\documentclass{../../../lecture}

\begin{document}

\section{Differentiation}

\subsection{Ableitung}

\begin{definition}
    Sei $f\colon D \to \R$, $D \subset \R$, eine Funktion. Definiere
    Differenzenquotienten in $x_0 \in D$.
    \[
        D_{h}f(x_0) := \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}
    .\] für Inkrement $h \in \R$ mit $x_0 + h \in D$.

    Eine Funktion $f\colon D \to \R$ heißt differenzierbar im Punkt
    $x_0 \in D$ mit Ableitung $f'(x_0)$, wenn für jede Nullfolge
    $(h_n)_{n\in\N}$ mit $x_0 + h_n \in D$ die Folge
    $(D_{h_n}f(x_0))_{n\in\N}$ konvergiert.
\end{definition}

\begin{bem}
    \begin{enumerate}
        \item Ist eine Funktion differenzierbar in $x_0 \in D$, so
            haben die Folgen von Differenzenquotienten alle denselben
            Limes.
            \[
                f'(x_0) := \lim_{x_0 + h \in D \; h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}
            .\] 
        \item In anderen Worten: Differenzierbarkeit in $x_0 \in D \stackrel{\text{Def.}}{\iff}$
            \[
                \exists \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}
            .\] 
        \item Notationen:
            \[
                f'(x_0), \; \frac{df(x_0)}{dx}, \; \frac{d}{dx}f(x_0), \; \frac{df}{dx}(x_0)
            .\] 
        \item Ist $x_0 \in D$ ein Randpunkt, z.B.: unterer oder oberer Endpunkt von
            $D = [a,b]$, dann wird in der Definition der rechts- oder linksseitige
            Grenzwert gebildet. Man spricht von der links- oder rechtsseitigen
            Ableitung.
             \[
                 \lim_{x \nearrow x_0 \text{ oder } x \uparrow x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}
             .\] ($: \iff x < x_0, x \to x_0$). Analog für die rechtsseitige Ableitung.
        \item $f$ heißt differenzierbar auf $D$, wenn sie $\forall x_0 \in D$ differenzierbar
            (bzw. einseitig differenzierbar im Falle eines Randpunktes) ist.
            $f$ heißt stetig differenzierbar, falls die Ableitung
            $f'\colon D \to \R$ auf $D$ stetig ist.
        \item Differenzierbarkeit bedeutet:
            Man kann die Funktion $f$ in $x_0$ ,,gut'' durch
            eine affin-lineare Funktion annähern
            (affin-linear: Polynom vom Grad 1).
    \end{enumerate}
\end{bem}

\begin{satz}[$\epsilon - \delta$ Sprache]
    Eine Funktion $f\colon D \to \R$ ist in $x_0 \in D$ differenzierbar mit $f'(x_0)$
    $\iff$ 
    $\forall \epsilon > 0$, $\exists \delta_{\epsilon} > 0$, s.d. $\forall x_0 + h \in D$, $|h| < \delta_{\epsilon}$ :
    \[
        \left| \frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h} - f'(x_0) \right| < \epsilon
    .\] 
\end{satz}

\begin{proof}
    trivial.
\end{proof}

\begin{satz}[differenzierbar $\iff$ linear approximierbar]
    $f\colon D \to \R$ ist differenzierbar in $x_0 \in D$, genau dann
    wenn eine Konstante $c \in \R$ existiert mit
    \[
        f(x) = f(x_0) + c(x - x_0) + R(x)
    .\] Für das Restglied $R(x) = R(x, x_0)$ gilt
    \[
        \lim_{x \to x_0} \frac{R(x)}{x - x_0} = 0
    .\] In diesem Falle ist $c$ eindeutig bestimmt mit
    $c = f'(x_0)$.
\end{satz}

\begin{proof}
    ,,$\implies$'': Sei $f$ differenzierbar mit $c = f'(x_0)$. Definiere
    Funktion
    \[
        R(x) := f(x) - f(x_0) - c(x - x_0)
    .\] Dann gilt
    \[
        \frac{R(x)}{x- x_0} = \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} - \underbrace{c}_{f'(x_0)}
        \xrightarrow[x \to x_0]{f \text{ diff.}} 0
    .\] 

