\documentclass{../../../lecture}

\begin{document}

\begin{korrolar}[2. Mittelwertsatz]
    Seien $f\colon I \to \R$ monoton, $g\colon I \to \R$ R.-integrierbar. Dann
    ex. $\xi \in [a,b]$ s.d.
    \[
        \int_{a}^{b} f(x) g(x) dx = f(a) \int_{a}^{\xi} g(x) dx + f(b) \int_{\xi}^{b} g(x) dx   
    .\]
\end{korrolar}

\begin{proof}
    o.B.d.A: $f$ monoton fallend.

    Definiere $\phi(t) := f(a) \int_{a}^{t} g(x) dx + f(b) \int_{t}^{b} g(x) dx $, $a \le t \le b$.
    Nach HDI $\phi(t)$ stetig.
    \[
        \varphi(a) = f(b) \int_{a}^{b} g(x) dx \qquad \quad
        \stackrel{f \text{ monoton fallend}}{\le} \qquad \quad
        \int_{a}^{b} f(x) g(x) dx
        \le f(a) \int_{a}^{b} g(x) dx = \varphi(b) 
    .\] Nach ZWS $\exists \xi \in [a,b]$ s.d.
    $\varphi(\xi) = \int_{a}^{b} f(x) g(x) dx $.
\end{proof}

\begin{bem}
    Monotonie unverzichtbar. $f(x) = x^2$, $g(x) = 1$, $I = [-1,1]$.
    \begin{align*}
         &f(-1) \int_{-1}^{\xi} g(x) dx + f(1) \int_{\xi}^{1} g(x) dx
         = \int_{-1}^{1} 1 dx = 2  \quad \forall \xi \in I\\
         & \int_{-1}^{1} x^2 dx = \frac{x^{3}}{3} \Big|_{-1}^{1} = \frac{1}{3} - \left( -\frac{1}{3} \right) = \frac{2}{3} \neq 2
    .\end{align*}
\end{bem}

\subsection{Integrationsformeln}

\begin{lemma}[Partielle Integration]
    $f, g\colon  [a,b] \to \R$ stetig differenzierbar. Dann gilt
    \begin{align*}
        \int_{a}^{b} f'(x) g(x) dx = \left[ f(x) \cdot g(x) \right] \Big|_{a}^{b} - \int_{a}^{b} f(x) g'(x) dx 
    .\end{align*}
\end{lemma}

\begin{proof}
    $(f \cdot g)'(x) = f' \cdot g + f\cdot g' \implies$
    \begin{align*}
        \int_{a}^{b} (f' \cdot g + f\cdot g')(x) dx =
        \int_{a}^{b} (f \cdot g)'(x) dx
        \stackrel{\text{HDI}}{=} (f \cdot g)(x) \Big|_{a}^{b}
    .\end{align*}
\end{proof}

\begin{bsp}
    \begin{align*}
        \int_{a}^{b} \cos^2(x) &= \int_{a}^{b} \cos x \cdot \cos x dx   \\
        &= \cos x \cdot \sin x \Big|_{a}^{b} - \int_{a}^{b} (- \sin x) \sin x dx  \\
        &= \cos x \cdot \sin x |Big_{a}^{b} + \int_{a}^{b} (1 - \cos^2(x))dx \\
        \implies 2 \int_{a}^{b} \cos^2(x) dx &= \cos x \cdot \sin x
        \Big|_{a}^{b} + \int_{a}^{b} dx 
    .\end{align*}
\end{bsp}

\begin{lemma}
    Seien $[a,b], [\alpha, \beta] \subset \R$, $f\colon [a,b] \to \R$ stetig,
    $\varphi\colon [\alpha, \beta] \to [a,b]$ stetig differenzierbar
    mit $a = \varphi(\alpha)$, $b= \varphi(\beta)$. Dann gilt
    \begin{align*}
        \int_{a}^{b} f(\varphi(t)) \varphi'(t) dt =
        \int_{a = \varphi(\alpha)}^{b = \varphi(\beta)} f(x) dx
    .\end{align*}
\end{lemma}

\begin{proof}
    Sei $F$ eine Stammfunktion von $f$. Dann
    $F \circ \varphi \colon [\alpha, \beta] \to \R$ stetig differenzierbar
    und
    \begin{align*}
        (F \circ \varphi)' = (F'(\varphi(t))) \cdot \varphi'(t)
        = f(\varphi(t)) \cdot \varphi'(t)
    .\end{align*}
    \begin{align*}
        \int_{\alpha}^{\beta} f(\varphi(t)) \varphi'(t) dt = 
        \int_{\alpha}^{\beta} (F \circ \varphi)'(t) dt
        = (F \circ \varphi)(t) \Big|_{\alpha}^{\beta}
        = F(\varphi(\beta)) - F(\varphi(\alpha))
        = \int_{\varphi(\alpha)}^{\varphi(\beta)}   f(x) dx
    .\end{align*}
\end{proof}

