\documentclass[uebung]{../../../lecture}

\title{Algebra I: Übungsblatt 5}
\author{Lukas Nullmeier, Christian Merten}

\begin{document}

\punkte

\begin{aufgabe}
    \begin{enumerate}[(a)]
        \item Beh.: $L$ ist ein Zerfällungskörper von $X^{4} - 2 \in \Q[X]$.
            \begin{proof}
                Es ist zunächst
                \[
                    X^{4} - 2 = (X^2 - \sqrt{2} )(X^2 + \sqrt{2}) = (X - \sqrt[4]{2})(X + \sqrt[4]{2})(X + i \sqrt[4]{2})(X - i \sqrt[4]{2})
                .\] Weiter ist $i \in \Q(\sqrt[4]{2}, i\sqrt[4]{2})$, denn
                \[
                    \Q(\sqrt[4]{2}, i\sqrt[4]{2}) \ni  \frac{1}{2} \sqrt[4]{2}  (i \sqrt[4]{2} )(\sqrt[4]{2})^2
                    = i
                .\] Also $\Q(\sqrt[4]{2}, i\sqrt[4]{2}) = \Q(\sqrt[4]{2}, i) = L$, also
                $L$ Zerfällungskörper von $X^{4} - 2$.
            \end{proof}
        \item Es ist $\Q \subseteq L$ endliche Körpererweiterung und $\text{char}(\Q) = 0$, also
            folgt mit dem letzten Zettel
            \[
            8 = [ L \colon \Q] = [ L \colon \Q]_s = \# \text{Hom}_\Q(L, \overline{\Q})
            \] 
            mit $\overline{\Q}$ ein algebraischer Abschluss von $\Q$. Da jeder
            $\Q$-Automorphismus von $L \subseteq \overline{Q}$
            insbesondere $\Q$-Homomorphismus $L \to \overline{Q}$, folgt
            \[
                \# \text{Aut}_\Q(L, L) \le 8
            .\] Sei $x \in \Q(L, L)$. Dann gilt für $a_0, \ldots, a_7 \in \Q$:
            \[
                x = a_0 + i a_1 + \sqrt[4]{2} a_2 + \sqrt[4]{2}^{3} a_3 +
                \sqrt{2} a_4 + i \sqrt[4]{2} a_5 + i \sqrt{2}  a_6 + i \sqrt[4]{2} a_7
            .\] Diese Darstellung ist eindeutig, da die Vorfaktoren der $a_i$ eine
            $\Q$ Basis von $L$ darstellen.
            Sei nun $\tau_i \colon L \to L$ für $i \ge 1$ mit
            $\tau_i$ ändert Vorzeichen des $i$-ten Koeffizienten. Dabei bezeichne
            $\tau_0 = \text{id}_L$. Da $\sigma \colon \Q \to \Q, r \mapsto -r$ ein Körperhomomorphismus
            folgt durch Nachrechnen, dass die $\tau_i$ ebenfalls Körperhomomorphismen sind. Dabei
            ist $\tau_i \mid_\Q = \text{id}$, da für $x \in \Q$ folgt $x = a_0$ und
            damit $\tau_i(x) = \tau_i(a_0) = a_0 = x$.

            Die $\tau_i$ sind bereits $8$ $\Q$-Automorphismen von $L$, d.h. mit der Vorüberlegung alle
            $\Q$-Automorphismen von $L$.
    \end{enumerate}
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe}
    \begin{enumerate}[(i)]
        \item $L = \Q(\sqrt{2} e^{i \pi /4}, -\sqrt{2}e^{i \pi /4}, \sqrt{2}  e^{- i \pi / 4}, - \sqrt{2} e^{- i \pi / 4} $, denn
            \[
                X^{4} + 4 = (X^2 - 2i)(X^2 + 2i)
                = (X - \sqrt{2} e^{\pi i /4})
                (X + \sqrt{2} e^{\pi i /4})(X - \sqrt{2}e^{- \pi i /4})
                (X + \sqrt{2} e^{- \pi i/4})
            .\]
        \item $L = \Q\left(\left( \exp\left( \frac{k \pi}{4} \right)  \right)_{k=1}^{8}\right)$, denn
            das sind gerade die $8$-ten Einheitswurzeln, also folgt
            \[
                X^{8} - 1 = \prod_{k=1}^{8} (X - e^{k \pi i /4})
            .\] 
        \item $L = \Q\left(\sqrt{\sqrt{3} -1}, - \sqrt{\sqrt{3} -1}, \sqrt{-\sqrt{3} -1}, - \sqrt{-\sqrt{3} - 1} \right)$
            , denn
            \begin{salign*}
                X^{4} + 2 X^2 -2 &= (X^2 + 1 - \sqrt{3}) (X^2 +1 + \sqrt{3}) \\
                &= \left(X - \sqrt{\sqrt{3} -1} \right)
                \left( X + \sqrt{-1 + \sqrt{3} }  \right)
                \left( X - \sqrt{-1 - \sqrt{3} }  \right) 
                \left( X + \sqrt{-1 - \sqrt{3} }  \right) 
            .\end{salign*}
    \end{enumerate}
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe}
    \begin{enumerate}[(a)]
        \item Beh.: $L = K(\alpha)$.
            \begin{proof}
                Es ist $[L \colon K] = n$. Da $\sigma_i$ $K$-Automorphismus,
                ist $\sigma \coloneqq \sigma_i |_K = \text{id}$. 

