\documentclass[uebung]{../../../lecture}

\title{Einführung in die Numerik: Übungsblatt 9}
\author{Leon Burgard, Christian Merten}

\usepackage[]{subcaption}

\begin{document}

\punkte

\begin{aufgabe}
    \begin{enumerate}[a)]
        \item Es ergibt sich durch Ausrechnen:
            \begin{salign*}
                a_0 &= y_0 = \frac{1}{2} \\
                a_1 &= \frac{y_1 - a_0 N_0(t_1)}{N_1(t_1)} = \frac{1 - \frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{2}{3} \\
                a_2 &= \frac{y_2 - a_0 N_0(t_2) - a_1N_1(t_2)}{N_2(t_2)} = -\frac{4}{45}
                \intertext{Damit folgt}
                p_2(t) &= \frac{1}{2} + \frac{2}{3}\left( t - \frac{1}{4} \right) - \frac{4}{45} \left( t - \frac{1}{4} \right) (t- 1)
            .\end{salign*}
        \item Es folgt für $t_3 = 9$ $y_3 = 3$, also
            \begin{salign*}
                a_3 &= \frac{y_3 - a_0N_0(t_3) - a_1N_1(t_3) - a_2 N_2(t_3)}{N_3(t_3)}
                = \frac{13}{1575}
                \intertext{Damit folgt}
                p_3(t) &= \frac{1}{2} + \frac{2}{3}\left( t - \frac{1}{4} \right) - \frac{4}{45} \left( t - \frac{1}{4} \right) (t- 1) + \frac{13}{1575} \left( t - \frac{1}{4} \right) (t-1)(t-4)
            .\end{salign*}
        \item Graph:\\
            \begin{tikzpicture}
                \begin{axis}[default 2d plot,
                             xmin=0,xmax=10,
                             legend pos=outer north east]
                    \addplot[domain=0:10, smooth,green]{0.5 + 2/3*(x-1/4) - 4/45*(x-1/4)*(x-1)};
                    \addlegendentry{$p_2(t)$}
                    \addplot[domain=0:10, smooth, blue]{0.5 + 2/3*(x-1/4) - 4/45*(x-1/4)*(x-1)+13/1575*(x-1/4)*(x-1)*(x-4)};
                    \addlegendentry{$p_3(t)$}
                    \addplot[domain=0:10, smooth, red]{sqrt(x)};
                    \addlegendentry{$\sqrt{t}$}
                \end{axis}
            \end{tikzpicture}
    \end{enumerate}
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe}
    \begin{enumerate}[a)]
        \item Bezeichne:
            \begin{align*}
                &r_{i,0}(x) \coloneqq y_i \\
                &r_{i,k}(x) \coloneqq \frac{(x-x_i) p_{i+1, k-1}(x) - (x- x_{i+k})p_{i,k-1}(x)}{x_{i+k}-x_i}
            .\end{align*}
            Z.z.: $p_{i,0}(x) = r_{i,0}(x)$ und $p_{i,k}(x) = r_{i,k}(x)$.

            $r_{i,0}$ bzw. $r_{i,k}$ sind Polynome vom Grad $0$ bzw. $k$. D.h. es genügt zu zeigen,
            dass sie die Interpolationseigenschaft erfüllen. Die Behauptung folgt dann aus der
            Eindeutigkeit des Interpolationspolynoms.

            Für $r_{i,0}(x)$ ist die Interpolationseigenschaft trivialerweise für die eine Stützstelle
            $x_i$ erfüllt, denn $r_{i,0}(x_i) = y_i$.

