\documentclass[uebung]{../../../lecture}

\title{Lineare Algebra II: Übungsblatt 10}
\author{Miriam Philipp, Dominik Daniel, Christian Merten}

\begin{document}

\punkte[36]

\begin{aufgabe}
    Seien
    \[
        A = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 0 \\
            1 & 1 & 1 \\
            0 & 3 & 2
        \end{pmatrix} \in M_{3,3}(\R)
    \] und $f_A$ die lineare Abbildung $\R^{3} \xrightarrow{A\cdot } \R^{3}$.

    Beh.: Die
    Darstellungsmatrix von $\bigwedge^2 f_A\colon \bigwedge^2\R^{3} \to \bigwedge^2\R^{3}$ bezüglich
    der Basis $ \mathcal{B} = (e_1 \wedge e_2, e_1 \wedge e_3, e_2 \wedge e_3)$ ist gegeben als
    \[
        M_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}}\left({\bigwedge}^2 f_A\right) =
        \begin{pmatrix} 
            -2 & 0 & 2 \\
            0  & 0 & 4 \\
            3 & 2 & -1
        \end{pmatrix} 
    .\]
    \begin{proof}
        Berechne Bild der Basisvektoren unter $\bigwedge^2f_A$:
        \begin{align*}
            {\bigwedge}^2f_A(e_1 \wedge e_2) &= f_A(e_1) \wedge f_A(e_2) \\
                                             &= e_2 \wedge (2 e_1 + e_2 + 3e_3) \\
                                             &= 2 e_2 \wedge e_1 + e_2 \wedge e_2 + 3 e_2 \wedge e_3 \\
                                             &= -2 e_1 \wedge e_2 + 3 e_2 \wedge e_3
            \intertext{Für restliche Basisvektoren analog}
            {\bigwedge}^2f_A(e_1 \wedge e_3) &= 2 e_2 \wedge e_3 \\
            {\bigwedge}^2f_A(e_2 \wedge e_3) &= 2 e_1 \wedge e_2 + 4 e_1 \wedge e_3 - 1 e_2 \wedge e_3
        .\end{align*}
        Durch Ablesen der Koeffizienten folgt die Behauptung.
    \end{proof}
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe}
    Seien $R$ ein Ring und $M$ ein $R$-Modul.
    \begin{enumerate}[(a)]
        \item Beh.: Ist $M$ endlich erzeugt und frei, so ist $M$ flach.
            \begin{proof}
                Seien $N, L$ $R$-Moduln und $\varphi\colon N \to L$ ein injektiver $R$-Modul.hom.

                $M$ ist endlich erzeugt und frei. Fixiere Basis $(x_1, \ldots, x_n)$. Dann ist
                $M \stackrel{\sim }{=} R^{n}$. D.h. es existieren R-Mod.iso.
                $\Phi_1\colon M \otimes_R N \to R^{n} \otimes_R N$ und
                $\Phi_2\colon M \otimes_R L \to R^{n} \otimes_R L$. Weiter ex. R.-Mod.isomorphismen
                $f_1\colon R^{n} \otimes_R N \to N^{n}$ und $f_2\colon R^{n} \otimes_R L \to L^{n}$
                mit $f_1((r_1, \ldots, r_n), x) = (r_1 x, \ldots, r_n x)$, analog für $f_2$.

                Weiter definiere:
                \begin{align*}
                    \psi\colon N^{n} &\to L^{n} \\
                    (n_1, \ldots, n_n) &\mapsto (\varphi(n_1), \ldots, \varphi(n_n))
                .\end{align*}
                $\psi$ ist $R$-Modulhom. und injektiv, da $\varphi$ injektiv ist. Definiere nun weiter
                \begin{align*}
                    \Psi \colon M \otimes_R N \xrightarrow{\Phi_1} R^{n} \otimes_R N
                    \xrightarrow{f_1} N^{n}
                    \xrightarrow{\psi} L^{n}
                    \xrightarrow{f_2^{-1}} R^{n} \otimes_R L
                    \xrightarrow{\Phi_{2}^{-1}} M \otimes_R L
                .\end{align*}

                Beh.: $\Psi$ ist injektiver $R$-Modul.hom. mit $\text{id}_M \otimes \varphi = \Psi$.

