\documentclass[uebung]{../../../lecture}

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\title{Übungsblatt Nr. 5}
\author{Christian Merten, Mert Biyikli}

\begin{document}

\begin{tabular}{|c|m{1cm}|m{1cm}|m{1cm}|m{1cm}|m{1cm}|@{}m{0cm}@{}}
    \hline
    Aufgabe & \centering A1 & \centering A2 & \centering A3 & \centering A4 & \centering $\sum$ & \\[5mm] \hline
    Punkte & & & & & & \\[5mm] \hline
\end{tabular}

\vspace{5mm}

\begin{aufgabe}

Es sei $K$ Körper, $M$ eine Menge und $m_0 \in M$ ein fest gewähltes
Element. In \\$V = \text{Abb}(M, K)$ betrachten wir die Teilmengen
$U = \{f \in V  \mid f(m_0) = 0\} $ und
\\$W = \{f \in V  \mid \forall x, y \in M \colon f(x) = f(y)\} $ 

\begin{enumerate}[a)]
    \item Zunächst: $K$ ist K-Vektorraum. Damit wird
        $V = \text{Abb}(M, K)$ mit $0_V(m) = 0 \text{ } \forall m \in M$ zum K-Vektorraum.

        Damit eine Teilmenge $M \subset V$ zum Untervektorraum von $V$ wird, muss gelten:
        \[
            m_1 + m_2 \in M \text{ } \forall m_1,m_2 \in M 
        .\] und
        \[
            a m_1 \in M \text{ } \forall m_1 \in M, a \in K
        .\] Die Inversen der zugehörigen Untergruppe sind gegeben durch
        \[
            m^{-1} = (-1)_K m \in M \text{ } \forall m \in M
        .\] 

        
        Beh.: $U \subset V$ ist Untervektorraum.

        \begin{proof}
            Seien $f_1, f_2 \in U$, $a \in K$ beliebig. Zu zeigen:
            $(f_1 + f_2)(m_0) = 0 $ und $(a f_1)(m_0) = 0$.
            
            \[
                (f_1 + f_2)(m_0) = f_1(m_0) + f_2(m_0) = 0 + 0 = 0
            .\] $\implies (f_1 + f_2) \in U$.
            \[
                (a f_1)(m_0) = a f_1(m_0) = a \cdot 0 = 0
            .\] $\implies (a f_1) \in U$.
        \end{proof}

        Beh.: $W \subset V$ ist Untervektorraum
        
        \begin{proof}
            Seien $f_1, f_2 \in W$, $a \in K$ und $x, y \in M$ beliebig.
            Zu zeigen:
            $(f_1 + f_2)(x) = (f_1 + f_2)(y)$
            und $(a f_1)(x) = (a f_1)(y)$.
            \begin{align*}
                (f_1 + f_2)(x) = f_1(x) + f_2(x) = f_1(y) + f_2(y)
                = (f_1 + f_2)(y)
            .\end{align*}
            $\implies (f_1 + f_2) \in W$.
            \[
                (a f_1)(x) = a f_1(x) = a f_1(y) = (a f_1)(y)
            .\] $\implies (a f_1) \in W$.
        \end{proof}
    \item Beh.: $U \cap W = \{0\} $

        \begin{proof}
            Zunächst: $0_V(m_0) = 0 \implies 0_V \in U$ und
            $0_V(x) = 0 = 0_V(y) \text{ } \forall x,y \in M \implies 0_V \in W$. Daraus folgt
            $0_V \in U \cap W \implies U \cap W \neq \emptyset$.

            Sei $f \in U \cap W$ beliebig:
            \begin{align*}
                &\forall m \in M \colon f(m) = f(m_0) \land f(m_0) = 0 \\
                \implies &\forall m \in M \colon f(m) = 0 \\
                \implies &f = 0_V
            .\end{align*}
        \end{proof}
    \item Beh.: $V = U + W$

        \begin{proof}
            Sei $f \in V$ beliebig.