            Für $r_{i,k}$ gilt für $i \le j \le i+k$:
            \begin{salign*}
                r_{i,k}(x_{j}) &= \frac{(x_j-x_i) p_{i+1, k-1}(x_j) - (x_j- x_{i+k})p_{i,k-1}(x_j)}{x_{i+k}-x_i} \\
                &\stackrel{(*)}{=} \frac{(x_j - x_i) y_j - (x_j - x_{i+k})y_j}{x_{i+k}-x_i} \\
                &= y_j \frac{x_j - x_i - x_j + x_{i+k}}{x_{i+k}-x_i} \\
                &= y_j \frac{x_{i+k} - x_i}{x_{i+k}-x_i} \\
                &= y_j
            .\end{salign*}
            $(*)$: Falls $j = i$, dann ist $p_{i+1,k-1}(x_j)$ i.A. nicht $y_j$, aber dann ist
            $(x_j - x_i) = (x_i - x_i) = 0$, also gilt dennoch $(x_j - x_i) p_{i+1,k-1}(x_j) = (x_j - x_i)y_j$.
            Analog für $j = i+k$.
        \item Durch Berechnung von $p_{0,3}(61.7)$ mit dem Schema aus (a) erhält man die Tageslänge
            am Ort $E$ mit $19$h $29,55$m.
    \end{enumerate}
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe}
    \begin{enumerate}[a)]
        \item
            \begin{itemize}
                \item Für die Koeffizienten $a_i$ gilt $a_i = y_i$. Also keine Operationen nötig.
                \item Auswertung von $L_i^{(n)}(\xi) = \prod_{j=0,j\neq i}^{n} \frac{(\xi-x_j)}{x_i - x_j} $:
                    $n+1$ Faktoren mit $3$ Operationen plus $n$ Multiplikationen für das Produkt. Gesamt:
                    $3(n+1) + n = 4n+4+n=5n+4=5(n+1)-1$.

                    Auswertung von $p(\xi)$: $n+1$ Summanden mit $5(n+1)-1$ Operationen plus Multiplikation
                    mit $y_i$, ergibt $(n+1)\cdot (5(n+1)-1+1) = 5(n+1)^2$. Mit zusätzlich $n$ Additionen
                    für die Auswertung der Summe ergibt sich insgesamt $5(n+1)^2 + n = \mathcal{O}(n^2)$.
            \end{itemize}
        \item 
            \begin{itemize}
                \item 
            Berechnung der Koeffizienten erfordert die Lösung eines LGS mit unterer Dreicksmatrix.
            Dies erfordert $\mathcal{O}^2$ Operationen.
        \item Auswertung von $N_i(\xi) = \prod_{j=0}^{i-1} (\xi - x_j) $ erfordert $1$ Addition pro Faktor und
            insgesamt $i-1$ Multiplikationen für das Produkt, also insgesamt: $2i - 1$.

            Auswertung von $p(\xi)$ erfordert entsprechend die Auswertung von $N_i(\xi)$ und die
            Multiplikation mit dem Koeffizienten und Summation über alle $(n+1)$ Summanden. Ergibt also
            insgesamt mit kleinem Gauß $(n+1)(n+2) = n^2 + 3n + 2 = \mathcal{O}(n^2)$.
            \end{itemize}
        \item 
            \begin{itemize}
                \item Berechnung der Koeffizienten erfordert die Lösung eines vollen LGS, also
            $\mathcal{O}(n^{3})$ Operationen.
        \item Auswertung eines Summanden: $a_i t ^{i}$ erfordert $i-1 + 1 = i$ Multiplikationen.

            Auswertung von $p(x)$ erfordert das Summieren von $n+1$ Summanden, also $n$ zusätzliche Additionen.
            Insgesamt folgt also wieder mit kleinem Gauß $\frac{(n+1)(n+2)}{2} + n = \frac{n^2 + 3n + 2}{2} + n = \frac{n^2 + 5n +4}{2} = \mathcal{O}(n^2)$.
            \end{itemize}
        \item Auswertung von $p_{i,k}$ im Neville Schema erfordert
            \begin{align*}
                N(k) &= 2 + N(k-1) + 1 + 1 + 1 + N(k-1) + 1 + 1 \\
                     &= 7 + 2 N(k-1) \\
                     &= 7 + 2 \cdot 7 + 4 \cdot N(k-2) = \ldots = \sum_{j=0}^{k-1} 7 \cdot 2^{j} \\
                     &= 7 \frac{2^{k} - 1}{2 - 1} \\
                     &= 7 (2^{k} - 1) \\
                     &= \mathcal{O}(2^{k})
            .\end{align*}
    \end{enumerate}
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe}
    \begin{enumerate}[a)]
        \item Auszug aus \textit{polynom.cc}
    \begin{lstlisting}[language=C++, title=Auswertung des Interpolationspolynoms für vorgegebene Stüztstellen, captionpos=b]
// Auswertung von p_{i,k}(t) mit Neville Schema bei t=x
template<typename REAL>
REAL evaluateNeville(REAL x, std::vector<REAL> &xs, std::vector<REAL> &ys, int i, int k) {
    if(k == 0) {
        return ys[i];
    } else {
        // nevile rekursionsformel
        return ((x - xs[i])*evaluateNeville(x, xs, ys,i+1,k-1) - (x - xs[i+k])*evaluateNeville(x, xs, ys, i, k-1))/(xs[i+k]-xs[i]);
    }
}

