\documentclass{lecture} \begin{document} \section{Grundlagen} \begin{definition}[Positivität] Sei $\left( K, +, \cdot, > \right)$ ein angeordneter Körper. $a \in K $ heißt positiv falls $a > 0$. $a \in K$ heißt negativ falls $a < 0$. \[ K^{+} := \{a \in K \mid a > 0\} .\] \[ K^{-} := \{a \in K \mid a < 0\} .\] Ordnungsrelation für $a, b \in K$ \begin{align*} a < b \iff b - a \in K^{+} \\ b > a:\iff a < b \\ a \le b: \iff a < b \wedge a = b \\ b \ge a: \iff a \le b \\ .\end{align*} Für je zwei $a \in K, b \in K$ gilt genau eine der Relationen $ab$. \end{definition} Es gelten Regeln: \begin{itemize} \item $a < b, b < c \implies a < c$ Transitivität \item $a < b \implies a + c < b +c, c \in K$ \item $a < b \implies a \cdot c < b \cdot c, c \in K^{+}$ \item $a \ge b, b \ge a \iff a = b$ \item $a < b, a > 0, b > 0 \iff \frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ \end{itemize} \begin{bsp}[Positivität auf $\Q$] \[ \Q^{+} := \left\{a \in Q \mid a = \frac{r}{s} , r, s \in \N\right\} .\] \end{bsp} \begin{definition}[Absolutbetrag] Sei $(K, +, \cdot, >$ ein angeordneter Körper Dann \[ |a| := \begin{cases} a & \text{für } a > 0 \\ 0 & \text{für } a = 0 \\ -a & \text{für } a < 0 \\ \end{cases} .\] Abbildung $|\cdot|$: $K \to K$ mit Eigenschaften: \begin{itemize} \item $|a| = 0 \iff a = 0$ (Definiertheit) \item $|ab| = |a| |b|$ (Multiplikativität) \item $|a+b| \le |a| + |b|$ (Dreiecksungleichung) \end{itemize} \end{definition} \begin{proof}[Beweis der Dreiecksungleichung] Beobachtung: $\pm a \le |a| \implies a + b \le |a| + |b| \implies -(a+b) \le |a| + |b|$ \end{proof} Es folgt aus den Eigenschaften: \begin{itemize} \item $|a-b| = 0 \implies a = b$ \item $|-a| = |a|$ \item $|\frac{a}{b}| = \frac{|a|}{|b|}, b \neq 0$ \item $| |a| - |b| | \le |a - b| $ (folgt aus: $|a| = |a-b+b| \le |a-b| + |b|$ und $|b| = |b - a + a| \le |b-a| + |a|$) \end{itemize} \begin{satz}[Dezimalbruchdarstellung] Jede rationale Zahl $a$ besitzt eine endliche oder periodische Dezimalbruchdarstellung der Form: \[ a = \pm (a_0 + 0,d_1\ldots d_s): \iff a = \pm \left(a_0 + \sum_{k=1}^{s} ds \cdot 10^{-k}\right) .\] bzw. \[ a = \pm (a_0 + 0,d_1\ldots d_s \overline{d_{s+1} \ldots d_{s+t}}) .\] $a_0 \in N_0, d_1\ldots d_s \in \{0, 1, \ldots ,9\}$ Ziffern Umgekehrt stellt jede Dezimalbruchzerlegung dieser Art eine rationale Zahl dar.\\ Hier: bei periodischen Dezimalbrüchen ist die Periode $\overline{9}$ nicht zugelassen: \[ a_0,d_1\ldots d_{k-1} d_k \overline{9} := a_0 + 0,d_1\ldots d_k (d_k+1), d_k < 9 .\] \end{satz} \begin{proof} Siehe Lehrbuch \end{proof} \section{Die Reellen Zahlen} \subsection{Von den rationalen Zahlen zu den reellen Zahlen} \begin{lemma}[Irrationalität der Quadratwurzel] Die quadratische Gleichung $x^2 = 2$ besitzt keine rationale Lösung. \end{lemma} \begin{proof}[Beweis durch Widerspruch] Angenommen: Es existiert eine rationale Lösung \[ x := \sqrt{2} = \frac{r}{s} .\] mit Zahlen $r \in \Z$ und $s \in \N$. O.B.d.A. (Ohne Beschränkung der Allgemeinheit) nehmen wir an, dass $r$ und $s$ teilerfremd sind. Dann gilt: $r \neq 0$ und $r^2 = 2s^2$ und $\frac{1}{2}r^2 = s^2$. Also muss $r^2$ und auch $r$ gerade sein, denn $(2n+1)^2 = 4n^2+ 4n +1$ ungerade (Kontraposition). Damit sind auch $\frac{1}{2}r^2$ gerade und $s^2$ gerade. Aber wegen Teilerfremdheit können $r^2$ und $s^2$ nicht beide durch zwei teilbar sein. $\implies$ Widerspruch zur Annahme \end{proof} \begin{bem} Allgemeiner: ,,quadratische'' Gleichung \[ a+bx +c x^2 = 0 .