\documentclass{../../lecture}

\author{Christian Merten}
\title{Auflösung unbeschränkter Komplexe}
\usepackage{tikz-cd}
\usepackage{amssymb}

\newcommand{\com}[1]{#1^{\bullet}}
\newcommand{\K}{\mathcal{K}}

\begin{document}

\maketitle

\section{Einleitung}

\section{Derivierte Kategorien und abgeleitete Funktoren}

\section{K-injektive und K-projektive Auflösungen}

Sei im Folgenden $\mathcal{A}$ eine feste abelsche Kategorie und $\mathcal{K} = \mathcal{K}(\mathcal{A})$ die
Komplexkategorie mit Komplexhomomorphismen bis auf Homotopie als Abbildungen.

\begin{definition}[K-injektiv bzw. K-projektiv]
    Ein Komplex $\com{X} \in \K$ heißt K-injektiv (bzw. K-projektiv), wenn für alle $\com{S} \in \K$, der Komplex
    $\com{\mathrm{Hom}}(\com{S}, \com{X})$ (bzw. $\com{\mathrm{Hom}}(\com{X}, \com{S})$) exakt ist.
\end{definition}

\begin{bem}
    Mit \ref{hom-compl-cohomgroups} ist $\com{X} $ genau dann K-injektiv (bzw. K-projektiv), wenn
    $\forall \com{S} \in K$ exakt: $\text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{S}[i] , \com{X}) = 0$
    (bzw. $\text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{X}, \com{S}[i]) = 0)$  $\forall i \in \Z$. Da Verschieben Exaktheit erhält
    folgt also
    \[
    \com{X}  \text{ K-projektiv} \iff \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{X} , \com{S} )  = 0 \quad \forall \com{S} \text{ exakt}
    \]
    \[
    \com{X}  \text{ K-injektiv} \iff \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{S} , \com{X} )  = 0 \quad \forall \com{S} \text{ exakt}
    .\]
\end{bem}

\subsection{Elementare Eigenschaften von K-injektiven und K-projektiven Komplexen} 

\begin{bem}
    Ein exakter K-projektiver oder K-injektiver Komplex $\com{X}$ ist zusammenziehbar, d.h. ist nullhomotop.
    \begin{proof}
        Betrachte $\mathrm{id}_{\com{X}} \in \mathrm{Hom}^{0}(\com{X}, \com{X}) = \mathrm{Mor}_{\K}(\com{X} , \com{X}) = \mathrm{H}^0 \com{\mathrm{Hom}}(\com{X}, \com{X}) = 0$. Also ist $\mathrm{id}_{\com{X} } = 0$ und damit
        $\com{X} = 0$ in $\K$.
    \end{proof}
\end{bem}

\begin{satz}
    Sei $\com{X} \in \K$ mit $X^{i} = 0$ $\forall i \neq 0$. Dann ist $\com{X} $ K-injektiv (bzw. K-projektiv) genau
    dann wenn $A^{0}$ injektiv (bzw. projektiv) in $\mathcal{A}$ ist.

    \label{satz:single-degree-compl-k-proj}
\end{satz}

\begin{proof}
    ,,$\implies$'': Sei $\com{X} $ K-projektiv und $\com{S} = 0 \to M \to  N \to  P \to 0$ kurze exakte Folge in $\mathcal{A}$. Sei
    $f\colon X^{0} \to P$. Das induziert einen Komplexhomomorphismus $\com{X} \to \com{S}$
\[\begin{tikzcd}
    0 \arrow{d} \arrow{r} & 0 \arrow{d} \arrow{r} & X^0 \arrow{d}{f} \arrow[dashed]{dl}{k} \arrow{r}
    & 0 \arrow{d} \arrow[dashed]{dl}\\
    M \arrow{r} & N \arrow{r}{v} & P \arrow{r} & 0
\end{tikzcd}\]
Nach Voraussetzung ist dieser nullhomotop, d.h. es existiert $k \colon X^{0} \to N$, s.d. $f = vk$. Also ist
$\text{Hom}(X^{0}, N) \to \text{Hom}(X^{0}, P)$ surjektiv und damit $X^{0}$ projektiv.

