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\rhead{30.6.2022}
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\newtheorem{satz}{Satz}
\newtheorem{thm}[satz]{Theorem}
\newtheorem{lemma}[satz]{Lemma}
\newtheorem{definition}[satz]{Definition}
\newtheorem{bem}[satz]{Bemerkung}
\newtheorem{bung}[satz]{Übung}
\newtheorem{rem}[satz]{Erinnerung}
\begin{document}
	\section*{Endlich étale Morphismen, Vortrag 9}

Sei $A$ ein (kommutativer) Ring.
	%	\begin{rem}[Komposition]
	%	Sei $B$ endliche, projektive $A$-Algebra und $C$ endliche, projektive $B$-Algebra. Dann
	%	ist $C$ endliche, projektive $A$-Algebra.
	%	\label{satz:composition-projective}
	%\end{rem}

	\begin{rem}%[Basiswechsel endlich projektive]
    Endlich (treu-)projektiv ist stabil unter Basiswechsel und Komposition. Insbesondere
    kommutiert für $A \to B$ endlich projektiv und $A \to C$ Ringhomomorphismus das folgende Diagramm:
	%Sei $B$ endlich projektive $A$-Algebra und $C$ eine weitere $A$-Algebra. Dann
	%ist $B \otimes_A C$ endlich projektive $C$-Algebra.
	%Insbesondere kommutiert das folgende Diagramm
	\[
	\begin{tikzcd}
		\spec C \arrow[swap]{dr}{[B \otimes_A C : C]} \arrow[from=1-1,to=1-3] & & \spec A \arrow{dl}{[B : A]} \\
		& \mathbb{Z} &.
	\end{tikzcd}
	\] 
	\label{satz:basischange-projective}
\end{rem}
\begin{bung}
    Sei $B$ endliche, projektive $A$-Algebra. Dann ist
    \begin{enumerate}[(a)]
        \item $B = 0 \iff [B : A] = 0$.
        \item $A \to B$ Isomorphismus $\iff [B : A] = 1$.
        \item $\spec B \to \spec A$ surjektiv $\iff$ $B$ treuprojektive $A$-Algebra.
    \end{enumerate}
    \label{satz:degree}
\end{bung}
		\begin{definition}[Zariskiüberdeckung]
		Wir nennen Elemente $\{f_i\}_{i \in I} \subseteq A$ eine Zariskiüberdeckung von $A$, wenn
		$\spec A = \bigcup_{i \in I} D(f_i)$.
	    \end{definition}

%	\begin{definition}
%	Sei $f\colon A \to B$ ein Ringhomomorphismus. 
%	$f$ ist \emph{endlich und lokal frei}, wenn eine Zariskiüberdeckung existiert, sodass
%	$B_{f_i}$ endliche, freie $A_{f_{i}}$ Algebra ist für alle $i \in I$.
%	\label{def:finite-locally-free}
%\end{definition}
\begin{satz}[Äquivalente Charakterisierungen von endlich étale]
	Sei $A \to B$ ein Ringhomomorphismus. Dann sind äquivalent
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item $A \to B$ endlich étale, das heißt endlich, flach und unverzweigt.
		%\item $B$ ist endlich präsentiert und flach als $A$-Modul und $\Omega_{B / A} = 0$.
		%\item $B$ ist endliche, projektive und separable $A$-Algebra.
		\item $A \to B$ endlich, projektiv und separabel.
		%\item $A \to B$ endlich, projektiv und $\Omega_{B / A} = 0$.
		\item Es existiert eine Zariskiüberdeckung $\{f_i\}_{i \in I}$ von $A$, sodass
		$A_{f_i} \to B_{f_i}$ endlich étale ist für alle $i \in I$.
		\item Es existiert eine Zariskiüberdeckung $\{f_i\}_{i \in I}$ von $A$, sodass
		$A_{f_i} \to B_{f_i}$ endlich frei und separabel ist für alle $i \in I$.
		%\item Es existiert eine treuprojektive $A$-Algebra $C$, sodass $B \otimes_A C$ total zerlegbar ist.
	\end{enumerate}
\end{satz}	
	
