\documentclass{../../lecture}

\author{Christian Merten}
\title{Auflösung unbeschränkter Komplexe}
\usepackage{tikz-cd}
\usepackage{amssymb}

\newcommand{\com}[1]{#1^{\bullet}}
\newcommand{\K}{\mathcal{K}}

\begin{document}

\maketitle

\section{Einleitung}

\section{Derivierte Kategorien und abgeleitete Funktoren}

\section{K-injektive und K-projektive Auflösungen}

Sei im Folgenden $\mathcal{A}$ eine feste abelsche Kategorie und $\mathcal{K} = \mathcal{K}(\mathcal{A})$ die
Komplexkategorie mit Komplexhomomorphismen bis auf Homotopie als Abbildungen.

\begin{definition}[K-injektiv bzw. K-projektiv]
    Ein Komplex $\com{X} \in \K$ heißt K-injektiv (bzw. K-projektiv), wenn für alle $\com{S} \in \K$, der Komplex
    $\com{\mathrm{Hom}}(\com{S}, \com{X})$ (bzw. $\com{\mathrm{Hom}}(\com{X}, \com{S})$) exakt ist.
\end{definition}

\begin{bem}
    Mit \ref{hom-compl-cohomgroups} ist $\com{X} $ genau dann K-injektiv (bzw. K-projektiv), wenn
    $\forall \com{S} \in K$ exakt: $\text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{S}[i] , \com{X}) = 0$
    (bzw. $\text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{X}, \com{S}[i]) = 0)$  $\forall i \in \Z$. Da Verschieben Exaktheit erhält
    folgt also
    \[
    \com{X}  \text{ K-projektiv} \iff \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{X} , \com{S} )  = 0 \quad \forall \com{S} \text{ exakt}
    \]
    \[
    \com{X}  \text{ K-injektiv} \iff \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{S} , \com{X} )  = 0 \quad \forall \com{S} \text{ exakt}
    .\]
\end{bem}

\subsection{Elementare Eigenschaften von K-injektiven und K-projektiven Komplexen} 

\begin{bem}
    Ein exakter K-projektiver oder K-injektiver Komplex $\com{X}$ ist zusammenziehbar, d.h. ist nullhomotop.
    \begin{proof}
        Betrachte $\mathrm{id}_{\com{X}} \in \mathrm{Hom}^{0}(\com{X}, \com{X}) = \mathrm{Mor}_{\K}(\com{X} , \com{X}) = \mathrm{H}^0 \com{\mathrm{Hom}}(\com{X}, \com{X}) = 0$. Also ist $\mathrm{id}_{\com{X} } = 0$ und damit
        $\com{X} = 0$ in $\K$.
    \end{proof}
\end{bem}

\begin{satz}
    Sei $\com{X} \in \K$ mit $X^{i} = 0$ $\forall i \neq 0$. Dann ist $\com{X} $ K-injektiv (bzw. K-projektiv) genau
    dann wenn $A^{0}$ injektiv (bzw. projektiv) in $\mathcal{A}$ ist.
\end{satz}

\begin{proof}
    ,,$\implies$'': Sei $\com{X} $ K-projektiv und $\com{S} = 0 \to M \to  N \to  P \to 0$ kurze exakte Folge in $\mathcal{A}$. Sei
    $f\colon X^{0} \to P$. Das induziert einen Komplexhomomorphismus $\com{X} \to \com{S}$
\[\begin{tikzcd}
    0 \arrow{d} \arrow{r} & 0 \arrow{d} \arrow{r} & X^0 \arrow{d}{f} \arrow[dashed]{dl}{k} \arrow{r}
    & 0 \arrow{d} \arrow[dashed]{dl}\\
    M \arrow{r} & N \arrow{r}{v} & P \arrow{r} & 0
\end{tikzcd}\]
Nach Voraussetzung ist dieser nullhomotop, d.h. es existiert $k \colon X^{0} \to N$, s.d. $f = vk$. Also ist
$\text{Hom}(X^{0}, N) \to \text{Hom}(X^{0}, P)$ surjektiv und damit $X^{0}$ projektiv.

,,$\impliedby$'': Sei nun $X^{0}$ projektiv, $\com{S} \in \mathcal{K}$ exakt und $f\colon \com{X} \to \com{S}$
Komplexhomomorphismus. Dann betrachte
\[
diag
.\] 
Da $X^0$ projektiv, existiert $k^{0}\colon A^{0} \to S^{-1}$, s.d. $f^{0} = d^{-1} k^{0}$.
\end{proof}

\begin{satz}[]
    \begin{enumerate}[(i)]
        \item $\com{X} \in \mathcal{K}$ ist K-projektiv (bzw. K-injektiv) genau dann wenn $\com{X}[1]$ dies ist.
        \item Falls zwei Punkte eines ausgezeichneten Dreiecks in $\mathcal{K}$ K-projektiv (bzw. K-injektiv) sind,
            dann auch der dritte.
    \end{enumerate}
\end{satz}
    
