\documentclass[a4paper]{../bachelorarbeit/arbeit}

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\begin{document}

\section{Projektive Moduln und Algebren}

\begin{satz}[Projektiv ist lokal frei]
    Sei $A$ ein Ring und $M$ ein $A$-Modul. Die folgenden Eigenschaften sind äquivalent:
    \begin{enumerate}[(i)]
        \item $M$ ist endlich erzeugter projektiver $A$-Modul.
        \item Es existieren Elemente $\{f_i\}_{i \in I}$ von $A$ mit $\sum_{i \in I} (f_i) = A$, sodass
            $M_{f_i}$ freier, endlich erzeugter $A_{f_i}$ Modul ist.
    \end{enumerate}
    \label{satz:projectiveislocallyfree}
\end{satz}

\begin{proof}
    Siehe Theorem 4.6 in \cite{lenstra}.
\end{proof}

\begin{satz}
    Sei $B$ endliche, projektive $A$-Algebra. Dann gilt
    \begin{enumerate}[(a)]
        \item $A \to B$ ist genau dann injektiv, wenn $[B : A] \ge 1$.
        \item $A \to B$ ist genau dann surjektiv, wenn $[B : A ] \le 1$.
        \item $A \to B$ ist genau dann ein Isomorphismus, wenn $[ B : A ] = 1$.
    \end{enumerate}
    \label{satz:rings-degree}
\end{satz}

\begin{satz}[]
    Sei $B$ eine $A$-Algebra und $C$ eine treuflache $A$-Algebra, sodass
    $B \otimes_A C$ projektive, separable $C$-Algebra ist. Dann ist $B$ projektive, separable $A$-Algebra.
    \label{satz:4.14}
\end{satz}

\begin{proof}
    Vortrag 8. Theorem 4.14 in \cite{lenstra}.
\end{proof}

\section{Endlich étale Morphismen}

\begin{definition}[Affiner Morphismus]
    Sei $f\colon Y \to X$ ein Morphismus von Schemata. $f$ ist \emph{affin}, wenn
    eine offene affine Überdeckung $\{U_i\}_{i \in I}$ von $X$ existiert, sodass
    $f^{-1}(U_i)$ affin ist für alle $i \in I$
\end{definition}

\begin{bem}
    $f\colon Y \to X$ ist genau dann affin, wenn für jede offene affine Menge $U \subseteq X$,
    $f^{-1}(U)$ affin ist.
\end{bem}

\begin{definition}
    Sei $f\colon Y \to X$ ein affiner Morphismus von Schemata. $f$ ist \emph{endlich und lokal frei}, wenn
    eine offene affine Überdeckung $\{U_i\}_{i \in I}$ existiert mit $U_i = \text{Spec }A_i$, sodass
    $f^{-1}(U_i) = \text{Spec }B_i$, wobei $B_i$ eine endliche und freie $A_i$-Algebra ist.
\end{definition}

\begin{lemma}[]
    Sei $f\colon A \to B$ ein Ringhomomorphismus und $S \subseteq A$ ein multiplikatives System. Dann
    ist $f(S)$ ein multiplikatives System von $B$ und
    \[
        S^{-1}B \simeq f(S)^{-1}B
    \] als $S^{-1}A$-Algebren.
    \label{lemma:localisation}
\end{lemma}

\begin{proof}
    Die Formel $\frac{b}{s} \mapsto \frac{b}{f(s)}$ induziert den Isomorphismus.
\end{proof}

\begin{lemma}
    Sei $f\colon A \to B$ ein Ringhomomorphismus und $\varphi\colon \text{Spec }B \to \text{Spec }A$ der induzierte
    Morphismus affiner Schemata. Sei $g \in A$. Dann ist
    \[
        \varphi^{-1}(D(g)) = D(f(g))
    .\] Insbesondere gilt
    \[
        \varphi^{-1}(\text{Spec }A_g) = \text{Spec }B_g
    .\] 
    \label{lemma:d(f)}
\end{lemma}