            Zu zeigen: $\exists u \in U, \exists w \in W \colon f = u + w$ 

            Dann wähle $u \in U$, s.d.
            \[
                u(m) = \begin{cases}
                    f(m) - f(m_0) & m \neq m_0 \\
                    0 & m = m_0
                \end{cases} 
            .\] und $w \in W$, s.d.
            \[
                w(m) = f(m_0) \text{  } \forall m \in M
            .\]
            
            Damit folgt:
            \[
                f(m) = u(m) + w(m) = \begin{cases}
                    f(m) - f(m_0) + f(m_0) = f(m) & m \neq m_0 \\
                    0 + f(m_0) = f(m_0) & m = m_0
                \end{cases}
            .\] 
        \end{proof}
\end{enumerate}
    
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe}

Es sei $K$ ein Körper,
$U = \text{Abb}\left( \{0, 1, \ldots, n\}, K\right) $ und
$V = \text{Abb}\left( \{0, 1, \ldots, n+1\}, K\right)$.
\begin{align*}
    \psi\colon V &\to K^{n+2} \\
    f &\mapsto \left( f(0), f(1), \ldots, f((n+1) \right) \\
    \partial\colon V &\to U \\
    f &\mapsto \left( i \mapsto (i + 1) \cdot f(i+1) \right) 
.\end{align*}

\begin{enumerate}[a)]
    \item Beh.: $\psi$ ist linear.

        \begin{proof}
        Seien $v_1, v_2 \in V$, $a \in K$ beliebig.
        \begin{align*}
            \psi(v_1 + v_2) &= \left( (v_1+v_2)(0), (v_1 + v_2)(1), \ldots, (v_1+v_2)(n+1) \right) \\
                            &= \left( v_1(0) + v_2(0), v_1(1) + v_2(1), \ldots, v_1(n+1) + v_2(n+1) \right)  \\
                            &= \left( v_1(0), v_1(1), \ldots, v_1(n+1) \right) 
                            + \left( v_2(0), v_2(1), \ldots, v_2(n+1) \right) \\
                            &= \psi(v_1) + \psi(v_2)
        .\end{align*}
        \begin{align*}
            \psi(a v_1) &= \left(a v_1(0), a v_1(1), \ldots, a v_1(n+1)\right) \\
                        &= a (v_1(0), v_1(1), \ldots, v_1(n+1) \\
                        &= a \psi(v_1)
        .\end{align*}
            
        \end{proof}

        Beh.: $\partial$ ist linear.
        \begin{proof}
        Seien $v_1, v_2 \in V$, $a \in K$ und $i \in \{0, 1, \ldots, n\} $ beliebig.
        \begin{align*}
            \partial(v_1+v_2)(i) &= (i+1) \cdot (v_1 + v_2)(i+1) \\
                               &= (i+1) \cdot (v_1(i+1) + v_2(i+1)) \\
                               &= (i+1) \cdot v_1(i+1) + (i+1) \cdot v_2(i+1) \\
                               &= \partial(v_1)(i) + \partial(v_2)(i)
        .\end{align*}
        \begin{align*}
            \partial(a v_1)(i) &= (i + 1) \cdot (a v_1)(i+1) \\
                               &= a (i+1) \cdot v_1 (i+1) \\
                               &= a \cdot \partial(v_1)(i)
        .\end{align*}
            
        \end{proof}
    \item Beh.: $\psi$ ist Isomorphismus.
        \begin{proof}
            Zu zeigen: $\psi$ ist bijektiv.

            Seien $v_1, v_2 \in V$ mit $\psi(v_1) = \psi(v_2)$. Dann
            \begin{align*}
                &\psi(v_1) = \left( v_1(0), v_1(1), \ldots, v_1(n+1) \right)
                = \left( v_2(0), v_2(1), \ldots, v_2(n+1) \right) = \psi(v_2)\\
                \implies& v_1(k) = v_2(k) \text{  }\forall k \in \{0, \ldots, n+1\}  \\
                \implies& v_1 = v_2
            .\end{align*}
            $\implies \psi$ ist injektiv.

            Sei $c = (c_0, \ldots, c_{n+1}) \in K^{n+2}$, dann ex. ein $v \in V$, s.d.
            \begin{align*}
                &v(k) = c_k \text{ } \forall k \in \{0, \ldots, n+1\} \\
                \implies &\psi(v) = c
            .\end{align*}
            $\implies \psi$ ist surjektiv.
        \end{proof}
    \item Beh.: $\partial$ surjektiv
        $\iff \text{char}K \notin \{2, \ldots, n+1\} $ 

        \begin{proof}
            Damit $\partial$ surjektiv ist, muss für alle $u \in U$
            ein $v \in V$ existieren, s.d. $\partial(v) = u$.