,,$\impliedby$'': Sei nun $X^{0}$ projektiv, $\com{S} \in \mathcal{K}$ exakt und $f\colon \com{X} \to \com{S}$
Komplexhomomorphismus. Dann betrachte
\[
diag
.\] 
Da $X^0$ projektiv, existiert $k^{0}\colon A^{0} \to S^{-1}$, s.d. $f^{0} = d^{-1} k^{0}$.
\end{proof}

\begin{satz}[]
    \begin{enumerate}[(i)]
        \item $\com{X} \in \mathcal{K}$ ist K-projektiv (bzw. K-injektiv) genau dann wenn $\com{X}[1]$ dies ist.
        \item Falls zwei Punkte eines ausgezeichneten Dreiecks in $\mathcal{K}$ K-projektiv (bzw. K-injektiv) sind,
            dann auch der dritte.
    \end{enumerate}
\end{satz}
    
\begin{proof}
    \begin{enumerate}[(i)]
        \item Das folgt, daraus dass für $\com{X}, \com{S} \in \mathcal{K}$ gilt: $\com{S} $ exakt $\iff \com{S} [-1]$
            exakt und
            \[
            \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{X}, \com{S}[-1]) = \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{X}[1], \com{S})
            .\] 
        \item Sei $(\com{X}, \com{Y}, \com{Z}, u, v, w)$ ein ausgezeichnetes Dreieck mit $\com{X}, \com{Y} $ K-projektiv
            und $\com{S} $ exakt. Nach Anwenden von $\text{Mor}_{\mathcal{K}}(-, \com{S})$
            \ref{hom-cohom-func} ist dann
            \[
                \underbrace{\text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{X}[1], \com{S})}_{= 0}
                \to \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{Z}, \com{S} )
                \to
                \underbrace{\text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{Y}, \com{S} )}_{= 0}
            \] exakt und die äußeren Terme $0$ nach Voraussetzung und (i). Also folgt
            $\text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{Z}, \com{S}) = 0$, also $\com{Z} $ K-projektiv. Der allgemeine Fall folgt nun
            mit \ref{TR2}.
    \end{enumerate}
\end{proof}

\begin{satz}
    Sei $\com{P} \in \mathcal{K}$. Dann sind äquivalent
    \begin{enumerate}[(i)]
        \item $\com{P} $ K-projektiv
        \item Für $\com{X} \to \com{Y} $ Quasiisomorphismus in $\mathcal{K}$ ist der natürliche Homomorphismus
            \[
            \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{X} ) \to \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{Y} ) 
            \] ein Isomorphismus.
        \item Für $\com{S} \in \mathcal{K}$ ist der natürliche Homomorphismus
            \[
                \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{S} ) \to \text{Mor}_{\mathcal{D}}(\com{P} , \com{S} ) 
            \] ein Isomorphismus.
    \end{enumerate}
    \label{satz:mork=mord-fuer-kproj}
\end{satz}

\begin{proof}
    (i)$\implies$(ii): Sei $f\colon \com{X} \to \com{Y} $ ein Quasiisomorphismus. Dann ist
    \[
    \begin{tikzcd}
        \com{X} \arrow{r}{f} & \com{Y} \arrow{r} & \com{C_f} \arrow{r} & \com{X}[1]
    \end{tikzcd}
    \] ein ausgezeichnetes Dreieck und $\com{C_f}$ ist nach \ref{mapping-cone-exact-for-qis} exakt. Anwenden von
    $\text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , -) $ liefert mit \ref{hom-cohom-func} eine exakte Folge:
    \[
        \begin{tikzcd}
            \underbrace{\text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{C_f}[-1]) \arrow{r}}_{= 0} &
            \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{X} ) \arrow{r} &
            \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{Y} ) \arrow{r} &
            \underbrace{\text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P}, \com{C_f} ) }_{= 0}
        \end{tikzcd}
    .\] Die äußeren Terme sind 0, da $\com{P} $ K-projektiv, also folgt der behauptete Isomorphismus.