\begin{proof}
    Die erste Gleichung ist aus Algebra 2 bekannt und gilt allgemeiner für Morphismen lokal geringter Räume. Die
    zweite Gleichung folgt aus der Ersten, wenn der Isomorphismus $D(g) = \text{Spec }A_g$ eingesetzt wird, unter
    Verwendung des Ringisomorphismus
    \[
        B_g = B \otimes_A A_g \simeq B_{f(g)}
    .\] 
\end{proof}

\begin{satz}
    Sei $f\colon Y \to X$ ein Morphismus von Schemata. Dann ist
    $f$ genau dann endlich und lokal frei, wenn für jede offene affine Menge $U = \text{Spec }A$ von $X$,
    $f^{-1}(U)$ affin mit
    $f^{-1}(U) = \text{Spec }B$ und $B$ eine endliche, projektive $A$-Algebra ist.
    \label{satz:morph-local-free-char}
\end{satz}

\begin{proof}
    ($\Rightarrow$) 
    %Sei $D$ endliche freie $C$-Algebra. Dann ist $D_g$ endliche freie $C_g$-Algebra für $g \in C$. Außerdem ist
    %$\text{Spec }C_g = D(g) \subseteq  \text{Spec }C$ eine Basis von $\text{Spec }C$.
    Sei $X = \bigcup_{i \in  I} U_i$ mit $U_i = \text{Spec }A_i$ offen, $f^{-1}(U_i) = \text{Spec }B_i$
    und $B_i$ endliche freie $A_i$-Algebra. Nun sei $g \in A_i$ beliebig.
    Mit \ref{lemma:d(f)} ist $f^{-1}((A_i)_g) = \text{Spec }(B_i)_g$ und
    da Lokalisieren Freiheit und Rang von Moduln erhält, ist $(B_i)_{g}$ endliche freie $(A_i)_g$-Algebra.
Da die Mengen der Form $D(g) = \text{Spec }(A_i)_g$ mit
$g \in A_i$ eine Basis von $U_i = \text{Spec }A_i$ bilden, können wir
    ohne Einschränkung annehmen, dass $\{U_i\}_{i \in I}$ bereits eine Basis von $X$ ist, insbesondere
    existiert ein $J \subseteq I$, sodass $U = \bigcup_{j \in J} U_j$.

    Ebenfalls
    ist $\{D(g)\}_{g \in A}$ eine Basis von $U$, also existiert für alle $j \in J$ eine Familie
    $\{g_{jk}\}_{k \in K_j}$, sodass $U_j = \bigcup_{k \in K_j} D(g_{jk})$. Außerdem
    ist $D(g_{jk}) \subseteq U_j$ also
    \[
        \text{Spec }A_{g_{jk}} = D(g_{jk}) = D(g_{jk}) \cap U_j = \text{Spec }(A_{j})_{g_{jk}}
    .\] Damit folgt $f^{-1}(\text{Spec }A_{g_{jk}}) = \text{Spec }B_{g_{jk}}$ mit $B_{g_{jk}}$
    endliche freie $A_{g_{jk}}$-Algebra. Außerdem ist $U = \bigcup D(g_{jk})$, also
    $\sum_{} (g_{jk}) = A$. Also folgt mit \ref{satz:projectiveislocallyfree},
    dass $B$ eine endliche, projektive $A$-Algebra ist.

    ($\Leftarrow$) Sei $X = \bigcup_{i \in  I} U_i$ mit $U_i = \text{Spec }A_i$ offen. Dann
    ist $f^{-1}(U_i) = \text{Spec }B_i$ mit einer endlichen, projektiven $A_i$-Algebra $B_i$. Nach
    \ref{satz:projectiveislocallyfree}
    existieren $\{g_{ij}\}_{j \in J_i} \subseteq A_i$, sodass $\sum_{j \in J_i} (g_{ij}) = A_i$ und
    $(B_i)_{g_{ij}}$ endliche, freie $(A_{i})_{g_{ij}}$-Algebra. Es folgt
    \[
        U_i = \bigcup_{j \in J_i}  D(f_{ij}) = \bigcup_{j \in J_i} \text{Spec } (A_i)_{g_{ij}}
    .\] Da die $\{U_i\}_{i \in I}$ eine Überdeckung von $X$ sind, folgt die Behauptung.
\end{proof}