\] ist nicht für beliebig gewählte $a, b, c \in \Q$ durch ein $x \in \Q$ lösbar. \end{bem} \begin{bem}[Beweisarten] Direkter Beweeis: \[ E \implies E_1 \implies E_2 \implies \ldots \implies E_k \implies V .\] Indirekter Beweis: Zeigen $E$ und $\neg V$ immer falsch. Da $E$ immer wahr ist, muss $\neg V$ falsch sein. Da $\neg V$ falsch ist, dann ist $V$ wahr. \end{bem} \textbf{Ziel}: Konstruiere rationale Zahlen, welche die Gleichung $x^2 = 2$ mit zunehmender Genauigkeit erfüllen, z.B. rekursiv durch Einschließung mit Hilfe von Dezimalbrüchen. Wir nutzen die Eigenschaft: $a, b > 0$ und $a^2 < b^2 \implies a < b$, folgt aus: \[ b^2 - a^2 = (b-a)(b+a), (b+a > 0) .\] Start: $a_1 := 1,4$, $b_1 := 1,5$ mit $a_1 < b_1, a_1^2 = 1,96 < 2 < 2,25 = b_1^2$ 2 Fälle: Fall a) Es liege für ein $n \in \N$ eine Einschließung vor: \[ a_n = 1,d_1d_2, \ldots d_{n-1}d_n < b_n = 1,d_1d_2\ldots d_{n-1}(d_{n+1}) .\] \[ a_n^2 < 2 < b_n^2 .\] $d_k \in \{0,1, \ldots, 9\}, k=1 \ldots n-1, dn \le 8 $ Die nächste Einschließung ist \[ a_{n+1} := 1,d_1\ldots d_n, d_{n+1}, d_{n+1} \in \{0,1,\ldots_,9\} .\] $a_{n+1}$ möglichst groß aber $a_{n+1}^2 < 2$. und \[ b_{n+1} := \begin{cases} 1,d_1, \ldots d_n (d_{n+1} + 1) & \text{für } d_{n+1} \le 8 \\ 1,d_1, \ldots (d_n + 1) 0 & für d_{n+1} = 9 \\ \end{cases} .\] Nach Konstruktion: \[ a_n < a_{n+1} < b_{n+1} < b_n .\] \[ a_{n+1}^2 < 2 < b_{n+1}^2 .\] Fall b) Für ein $n \in \N$ liegt eine Einschließung vor \[ a_1 = 1, d_1\ldots d_{n-1} d_{n} < b_{n} = 1, d_1 d_2 \ldots d_{n-1} (d_n + 1) 0 \ldots 0 .\] \[ a_n^2 < 2 < b_n^2 \text{ mit } d_k \in \{0, 1, \ldots ,9\}, k=1, n = 1 .\] \[ d_n \le 8, d_{n+1} = \ldots = d_n = 9 .\] Die nächste Einschließung \[ a_{n+1} := 1,d_1 \ldots d_{n}, d_{n+1}, d_{n+1} \in {0, 1, \ldots, 9} .\] $a_{n+1}$ möglichst groß, aber $a_{n+1}^2 < 2$. \[ b_{n+1} = \begin{cases} 1,d_1\ldots d_n (d_{n+1} + 1) & \text{für } d_{n+1} \le 8 \\ 1,d_1\ldots d_{m-1}(d_m + 1) 0 \ldots 0 & \text{für } d_{n+1} = 9 \end{cases} .\] Der Fall b) kann nur endlich oft hintereinander auftreten, dann wäre $a_n = b_n$ ab einem gewissen n und folglich $a_n ^2 = 2$ Nach Konstruktion: \[ a_n < a_{n+1} < b_{n+1} < b_n .\] \[ a_{n+1}^2 < 2 < b_{n+1}^2 .\] Wir erhalten 2 Folgen $(a_n)_{n \in \N}$ und $(b_n)_{n \in N}$ mit den Eigenschaften \[ 1,4 = a_1 \le \ldots \le a_n \le a_{n+1} < b_{n+1} \le b_n \le \ldots b_1 = 1,5 .\] Konkret: $a_1 = 1,4$, $a_2 = 1,41$, $a_3 = 1,414$ $b_1 = 1,5$, $b_2 = 1,42$, $b_3 = 1,415$ Abstand $b_n - a_n \le 10^{-n}$, $n \in \N$ wird immer kleiner $\implies$ wir sollen die Zahl $\sqrt{2}$ eventuell erfassen! \begin{definition}[Zahlenfolge] Eine Menge $(a_n)_{n \in \N}$ nummerierter rationaler Zahlen wird ,,Folge'' genannt. \end{definition} \begin{bsp} $a_n = 1 + \frac{1}{n}$ $a_1 = 2$, $a_2 = \frac{3}{2}$, $a_3 = \frac{5}{4}$ \end{bsp} Offenbar, $1 + \frac{1}{n} \to 1, n \to \infty$ bzw. \[ \lim_{n \to \infty} (1+ \frac{1}{n}) = 1 .\] d.h. Folge konvergiert gegen 1 \begin{definition}[Konvergenz] Eine Folge $(a_n)_{n \in \N}$ heißt konvergent, gegen einen ,,Limes'' a, wenn gilt: \[ |a_n - a| \to 0, n \to \infty .\] Falls $|a_n|$, $n \to \infty$ heißt $(a_n)_{n \in \N}$ strikt divergent. Präziser (Cauchy) Eine Folge $(a_n)_{n \in N}$ ist ,,konvergent'' gegen einen Grenzwert a, wenn: \[ \forall \epsilon > 0: \exists n := n(\epsilon) = n_{\epsilon} .\] sodass \[ |a_n - a| < \epsilon \text{ für } n \ge n_{\epsilon} .\] \end{definition} \end{document}