    ,,$\impliedby$ '' Sei umgekehrt $c \in \R$ mit
    \[
        \frac{R(x)}{x - x_0} = \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} - c \xrightarrow{x \to x_0} 0
    .\], d.h.
    \[
        \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = c
    .\] $\implies f'(x_0) = c$. Limes eindeutig $\implies$ $f$ differenzierbar.
\end{proof}

\begin{bem}
    Aus dem Satz zur linearen Approximation folgt eine geometrische Interpretation: $f(x)$
    kann in $x_0$ ,,gut'' durch eine Gerade approximiert werden.
    \[
        f(x) \approx g(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x- x_0)
    .\] Der Graph von $g$ ist eine Tangente.
    Sekante:
    \[
        s_h(x) = f(x_0) + \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} (x-x_0)
    .\] Tangente:
    \[
        g(x) = f(x_0) + f'(x)(x-x_0)
    .\] 
\end{bem}
\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \caption{$f(x)$ in rot, ihre Tangente (blau) und eine Sekante (lila)
    im Punkt $x_0 = 1$}
    \begin{tikzpicture}
        \begin{axis}%
            [grid=both,
             minor tick num=4,
             grid style={line width=.1pt, draw=gray!10},
             major grid style={line width=.2pt,draw=gray!50},
             axis lines=middle,
             enlargelimits={abs=0.2},
             ymax=5,
             ymin=0
            ]
            \addplot[domain=0:3,samples=50,smooth,red] {0.5*x^2};
            \addplot[domain=0:3,samples=50,smooth,blue] {(x - 1)+0.5};
            \addplot[domain=0:3,samples=50,smooth,purple] {1.9*(x - 1) + 0.5};
          \end{axis}
    \end{tikzpicture}
\end{figure}

\begin{lemma}
    Sei $f\colon D \to \R$ differenzierbar in $x_0 \in D$. Dann ist
    $f$ stetig in $x_0$.
\end{lemma}

\begin{proof}
    Sei $f$ differenzierbar, d.h.
    \[
        \exists f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}
    .\] Dann gilt wegen der linearen Approximation:
    \begin{align*}
        f(x) &= f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + R(x) \\
             &= f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \frac{R(x)}{x - x_0}(x-x_0)
    .\end{align*}
    Für $x \to x_0$ geht
    \[
        f(x) - f(x_0) = f'(x_0)\underbrace{(x-x_0)}_{\to 0}
        + \underbrace{\frac{R(x)}{x -x_0}}_{\to 0}\underbrace{(x-x_0)}_{\to 0}
    .\] d.h. $f(x) \to f(x_0) \stackrel{\text{Def. Stetigkeit}}{\implies} f$ stetig.
\end{proof}