\begin{bem}[Grad]
    Sei $f\colon Y \to X$ ein endlicher, lokal freier Morphismus von Schemata und $U = \text{Spec }A$ offen in $X$
    mit $f^{-1}(U) = \text{Spec }B$. Nach 4.9 existiert eine stetige Funktion
    \[
        [B : A] \colon U = \text{Spec }A \to \Z, \mathfrak{p} \mapsto \text{rang}_{A_{\mathfrak{p}}} B_{\mathfrak{p}}
    .\] 
    Sei $U' = \text{Spec }A'$ offen in $X$ mit $f^{-1}(U') = \text{Spec }B'$. Dann stimmen
    $[B' : A']$ und $[B : A]$ auf $U \cap U'$ überein, d.h. wir erhalten eine Funktion
    \[
        \text{deg}(f) = [Y : X] \colon \operatorname{sp}(X) \to \Z
    ,\] wobei $\operatorname{sp}(X)$ den unterliegenden topologischen Raum von $X$ bezeichne.
\end{bem}

\begin{proof}
    Sei zunächst $U \subseteq U'$ und $x \in U$. Da $\{D(g)\}_{g \in A'}$ eine Basis von $U'$ ist, existiert ein
    $g \in A'$, sodass $x \in D(g) \subseteq U$. Dann ist
    \[
        \text{Spec }A'_{g} = D(g) = D(g) \cap U = \text{Spec }A_{g_{|U}}
    .\] Also folgt
    \[
        [B' : A'](x) = [B'_g : A'_g](x) = [B_{g_{|U}} : A_{g_{|U}} ](x) = [ B : A ](x)
    .\] Im Allgemeinen sei $x \in U \cap U'$. Dann existiert eine offene affine Menge $x \in V \subseteq U \cap U'$
    und wir können zweimal den Spezialfall für $V \subseteq U$ und $V \subseteq U'$ anwenden.
\end{proof}

\begin{lemma}
    Sei $f\colon Y \to X$ endlich und lokal frei. Dann ist
    $[Y : X]$ lokalkonstant, das heißt eine stetige Abbildung $\operatorname{sp}(X) \to \Z$, wobei $\Z$ die diskrete
    Topologie trägt.
    Insbesondere ist die Menge
    \[
        \{x \in \operatorname{sp}(X)  \mid [Y : X](x) = n\} 
    \] offen und abgeschlossen in $X$ und $[Y : X]$ ist konstant, falls $X$ zusammenhängend ist.
\end{lemma}

\begin{proof}
    Lokalisieren ist exakt, erhält also den Rang von freien Moduln und $X$ ist lokal frei.
\end{proof}

\begin{definition}[Surjektive Morphismen]
    Ein Morphismus $Y \to X$ von Schemata heißt \emph{surjektiv}, falls die zugrundeliegende Abbildung
    zwischen den topologischen Räumen surjektiv ist.
\end{definition}

\begin{satz}
    Sei $f\colon Y \to X$ endlich und lokal frei. Dann gilt
    \begin{enumerate}[(a)]
        \item $Y = \emptyset \iff [Y : X] = 0$.
        \item $Y \to X$ Isomorphismus $\iff [Y : X] = 1$.
        \item $Y \to X$ surjektiv $\iff [Y : X] \ge 1 \iff$ für alle offenen affinen Teilmengen $U = \operatorname{Spec }A$ von
            $X$ ist $f^{-1}(U) = \spec B$, wobei $B$ eine treuprojektive $A$-Algebra ist.
    \end{enumerate}
    \label{satz:degree}
\end{satz}