                Sei nun $f$ Minimalpolynom von $\alpha$ über $K$.
                Dann
                ist $f^{\sigma} = f^{\text{id}} = f$. Betrachte
                $\sigma_i'\colon K(\alpha) \to L$ mit $\sigma_i' = \sigma_i|_{K(\alpha)}$. Dann
                setzt $\sigma_i'$ $\sigma$ fort, es folgt also mit 3.40
                $\sigma_i'(\alpha)$ Nullstelle von $f^{\sigma} = f$. Da
                die $\sigma_i'(\alpha)$ paarweise verschieden, folgt
                $\text{deg}(f) \ge n$. Da $\text{deg}(f) = [K(\alpha) \colon K] \le [ L \colon K] = n$ folgt
                $\text{deg}(f) = n$. Damit folgt mit Gradsatz
                \[
                    n = [L \colon K] = [ L \colon K(\alpha)] [ K(\alpha) \colon K]
                    = [L \colon K(\alpha) ] n \implies [ L \colon  K(\alpha)] = 1
                .\] Also $L = K(\alpha)$.
            \end{proof}
        \item Beh.: Jeder $K$ Homomorphismus $\sigma\colon L \to L$ ist Automorphismus.
            \begin{proof}
                Sei $\sigma\colon L \to L$ ein $K$-Hom.
                Sei $\alpha \in L$ und $f \in K[X]$ Minimalpolynom von $\alpha$ über $L$. Seien
                weiter $\gamma_1, \ldots, \gamma_n$ Nullstellen von $f$ über $L$ mit
                $\Gamma \coloneqq \{ \gamma_1, \ldots, \gamma_r\} $. Dann gilt, da
                $\sigma|_K = \text{id}$ und $\sigma$ Ringhom, folgt
                \[
                    f(\sigma(\gamma)) = \sigma (f(\gamma)) = \sigma(0) = 0 \qquad \forall \gamma \in \Gamma
                .\] Damit gilt $\sigma(\Gamma) \subseteq \Gamma$. Da $\sigma$ als Körperhom.
                injektiv und $\Gamma$ endlich (da $\# \Gamma \le \text{deg}(f) < \infty$)
                folgt $\sigma(\Gamma) = \Gamma$, also $\exists \gamma \in \Gamma\colon \sigma(\gamma) = \alpha$.