    (ii)$\implies$(iii): Injektivität: Sei $f\colon \com{P} \to \com{S} $, s.d. $\text{id}^{-1}f = 0$. Nach
    \ref{derived-cat-morphism-null} existiert ein $t\colon \com{S} \to \com{T} $ Quasiisomorphismus, s.d. $tf= 0$.
    Nach (ii) ist $t_{*}\colon \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{S} ) \to \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{T} ) $
    injektiv, also folgt $f = 0$. Surjektivität: Sei $a \in \text{Mor}_{\mathcal{D}}(\com{P} , \com{S} ) $. Dann
    ist $a$ ein Diagramm in $\mathcal{K}$
    \[
    \begin{tikzcd}
        & \com{M} & \\
        \com{P} \arrow{ur}{f} & & \arrow{ul}{s} \com{S} 
    \end{tikzcd}
    \] mit $s$ Quasiisomorphismus. Nach (ii) ist $s_{*}\colon \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{S} ) \to \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{M} ) $ surjektiv, also existiert ein $g\colon \com{P} \to \com{S} $, s.d. $sg = f$. Also
    kommutiert
    \[
    \begin{tikzcd}
        & \com{S} \arrow{d}{s} & \\
        \com{P} \arrow{dr}{f} \arrow{ur}{g} & \com{M} & \arrow{l}{s} \arrow{ul}{\text{id}} \com{S} \arrow{dl}{s}\\
        & \com{M} \arrow{u}{\text{id}} & \\
    \end{tikzcd}
    .\] Damit folgt $a = g\text{id}^{-1}$.

    (iii)$\implies$(i): Sei $\com{S} $ exakt. Dann ist $\com{S} \to 0$ ein Quasiisomorphismus, also
    $\com{S} \stackrel{\sim }{=} 0$ in $\mathcal{D}$, also
    \[
        \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{X} , \com{S} )
        \stackrel{\text{(ii)}}{=} \text{Mor}_{\mathcal{D}}(\com{X} , \com{S} )
        = \text{Mor}_{\mathcal{D}}(\com{X} , \com{0} ) = 0
    .\]
\end{proof}

\begin{satz}
    Sei $\com{P} \in \mathcal{K}$. Dann sind äquivalent
    \begin{enumerate}[(i)]
        \item $\com{P} $ K-projektiv.
        \item Für alle Diagramme in $\mathcal{K}$
            \[
            \begin{tikzcd}
                & \com{M} \arrow{d}{s}  \\
                \com{P} \arrow{r}{f} & \com{N}\\
            \end{tikzcd}
            \] mit $s$ Quasiisomorphismus, existiert genau ein $g\colon \com{P} \to \com{M} $, s.d.
            $sg= f$ in $\mathcal{K}$.
        \item Für alle Quasiisomorphismen $u\colon \com{S} \to \com{P} $ in $\mathcal{K}$ existiert ein
            $v\colon \com{P} \to \com{S} $, s.d. $uv = \text{id}_{\com{P} }$ in $\mathcal{K}$.
    \end{enumerate}
\end{satz}

\begin{proof}
    (i)$\implies$(ii): Betrachte das gegebene Diagramm in $\mathcal{D}$:
    \[
        \begin{tikzcd}
            & \com{X} \arrow{d}{\text{id}^{-1}s} \\
            \com{P} \arrow[dashed]{ur}{g} \arrow{r}{\text{id}^{-1}f} & \com{Y}
        \end{tikzcd}
    .\] Da $s$ Quasiisomorphismus, ist $s$ Isomorphismus in $\mathcal{D}$, also existiert ein
    $g\colon \com{P} \to \com{X} $ in $\mathcal{D}$, sodass das Diagramm kommutiert. \ref{satz:mork=mord-fuer-kproj}
    (iii) liefert das gewünschte Diagramm in $\mathcal{K}$.

    (ii)$\implies$(iii): Betrachte
    \[
    \begin{tikzcd}
        & \com{S} \arrow{d}{s} \\
        \com{P} \arrow{r}{\text{id}} & \com{P} 
    \end{tikzcd}
    .\] Da $s$ Quasiisomorphismus existiert mit (ii) ein $f\colon \com{P} \to \com{S}$, s.d. $sf = \text{id}_{\com{P} }$.