\begin{proof}
    Alle Eigenschaften sind lokal auf $X$, das heißt oE sei $X = \spec A$ affin. Da $f$ affin ist, folgt
    $Y = \spec B$, wobei $B$ endliche und projektive $A$-Algebra ist.
    \begin{enumerate}[(a)]
        \item $Y = \emptyset \iff B = 0 \iff B_{\mathfrak{p}} = 0$
            $\forall \mathfrak{p} \in \spec A \iff \text{rang}_{A_{\mathfrak{p}}} B_{\mathfrak{p}} = 0$
            $\forall \mathfrak{p} \in \spec A$
            $\iff [B : A] = 0$.
        \item Das ist \ref{satz:rings-degree}(c).
        \item Die zweite Äquivalenz gilt nach Definition von treuprojektiv. Für die erste:
            Sei $\spec B \to \spec A$ surjektiv und sei $\mathfrak{p} \in \spec A$ mit Urbild
            $\mathfrak{q} \in \spec{B}$. Also ist $B \neq 0$ und damit $B_{\mathfrak{q}} \neq 0$.
            Sei $\varphi\colon A \to B$ der induzierte Ringhomomorphismus,
            $S = \varphi(A \setminus \mathfrak{p})$ und $T = B \setminus \mathfrak{q}$. Wegen
            $\mathfrak{p} = f(\mathfrak{q}) = \varphi^{-1}(\mathfrak{q})$, folgt
            $S \subseteq T$. Und damit
            \[
                B_{\mathfrak{q}} = T^{-1}B  \simeq (S^{-1}T)^{-1}(S^{-1}B) = (S^{-1}T)^{-1} B_{\mathfrak{p}},
            \] also ist $B_{\mathfrak{q}}$ eine Lokalisierung von $B_{\mathfrak{p}}$. Also folgt
            auch $B_{\mathfrak{p}} \neq 0$, also
            $[ B : A ](\mathfrak{p}) > 0$. Rückrichtung: Mit \ref{satz:rings-degree}(a) ist $A \to B$ injektiv
            und weil $B$ endliche $A$-Algebra, ist $B$ ganze Ringerweiterung von $A$, also folgt
            die Aussage aus \cite{macdonald} Theorem 5.10.
    \end{enumerate}
\end{proof}

\begin{definition}[Endlich étaler Morphismus]
    Sei $f\colon Y \to X$ ein affiner Morphismus von Schemata. $f$ ist \emph{endlich étale}, falls
    eine offene affine Überdeckung $\{U_i\}_{i \in I}$ existiert mit
    $U_i = \spec A_i$, sodass $f^{-1}(U_i) = \spec B_i$, wobei $B_i$ eine freie, separable $A_i$-Algebra ist.
\end{definition}

\begin{bem}
    Jeder endlich étale Morphismus ist endlich und lokal frei, denn separable Algebren sind per Definition endlich.
\end{bem}

%\begin{lemma}
%    Seien $M, N$ $A$-Moduln und $M$ endlich präsentiert, d.h. es existiert eine exakte Folge
%    \[
%    A^{m} \to A^{n} \to M \to 0
%    .\] Sei weiter $S \subset A$ ein multiplikatives System. Dann ist der natürliche $A$-Modul Homomorphismus
%    \[
%        S^{-1}\operatorname{Hom}_A(M, N) \to \operatorname{Hom}_{S^{-1}A}(S^{-1}M, S^{-1}N)
%    \] ein Isomorphismus.
%    \label{lemma:localisation-finitely-pres}
%\end{lemma}
%
%\begin{proof}
%    $S^{-1}A$ ist ein flacher $A$-Modul und $\operatorname{Hom}_A(-, N)$ bzw. $\operatorname{Hom}_{S^{-1}A}(-, S^{-1}N)$
%    sind linksexakt. So erhalten wir exakte Folgen
%    \[
%        0 \to \operatorname{Hom}_{S^{-1}A}(S^{-1}M, S^{-1}N)
%        \to (S^{-1}N)^{n} \to (S^{-1}N)^{m}
%    \] und
%    \[
%        0 \to S^{-1}\operatorname{Hom}_{A}(M, N) \to (S^{-1}N)^{n} \to (S^{-1}N)^{m}
%    .\] Das 5-er Lemma liefert das Ergebnis.
%\end{proof}

