\documentclass{../../lecture} \author{Christian Merten} \title{Auflösung unbeschränkter Komplexe} \usepackage{tikz-cd} \usepackage{amssymb} \newcommand{\com}[1]{#1^{\bullet}} \newcommand{\K}{\mathcal{K}} \begin{document} \maketitle \section{Einleitung} \section{Derivierte Kategorien und abgeleitete Funktoren} \section{K-injektive und K-projektive Auflösungen} Sei im Folgenden $\mathcal{A}$ eine feste abelsche Kategorie und $\mathcal{K} = \mathcal{K}(\mathcal{A})$ die Komplexkategorie mit Komplexhomomorphismen bis auf Homotopie als Abbildungen. \begin{definition}[K-injektiv bzw. K-projektiv] Ein Komplex $\com{X} \in \K$ heißt K-injektiv (bzw. K-projektiv), wenn für alle $\com{S} \in \K$, der Komplex $\com{\mathrm{Hom}}(\com{S}, \com{X})$ (bzw. $\com{\mathrm{Hom}}(\com{X}, \com{S})$) exakt ist. \end{definition} \begin{bem} Mit \ref{hom-compl-cohomgroups} ist $\com{X} $ genau dann K-injektiv (bzw. K-projektiv), wenn $\forall \com{S} \in K$ exakt: $\text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{S}[i] , \com{X}) = 0$ (bzw. $\text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{X}, \com{S}[i]) = 0)$ $\forall i \in \Z$. Da Verschieben Exaktheit erhält folgt also \[ \com{X} \text{ K-projektiv} \iff \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{X} , \com{S} ) = 0 \quad \forall \com{S} \text{ exakt} \] \[ \com{X} \text{ K-injektiv} \iff \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{S} , \com{X} ) = 0 \quad \forall \com{S} \text{ exakt} .\] \end{bem} \subsection{Elementare Eigenschaften von K-injektiven und K-projektiven Komplexen} \begin{bem} Ein exakter K-projektiver oder K-injektiver Komplex $\com{X}$ ist zusammenziehbar, d.h. ist nullhomotop. \begin{proof} Betrachte $\mathrm{id}_{\com{X}} \in \mathrm{Hom}^{0}(\com{X}, \com{X}) = \mathrm{Mor}_{\K}(\com{X} , \com{X}) = \mathrm{H}^0 \com{\mathrm{Hom}}(\com{X}, \com{X}) = 0$. Also ist $\mathrm{id}_{\com{X} } = 0$ und damit $\com{X} = 0$ in $\K$. \end{proof} \end{bem} \begin{satz} Sei $\com{X} \in \K$ mit $X^{i} = 0$ $\forall i \neq 0$. Dann ist $\com{X} $ K-injektiv (bzw. K-projektiv) genau dann wenn $A^{0}$ injektiv (bzw. projektiv) in $\mathcal{A}$ ist. \end{satz} \begin{proof} ,,$\implies$'': Sei $\com{X} $ K-projektiv und $\com{S} = 0 \to M \to N \to P \to 0$ kurze exakte Folge in $\mathcal{A}$. Sei $f\colon X^{0} \to P$. Das induziert einen Komplexhomomorphismus $\com{X} \to \com{S}$ \[\begin{tikzcd} 0 \arrow{d} \arrow{r} & 0 \arrow{d} \arrow{r} & X^0 \arrow{d}{f} \arrow[dashed]{dl}{k} \arrow{r} & 0 \arrow{d} \arrow[dashed]{dl}\\ M \arrow{r} & N \arrow{r}{v} & P \arrow{r} & 0 \end{tikzcd}\] Nach Voraussetzung ist dieser nullhomotop, d.h. es existiert $k \colon X^{0} \to N$, s.d. $f = vk$. Also ist $\text{Hom}(X^{0}, N) \to \text{Hom}(X^{0}, P)$ surjektiv und damit $X^{0}$ projektiv. ,,$\impliedby$'': Sei nun $X^{0}$ projektiv, $\com{S} \in \mathcal{K}$ exakt und $f\colon \com{X} \to \com{S}$ Komplexhomomorphismus. Dann betrachte \[ diag .\] Da $X^0$ projektiv, existiert $k^{0}\colon A^{0} \to S^{-1}$, s.d. $f^{0} = d^{-1} k^{0}$. \end{proof} \begin{satz}[] \begin{enumerate}[(i)] \item $\com{X} \in \mathcal{K}$ ist K-projektiv (bzw. K-injektiv) genau dann wenn $\com{X}[1]$ dies ist. \item Falls zwei Punkte eines ausgezeichneten Dreiecks in $\mathcal{K}$ K-projektiv (bzw. K-injektiv) sind, dann auch der dritte. \end{enumerate} \end{satz} \begin{proof} \begin{enumerate}[(i)] \item Das folgt, daraus dass für $\com{X}, \com{S} \in \mathcal{K}$ gilt: $\com{S} $ exakt $\iff \com{S} [-1]$ exakt und \[ \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{X}, \com{S}[-1]) = \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{X}[1], \com{S}) .