                $\Psi$ ist Verknüpfung von injektiven $R$-Modul.homomorphismen,
                also selbst injektiver $R$-Mod.hom. Sei nun $a \otimes b \in M \otimes_R N$ beliebig.
                Dann ist ex. $r_1, \ldots, r_n \in R$, s.d. $a = \sum_{i=1}^{n} r_i x_i$. Damit
                folgt
                \begin{salign*}
                    \Phi_1(a \otimes b) &= (r_1, \ldots, r_n) \otimes b \\
                    f_1((r_1, \ldots, r_n) \otimes b) &= (r_1 b, \ldots, r_n b) \\
                    \psi(r_1 b, \ldots, r_n b) &= (r_1 \varphi(b), \ldots, r_n \varphi(b)) \\
                    f_2^{-1}(r_1 \varphi(b), \ldots, r_n \varphi(b)) &=
                    (r_1, \ldots, r_n) \otimes \varphi(b) \\
                    \Phi_2^{-1}((r_1, \ldots, r_n) \otimes \varphi(b))
                                                                     &= (a \otimes \varphi(b))
                    \intertext{Also folgt}
                    \Psi(a \otimes b) &= a \otimes \varphi(b) = (\text{id}_M \otimes \varphi)(a \otimes b)
                .\end{salign*}
                Also stimmen $\Psi$ und $\text{id}_M \otimes \varphi$ auf den Erzeugern überein, also
                gilt $\Psi = \text{id}_M \otimes \varphi$. Damit ist auch $\text{id}_M \otimes \varphi$
                injektiv.
            \end{proof}
        \item Seien $M$ flach, $N$ flacher $R$-Modul und $\varphi\colon M \to N$ injektiver
            $R$-Mod.hom.

            Beh.: $\varphi \otimes \varphi\colon M \otimes_R M \to N \otimes_R N$ ist
            injektiv.
            \begin{proof}
                Es gilt
                \[
                    \varphi \otimes \varphi
                    = \underbrace{(\text{id}_N \otimes \varphi)}_{\text{injektiv, da } N \text{ flach}}
                    \circ \underbrace{(\varphi \otimes \text{id}_M)}_{\text{injektiv, da } M \text{ flach}}
                .\] Damit ist $\varphi \otimes \varphi$ als Verknüpfung zweier injektiver $R$-Mod.homs.
                auch injektiv.
            \end{proof}
        \item Beh.: $\Z /  2\Z$ als $\Z$ Modul ist nicht flach.
            \begin{proof}
                Betrachte $\varphi\colon \Z \to \Z$, $r \mapsto 2r$. $\varphi$ ist injektiver
                $R$-Modulhomomorphismus, aber
                \[
                    (\varphi \otimes \text{id}_{\Z /  2\Z})( 1 \otimes \overline{1})
                    = \varphi(1) \otimes \overline{1} = 2 \otimes \overline{1}
                    = 1 \otimes (2\cdot \overline{1}) = 1 \otimes \overline{0} = 0
                .\] $1 \otimes \overline{1} \neq 0$ in $\Z \otimes_R \Z / 2 \Z$, denn
                mit $\beta\colon \Z \times \Z / 2\Z, (z, \overline{a}) \mapsto z \cdot \overline{a}$
                bilinear und $\beta(1, \overline{1}) = \overline{1} \neq 0$ ist mit UT angewendet auf
                $\beta$ und $\Z / 2 \Z$
                $1 \otimes \overline{1} \neq 0$. Damit ist $\text{ker } (\varphi \otimes \text{id}_{\Z / 2\Z}) \neq \{0\} $, also $\varphi \otimes \text{id}_{\Z / 2 \Z}$ nicht injektiv.
            \end{proof}
    \end{enumerate}
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe}
    Seien $R$ ein Ring und $M$ ein e.e. freier $R$-Modul.
    \begin{enumerate}[(a)]
        \item Seien $N$ e.e. freier $R$-Modul und $\varphi\colon M \to N$ injektiver
            $R$-Mod.hom.