// Auswertung eines Interpolationspolynoms p(t) bei t=x
template<typename REAL>
REAL evaluate(REAL x, std::vector<REAL> &xs, std::vector<REAL> &ys) {
    // nutze neville verfahren mit p(x) = p_{0,n}(x)
    evaluateNeville(x, xs, ys, 0, xs.size()-1);
}\end{lstlisting}
\item Auszug aus \textit{polynom.cc}
\begin{lstlisting}[language=C++, title=Auswertung von I-Polynomen für äquidistante Stützstellen, captionpos=b]
// Auswertung eines Interpolationspolynoms einer Funktion bei vorgegebenen Stuetzstellen
template <typename REAL>
REAL evaluateFunction(REAL x, std::vector<REAL> &xs, REAL(*f)(REAL)) {
    std::vector<double> ys(xs.size());
    for (int i = 0; i < xs.size(); i++) {
        // berechne stuetzstellen
        ys[i] = f(xs[i]);
    }
    // verwende polynominterpolation
    return evaluate(x, xs, ys);
}

// Auswertung eines Interpolationspolynoms einer Funktion bei aequidistanten Stuetzstellen
template <typename REAL>
REAL evaluateFunctionEqualDist(REAL x, REAL a, REAL b, REAL h, REAL(*f)(REAL)) {
    std::vector<double> xs(std::floor((b-a)/h));
    std::vector<double> ys(xs.size());
    for (int i = 0; i < xs.size(); i++) {
        // berechne stuetzstellen
        xs[i] = a + i*h;
        // und funktionswerte
        ys[i] = f(xs[i]);
    }
    // werte polynom aus
    return evaluate(x, xs, ys);
}\end{lstlisting}
\begin{figure}[h]
    \begin{subfigure}[b]{.5\linewidth}
    \begin{tikzpicture}
        \begin{axis}[default 2d plot, xmin=-1, xmax=1]
            \addplot[green] table {f1_5.dat};
            \addlegendentry{$n=5$}
            \addplot[orange] table {f1_10.dat};
            \addlegendentry{$n=10$}
            \addplot[blue] table {f1_20.dat};
            \addlegendentry{$n=20$}
            \addplot[red, samples=100] {1/(1+x^2)};
            \addlegendentry{$\frac{1}{1+x^2}$}
        \end{axis}
    \end{tikzpicture}
    \caption{$f_1 = \frac{1}{1+x^2}$}
    \end{subfigure}
    \begin{subfigure}[b]{.5\linewidth}
    \begin{tikzpicture}
        \begin{axis}[default 2d plot, xmin=-0.5, xmax=0.5, legend pos=outer north east,
                restrict y to domain=-1:5]
            \addplot[green] table {f2_5.dat};
            \addlegendentry{$n=5$}
            \addplot[orange] table {f2_10.dat};
            \addlegendentry{$n=10$}
            \addplot[blue] table {f2_20.dat};
            \addlegendentry{$n=20$}
            \addplot[red, samples=5000] {sqrt(abs(x))};
            \addlegendentry{$\sqrt{|x|} $}
        \end{axis}
    \end{tikzpicture}
    \caption{$f_2 = \sqrt{|x|} $}
    \end{subfigure}
\end{figure}
\item Für $\frac{1}{1+x^2}$ funktioniert die Interpolation mit äquidistanten Stützstellen sehr gut.
    Für $\sqrt{|x|} $ entstehen durch die nicht differenzierbare Stelle bei $x=0$ sehr große Abweichungen,
    die zu den Rändern mit wachsendem Polynomgrad sogar zunehmen.
    \end{enumerate}
\end{aufgabe}

\end{document}