\] \item Sei $(\com{X}, \com{Y}, \com{Z}, u, v, w)$ ein ausgezeichnetes Dreieck mit $\com{X}, \com{Y} $ K-projektiv und $\com{S} $ exakt. Nach Anwenden von $\text{Mor}_{\mathcal{K}}(-, \com{S})$ \ref{hom-cohom-func} ist dann \[ \underbrace{\text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{X}[1], \com{S})}_{= 0} \to \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{Z}, \com{S} ) \to \underbrace{\text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{Y}, \com{S} )}_{= 0} \] exakt und die äußeren Terme $0$ nach Voraussetzung und (i). Also folgt $\text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{Z}, \com{S}) = 0$, also $\com{Z} $ K-projektiv. Der allgemeine Fall folgt nun mit \ref{TR2}. \end{enumerate} \end{proof} \begin{satz} Sei $\com{P} \in \mathcal{K}$. Dann sind äquivalent \begin{enumerate}[(i)] \item $\com{P} $ K-projektiv \item Für $\com{X} \to \com{Y} $ Quasiisomorphismus in $\mathcal{K}$ ist der natürliche Homomorphismus \[ \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{X} ) \to \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{Y} ) \] ein Isomorphismus. \item Für $\com{S} \in \mathcal{K}$ ist der natürliche Homomorphismus \[ \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{S} ) \to \text{Mor}_{\mathcal{D}}(\com{P} , \com{S} ) \] ein Isomorphismus. \end{enumerate} \end{satz} \begin{proof} (i)$\implies$(ii): Sei $f\colon \com{X} \to \com{Y} $ ein Quasiisomorphismus. Dann ist \[ \begin{tikzcd} \com{X} \arrow{r}{f} & \com{Y} \arrow{r} & \com{C_f} \arrow{r} & \com{X}[1] \end{tikzcd} \] ein ausgezeichnetes Dreieck und $\com{C_f}$ ist nach \ref{mapping-cone-exact-for-qis} exakt. Anwenden von $\text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , -) $ liefert mit \ref{hom-cohom-func} eine exakte Folge: \[ \begin{tikzcd} \underbrace{\text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{C_f}[-1]) \arrow{r}}_{= 0} & \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{X} ) \arrow{r} & \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{Y} ) \arrow{r} & \underbrace{\text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P}, \com{C_f} ) }_{= 0} \end{tikzcd} .\] Die äußeren Terme sind 0, da $\com{P} $ K-projektiv, also folgt der behauptete Isomorphismus. (ii)$\implies$(iii): Injektivität: Sei $f\colon \com{P} \to \com{S} $, s.d. $\text{id}^{-1}f = 0$. Nach \ref{derived-cat-morphism-null} existiert ein $t\colon \com{S} \to \com{T} $ Quasiisomorphismus, s.d. $tf= 0$. Nach (ii) ist $t_{*}\colon \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{S} ) \to \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{T} ) $ injektiv, also folgt $f = 0$. Surjektivität: Sei $a \in \text{Mor}_{\mathcal{D}}(\com{P} , \com{S} ) $. Dann ist $a$ ein Diagramm in $\mathcal{K}$ \[ \begin{tikzcd} & \com{M} & \\ \com{P} \arrow{ur}{f} & & \arrow{ul}{s} \com{S} \end{tikzcd} \] mit $s$ Quasiisomorphismus. Nach (ii) ist $s_{*}\colon \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{S} ) \to \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{M} ) $ surjektiv, also existiert ein $g\colon \com{P} \to \com{S} $, s.d. $sg = f$. Also kommutiert \[ \begin{tikzcd} & \com{S} \arrow{d}{s} & \\ \com{P} \arrow{dr}{f} \arrow{ur}{g} & \com{M} & \arrow{l}{s} \arrow{ul}{\text{id}} \com{S} \arrow{dl}{s}\\ & \com{M} \arrow{u}{\text{id}} & \\ \end{tikzcd} .\] Damit folgt $a = g\text{id}^{-1}$. (iii)$\implies$(i): Sei $\com{S} $ exakt. Dann ist $\com{S} \to 0$ ein Quasiisomorphismus, also $\com{S} \stackrel{\sim }{=} 0$ in $\mathcal{D}$, also \[ \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{X} , \com{S} ) \stackrel{\text{(ii)}}{=} \text{Mor}_{\mathcal{D}}(\com{X} , \com{S} ) = \text{Mor}_{\mathcal{D}}(\com{X} , \com{0} ) = 0 .\] \end{proof} \begin{satz} Sei $\com{X} \in \mathcal{K}$. Dann sind äquivalent \begin{enumerate}[(i)] \item $\com{X} $ K-projektiv. \item Für alle Diagramme in $\mathcal{K}$ \[ \begin{tikzcd} & \com{M} \arrow{d}{s} \\ \com{X} \arrow{r}{f} & \com{N}\\ \end{tikzcd} \] mit $s$ Quasiisomorphismus, existiert genau ein $g\colon \com{X} \to \com{M} $, s.d. $sg= f$ in $\mathcal{K}$. \item Für alle Quasiisomorphismen $u\colon \com{S} \to \com{X} $ in $\mathcal{K}$ existiert ein $v\colon \com{A} \to \com{S} $, s.d. $uv = \text{id}_{\com{X} }$ in $\mathcal{K}$. \end{enumerate} \end{satz} \newpage \section{Adjunktion von abgeleitetem Hom und Tensorprodukt} \end{document}