\begin{bem}
    Umgekehrt gilt das nicht, z.B.: die Betragsfunktion.
\end{bem}

\begin{bsp}
    \begin{enumerate}
        \item Konstante Funktionen $f \equiv c$ sind stetig
            differenzierbar mit  $f'(x_0) = 0$ $\forall x_0$.
        \item Lineare Funktionen $f\colon \R \to \R$
            $f = ax$ sind stetig differenzierbar mit $f'(x_0) = a$
            $\forall x_0$, weil
            \[
                \lim_{h \to 0} \frac{a(x_0 + h) - ax_0}{h} = a
            .\] 
        \item Monomfunktion: $f(x) = x^{n}, n \in \N$ ist
            stetig differenzierbar mit $f'(x) = n x^{n-1}$ $\forall x$, weil
            \begin{align*}
                \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^{n} - x^{n}}{h}
                &\stackrel{a^{n} - b^{n} = \ldots}{=}
                \lim_{h \to 0} \frac{(x+h-x)(x+h)^{n-1}+(x+h)^{n-2}\cdot x + \ldots + (x-h)x^{n-2} + x^{n-1}}{h} \\
                &= \underbrace{x^{n-1} + x^{n-2} \cdot x + \ldots + x^{n-1}}_{n\text{-mal}}  \\
                &= n x^{n-1}
            .\end{align*}
        \item Elementare rationale Funktionen
            $f = \frac{1}{x}$, $x \neq 0$.
            \begin{align*}
                f'(x) &= \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \left( \frac{1}{x+h} - \frac{1}{x} \right)
                      = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \frac{x - (x+h)}{(x+h)\cdot x}
                  = \lim_{h \to 0} - \frac{1}{\underbrace{(x+h)}_{\to x}\cdot x}
                      = - \frac{1}{x^2}
            .\end{align*}
        \item Betragsfunktion $f(x) = |x|$
            \[
                f'(x) = \begin{cases}
                    x & x \ge 0 \\
                    -x & x < 0
                \end{cases}
            .\] ist bei $x_0 = 0$ nicht differenzierbar.
            $\frac{d|x|}{dx}$ für $x_0 = 0$ existiert nicht. Allerdings
            existieren die einseitigen Ableitungen.
\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \caption{Betragsfunktion}
    \begin{tikzpicture}
        \begin{axis}%
            [grid=both,
             minor tick num=4,
             grid style={line width=.1pt, draw=gray!10},
             major grid style={line width=.2pt,draw=gray!50},
             axis lines=middle,
             enlargelimits={abs=0.2},
             ymax=5,
             ymin=0
            ]
            \addplot[domain=-3:3,samples=100,red] {abs(x)};
          \end{axis}
    \end{tikzpicture}
\end{figure}
        \item Exponential-Funktion $f(x) = e^{x}$ ist stetig
            differenzierbar $\forall x$ mit $f'(x) = e^{x}$, weil
            \begin{align*}
                \lim_{h \to 0} \frac{e^{x+h} - e^{x}}{h}
                = e^{x} \cdot \underbrace{\lim_{h \to 0} \frac{e^{h}-1}{h}}_{= 1} = e^{x}
            .\end{align*}
            mit
            \begin{align*}
                e^{h} &= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{h^{k}}{k!} = 1 + h + \frac{h^2}{2} + \frac{h^{3}}{3!} + \ldots \\
                \frac{e^{h} - 1}{h} &= 1 + \frac{h}{2} + \frac{h^2}{3!} + \ldots \xrightarrow{h \to 0} \to  1
            .\end{align*}
        \item Sinus / Cosinus.
             mit $\sin(x) - \sin(y) = 2 \cos \frac{1}{2} (x+y) \cdot \sin \frac{1}{2}(x-y)$ folgt
            \begin{align*}
                \sin'(x) &= \lim_{h \to 0} \frac{\sin(x+h) - \sin(x)}{h} \\
                         &= \lim_{h \to 0} \frac{2 \cos\left(\frac{1}{2} h +x\right)\cdot \sin(\frac{1}{2}h)}{h} \\
                         &= \lim_{h \to 0}
                         \underbrace{\cos\left(\frac{1}{2}h + x\right)}_{\to \cos x}
                         \cdot 
                         \underbrace{\lim_{h \to 0} \frac{\sin(\frac{1}{2}h)}{\frac{h}{2}}}_{\to 1} \\
                         &= \cos x
            .\end{align*}