\begin{lemma}[]
    Sei $M$ endlich präsentierter $A$-Modul, das heißt es existiere eine exakte Folge
    \[
    A^{m} \to A^{n} \to M \to 0
    .\] Sei weiter $C$ eine $A$-Algebra. Dann ist der natürliche $A$-Modulhomomorphismus
    \[
        \operatorname{Hom}_A(M, A) \otimes_A C \to \operatorname{Hom}_{C}(M \otimes_A C, C)
    \] ein Isomorphismus.
    \label{lemma:tensor-and-hom}
\end{lemma}

\begin{proof}
    Da Tensorieren rechtsexakt ist und $\operatorname{Hom}_{C}(-, C)$ linksexakt, erhalten wir durch anwenden 
    in dieser Reihenfolge auf die exakte Folge $A^{m} \to A^{n} \to M \to 0$, die exakte Folge
    \[
        0 \to \operatorname{Hom}_{C}(M \otimes_A C, C) \to C^{n} \to C^{m}
    .\] Andererseits liefert zunächst anwenden von $\operatorname{Hom}_{A}(-, A)$ die exakte Folge
    \[
        0 \to \operatorname{Hom}_{A}(M, A) \to A^{n} \to A^{m}
    .\] Tensorieren mit $C$ liefert die exakte Folge
    \[
        \underbrace{\operatorname{Tor}_{1}^{A}(A^{m}, C)}_{= 0} \to \operatorname{Hom}_{A}(M, A) \otimes_A C \to C^{n} \to C^{m}
    .\] Der linke Term verschwindet, weil $A^{m}$ flach ist. Untereinanderschreiben der beiden Folgen mit
    den natürlichen Homomorphismen und Auffüllen mit $0$ nach links liefert ein kommutatives Diagramm und mit dem 5-er Lemma
    die Behauptung.
\end{proof}

\begin{bem}
    \ref{lemma:tensor-and-hom} wendet sich insbesondere dann an, wenn $M$ endlich erzeugter projektiver Modul ist.
\end{bem}

\begin{korollar}
    Sei $B$ endliche, projektive $A$-Algebra und $S \subset A$ ein multiplikatives System. Dann
    ist der natürliche $A$-Modulhomomorphismus
    \[
        \operatorname{Hom}_{A}(B, A) \to \operatorname{Hom}_{S^{-1}A}(S^{-1}B, S^{-1}A)
    \] ein Isomorphismus.
    \label{lemma:localisation-finitely-pres}
\end{korollar}

\begin{korollar}
    Ein Morphismus von Schemata $f\colon Y \to X$ ist genau dann endlich étale, wenn
    eine Basis von offenen affinen Mengen $\{U_i\}_{i \in I}$ von $X$ existiert, sodass
    $U_i = \spec A_i$ und $f^{-1}(U_i) = \spec B_i$, wobei $B_i$ freie, separable $A_i$-Algebra ist.

    \label{bem:finite-etale-basis}
\end{korollar}

\begin{proof}
    Die Rückrichtung ist klar. Für die Hinrichtung beachte, dass eine endliche, projektive $A$-Algebra $B$ genau dann
    separabel ist, wenn der von der Spur induzierte $A$-Modulhomomorphismus $B \to \operatorname{Hom}_A(B, A)$
    ein Isomorphismus ist. Diese Eigenschaft bleibt nach \ref{lemma:localisation-finitely-pres}
    durch Lokalisieren erhalten.
\end{proof}

\begin{lemma}
    Sei $B$ eine endliche, projektive $A$-Algebra und
    $\phi\colon B \to \operatorname{Hom}_A(B, A)$ die von der Spur induzierte Abbildung. Dann ist
    $B$ genau dann separabel über $A$, wenn die folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt sind:
    \begin{enumerate}[(i)]
        \item $\phi$ ist ein Isomorphismus.
        \item Die induzierte Abbildung
            $B_{\mathfrak{p}} \to \operatorname{Hom}_{A_{\mathfrak{p}}}(B_{\mathfrak{p}}, A_{\mathfrak{p}})$
            ist ein Isomorphismus für alle $\mathfrak{p} \in \spec A$.
    \end{enumerate}
    \label{lemma:separable-is-local}
\end{lemma}