\begin{proof}
    \begin{enumerate}[(i)]
        \item Das folgt, daraus dass für $\com{X}, \com{S} \in \mathcal{K}$ gilt: $\com{S} $ exakt $\iff \com{S} [-1]$
            exakt und
            \[
            \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{X}, \com{S}[-1]) = \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{X}[1], \com{S})
            .\] 
        \item Sei $(\com{X}, \com{Y}, \com{Z}, u, v, w)$ ein ausgezeichnetes Dreieck mit $\com{X}, \com{Y} $ K-projektiv
            und $\com{S} $ exakt. Nach Anwenden von $\text{Mor}_{\mathcal{K}}(-, \com{S})$
            \ref{hom-cohom-func} ist dann
            \[
                \underbrace{\text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{X}[1], \com{S})}_{= 0}
                \to \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{Z}, \com{S} )
                \to
                \underbrace{\text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{Y}, \com{S} )}_{= 0}
            \] exakt und die äußeren Terme $0$ nach Voraussetzung und (i). Also folgt
            $\text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{Z}, \com{S}) = 0$, also $\com{Z} $ K-projektiv. Der allgemeine Fall folgt nun
            mit \ref{TR2}.
    \end{enumerate}
\end{proof}

\begin{satz}
    Sei $\com{P} \in \mathcal{K}$. Dann sind äquivalent
    \begin{enumerate}[(i)]
        \item $\com{P} $ K-projektiv
        \item Für $\com{X} \to \com{Y} $ Quasiisomorphismus in $\mathcal{K}$ ist der natürliche Homomorphismus
            \[
            \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{X} ) \to \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{Y} ) 
            \] ein Isomorphismus.
        \item Für $\com{S} \in \mathcal{K}$ ist der natürliche Homomorphismus
            \[
                \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{S} ) \to \text{Mor}_{\mathcal{D}}(\com{P} , \com{S} ) 
            \] ein Isomorphismus.
    \end{enumerate}
\end{satz}

\begin{proof}
    (i)$\implies$(ii): Sei $f\colon \com{X} \to \com{Y} $ ein Quasiisomorphismus. Dann ist
    \[
    \begin{tikzcd}
        \com{X} \arrow{r}{f} & \com{Y} \arrow{r} & \com{C_f} \arrow{r} & \com{X}[1]
    \end{tikzcd}
    \] ein ausgezeichnetes Dreieck und $\com{C_f}$ ist nach \ref{mapping-cone-exact-for-qis} exakt. Anwenden von
    $\text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , -) $ liefert mit \ref{hom-cohom-func} eine exakte Folge:
    \[
        \begin{tikzcd}
            \underbrace{\text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{C_f}[-1]) \arrow{r}}_{= 0} &
            \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{X} ) \arrow{r} &
            \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{Y} ) \arrow{r} &
            \underbrace{\text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P}, \com{C_f} ) }_{= 0}
        \end{tikzcd}
    .\] Die äußeren Terme sind 0, da $\com{P} $ K-projektiv, also folgt der behauptete Isomorphismus.

    (ii)$\implies$(iii): Injektivität: Sei $f\colon \com{P} \to \com{S} $, s.d. $\text{id}^{-1}f = 0$. Nach
    \ref{derived-cat-morphism-null} existiert ein $t\colon \com{S} \to \com{T} $ Quasiisomorphismus, s.d. $tf= 0$.
    Nach (ii) ist $t_{*}\colon \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{S} ) \to \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{T} ) $
    injektiv, also folgt $f = 0$. Surjektivität: Sei $a \in \text{Mor}_{\mathcal{D}}(\com{P} , \com{S} ) $. Dann
    ist $a$ ein Diagramm in $\mathcal{K}$
    \[
    \begin{tikzcd}
        & \com{M} & \\
        \com{P} \arrow{ur}{f} & & \arrow{ul}{s} \com{S} 
    \end{tikzcd}
    \] mit $s$ Quasiisomorphismus. Nach (ii) ist $s_{*}\colon \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{S} ) \to \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{M} ) $ surjektiv, also existiert ein $g\colon \com{P} \to \com{S} $, s.d. $sg = f$. Also
    kommutiert
    \[
    \begin{tikzcd}
        & \com{S} \arrow{d}{s} & \\
        \com{P} \arrow{dr}{f} \arrow{ur}{g} & \com{M} & \arrow{l}{s} \arrow{ul}{\text{id}} \com{S} \arrow{dl}{s}\\
        & \com{M} \arrow{u}{\text{id}} & \\
    \end{tikzcd}
    .\] Damit folgt $a = g\text{id}^{-1}$.

    (iii)$\implies$(i): Sei $\com{S} $ exakt. Dann ist $\com{S} \to 0$ ein Quasiisomorphismus, also
    $\com{S} \stackrel{\sim }{=} 0$ in $\mathcal{D}$, also
    \[
        \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{X} , \com{S} )
        \stackrel{\text{(ii)}}{=} \text{Mor}_{\mathcal{D}}(\com{X} , \com{S} )
        = \text{Mor}_{\mathcal{D}}(\com{X} , \com{0} ) = 0
    .\]
\end{proof}

\begin{satz}
    Sei $\com{X} \in \mathcal{K}$. Dann sind äquivalent
    \begin{enumerate}[(i)]
        \item $\com{X} $ K-projektiv.
        \item Für alle Diagramme in $\mathcal{K}$
            \[
            \begin{tikzcd}
                & \com{M} \arrow{d}{s}  \\
                \com{X} \arrow{r}{f} & \com{N}\\
            \end{tikzcd}
            \] mit $s$ Quasiisomorphismus, existiert genau ein $g\colon \com{X} \to \com{M} $, s.d.
            $sg= f$ in $\mathcal{K}$.
        \item Für alle Quasiisomorphismen $u\colon \com{S} \to \com{X} $ in $\mathcal{K}$ existiert ein
            $v\colon \com{A} \to \com{S} $, s.d. $uv = \text{id}_{\com{X} }$ in $\mathcal{K}$.
    \end{enumerate}
\end{satz}

\newpage

\section{Adjunktion von abgeleitetem Hom und Tensorprodukt}

\end{document}