            $\cos'(x) = - \sin(x)$ folgt analog.
    \end{enumerate}
\end{bsp}

\begin{satz}[Ableitungsregeln]
    Für die Ableitungen gelten folgende Rechenregeln.
    Seien $f, g\colon D \to \R$ differenzierbar.
    \begin{enumerate}
        \item Lineare Kombinationen $\alpha f + \beta g$
            ist differenzierbar mit
             \[
                 (\alpha f + \beta g)'(x) = \alpha f'(x) + \beta g'(x)
            .\] $\alpha, \beta \in \R$ 
        \item Produktregel
            \[
                (f\cdot g)'(x) = f'(x)g(x) + f(x)\cdot g'(x)
            .\] 
        \item Quotientenregel
            \[
                \left(\frac{f}{g}\right)'(x) = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x)\cdot g'(x)}{g^2}
            .\]  $g(x) \neq 0$
    \end{enumerate}
\end{satz}

\begin{proof}
    \begin{enumerate}
        \item Z.z.: $(\alpha f + \beta g)'(x) = \alpha f'(x) + \beta g'(x)$
            \begin{align*}
                 \frac{(\alpha f + \beta g)(x_1) - (\alpha f + \beta g)(x_0)}{x_1 - x_0}
                 &= \alpha \left( \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0} \right)
                 + \beta \left( \frac{g(x_1) -g(x_0)}{x_1-x_0} \right) \\
                 &\xrightarrow{x_1\to x_0} \alpha f'(x_0) + \beta g'(x_0)
            .\end{align*}
        \item Z.z.: $(f g)'(x) = f'(x) g(x) + f(x) g'(x)$ 
            \begin{align*}
                \frac{f(x_1) g(x_1) - f(x_0) g(x_0)}{x_1 - x_0}
                &= \frac{f(x_1) g(x_1)  - f(x_0)g(x_1) + f(x_0)g(x_1)
                - f(x_0) g(x_0)}{x_1 - x_0} \\
                &= g(x_1) \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0}
                + f(x_0) \frac{g(x_1) - g(x_0)}{x_1 - x_0} \\
                &\xrightarrow[g \text{ stetig in } x_0]{x_1 \to x_0} g(x_0) f'(x_0) + f(x_0) g'(x_0)
            .\end{align*}
        \item Z.z.: $\left( \frac{f}{g} \right)'(x) = \frac{f'(x)g(x)
            - f(x) g'(x)}{g^2(x)}$ 

            Für $f \equiv 1$:
            \begin{align*}
                \left( \frac{1}{g} \right)'(x_0)
                &= \lim_{x \to x_0} \frac{1}{x-x_0}
                \left( \frac{1}{g(x)} -  \frac{1}{g(x_0)}\right) \\
                &= \lim_{x \to x_0} \frac{1}{x - x_0}
                \frac{g(x_0) - g(x)}{x - x_0}\\
                &\stackrel{\mathclap{g \text{ stetig}}}{=} \quad
                \lim_{x \to x_0} \frac{1}{g(x) g(x_0)}
                \cdot \lim_{x \to x_0} \frac{g(x_0) - g(x)}{x - x_0} \\
                &= \frac{1}{g(x_0)^2} \cdot (- g'(x_0))
            \intertext{Nun für $f$ beliebig mit Produktregel:}
                \left( \frac{f}{g} \right)'(x_0)
                &= (f\cdot \frac{1}{g})' (x_0) \\
                &= f'(x_0) \cdot \frac{1}{g(x_0)}
                + f(x_0) \cdot \left(\frac{1}{g(x_0)}\right)' \\
                &= f'(x_0) \cdot \frac{1}{g(x_0)}
                - f(x_0) \cdot \frac{g'(x_0)}{g(x_0)^2} \\
                &= \frac{f'(x_0) g(x_0) - f(x_0) g'(x_0)}{g(x_0)^2}
            .\end{align*}
    \end{enumerate}
\end{proof}

\begin{satz}[Differenzierbarkeit der Umkehrfunktion]
    Sei $f\colon  D \to B \subset \R$ stetige invertierbare
    Funktion mit Inverser
    \[
    f^{-1}\colon B \to D.
    .\] Ist $f$ in $x_0 \in D$ differenzierbar mit $f'(x) \neq 0$. Dann ist
    $f^{-1}$ in $y_0 = f(x_0)$ differenzierbar mit
    \[
        \left( f^{-1} \right)'(y_0) = \frac{1}{f'(x_0)} \quad y_0 = f(x_0)
    .\] 
\end{satz}

\begin{proof}
    Sei $y_n = f(x_n)$, $y_0 = f(x_0)$, $y_n \neq y_0$,
    $y_n \to y_0$, $n \to \infty$. Wegen Stetigkeit
    von $f^{-1}$ gilt $\underbrace{f^{-1}(y_n)}_{= x_n}
    \xrightarrow{n \to \infty} \underbrace{f^{-1}(y_0)}_{= x_0}$, oder
    $x_0 \xrightarrow{n \to \infty} x_n$.

