\documentclass{../../../lecture} \usepackage{enumerate} \begin{document} \begin{lemma} $(a_n)_{n \in N}$, $(b_n)_{n \in \N}$ Cauchy Folgen. \end{lemma} \begin{proof} Sei $a_n \le b_n$ für fast alle $n \in \N$, aber $b < a$. Dann $\exists \delta > 0$ mit $b + \delta = a$. Wegen der Konvergenz: \[ b_n \to b, a_n \to a, n \to \infty .\] \[ \exists n_\epsilon \in \N \text{ sd. } |b - b_n| \le \frac{1}{2} \delta .\] und \[ |a - a_n| \le \frac{1}{2} \delta \text{ } \forall n > n_\epsilon .\] Dann \[ b_n = b_n - b + b - a + a - a_n + a_n \le |b_n - b| + b - a | a - a_n| + a_n \le \frac{1}{2} \delta - \delta + \frac{1}{2} \delta + a_n = a_n .\] $\implies$ \[ b_n \le a_n .\] Widerspruch zur Annahme, dass $a_n \le b_n$ für fast alle $n \in \N$. \end{proof} \begin{bem}[Folgerung aus 3] Sei Cauchy-Folge $(a_{n})_{n \in \N} $ keine Nullfolge und $a_n \to a$, $a > 0$ $n \to \infty$. Dann $a_n > 0$ für fast alle $n$. \end{bem} \begin{proof} Annahme: $a_n \le 0$ für fast alle $n \in N$, dann $a_n \to a \le 0$ $\leftarrow$ $\{0\}$ $n \in N$ \end{proof} \textbf{Ziel}: Reelle Zahlen als Grenzwerte von rationalen Cauchy Folgen. Wichtig: Zwei Cauchy Folgen mit gleichem Limes definieren gleiche Zahl. Deshalb: \underline{Äquivalenzklassen} \begin{definition}[Äquivalenzrelation für Cauchy Folgen rationaler Zahlen] \begin{align*} (a_n)_{n\in\N} \thicksim (a'_n)_{n\in\N} :\iff |a_n - a'_n| \to 0, n \to \infty .\end{align*} \end{definition} \begin{proof}[Die Relation ist Äquivalenzrelation] \begin{enumerate} \item Reflexivität $(a \sim a)$ (trivial) \item Symmetrie $(a \sim b \implies b \sim a)$ \[ (a_n)_{n\in\N} \sim (b_n)_{n\in\N} \iff |a_n - b_n| \to 0 \iff |b_n - a_n| \to 0 \iff (b_n)_{n\in\N} \sim (a_n)_{n\in\N} .\] \item Transitivität $a \sim b, b \sim c \implies a \sim c$ \begin{align*} (a_n)_{n\in\N} \sim (b_n)_{n\in\N}, (b_n)_{n\in\N} ~ (c_n)_{n\in\N} \iff |a_n - b_n| \to 0, |b_n - c_n| \to 0 \\ \iff \forall \epsilon > 0 \exists n_\epsilon \text{ s.d. } \\ \forall n \ge n_\epsilon .\end{align*} Dann \[ |a_n - c_n| = |(a_n - b_n) + (b_n - c_n)| \\ \le |a_n - b_n| .\] \end{enumerate} \end{proof} \begin{definition}[Äquivalenzklassen] \begin{align*} \overline{\R} :=& \{ [a_n]_{n \in \N}\} \\ =& \{ (a'_n)_{n\in\N} | (a'_n)_{n\in\N} \sim (a_n)_{n\in\N}\} \\ =& \{ (a'_n)_{n\in\N} | (a_n' - a_n)_{n \in \N} \to 0\} .\end{align*} $(a_n)_{n\in\N}$ Repräsentant von Klasse $[(a_n)]_{n \in \N}$ \end{definition} \begin{bem}[] $a \in \Q \implies$ \[ [(a_n)_{n\in\N}, a_n := a ] \in \overline{\R} .\] Jede Teilfolge $(a_{n_k})_{{k}\in\N}$ einer Cauchy Folge \[ (a_{n_k})_{{k}\in\N} \in [(a_n)_{n\in\N}] .\] Jede Äquivalenzklasse $[\left( (a_n)_{n\in\N} \right) ]$ von Cauchy Folge rationaler Zahlen definiert genau eine reelle Zahl \end{bem} \begin{satz}[] Jeder Äquivalenzklasse $[(a_n)_{n\in\N}]$ entspricht genau einem (möglicherweise unendlichen) Dezimalbruch. Die Menge aller dieser Dezimalbrüche wird bezeichnet als Menge $\R$ der ,,reellen Zahlen''. \[ \R = \left\{a := \pm (a_0 + 0,d_1d_2d_3\ldots d_k\ \mid a_0 \in \N_0, d_k \in \{0, \ldots, 9\} \right\} .