\documentclass{lecture}

\begin{document}
\section{Gruppen, Ringe, Körper}

\subsection{Ringe}

\begin{definition}[Ring]
    Ein Ring $R = (R, +, \cdot, O_{R})$ ist eine Menge $R$ und zwei
    Verknüpfungen $+, \cdot: R \times R \to  R$ und einem
    Element $O_{R} \in R$ so dass:
    \begin{enumerate}
        \item $(R, +, O_{R})$ ist eine abelsche Gruppe
        \item $a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c$ $\forall a,b,c \in R$
        \item $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$, $(a + b) \cdot c = ac + bc$
    \end{enumerate}

    Ein unitärer Ring (,,Ring mit 1'') ist ein Tupel
    $(R, +, \cdot, 0_{R}, 1_{R})$, so dass $(R, +, \cdot, 0_{R})$ ein
    Ring ist und $1_R \in R$, so dass gilt:
    \begin{enumerate}
        \item $1_{R} \cdot a = a = a \cdot 1_{R}$
    \end{enumerate}

    Ein Ring heißt kommutativ, wenn
    \begin{enumerate}
        \item $a \cdot b = b \cdot a$ $\forall a, b \in R$
    \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{bem}[Notation]
    Das inverse Element von $a \in R$ bezüglich $+$ bezeichnet man mit
    $-a$. Ein Inverses bezüglich $\cdot$ existiert i.A. nicht.

    Die Eins in einem unitären Ring ist eindeutig bestimmt.
\end{bem}

\begin{bsp}
    $(\Z, +, \cdot, 0, 1)$ ist ein kommutativer Ring mit 1
\end{bsp}

\begin{bsp}[$\Z / n\Z$]
    ist ein kommutativer Ring mit 1. Multiplikationsvorschrift ist die
    folgende: Für $A, B \in \Z / n\Z$
    \begin{enumerate}
        \item Wähle Vertreter $a, b \in \Z$ von $A$ und $B$.
        \item bilde $a \cdot b$ in $\Z$
        \item $A \cdot B :=$ Restklasse von $a \cdot b$
    \end{enumerate}
    Nachzuweisen: Unabhängigkeit der Definition von der Auswahl der Vertreter
    im ersten Schritt.
\end{bsp}

\begin{bsp}[Die Menge der geraden ganzen Zahlen]
    ist ein kommutativer Ring ohne 1.
\end{bsp}

\begin{lemma}
    $R = (R, +, \cdot, 0_{R})$ Ring. Dann gilt
    \begin{enumerate}
        \item $0_{R} \cdot a = 0_R = a \cdot 0_R$
        \item $a \cdot (-b) = - ab = (-a) \cdot b$
    \end{enumerate}
    Ist R unitär, so gilt:
    \begin{enumerate}
        \item $-b = (-1_{R}) \cdot b$
    \end{enumerate}
\end{lemma}

\begin{proof}[Beweis 1]
    \[
        0_{R} \cdot a + 0_{R} = 0_{R} = 0_{R} a = (0_R + 0_R)a = 0_R a + 0_R a
    .\] 
    Mit kürzen folgt: $0_R = 0_R a$
    Analog für $a \cdot 0_R = 0_R$
\end{proof}

\begin{proof}[Beweis 2]
    \[
        0_R = a 0_R = a \left((-b) + b\right) = a(-b) + a b
    \] also $a(-b) = -ab$.
\end{proof}

\begin{proof}[Beweis 3]
    Ist R unitär, so setzt man in 2 $a = 1_{R}$ ein und erhält 3.
\end{proof}

\begin{bsp}
    $R = \{0\} $ mit den einzig möglichen Verknüpfungen $+$ und $\cdot$
    heißt der \textit{Nullring}.
    Nullring ist ein kommutativer Ring mit 1 ($0_R = 0 = 1_R$).
    Dies ist der einzige Ring mit $1_R = 0_R$.

    Begründung: Gelte $0_R = 1_R$, so folgt für jedes $r \in R$:
    \[
        r = r \cdot 1_R = r \cdot 0_R = 0_R
    .\] Egal welches Element herausgenommen wird, es ist immer $0_R$, d.h.
    $R$ muss ein Nullring sein.
\end{bsp}

\begin{lemma}
    Sei $R = (R, +, \cdot, 0_R, 1_R)$ ein unitärer Ring und
    $R^{\times } \subset R$ die Menge der Elemente die ein Links- und
    ein Rechtsinverses bezüglich $\cdot$ haben, das heißt
    \[
    R^{\times } = \{r \in R  \mid \exists s, t \in R : s r = 1_R = r t\}
    .\] 
    Dann ist $(R^{x}, \cdot, 1_R)$ eine Gruppe.
    Man nennt $R^{x}$ die Einheitengruppe von $R$.
\end{lemma}

\begin{proof}
    Seien $r, \overline{r} \in R^{\times }$ und $s, \overline{s}, t, \overline{t}$
    mit
    \[
    s r = 1 = r t
   .\] und
   \[
   \overline{s} \overline{r} = 1 = \overline{r} \overline{t}
   .\] Dann
   \[
       (s' s)(r r') = s'(s r) r' = s'1r' = s'r' = 1
   .\] 
   \[
        (r r') (t' t) = r (r' t') t = r 1 t = r t = 1 
   .\] $\implies r \cdot r' \in R^{\times }$