    Berechne
    \begin{align*}
        \frac{f^{-1}(y_n) - f^{-1}(y_0)}{y_n - y_0}
        = \frac{x_n - x_0}{f(x_n) - f(x_0)}
        = \left( \frac{f(x_n) - f(x_0)}{x_n - x_0} \right)^{-1}
        \xrightarrow{n \to \infty}
        \left( f'(x_0) \right)^{-1}
    .\end{align*}
\end{proof}

\begin{satz}[Kettenregel]
    Seien $f\colon D_f \to \R$, $g\colon D_g \to \R$ stetige Funktionen.
    $f \in x_0 \in D_f$ differenzierbar, $g \in y_0 = f(x_0) \in D_g$ 
    differenzierbar. Dann ist $(g \circ f): D_f \to \R$ differenzierbar
    in $x_0$ und es gilt die Kettenregel
    \[
        \left( g \circ f \right) ' (x_0) = g'(f(x_0)) \cdot f'(x_0)
    .\] 
\end{satz}

\begin{proof}
    Definiere die Funktion $\Delta g\colon D_g \to \R $, mit
    $\Delta g(y) = \begin{cases}
        \frac{g(y) - g(y_0)}{y - y_0} & y \neq y_0 = f(x_0) \\
        g'(y_0) & y = y_0
    \end{cases}$.

    $g$ in $y_0$ differenzierbar
    $\implies \exists g'(y_0) \implies \lim_{y \to y_0} \Delta g(y)
    = g'(y_0)$.

    Für $y \in D_g$ gilt $g(y) = g(y_0) + \Delta g(y)(y - y_0)$. Damit folgt
    \begin{align*}
        (g \circ f)'(x_0)
        &\stackrel{\mathclap{\text{Def.}}}{=}
        \lim_{x \to x_0} \frac{g(\overbrace{f(x)}^{y})
        - g(\overbrace{f(x_0)}^{y_0})}{x - x_0} \\
        &= \lim_{x \to x_0} \Delta g(f(x)) \cdot
        \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x- x_0} \\
        &= g'(f(x_0)) \cdot f'(x_0)
    .\end{align*}
\end{proof}

\begin{bsp}
    Für $x > 0$ \[
        \frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x}
    .\] $\ln x$ auf $]0, \infty[$ ist stetig differenzierbar.
    \[
        \ln'(y) = \frac{1}{(e^{x})'} = \frac{1}{e^{x}} = \frac{1}{y}
    .\] $y = e^{x}$ 

    Trick: $y = u^{v}$, $u = u(x), v = v(x)$ 
    \begin{align*}
        \ln y &= v \ln u \\
        \frac{1}{y} \cdot y' &= v' \ln u + v \cdot \ln + v\cdot (\ln u)'
        = v' \ln u + v \frac{1}{u} u' \\
        \implies y' &= y (v' \ln u + v \frac{1}{u} u') \\
        \implies (u^{v})' &= u^{v}(v' \ln u + v \cdot \frac{1}{u} u')
        = u^{v} \cdot \ln u \cdot v' + u^{v-1} \cdot v \cdot u'
    .\end{align*}

    $y = \frac{(x^2 + 2)\cdot \sqrt[4]{(x-1)^{3}} e^{x} }{(x+5)^{3}} = g(x)$  \\ 
    $\ln y = \ln(x^2 + 2) + \frac{3}{4} (x-1) + x - 3 \ln (x+5)$
\end{bsp}

\end{document}