            Beh.: $\bigwedge^2 \varphi\colon \bigwedge^2 M \to \bigwedge^2 N$ ist injektiv.
            \begin{proof}
                Da $M$ und $N$ e.e. und frei ex. nach 35(a) und (b) eindeutige injektive
                $R$-Mod.homs. $f\colon \bigwedge^2 M \to M \otimes_R M$ und
                $g\colon \bigwedge^2 N \to N \otimes_R N$ mit
                $f(a \wedge b) = a \otimes b - b \otimes a$, analog für $g$. 

                Definiere nun $\tilde{g}\colon \bigwedge^2N \to \text{Bild}(g)$. $\tilde{g}$ ist
                damit surjektiv und injektiv, also $R$-Modul.iso., inbes. ex.
                $\tilde{g}^{-1}\colon \text{Bild}(g) \to \bigwedge^2 N$.

                Definiere weiter
                \[
                    \psi\colon {\bigwedge}^2 M \xrightarrow[\text{inj. nach 35(b)}]{f} M \otimes_R M
                    \xrightarrow[\text{inj. nach 37(b)}]{\varphi \otimes \varphi} N \otimes_R N
                    \xrightarrow[\text{inj. nach 35(b)}]{\tilde{g}^{-1}} {\bigwedge}^2 N
                .\] Z.z.: $\psi$ wohldefiniert, g.z.z.
                $\text{Bild}((\varphi \otimes \varphi) \circ f) = \text{Bild}(g)$. Dazu
                seien $a, b \in M$. Dann gilt
                \begin{salign*}
                    (\varphi \otimes \varphi)(f(a \wedge b))
                    &= (\varphi \otimes \varphi)(a \otimes b - b \otimes a) \\
                    &= (\varphi(a) \otimes \varphi(b) - \varphi(b) \otimes \varphi(a)) \\
                    &= g(\varphi(a) \wedge \varphi(b)) \in \text{Bild}(g)
                    \intertext{Da Elemente der Form $a \wedge b$ $\bigwedge^2M$
                    erzeugen, folgt Behauptung. Damit ist $\psi$ als
                    Verkettung von injektiven $R$-Mod.homs, injektiver $R$-Mod.hom.
                    Bleibt zu zeigen: $\psi = \bigwedge^2 \varphi$. Mit obiger Rechnung folgt sofort}
                    \psi(a \wedge b) &=
                    \tilde{g}^{-1}((\varphi \otimes \varphi)f(a \wedge b)) \\
                    &= \tilde{g}^{-1}(g(\varphi(a) \wedge \varphi(b)))\\
                    &= \varphi(a) \wedge \varphi(b) \\
                    &= {\bigwedge}^2 \varphi(a \wedge b)
                .\end{salign*}
                Da $\bigwedge^2M$ von Elementen der Form $a \wedge b$ erzeugt wird, folgt $\psi = \bigwedge^2\varphi$.
                Da $\psi$ injektiv als Verkettung von injektiven $R$-Mod.homs, ist $\bigwedge^2\varphi$ injektiv.
            \end{proof}
        \item Beh.: Für $m_1, m_2 \in M$ sind folgende Aussagen äquivalent:
            \begin{enumerate}[(i)]
                \item Die Familie $(m_1, m_2)$ ist linear unabhängig.
                \item Aus $r (m_1 \wedge m_2) = 0$ in $\bigwedge^2M$ mit $r \in R$ folgt $r = 0$.
            \end{enumerate}
            \begin{proof}
                (i) $\implies$ (ii): Definiere
                \begin{align*}
                    \varphi\colon R &\to {\bigwedge}^2 M \\
                    r &\mapsto r (m_1 \wedge m_2)
                .\end{align*}
                Z.z.: $\varphi$ ist injektiv. Sei $(e_1, e_2)$ die Standardbasis
                des $R^2$. Definiere damit
                \begin{align*}
                    \Phi&\colon R \to {\bigwedge}^2 R^2, \quad
                    r \mapsto r (e_1 \wedge e_2) \\
                    \psi&\colon R^2 \to M, \quad
                    \psi(e_i) = m_i \quad i=1,2
                .\end{align*}
                Da $\{e_1 \wedge e_2 \}$ Basis von $\bigwedge^2 R^2$, ist $e_1 \wedge e_2$ l.u. und
                damit $\Phi$ injektiv. Weiter sind $R^2$ und $M$ e.e. und frei und
                $\psi$ injektiver $R$-Mod.hom. Mit (a) folgt damit, dass
                $\bigwedge^2 \psi$ injektiv ist.
                Außerdem gilt für $r \in R$ beliebig:
                \begin{salign*}
                    \left({\bigwedge}^2 \psi\right)(\Phi(r)) &= ({\bigwedge}^2\psi)(r (e_1 \wedge e_2)) \\
                                                  &= r (\psi(e_1) \wedge \psi(e_2)) \\
                                                  &= r (m_1 \wedge m_2) \\
                                                  &= \varphi(r)
                .\end{salign*}
                Damit gilt $\varphi = \bigwedge^2 \psi \circ \Phi$ und damit
                $\varphi$ injektiv, als Verkettung injektiver $R$-Mod.homs.