    (iii)$\implies$(ii): Erneut mit \ref{satz:mork=mord-fuer-kprof} genügt es zu zeigen, dass für
    $\com{S} \in \mathcal{K}$
    $\text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{S} ) \to \text{Mor}_{\mathcal{D}}(\com{P} , \com{S} ) $ bijektiv ist.
    Injektivität: Sei $f\colon \com{P} \to \com{S} $ mit $\text{id}^{-1}f = 0$ in $\mathcal{D}$. Dann
    existiert nach \ref{derived-cat-morphism-null} ein $t\colon \com{T} \to \com{P} $ Quasiisomorphismus mit $ft = 0$.
    Also existiert mit (iii) ein $s\colon \com{P} \to \com{T} $, s.d. $ts = \text{id}_{\com{P} }$, also
    \[
        f = f \text{id}_{\com{P} } = \underbrace{ft}_{=0}s = 0
    .\] 
    Surjektivität: Sei $a \colon \com{P} \to \com{S} $ in $\mathcal{D}$. Dann ist $a$ gegeben durch ein Diagramm
    \[
    \begin{tikzcd}
        & \com{Q} \arrow{dr}{f} \arrow{dl}{s} & \\
        \com{P} & & \com{S}
    \end{tikzcd}
    \] in $\mathcal{K}$ mit $s$ Quasiisomorphismus. Nach (iii) existiert ein $t\colon \com{P} \to \com{Q}$ mit
    $st = \text{id}_{\com{P} }$. Dann ist
    \[
    \begin{tikzcd}
        & \com{Q} \arrow{dl}{s} \arrow{dr}{f} & \\
        \com{P} & \com{P} \arrow{l}{\text{id}} \arrow{u}{t} \arrow{d}{\text{id}} & \com{S} \\
        & \com{P} \arrow{ul}{\text{id}} \arrow{ur}{ft} & \\
    \end{tikzcd}
    \] ein kommutatives Diagramm in $\mathcal{K}$, also folgt $s^{-1}f = \text{id}^{-1}(ft)$ in $\mathcal{D}$.
\end{proof}

Durch Umdrehen aller Pfeile erhalten wir analog:

\begin{satz}[]
    Für jeden Komplex $\com{I} \in \mathcal{K}$ sind äquivalent:
    \begin{enumerate}[(i)]
        \item $\com{I}$ K-injektiv
        \item Für $\com{S} \in \mathcal{K}$ ist der natürliche Homomorphismus
            \[
            \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{S} , \com{I} ) \to \text{Mor}_{\mathcal{D}}(\com{S} , \com{I} ) 
            \] ein Isomorphismus.
        \item Für jedes Diagramm in $\mathcal{K}$
            \[
            \begin{tikzcd}
                \com{Y} \arrow{r}{f} \arrow{d}{s} & \com{I} \\
                \com{X} 
            \end{tikzcd}
            \] mit $s$ Quasiisomorphismus, existiert genau ein $g\colon \com{X} \to \com{I} $, s.d. das Diagramm
            kommutiert.
        \item Für jeden Quasiisomorphismus $u\colon \com{I} \to \com{S} $ in $\mathcal{K}$ existiert ein
            $v\colon \com{S} \to \com{I} $, s.d. $vu = \text{id}_{\com{I} }$ in $\mathcal{K}$.
    \end{enumerate}
\end{satz}

\subsection{Spezielle inverse und direkte Systeme}

Um für einen Komplex $\com{A} $ eine K-injektive bzw. K-projektive Auflösung zu erhalten, konstruieren wir bestimmte
inverse bzw. direkte Systeme deren Limites die gewünschten Auflösungen liefern. Dazu benötigen wir folgenden Begriff:

\begin{definition}[Spezielles inverses System]
    Sei $\mathcal{J} \subset \mathcal{K}$ eine Klasse von Komplexen.
    \begin{enumerate}[(a)]
        \item Ein inverses System $(\com{I}_n)_{n \in \N}$ in $\mathcal{K}$ heißt
            $\mathcal{J}$-spezielles inverses System, falls folgende Bedingungen erfüllt sind:
            \begin{enumerate}[(i)]
                \item Falls $n = 1$, dann ist $\com{I}_n = 0$.
                \item Falls $n > 1$, dann sei $\com{C}_n$ der Kern der natürlichen Abbildung
                    $\com{I} _n \to \com{I}_{n-1}$. Dann ist $\com{C}_n \in \mathcal{J}$ und
                    die kurze exakte Folge
                    \[
                    0 \to \com{C}_n \to \com{I}_n \to \com{I} _{n-1} \to 0
                    \] zerfällt stufenweise.
            \end{enumerate}
        \item Die Klasse $\mathcal{J}$ heißt abgeschlossen unter speziellen inversen Limites, falls jedes
            $\mathcal{J}$-spezielle inverse System in $\mathcal{K}$ einen Limes in $\mathcal{J}$ besitzt und jeder
            Komplex in $\mathcal{K}$, der isomorph ist zu einem Komplex in $\mathcal{J}$, bereits in $\mathcal{J}$ ist.
    \end{enumerate}
    