\] Für eine CF rationaler Zahlen $(a_n)_{n\in\N}$ wird $a \in \R$ als Grenzwert bezeichnet: \[ a = \lim_{n \to \infty} a_n .\] $(a_n)_{n\in\N}$ heißt eine ,,approximierende'' Folge von $a \in \R$. In diesem Sinne hat jede CF rationaler Zahlen nach Konstruktion einen Grenzwert in $\R$. \end{satz} \begin{bem}[Erinnerung Geometrische Reihe] \[ 1 + x + x^2 + \ldots + x^{n} = \frac{1-x^{n+1}}{1 - x}, x + 1 .\] \end{bem} \begin{proof} \begin{enumerate} \item $\forall a \in \R$ $\exists [(a_n)_{n\in\N}] \in \overline{\R}$ \[ a = \pm (a_0 + 0,d_1d_2d_3 \ldots ) .\] definieren wir eine Folge $(a_n)_{n\in\N}$ (rationaler) endlicher Teilbrüche: \[ a_n = \pm (a_0, d_1\ldots d_n), a_0 \in \N_0, d_k \in \{0, \ldots, 9\} .\] zu zeigen: $(a_n)_{n\in\N}$ ist eine Cauchy Folge. Sei $m > n + 1$, dann \begin{align*} |a_n - a_m| &= |a_0 + 0,d_1d_2\ldots d_n - (a_0 + 0, d_1d_2 \ldots d_n d_{n+1} \ldots d_m )| \\ &= | 0,00\ldots 0 d_{n + 1} \ldots d_m| \\ &= d_{n+1} 10^{-(n+1)} + \ldots + d_m 10^{-m} \\ &\le 10^{-n} (d_{n+1} 10^{-1} + \ldots + d_m 10^{-m+n}) \\ &\le 10^{-n} (10^{0} + \ldots + 10^{-m+n+1}) \\ &= 10^{-n} \left( \left( \frac{1}{10}^{0} \right) + \ldots + \frac{1}{10}^{m-n-1} \right) \\ &= 10^{-n} \frac{1 - \frac{1}{10}^{m-n}}{1 - \frac{1}{10}} \\ &\le 10^{-n} \frac{1}{\frac{9}{10}} \\ &= 10^{-n} \frac{10}{9} \to 0, n \to \infty .\end{align*} $\implies (a_n)_{n\in\N}$ ist Cauchy Folge und repräsentiert eine Klasse $[(a_n)_{n\in\N}] \in \overline{\R}$ ,,Einbettung'' $a \mapsto [(a_n)_{n\in\N}]$ \item Wir zeigen, dass diese ,,Einbettung'' bijektiv ist. \textbf{a)} $a \mapsto [(a_n)_{n\in\N}]$ ist injektiv ($\forall a, a' \in \overline{R}$ gilt: aus $(a_n)_{n\in\N} \sim (a'_n)_{n\in\N}$ folgt $a = a'$) Für \begin{align*} &a = a_0 + 0,d_1d_2 \ldots \\ &a' = a'_{0} + 0,d'_1d'_2 \ldots \end{align*} gilt: \begin{align*} |a_n - a'_n| &= |a_0 + 0,d_1\ldots d_n - (a'_0 + 0, d'_1 \ldots d'_n)| \\ &\le \epsilon, \forall n \ge n_\epsilon, \forall \epsilon > 0 .\end{align*} $\implies a = a'$ \textbf{b)} ,,Einbettung'' $a \mapsto [(a_n)_{n\in\N}]$ ist surjektiv \begin{enumerate}[(i)] \item Sei $(a_n)_{n\in\N}$ Nullfolge \[ \implies z = 0 = 0,00 \ldots .\] \item Sei $(a_n)_{n\in\N}$ keine Nullfolge Dann fast alle $a_n > 0$ oder fast alle $a_n < 0 $ O.B.d.A. $a_n > 0$, $n \in \N$ Ziel: $z \ge 0$ zu konstruieren. Falls $a_n < 0$ (bzw. $-a_n > 0$ konstruiert $-z$) \[ (a_n)_{n\in\N} \implies \text{beschränkt} \\ \implies \exists N \in \N (N \ge 2) \text{ s.d. } 0 < a_n < N, n \in \N .\] Dann $\exists z_0 \in \N_0$, s.d. im Interval: \[ I_0 := \{x \in \Q \mid 0 \le z_0 \le x < z_0 + 1 < n\} .\] unendlich viele Elemente von $(a_n)_{n\in\N}$ liegen. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{proof} \end{document}