            Sei $u \in U, k \in \{0, \ldots, n\}$ beliebig, dann muss
            für $v$ gelten:
            \begin{align*}
                &\partial(v)(k) = (k + 1) \cdot v(k+1) = u(k)
            .\end{align*}
            Dies ist genau dann wohldefiniert, wenn $k+1 \neq 0$, denn genau
            dann ex. ein Inverses zu $k+1$ und damit:
            \begin{align*}
                &v(k+1) = (k+1)^{-1} \cdot u(k)
            .\end{align*}

            Bleibt zu zeigen: char$K \not\in \{2, \ldots, n+1\} \iff
            k+1 \neq 0$ $\forall k \in \{0, \ldots, n\} $.
            \begin{align*}
                &k + 1 \neq 0 \\[-2mm]
                \stackrel{\mathclap{\strut k \ge  0}}{\qquad \iff \qquad} &k + 1 \neq \text{char}K \\[-2mm]
                \stackrel{\mathclap{\strut 1 \le k + 1 \le n + 1}}{\qquad \iff \qquad} &\text{char}K = 0 \lor \text{char}K > n + 1 \\[1mm]
                \qquad \iff \qquad & \text{char}K \not\in \{2, \ldots, n+1\}
            .\end{align*}
        \end{proof}
    \item Bestimmen Sie $\psi(\text{ker }K) \subset K^{n+2}$.
        \begin{proof}[Lösung]
            \begin{align*}
                &\ker \partial =
                \{f \in V  \mid \left( \partial(f) \right)(k) = 0 \text{ } \forall k \in \{0, 1, \ldots n\}  \}
            .\end{align*}
            Damit $f \in \text{ker } \partial$, muss folglich gelten:
            \begin{align*}
                &(\partial(f))k = 0 \text{ } \forall k \in \{0, 1, \ldots, n\} 
            .\end{align*}
            $\iff$
            \begin{align*}
                (k+1) \cdot f(k+1) = 0 \text{ } \forall k \in \{0, 1, \ldots, n\} 
            .\end{align*}
            $\stackrel{K \text{ Körper}}{\iff}$
            \begin{align*}
                k+1 = 0 \lor f(k+1) = 0 \text{ } \forall k \in \{0, 1, \ldots, n\} 
            .\end{align*}

            Aus (c) folgt: $k+1 \neq 0 \iff \text{char K} \not\in \{2, \ldots, n+1\} $.

            \begin{enumerate}[(i)]
                \item $\text{char }K \not\in \{2, \ldots, n+1\} $: Dann ist $k + 1 \neq 0$, d.h.
                    \begin{align*}
                        &f(k+1) = 0 \text{ } \forall k \in \{0, 1, \ldots, n\}  \\
                        \implies &f(k) = 0 \text{ } \forall k \in \{1, \ldots, n+1\}  \\
                        \implies & \text{ker } \partial = \{f \in V  \mid f(k) = 0 \text{ } \forall k \in \{1, \ldots, n+1\} \} 
                    .\end{align*}
                    Damit folgt:
                    \[
                        \psi(\text{ker }\partial) =
                        \{(a, \underbrace{0, \ldots, 0}_{n+1\text{-mal}})  \mid a \in K\} 
                    .\] 
                \item $\text{char }K \in \{2, \ldots, n+1\} $: Dann gilt für $k = \text{char }K-1$:
                    \[
                        k + 1 = \text{char } K - 1 + 1 = \text{char } K = 0_K
                    .\] 
                    Für alle $k \in \{0, 1, \ldots, n\}, k \neq \text{char } K - 1$, folgt analog zu (i):
                    \[
                        f(k + 1) = 0
                    .\] 
                    Damit folgt:
                    \[
                        \text{ker } \partial
                        = \left\{ f \in V  \mid f(k) = 0 \text{ } \forall k \in \{1, \ldots, n+1\}
                            \setminus \{\text{char } K - 1\} \right\} 
                    .\] Damit ergibt sich:
                    \[
                        \psi(\text{ker } \partial) = \{ (a_0, a_1, \ldots, a_{n+1}) \in K^{n+2} 
                        \mid a_k = 0 \text{ } \forall k \in \{1, \ldots, n+1\} \setminus \{\text{char }K - 1\}  \}
                    .\] 
            \end{enumerate}
        \end{proof}
\end{enumerate}