	\begin{satz}%[Basiswechsel endlich étale]
		%Sei $B$ endlich étale $A$-Algebra und $C$ eine weitere $A$-Algebra. Dann ist
		%$B \otimes_{A} C$ endlich étale $C$-Algebra.
		%\label{satz:basischange}
        Endlich étale ist stabil unter Basiswechsel und Komposition.
	\end{satz}
%	\begin{satz}[Komposition endlich étale]
%	Sei $B$ endlich étale $A$-Algebra und $C$ endlich étale $B$-Algebra. Dann ist
%	$C$ endlich étale $A$-Algebra.
%\end{satz}
\begin{bung}
	Sei $A$ ein Ring und $(B_i)_{i \in I}$ $A$-Algebren mit $I$ endlich. Sei weiter
	$B = \prod_{i \in I} B_i$. Dann ist $B$ genau dann endlich étale, wenn
	jedes $B_i$ endlich étale ist. In diesem Fall gilt
	$[B : A] = \sum_{i \in I} [B_i : A]$.
	\label{ex:5.3}
\end{bung}
\begin{bung}
	Seien $(A_i)_{i \in I}, (B_i)_{i \in I}$ Ringe mit $I$ endlich und sei $B_i$ endlich étale $A_i$-Algebra
	für alle $i \in I$. Dann ist $\prod_{i \in I} B_i$ endlich étale $\prod_{i \in I} A_i$-Algebra. Außerdem
	ist jede endlich étale $\prod_{i \in I} A_i$ Algebra von dieser Form.
	Weiter ist
	\[
	\left[ \prod_{i \in I} B_i : \prod_{i \in I} A_i \right]\Big|_{\spec A_j} = [ B_j : A_j]
	.\] 
	\label{satz:projective-prod}
\end{bung}
\begin{definition}[Total zerlegbare Algebren]
    Eine $A$-Algebra $B$ ist \emph{total zerlegbar}, wenn
    $A$ ein endliches Produkt von Ringen $A_n$ ist mit $n \ge 0$ und
    $B$ isomorph ist zu $\prod_{n \ge 0} A_n^{n}$, sodass
    \[
    \begin{tikzcd}
        B \arrow{r}{\sim} & \prod_{n \ge 0}^{} A_n^{n}  \\
        A \arrow{u} \arrow{r}{\sim} & \prod_{n \ge 0} A_n \arrow{u}
    \end{tikzcd}
    \] kommutiert.
\end{definition}

\begin{thm}
    Sei $B$ eine $A$-Algebra. Dann ist $A \to B$ genau dann endlich étale,
    wenn eine treuprojektive $A$-Algebra $C$ existiert, sodass
    $C \to B \otimes_A C$ total zerlegbar ist.
    \label{th:5.10}
\end{thm}

\begin{definition}
    Sei $E$ eine endliche Menge. Dann sei $A^{E} = \prod_{e \in E}^{} A$. Für
    eine Abbildung endlicher Mengen $\phi\colon D \to E$ bezeichne
    mit $\hat{\phi}\colon A^{E}\to A^{D}$ den von $A^{E} \to A$,
    $(a_e)_{e \in E} \mapsto a_{\phi(d)}$ für $d \in D$ induzierten $A$-Algebrahomomorphismus.
    Ein solches $\hat{\phi}$ ist endlich étale.
\end{definition}

\begin{lemma}
    Seien $A, B, C$ Ringe und $f\colon A \to B$, $g\colon A \to C$ total zerlegbar und $h\colon C \to B$ ein
    Ringhomomorphismus mit $f = hg$. Sei weiter $\mathfrak{p} \in \spec A$. Dann
    existiert ein $a \in A$, sodass $a \not\in \mathfrak{p}$ und $f, g$ und $h$ trivial über $D(a)$ sind. Das heißt
    es existieren endliche Mengen $D$ und $E$ und Isomorphismen $\alpha\colon A_a^{D} \to B_a$
    und $\beta\colon A_a^{E} \to C_a$ und eine Abbildung $\phi\colon D \to E$, sodass das Diagramm
    \[
    \begin{tikzcd}
        B_a & & & \arrow[from=1-4,to=1-1,swap]{}{h} C_a \\
        & \arrow{ul}{\alpha} A_a^{D} & \arrow[swap]{l}{\hat{\phi}} A_a^{E} \arrow{ur}{\beta} & \\
        A_a \arrow[from=3-1,to=1-1]{}{f} \arrow{ur} & & & \arrow[from=3-4,to=3-1]{}{\operatorname{id}_{A_a}} \arrow{ul} A_a \arrow[from=3-4,to=1-4]{}{g}
    \end{tikzcd}
    \] kommutiert.
    \label{lemma:locally-trivial}
\end{lemma}

\begin{satz}
    Seien $f\colon A \to B$ und $g\colon A \to C$ endlich étale Ringhomomorphismen und
    $h\colon C \to B$ ein Ringhomomorphismus mit $f = hg$. Dann ist $h$ endlich étale.
\end{satz}
\end{document}