                (ii) $\implies$ (i): Kontraposition. Seien $(m_1, m_2)$ linear abhängig. Dann ex.
                ein $\alpha \in R$ mit $m_1 = \alpha m_2$. Damit folgt
                \[
                    1 \cdot (m_1 \wedge m_2) = 1 \cdot (\alpha m_2 \wedge m_2) = \alpha (m_2 \wedge m_2) = 0
                ,\] aber $1 \neq 0$ in $R$, da $R \neq 0$ nach Konvention der VL von Kapitel 9.
            \end{proof}
        \item Beh.: Für $\text{Rang}(M) = 2$ und $\varphi \in \text{End}_R(M)$ sind
            die folgenden Aussagen äquivalent:
            \begin{enumerate}[(i)]
                \item $\varphi$ ist injektiv
                \item $\text{det}(\varphi) \in R$ ist kein Nullteiler
            \end{enumerate}
            \begin{proof}
                (i) $\implies$(ii): Da $\varphi$ injektiv, ist $\bigwedge^2 \varphi$ injektiv.
                Sei $(x_1, x_2)$ Basis von $M$. Dann gilt
                \begin{salign*}
                    {\bigwedge}^2\varphi(\underbrace{x_1 \wedge x_2}_{\neq 0})
                    = \varphi(x_1) \wedge \varphi(x_2)
                    = \text{det}(\varphi) (x_1 \wedge x_2)
                    \neq 0
                .\end{salign*}
                Also gilt $\text{det}(\varphi) \neq 0$.
                Sei nun $r \in R$ beliebig mit $\text{det}(\varphi) r = 0$. Dann betrachte
                \begin{salign*}
                    {\bigwedge}^2 \varphi(r x_1 \wedge x_2)
                    = \varphi(r x_1) \wedge \varphi(x_2)
                    = \text{det}(\varphi) r (x_1 \wedge x_2)
                    = 0
                    = r \underbrace{(\text{det}(\varphi) x_1 \wedge x_2)}_{\neq 0}
                .\end{salign*}
                Da $(x_1, x_2)$ Basis sind auch $\text{det}(\varphi) x_1$ und $x_2$ linear unabhängig, d.h.
                mit (b) folgt $r = 0$.

