\documentclass{../../../lecture}

\usepackage[]{mathrsfs}

\begin{document}

\begin{aufgabe}
    Beh.: $f$ genau dann messbar, wenn $f^{-1}(\mathscr{A}) \subset \mathscr{E}$.
    \begin{proof}
        ,,$\implies$'': trivial, denn $f$ messbar $\implies$ $f^{-1}(\mathscr{F}) \subset \mathscr{E}$ und da $\mathscr{A} \subset \mathscr{F}$, folgt
        $f^{-1}(\mathscr{A}) \subset \mathscr{E}$.

        ,,$\impliedby$'': Sei also $f^{-1}(\mathscr{F}) \subset \mathscr{E}$.
        Also $f^{-1}(\mathscr{F}) = \{ f^{-1}(A)  \mid A \in \mathscr{F} \} \subset \mathscr{E}$.
        \[
            \mathscr{K} := \{ A \in \mathscr{F}  \mid f^{-1}(A) \in \mathscr{E}\} 
        .\] 

        Z.z.: $\mathscr{K}$ $\sigma$-Algebra.
        \begin{enumerate}[(i)]
            \item $Y \in \mathscr{K}$, denn
                $f^{-1}(Y) = X \in \mathscr{E}$, da $\mathscr{E}$
                $\sigma$-Algebra.
            \item Sei $A \in \mathscr{A}$. Dann ist
                $f^{-1}(A) \in \mathscr{E}$ und damit
                $f^{-1}(A^{c}) = f^{-1}(A)^{c} \in \mathscr{E}$, da
                $\mathscr{E}$ $\sigma$-Algebra.
            \item Seien $A_i \in \mathscr{K}$ für $i \in \N$. Dann
                ist $\forall i \in \N$: $f^{-1}(A_i) \in \mathscr{E}$. Damit
                folgt, da $\mathscr{E}$ $\sigma$-Algebra:
                \[
                    f^{-1}\left(\bigcup_{i \in \N} A_i \right)
                    = \bigcup_{i \in \N} f^{-1}(A_i) \in \mathscr{E}
                .\] 
        \end{enumerate}
        Nach Voraussetzung ist $\mathscr{A} \subset \mathscr{K}$. Es
        ist $\mathscr{K} \subset \mathscr{F}$ und
        $\mathscr{K}$ $\sigma$-Algebra, die $\mathscr{A}$ enthält, damit
        folgt $\mathscr{F} = \sigma(\mathscr{A}) \subset \mathscr{K}$,
        also insgesamt $\mathscr{K} = \mathscr{F}$. Also
        folgt $\forall A \in \mathscr{F}\colon f^{-1}(A) \in \mathscr{E}$, also
        $f^{-1}(\mathscr{F}) \subset \mathscr{E}$.
    \end{proof}
\end{aufgabe}

\end{document}
