\documentclass[uebung]{../../../lecture}

\title{Übungsblatt Nr. 5}
\author{Christian Merten, Samuel Weidemaier}

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\usepackage{listings}

\begin{document}

\begin{aufgabe} Schleifeninvarianz
    \begin{enumerate}[(a)]
        \item $v = (a,b,i)$\\
            $B(v)= i < n$ \\
            $H(v)= (b, a+b, i+1)$
        \item Hier $F$ Fibonacci Folge.\\
            $INV(v^{j}) \equiv F(j) = a \land F(j+1) = b \land i - 1 < n$

            Verifikation der Schleifeninvariante:

            \begin{enumerate}[1.]
                \item 
                    Für $v^{0} = (a^{0}, b^{0}, i^{0}) = (0, 1, 0)$ gilt:
                    \[
                        INV(0,1,0) \equiv F(0) = 0 \land F(1) = 1 \land 0 - 1 < n
                    .\] 
                \item Es gelte nun $INV(v^{j}) \land B(v^{j})$.
                    Wende $H$ auf $v^{j}$ an:
                    \begin{itemize}
                        \item 
                            $a_{j+1} = F(j+1) = b_j \land b_{j+1} = a_j + b_{j} = F(j) + F(j+1) = F(j+2)$
                        \item
                            $i_{j+1} - 1 = i_{j} + 1 - 1 = i_j < n$
                    \end{itemize}

                \item
                    Am Schleifenende gilt $\neg (i < n)$, also  $i \ge n \land i - 1 < n \implies i = n$.
                    \begin{align*}
                        &INV(a, b, n-1) \land \neg B(v^{n-1}) \\
                        \iff & F(n-1) = a \land F(n) = b \land n - 1 < n \\
                        \iff &Q(v^{n})
                    .\end{align*}
            \end{enumerate}
            
    \end{enumerate}

\end{aufgabe}

\begin{aufgabe}
    siehe \textit{readSortedArray.ccp}
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe}
    siehe \textit{perfectShuffle.cpp}
\end{aufgabe}

\end{document}