                (ii) $\implies$ (i): Sei $m \in M$ beliebig mit $\varphi(m) = 0$ und $(x_1, x_2)$ Basis
                von $M$.
                Ang.: $m \neq 0$. Dann ex. $a, b \in R$ mit $m = ax_1 + b x_2$ mit
                $a \neq  0 \lor b\neq  0$. O.E.: $a \neq  0$. Dann folgt
                \begin{salign*}
                    0 &= \varphi(m) \wedge \varphi(x_2) \\
                      &= \text{det}(\varphi) (m \wedge x_2) \\
                      &= \text{det}(\varphi) (a x_1 + b x_2) \wedge x_2 \\
                      &= \text{det}(\varphi) (a x_1 \wedge x_2) \\
                      &= \text{det}(\varphi) \cdot a (x_1 \wedge x_2)
                .\end{salign*}
                Da $x_1$, $x_2$ l.u., folgt mit (b), dass $\text{det}(\varphi) \cdot a = 0$. Da
                $\text{det}(\varphi) $ kein Nullteiler, folgt $a \neq  0$ $\contr$.
            \end{proof}
    \end{enumerate}
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe}
    Seien $N = \Z$, $M = \bigoplus_{i \in \N} \Z / 2 \Z$ und
    $f\colon N \to M \oplus M$, $g: N \oplus M \to M$ gegeben durch
    \[
        f(n) = (2n, 0) \quad \text{und} \quad g(n, (\overline{m_1}, \ldots, )) = (\overline{n}, \overline{m_1}, \ldots)
    .\] 
    \begin{enumerate}[(a)]
        \item Beh.: Die Folge $0 \to N \xrightarrow{f} N \oplus M \xrightarrow{g} M \to 0$ ist eine
            kurze exakte Folge von $\Z$-Moduln.
            \begin{proof}
                Offensichtlicherweise ist $f$ injektiv und $g$ surjektiv. Bleibt zu zeigen:
                $\text{ker } g = \text{im } f$.

                ,,$\subseteq $``: Sei $x \in \text{ker } g$. Dann ex. $n, m_1, m_2, \ldots \in \Z$ mit
                $x = (n, (\overline{m_1}, \ldots))$. Da $g(x) = 0$ folgt
                $\overline{n} = \overline{m_1}= \ldots = 0$. Damit ex. $z \in \Z$ mit $z = 2 z$. Also
                ist $f(z) = (2z, 0) = (n, 0) = (n, (\overline{m_1}, \overline{m_2}, \ldots)) = x$.
                Damit ist $x \in \text{im }f$.

                ,,$\supseteq$``: Sei $x \in \text{im } f$. Dann $\exists n \in \Z$, s.d.
                $f(n) = (2n, 0) = x$. Damit folgt
                $g(x) = g(2n, 0) = (\overline{2n}, 0, \ldots) = (\overline{0}, \overline{0}, \ldots) = 0$. Also
                $x \in \text{ker } g$.
            \end{proof}
        \item Beh.: Die Folge aus (a) zerfällt nicht.
            \begin{proof}
                Ang.: Die Folge aus (a) zerfällt. Dann ex. ein $\Z$-Untermodul $T \subseteq N \oplus M$,
                s.d. $g|_T\colon T \to M$ Isomorphismus ist. Wähle
                $x \coloneqq (\overline{1}, \overline{0}, \ldots) \in M$. Da $g|_T$ surjektiv,
                ex. ein $y \in T$, s.d. $g(y) = x$. Es ex. $n, m_1, \ldots \in \Z$ mit
                $y = (n, (\overline{m_1}, \ldots))$. Wegen
                \[
                    g(y) = g(n, (\overline{m_1}, \ldots)) = (\overline{n}, \overline{m_1}, \ldots)
                    = (\overline{1}, \overline{0}, \ldots) = x
                \] folgt $n \equiv 1$ $(\text{mod } n)$. Da $T$ $\Z$-Untermodul, ist auch
                $2y = (2n, (\overline{2 m_1}, \ldots)) = (2n, 0) \in T$. Damit folgt
                \[
                    g(y) = g(2n, 0) = (\overline{2n}, \overline{0}, \ldots) = (\overline{0}, \overline{0}, \ldots) = 0
                .\] 
                Da $n \neq 0$ und $\Z$ nullteilerfrei,
                folgt $y = (2n,0) \neq 0$, folgt $\text{ker } g|_T \neq \{0\} $ $\contr$.
            \end{proof}
    \end{enumerate}
\end{aufgabe}

\end{document}
