tikzcd}
    \end{equation*}
    erfüllt damit die Bedingungen von \ref{0.11}. Also ist die natürliche Abbildung
    \[
    H^{m}(\com{I}) \longrightarrow H^{m}(\com{I}_N) 
    \] ein Isomorphismus. Erneute Betrachtung von \eqref{eq:diag-hi-in} für $i=m$ und
    $n=N$ liefert nun, dass $H^{i}(f)$ ein Isomorphismus ist.
\end{proof}

\newpage

\section{Adjunktion von abgeleitetem Hom und Tensorprodukt}

Sei $A$ ein kommutativer Ring und im Folgenden $\mathcal{A}$ die Kategorie der $A$-Moduln.

\subsection{K-flache Komplexe}

Um das Tensorprodukt abzuleiten, benötigen wir noch eine weitere Klasse von Komplexen.

\begin{definition}[K-flacher Komplex]
    Ein Komplex $\com{M} \in \mathcal{K}$ heißt K-flach, wenn für jeden exakten Komplex
    $\com{S} \in \mathcal{K}$ auch $\com{M} \otimes_A \com{S}$ exakt ist.
\end{definition}

\begin{satz}
    Sei $\com{M} \in \mathcal{K}$ mit $M^{i} = 0$ für $i \neq 0$. Dann ist
    $\com{M} $ genau dann K-flach, wenn $M^{0}$ flacher $A$-Modul ist.
\end{satz}

\begin{proof}
    Sei $\com{M} \in \mathcal{K}$ wie im Satz. Dann ist für $\com{S} \in \mathcal{K}$ und
    $n \in \Z$:
    \[
        (\com{M} \otimes_A \com{S})^{n} = \bigoplus_{i+j=n} M^{i} \otimes_A S^{J}
        = M^{0} \otimes S^{n} = (M^{0} \otimes \com{S} )^{n}
    \] und für $m \in M^{0}$, $s \in S^{n}$:
    \[
    d_{\com{M} \otimes_A \com{S} }^{n}(m \otimes s)
    = \underbrace{d_{M}^{0}(m)}_{= 0} \otimes_A s + (-1)^{0} m \otimes_A d_{S}(s)
    = m \otimes_A d_S(s)
    = d_{M^{0} \otimes_A \com{S} }
    .\] Also ist $\com{M} \otimes_A \com{S} = M^{0} \otimes_A \com{S}$. Damit folgt
    die Behauptung aus den Definitionen.
\end{proof}

\begin{satz}[]
    Sei $\com{M} \in \mathcal{K} $. Dann sind äquivalent:
    \begin{enumerate}[(i)]
        \item $\com{M} $ ist K-flach.
        \item $\com{\text{Hom}}(\com{M}, \com{I})$ ist K-injektiv für jeden
            K-injektiven Komplex $\com{I} \in \mathcal{K}$.
    \end{enumerate}
\end{satz}

\begin{proof}
    (i)$\implies$(ii): Sei ^
\end{proof}

\end{document}