   Wir überprüfen die Gruppenaxiome: G1 folgt aus R2

   $1 \in R$ ist neutral $\to$ G2

   Bleibt zu zeigen: $\forall r \in R^{\times }: \exists r' \in R: r r' = 1$
   Nach Definition: $\exists s \in R: s r = 1$. Zu zeigen: $s \in R^{\times }$.
   Offenbar hat das Rechtsinverse $r$. Aber $r$ ist auch linksinvers zu $s$:

   Wähle $t \in  R$ mit $r t = 1$. Dann gilt $s = s (r t) = (s r) t = t$
   $\implies$ rs = rt = 1.
\end{proof}

\begin{bem}
    $0_R \in R^{\times } \implies \exists r \in R: 0_R r = 1_R \implies 0_R = 1_R \implies$ $R$ ist der Nullring.
\end{bem}

\begin{definition}[Körper]
    Ein Körper $K$ ist ein kommutativer Ring mit 1: $(K, +, 0_K, 1_K)$
    mit $K^{\times } = K \ \{0_K\}$
\end{definition}

\begin{bsp}
    \begin{enumerate}
        \item $\Q, \R, \C$ sind Körper
        \item $\Z$ ist kein Körper ($\Z^{\times } = \{+1, -1\} $)
    \end{enumerate}
\end{bsp}

\begin{lemma}[]
    In einem Körper $K$ gilt, dass
    \[
    a b = 0_K \implies a = 0 \wedge b = 0
    .\] 
\end{lemma}

\begin{proof}
    Angenommen $a \neq 0_K$: Dann existiert $a^{-1} \in K$ mit
    $a^{-1} a = 1_K$. Es folgt
    \[
    b = 1_K b = a^{-1} a b = a^{-1} 0_K = 0_K
    .\] 
\end{proof}

\begin{lemma}
    Ist $p$ eine Primzahl, so ist $\Z / p\Z$ ein Körper.
\end{lemma}

\begin{proof}[]
    $\Z / p \Z$ ist kommutativer Ring mit 1 (siehe oben).

    Zu zeigen: $\forall A \in \Z / p\Z, A \neq \overline{0}$ ist
    die $\overline{1}$ im Bild der Abbildung:
    \[
    A\cdot : \Z / p \Z \to  \Z / p \Z, B \mapsto A \cdot B
    .\] 
    Wir zeigen sogar, dass $A \cdot$ surjektiv ist.
    Da $\Z / p \Z$ endlich ist, genügt es z.z., dass $A \cdot$ injektiv ist.

    Angenommen es gäbe Restklassen $B, C \in  \Z / p \Z$ mit
    \[
        A \cdot B = A \cdot C
    .\] Seien $a, b, c \in \Z$ Vertreter.
    Wegen $A \neq \overline{0}$ gilt $a$ nicht durch $p$ teilbar.
    Wegen $AB = AC$ gilt $ab =- ac$ mod $p \implies p$ teilt $a (b -c)$.

    Weil $p$ eine Primzahl ist und $p$ teilt nicht $a$ folgt
    $p / (b -c)$, also $b =- c$ mod $p \implies B = C$ 
\end{proof}

\begin{bem}
    Ist $n \in N$ keine Primzahl, so ist $\Z / n \Z$ kein Körper.
\end{bem}

\begin{proof}
    Für $n=1$ ist $\Z / n\Z$ der Nullring (kein Körper).
    
    Nun sei $n > 1$ keine Primzahl
    $\implies \exists a, b \in \N, 1 < a, b < n$ mit $a b = n$ Für die
    Restklassen bedeutet dies: $\overline{a} \neq \overline{0}$,
    $\overline{b} \neq  \overline{0}$ aber
    $\overline{a} \cdot \overline{b} = \overline{a \cdot b} = \overline{n} = \overline{0}$. Wir erhalten Widerspruch zu Lemma 1.15. Also
    ist $\Z / n \Z$ kein Körper.
\end{proof}

\begin{definition}[Charakteristik]
    Sei $K$ Köper. Die kleinste natürliche Zahl $n$ mit n mal
    $1_K + \ldots + 1_K = 0_K$ (in $K$) heißt die
    Charakteristik von K.

    Notation: char(K).
    Gibt es eine solche Zahl $n$ nicht, dann setzt man char(K) = 0.
\end{definition}

\begin{bem}

    \begin{enumerate}
        \item char(K) $=0$ oder char(K) $\ge 2$ (wegen $0_K \neq 1_K$).
        \item \Q, \R, \C haben Charakteristik Null.
        \item \Z / p \Z hat die Charakteristik p.
    \end{enumerate}
\end{bem}

\begin{satz}
    char(K) ist entweder 0 oder Primzahl.
\end{satz}

\begin{proof}
    Sei char(K) $\neq 0$, also char(K) $= n \ge 2$.

    Wäre $n$ keine Primzahl, so existieren $a, b \in \N, 1 < a ,b < n$
    mit $ab = n$. Dann gilt:
    \[
        (1_K + \ldots + 1_K) \cdot (1_K + \ldots + 1_K)
        = (1_K + \ldots + 1_K) = 0
    .\] Aus dem Satz vom Nullprodukt folgt $(1_K + \ldots + 1_K)$ = $0_K$
    oder $(1_K + \ldots + 1_K) = 0_K$

    Das Widerspricht der Minimalität von n.
\end{proof}

\subsection{Homomorphismen}

\begin{definition}
    Seien $(G, *_G, e_G)$ und $(H, *_H, e_H)$ Gruppen.
    Eine Abbildung $f: G \to H$ heißt Gruppenhomomorphismus wenn für alle
    $g, g' \in G$ gilt:
    \[
        f(g *_G g') = f(g) *_H f(g')
    .\] 
\end{definition}

\end{document}