\begin{bem}
    Formal:
    $x = \varphi(t)$
    \begin{align*}
        \frac{dx}{dt} = \varphi'(t) \implies dx = \varphi'(t) dt \\
        \int_{\varphi(\alpha) = a}^{\varphi(\beta) = b} 
        f(x) dx = \int_{a}^{b} f(\varphi(t)) \varphi'(t) dt 
    .\end{align*}
\end{bem}

\begin{bsp}
    \begin{align*}
        \int_{0}^{2} t \cdot \cos(\underbrace{t^2 + t}_{x}) dt
        = \frac{1}{2} \int_{0}^{2} \cos(\underbrace{t^2 + t}_{\varphi(t)})
        \cdot 2 t dt
        = \frac{1}{2} \int_{\varphi(0) = 1}^{\varphi(2) = 5} \cos x dx
    .\end{align*}
\end{bsp}

\subsection{Uneigentliche Integrale}

\begin{satz}[Uneigentliches R.-Integral Typ 1]
    Sei $f\colon (a, b] \to \R$ auf $(a, b]$
    R.-integrierbar, d.h. $f$ R.-integrierbar auf
    $\forall [a', b] \subset (a, b]$, aber nicht auf
    $[a,b]$.

    Falls für alle Folgen $a_n \in (a,b]$ ex.
    \begin{align*}
        \lim_{a_n \searrow a} \int_{a_n}^{b} f(x) dx =: \int_{a}^{b} f(x) dx
    .\end{align*}
    Dann gilt: Dieser Limes ist von der Wahl der Folge $a_n$ unabhängig und
    heißt das uneigentliche Integral von $f$ über $[a,b]$.
\end{satz}

\begin{figure}[h!]
    \begin{tikzpicture}
        \begin{axis}%
            [grid=both,
             minor tick num=4,
             grid style={line width=.1pt, draw=gray!10},
             major grid style={line width=.2pt,draw=gray!50},
             axis lines=middle,
             enlargelimits={abs=0.2},
             ymax=10,
             ymin=0,
             width=.5\textwidth
            ]
            \addplot[domain=0:2,samples=100,smooth,red] {1/x};
          \end{axis}
    \end{tikzpicture}
\end{figure}

\begin{proof}
    Sei $(a_n')_{n \in \N}$ eine weitere Folge mit
    \[
        \lim_{a_n \searrow a} \int_{a'}^{b} f(x) dx = A' 
    .\] Konstruiere Folge $\{a_1, a_1', a_2, a_2', \ldots\} = (a''_n)_{n \in \N}$. Nach Voraussetzungen
    \begin{align*}
        \exists \lim_{a_n'' \searrow a} \int_{a''}^{b} f(x) dx = A''
    .\end{align*}
    Alle Teilfolgen konvergenter Folgen, konvergieren gegen denselben
    Limes wie die Gesamtfolge $\implies A''= A'$.
\end{proof}

\begin{lemma}
    Sei $f\colon (a,b] \to \R$ auf $(a, b]$ aber nicht auf  $[a,b]$
    integrierbar.

    Falls das uneigentliche Integral von  $|f|$ auf  $[a,b]$ ex., dann
    ex. das uneigentliche Integral von $f$ über $[a,b]$ und es gilt
     \begin{align*}
         \left| \int_{a}^{b} f(x) dx  \right| \le \int_{a}^{b} |f(x)| dx 
    .\end{align*}
\end{lemma}

\begin{proof}
    Sei $\epsilon > 0, \epsilon < b - a$. Betrachte
    \begin{align*}
        \int_{a + \epsilon}^{b} f(x) dx =
        \int_{a + \epsilon}^{b} \frac{|f(x)| + f(x)}{2} dx
        - \int_{a + \epsilon}^{b} \frac{|f(x)| - f(x)}{2} dx
    .\end{align*}
    Integrale sind gleichmäßig beschränkt.
    \begin{align*}
        \frac{|f(x)| + f(x)}{2} > 0 \quad \forall x \text{ und }
        \frac{|f(x)| - f(x)}{2} > 0 \quad \forall x
    .\end{align*}
    $\implies \int_{a+ \epsilon}^{b} \ldots dx $ monoton wachsend für
    $\epsilon \to 0$ und
    \begin{align*}
        \left| \int_{a+\epsilon}^{b} \frac{|f(x)| + f(x)}{2} dx  \right|
        + \left| \int_{a+\epsilon}^{b} \frac{|f(x)| - f(x)}{dx}  \right|
        \le \frac{4}{2} \int_{a+\epsilon}^{b} |f(x)| dx 
        \le 2 \int_{a}^{b} |f(x)|dx 
    .\end{align*}
    $\implies$ Für $\epsilon \to 0$:
    \begin{align*}
        \exists \lim_{\epsilon \to 0}
        \int_{a + \epsilon}^{b} f(x) dx =: \int_{a}^{b} f(x) dx  
    .\end{align*}
\end{proof}