\end{aufgabe}

\begin{aufgabe}
    Es sei $K$ ein Körper und $U, V$ zwei $K$-Vektorräume.
    \begin{enumerate}[a)]
        \item Beh.: Ist $f\colon U \to V$ linear, ist auch die duale
            Abbildung $f^{*}\colon V^{*} \to U^{*}$ linear.

            \begin{proof}
                Seien $\varphi_1, \varphi_2 \in V^{*}$ und $a \in K$ beliebig.
                \begin{align*}
                    f^{*}(\varphi_1 + \varphi_2) &=
                    (\varphi_1 + \varphi_2) \circ f
                    = \varphi_1 \circ f + \varphi_2 \circ f
                    = f^{*}(\varphi_1) + f^{*}(\varphi_2) \\
                    f^{*}(a \varphi_1) &=
                    (a \varphi_1) \circ f
                    =
                    a (\varphi_1 \circ f)
                    = a f^{*}(\varphi_1)
                .\end{align*}
            \end{proof}
        \item Beh.: Die Auswertungsabbildung ev:  $U \to (U^{*})^{*}$, mit
            \[
                u \mapsto (f \mapsto f(u))
            \] ist linear.

            \begin{proof}
                Seien $u_1, u_2 \in U$, $a \in K$ und $f \in U^{*}$ beliebig.
                \begin{align*}
                    (\text{ev}(u_1 + u_2))(f) &=
                    f(u_1 + u_2)
                    \stackrel{f \text{ linear}} {=} f(u_1) + f(u_2)
                    = (\text{ev}(u_1))(f) + (\text{ev}(u_2))(f) \\
                    \left(\text{ev}(a u_1)\right)(f) &=
                    f(a u_1)
                    \stackrel{f \text{ linear}} {=} a f(u_1)
                    = a \cdot (\text{ev}(u_1))(f)
                .\end{align*}
            \end{proof}
    \end{enumerate}
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe}
    Es sei $K$ ein Körper und $U, V$ zwei $K$-Vektorräume.

    \begin{enumerate}[a)]
        \item Beh.: Die Abbildung $*$:
            $\text{Hom}_K(U,V) \to \text{Hom}_K(V^{*}, U^{*})$
            ist linear.

            \begin{proof}
                Seien $f_1, f_2 \in \text{Hom}_K(U,V)$,
                $\varphi \in V^{*}$
                und $a \in K$ beliebig.
                \begin{align*}
                    (*(f_1 + f_2))(\varphi) &= ((f_1 + f_2)^{*})(\varphi)
                    = \varphi \circ (f_1 + f_2)
                    \stackrel{\varphi \text{ linear}}{=} \varphi \circ f_1 + \varphi \circ f_2
                    = (*(f_1))(\varphi) + (*(f_2))(\varphi) \\
                    (*(a f_1))(\varphi)
                    &= ((a f_1)^{*})(\varphi)
                    = \varphi \circ (a f_1)
                    \stackrel{\varphi \text{ linear}}{=} a \cdot (\varphi \circ f_1)
                    = a\cdot (*(f_1))(\varphi)
                .\end{align*}
            \end{proof}
        \item Beh.: Ist $f\colon U \to V$ linear und surjektiv, so ist
            $f^{*}\colon V^{*} \to U^{*}$ injektiv.

            \begin{proof}
                Seien $\varphi_1, \varphi_2 \in \text{Hom}_K(V,K) = V^{*}$ mit
                $f^{*}(\varphi_1) = f^{*}(\varphi_2)$. Dann folgt:
                \begin{align*}
                    \varphi_1 \circ f = \varphi_2 \circ f
                .\end{align*}
                das heißt:
                \begin{align*}
                    \forall u \in U\colon \varphi_1(f(u)) = \varphi_2(f(u))
                .\end{align*}
                Wegen $f$ surjektiv gilt: $V = f(U)$ und damit:
                \begin{align*}
                     & \forall v \in V\colon \varphi_1(v) = \varphi_2(v)
                .\end{align*}
                $\implies \varphi_1 = \varphi_2$ \\
                $\implies f^{*}$ injektiv
            \end{proof}
    \end{enumerate}
\end{aufgabe}

\end{document}