\begin{proof}
    Isomorphismus zu sein ist eine lokale Eigenschaft und $B$ ist endlich erzeugter, projektiver $A$-Modul, das
    heißt insbesondere endlich präsentiert, also folgt die Behauptung mit \ref{lemma:localisation-finitely-pres}.
\end{proof}

\begin{satz}
    Sei $f\colon Y \to X$ ein Morphismus von Schemata. Dann ist $f$ genau dann endlich étale, wenn
    für jede offene affine Teilmenge $U = \spec A$ von $X$, $f^{-1}(U)$ affin mit $f^{-1}(U) = \spec B$ und
    $B$ eine projektive, separable $A$-Algebra ist.
    \label{satz:equiv-finite-etale}
\end{satz}

\begin{proof}
    ($\Rightarrow$) Sei $U = \spec A$ offen in $X$ und sei $f^{-1}(U) = \spec B$.
    Dann ist $B$ nach \ref{satz:morph-local-free-char} endliche, projektive $A$-Algebra.
    Sei $\mathfrak{p} \in \spec A$ und $x \in U$ der zugehörige Punkt. Dann
    ist $A_{\mathfrak{p}} = \mathcal{O}_{U,x} = \mathcal{O}_{V,x}$ für jede offene Menge $x \in V \subseteq U$.
    Nach \ref{bem:finite-etale-basis} existiert 
    $x \in V \subseteq U$ offen affin mit $V = \text{Spec }A'$ und $f^{-1}(V) = \text{Spec }B'$, wobei
    $B'$ freie, separable $A'$-Algebra. Dann ist nach \ref{lemma:localisation-finitely-pres}
    $B'_{\mathfrak{p}} \to \operatorname{Hom}_{A'_{\mathfrak{p}}}(B'_{\mathfrak{p}}, A'_{\mathfrak{p}})$ ein
    Isomorphismus, also auch
    $B_{\mathfrak{p}} \to \operatorname{Hom}_{A_{\mathfrak{p}}}(B_{\mathfrak{p}}, A_{\mathfrak{p}})$. Also
    nach \ref{lemma:separable-is-local} ist $B$ separable $A$-Algebra.

    ($\Leftarrow$) Da endlich étale eine auf $X$ lokale Eigenschaft ist, sei oE $X = \spec A$. Dann ist
    $Y = f^{-1}(X) = \spec B$ mit $B$ projektive, separable $A$-Algebra. Nach \ref{satz:projectiveislocallyfree}
    existieren $\{f_i\}_{i \in I}$, sodass $\sum_{i \in I} (f_i) = A$ und
    $B_{f_i}$ endliche, freie $A_{f_i}$-Algebra. Da Lokalisieren Separabilität erhält, ist $B_{f_i}$ auch separabel
    über $A_{f_i}$ und es folgt die Behauptung wegen $X = \bigcup_{i \in  I} D(f_i)$.
\end{proof}

\begin{satz}[Basiswechsel]
    Sei $f\colon Y \to X$ endlich étale und $g\colon W \to X$ ein Morphismus von Schemata. Dann ist
    $Y \times_{X} W \to W$ endlich étale.
    \label{satz:basischange}
\end{satz}

\begin{proof}
    Endlich étale ist eine lokale Eigenschaft auf $W$ und damit insbesondere auf $X$. Genauer:
    Sei $w \in W$ beliebig. Dann existiert eine offene affine Menge $g(w) \in U \subseteq X$ und
    offene affine Mengen $U_i \subseteq W$, sodass $g^{-1}(U) = \bigcup_{i \in I} U_i$. Da $w \in g^{-1}(U)$ existiert
    ein $i_0 \in I$, sodass $w \in U_{i_0}$. Durch Ersetzen von $W$ durch $U_{i_0}$ und $X$ durch $U$ können
    wir also oE annehmen, dass $W = \spec C$ und $X = \spec A$. Da $f$ affin, ist damit
    auch $Y = f^{-1}(X) = \spec B$ affin. Dann ist $Y \times_{X} W = \spec B \otimes_A C$.