\begin{bem}
    \begin{enumerate}
        \item Umkehrung der Aussage
    (d.h. $f$ uneigentlich integrierbar $\implies |f|$ uneigentlich
    integrierbar) ist i.A. nicht richtig.

    ,,einfache'' Konvergenz, d.h.
    $\exists \lim_{\epsilon \to 0} \int_{a+ \epsilon}^{b} f(x) dx$.

    ,,absolute'' Konvergenz / absolut uneigentlich integrierbar, d.h.
    $\exists \lim_{\epsilon \to 0} \int_{a + \epsilon}^{b} |f(x)| dx$.
\item
    Sei $\int_{a}^{b} f(x) dx $ bei $b$ uneigentlich und 
    bei $a $ nicht uneigentlich, dann definiert man das uneigentliche Integral
    \begin{align*}
        \int_{a}^{b} f(x) dx := &\lim_{x \to b} \int_{a}^{x} f(t) dt \quad \text{oder }\\
                                &\lim_{\epsilon \to 0} \int_{a}^{b - \epsilon} f(x) dx
    .\end{align*}
    falls der Limes existiert!
\item Sei $\int_{a}^{b} f(x) dx  $ bei $a$ und $b$ uneigentlich, dann
    \begin{align*}
        \int_{a}^{b} f(x) dx := \lim_{\epsilon \to 0} \int_{c}^{b - \epsilon} f(x) dx + \lim_{\epsilon \to 0} \int_{a+\epsilon}^{c} f(x) dx  
    .\end{align*} mit $c \in (a,b)$, falls beide Grenzwerte
    existieren, ist der Wert unabhängig von der Wahl von $c \in (a,b)$.
\item Uneigentliches Integral existiert $\iff$ uneigentliches Integral
    konvergiert.
    \end{enumerate}
\end{bem}

\begin{lemma}[wie bei Reihen]
    Absolute Konvergenz $\implies$ Einfache Konvergenz
\end{lemma}

\begin{bsp}
    \begin{align*}
        \int_{a + \epsilon}^{b} \frac{dx}{x - a}  = \ln(b-a) - \ln(\epsilon)
        \xrightarrow{\epsilon \to 0} \infty
    .\end{align*}
    \begin{align*}
        \int_{a + \epsilon}^{b} \frac{dx}{(x-a)^{\mu}} 
        = \frac{1}{1 - \mu} \frac{1}{(x-a)^{\mu -1}} \Big|_{a + \epsilon}^{b}
        = \frac{1}{1 - \mu} \left( \frac{1}{(b-a)^{\mu - 1}} - \frac{1}{\epsilon^{\mu - 1}} \right)
    .\end{align*}
    $\implies$ Integral ex. für $0 < \mu < 1$, ex. nicht für $\mu \ge 1$.
\end{bsp}

\begin{satz}[Uneigentliche R.-Integrale Typ 2]
    Sei $f\colon [a, \infty] \to \R$ eine lokal integrierbare
    Funktion, d.h. $f$ ist auf $[a,b'] \subset [a, \infty)$ integrierbar
    $\forall b'$.

    Falls für alle Folgen $b_n \in [a, +\infty)$ der Limes
    \begin{align*}
        \lim_{b_n \to \infty} \int_{a}^{b_n} f(x) dx =:
        \int_{a}^{\infty} f(x) dx
    .\end{align*} existiert, dann ist dieser unabhängig von der Wahl
    der Folge $(b_n)_{n\in\N}$ und heißt uneigentliches Integral von
    $f$ über $[a, \infty)$.
\end{satz}

\begin{lemma}
    Sei $f\colon [a, \infty) \to \R$ lokal integrierbar und es existiere
    $\int_{a}^{\infty} |f(x)| dx $. Dann ex. $\int_{a}^{\infty} f(x) dx $ 
    und es gilt
    \begin{align*}
        \left| \int_{a}^{\infty} f(x) dx \right| \le \int_{a}^{\infty} |f(x)| dx 
    .\end{align*}
\end{lemma}

\end{document}