                Also ist $\sigma$ auch surjektiv und damit bijektiv.
            \end{proof}
            Beh.: Wenn $L / K$ nicht algebraisch ist, ist die Aussage falsch.
            \begin{proof}
                Betrachte $\Q(\pi) / \Q$ mit dem
                durch folgende Zuordnung festgelegten Körperhomomorphismus
                \begin{salign*}
                    \sigma\colon \Q(\pi) &\to \Q(\pi) \\
                    1 &\mapsto 1 \\
                    \pi &\mapsto \pi^2
                .\end{salign*}
                Dann ist $\sigma|_\Q = \text{id}$ also $\sigma$ $\Q$-Homomorphismus, aber
                es gilt $\sigma(x) \neq \pi$ $\forall x \in \Q(\pi)$, denn
                $\pi$ transzendent über $\Q$ (Ang.: es gäbe ein solches $x$, dann
                ist $\pi = \sigma(x) = \sum_{k=0}^{n} a_k \pi^{2k}$ für $a_k \in \Q$, also
                $0 = \sum_{k=0}^{n} a_k \pi^{2k} - \pi$, also
                insbesondere $\pi$ algebraisch über $\Q$).
            \end{proof}
    \end{enumerate}
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe}[]
    \begin{enumerate}[(a)]
        \item Sei $K \subseteq R \subseteq L$ Unterring. Beh.: $R$ Körper.
            \begin{proof}
                Sei $\alpha \in R \setminus \{0\} $. Dann ist $\alpha \in L$ algebraisch über $K$, also
                sei $f \in K[X]$ Minimalpolynom zu $\alpha$ mit
                \[
                f = X^{n} + c_{n-1} X^{n-1} + \ldots + c_0
                \] für $c_i \in K$. Es ist $c_0 \neq 0$, da $f$ irreduzibel. In $L$ existiert
                $\alpha ^{-1}$. Damit folgt
                \begin{salign*}
                    0 = \alpha ^{-1}f(\alpha) = \alpha ^{-1} (\alpha^{n} + c_{n-1}\alpha^{n-1} + \ldots + c_0)
                    = \alpha^{n-1}+ c_{n-1}\alpha^{n-2} + \ldots + c_0 \alpha^{-1}
                .\end{salign*}
                Da $c_0 \neq 0$ folgt
                \begin{salign*}
                    \alpha^{-1} = - c_0^{-1} (\alpha^{n-1}+c_{n-1}\alpha^{n-2} + \ldots + c_1)
                .\end{salign*}
                Da $\alpha \in R$, $c_i \in K$ und $R$ Ring mit $K \subseteq R$ folgt
                $\alpha^{-1} \in R$.
            \end{proof}
        \item Es bezeichne $R$ die Menge aus der Aufgabenstellung. Beh.: $EF = R$.
            \begin{proof}
                \begin{enumerate}[(i)]
                    \item Z.z.: $R$ Ring. Da $K \subseteq E, F$ ist $1 = 1_K 1_K \in R$ und $0 = 0_K 0_K \in R$.
                        Weiter seien $x, y \in R$ mit $x = \sum_{i=1}^{n} a_i b_i$
                        und $y = \sum_{i=1}^{m} c_i d_i$ mit $a_i, c_i \in E$, $b_i, d_i \in F$. Durch
                        Ergänzung der $a_i$ und $b_i$ am Ende durch $c_i$ bzw. $d_i$ folgt direkt
                        \[
                        x + y = \sum_{i=1}^{n} a_i b_i + \sum_{i=1}^{m} c_i d_i
                        = \sum_{i=1}^{n+m} a_i b_i \in R
                        .\] Für $x y$ entstehen durch Ausmultiplizieren Summanden
                        der Form $a_i b_i c_j d_j = \underbrace{a_i c_j}_{\in E} \underbrace{b_i d_j}_{\in F}$,
                        also folgt durch Umbenennung $xy \in R$ aus $x + y \in R$.
                        Da $E$ und $F$ Körper übertragen sich Assoziativ und Distributivgesetz
                        direkt auf $R$. Auch additive Inverse existieren, da $E, F$ Körper sind folgt
                        \[
                            x + \underbrace{\sum_{i=1}^{n} -(a_i b_i)}_{=: -x} = \sum_{i=1}^{n} (a_i b_i - a_i b_i) = 0
                        .\] Also $-x \in R$.
                    \item Sei nun $H \subseteq L$ Körper, der $E$ und $F$ enthält, dann
                        folgt insbesondere $R \subseteq H$.
                    \item Nach (i) ist $R$ Ring und offensichtlich Teilring von $L$, damit
                        nach (a) Körper und wegen (ii) kleinster Teilkörper von $L$, der
                        $E$ und $F$ enthält. Also $EF = R$.
                \end{enumerate}
            \end{proof}
        \item Beh.: Sind $[ E \colon K]$ und $[F \colon K]$ endlich, so auch $[EF \colon K]$ und es
            gilt
            \[
                [EF \colon K] \le [ E \colon K ] [ F \colon K]
            .\] 
            \begin{proof}
                Seien $[E \colon K]$, $[F \colon K]$ endlich. Dann sind $E$ und $F$ e.d.
                als $K$ VR, insbesondere existieren $\alpha_i$, $\beta_i$, s.d.
                $(\alpha_i)_{i=1}^{n}$ Basis von $E$ und $(\beta_i)_{i=1}^{m}$ Basis von $F$. Wegen (b)
                ist damit $(\alpha_i \beta_j)_{i, j =1}^{n, m}$ endliches Erzeugendensystem
                von $EF$ der Länge $nm$. Damit folgen beide Behauptungen.
            \end{proof}
    \end{enumerate}
\end{aufgabe}

\end{document}