    Es bleibt also folgende Aussage zu zeigen: Sei $B$ projektive, separable $A$-Algebra und $C$ eine $A$-Algebra. Dann
    ist $B \otimes_A C$ projektive, separable $C$-Algebra.

    Zunächst ist $B \otimes_A C$ projektiv, denn da $B$ endlich erzeugter, projektiver $A$-Modul ist,
    existiert ein $A$-Modul $Q$, sodass
    $A^{n} \simeq B \oplus Q$ als $A$-Moduln für ein $n \ge 0$. Da der natürliche Isomorphismus
    $A^{n} \otimes_A C \to C^{n}$ auch $C$-linear ist, folgt durch
    Tensorieren mit $C$
    \[
        C^{n} \simeq A^{n} \otimes_A C \simeq (B \oplus Q) \otimes_A C = (B \otimes_A C) \oplus (Q \otimes_A C)
    .\] Also ist $B \otimes_A C$ projektiver $C$-Modul.

    Für die Separabilität ist zu zeigen, dass der von der Spurabbildung induzierte Homomorphismus
    $B \otimes_A C \to \operatorname{Hom}_{C}(B \otimes_A C, C)$ ein Isomorphismus ist. Das folgt aus
    \ref{lemma:tensor-and-hom} und dem kommutativen Diagramm:
    \[
    \begin{tikzcd}
        B \otimes_A C \arrow{r} & \operatorname{Hom}_C(B\otimes_A C, C) \\
        B \otimes_A C \arrow{u}{\operatorname{id}} \arrow[swap]{r}{\sim}
        & \operatorname{Hom}_A(B, A) \otimes_A C \arrow[swap]{u}{\sim}
    \end{tikzcd}
    .\] 
\end{proof}

\begin{satz}
    Sei $f\colon Y \to X$ affiner Morphismus von Schemata und $g\colon W \to X$ ein
    surjektiver, endlicher und lokal freier Morphismus. Dann ist $Y \to X$ genau dann endlich étale, wenn
    $Y \times_X W \to W$ endlich étale ist.
\end{satz}

\begin{proof}
    Die Hinrichtung gilt für beliebige Basiswechsel nach \ref{satz:basischange}. Zur Rückrichtung: Sei
    $U \subseteq X$ affin und $U = \spec A$.
    Also ist $f^{-1}(U) = \spec B$, da $f$ affin. Es genügt nun zu zeigen, dass $B$ projektive, separable $A$-Algebra ist.

    Nach \ref{satz:degree} ist $g^{-1}(U) = \spec C$, wobei
    $C$ eine endliche, treuprojektive $A$-Algebra ist. Sei $\mathfrak{m}$ ein Maximalideal von $A$. Angenommen
    $C = \mathfrak{m}C$. Dann folgt insbesondere $C_{\mathfrak{m}} = \mathfrak{m}C_{\mathfrak{m}}$, also
    da $C$ endlich erzeugter $A_{\mathfrak{m}}$-Modul folgt mit Nakayama $C_{\mathfrak{m}} = 0$, also
    $[ C : A ](\mathfrak{m}) = 0 < 1$. Widerspruch. Da $C$ insbesondere flach, folgt mit Algebra 2, dass
    $C$ treuflache $A$-Algebra ist.

    Nun sei $p\colon Y \times_X W \to W$. Dann ist $p^{-1}(\spec C) = \spec B \otimes_A C$. Da
    $p$ endlich étale, folgt mit \ref{satz:equiv-finite-etale}, dass $B \otimes_A C$ eine projektive separable
    $C$-Algebra ist. Mit der Treuflachheit von $C$ und \ref{satz:4.14} folgt nun die Behauptung.
\end{proof}

\end{document}