\end{definition}

Im Folgenden möchten wir zeigen, dass die Klasse der K-projektiven Komplexe 
abgeschlossen unter speziellen inversen Limites ist. Dazu benötigen wir die folgenden Lemmata:

% TODO: beispiel funktioniert nicht mit N als indexmenge, wird nicht benoetigt
%\item Sei $\mathcal{J}$ eine Klasse von Komplexen abgeschlossen unter speziellen inversen Limites mit
%    $\com{A} \in \mathcal{J} \iff \com{A}[1] \in \mathcal{J}$. Dann ist für $\com{A}, \com{B} \in \mathcal{J}$
%    und $u \colon \com{A} \to \com{B} $, auch $\com{C}_u$ in $\mathcal{J}$. Denn 
%    \[
%        \com{C}_u \to \com{A}[1] \to 0
%    \] ist ein $\mathcal{J}$-spezielles inverses System mit Limes $\com{C}_u$.

\begin{lemma}
    Sei $\mathcal{J}_0$ eine Klasse von Objekten von $\mathcal{A}$. Sei weiter $\mathcal{J}$ eine
    unter speziellen inversen Limites abgeschlossene Klasse
    von Objekten in $\mathcal{K}$, so dass jeder Komplex $\com{A} \in \mathcal{K}$ mit nur einem nicht-null
    Term und mit $A^{i} \in \mathcal{J}_0$ für $i \in \Z$, in $\mathcal{J}$ enthalten ist. Dann
    ist jeder nach unten beschränkte Komplex $\com{A} \in \mathcal{K}$ mit $A^{i} \in \mathcal{J}_0$
    für $i \in \Z$ in $\mathcal{J}$ enthalten.

    \label{lemma:bounded-compl-in-complete-class}
\end{lemma}

\begin{proof}
    Sei $\com{A} \in \mathcal{K}^{+}$ mit $A^{i} \in \mathcal{J}_0$ für alle $i \in \Z$. Ohne Einschränkung
    sei $A^{i} = 0$ für alle $i < 0$. Dann sind die Spalten des nachstehenden Diagramms ein
    $\mathcal{J}$-spezielles inverses System $(\com{S}_n)_{n \ge 0}$ mit
    Übergangsabbildungen $p_n$,
    \[
    \begin{tikzcd}
        \cdots \arrow{r} & 0 \arrow{r} \arrow{d} & 0 \arrow{r} \arrow{d} & 0 \arrow{r} \arrow{d} & 0 \arrow{d}\\
        \cdots\arrow{r} & A^{0} \arrow{d} \arrow{r} & A^{0} \arrow{d} \arrow{r} & A^{0} \arrow{d} \arrow{r} & 0 \arrow{d}\\
        \cdots\arrow{r} & A^{1} \arrow{d} \arrow{r} & A^{1} \arrow{d} \arrow{r} & 0 \arrow{d} \arrow{r} & 0 \arrow{d}\\
        \cdots\arrow{r} & A^{2} \arrow{d} \arrow{r} & 0 \arrow{d} \arrow{r} & 0 \arrow{d} \arrow{r} & 0 \arrow{d} \\
        & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
    \end{tikzcd}
    \] denn für $n > 0$ ist $\com{\text{ker } p}_n$ = $[\cdots \to 0 \to \underbrace{A^{n-1}}_{\in \mathcal{J}_0} \to 0 \to \cdots ]$. Nach
    Voraussetzung ist also $\text{ker } p_n$ in $\mathcal{J}$ und die kurze exakte Folge
    $0 \to \com{\text{ker } p}_n \to \com{S}_n \to \com{S}_{n-1} \to 0$ zerfällt gradweise. Also folgt
    $\com{A} = \lim \com{S}_n \in \mathcal{J}$.
\end{proof}

\begin{lemma}
    Die Klasse der exakten Komplexe in $\mathcal{K}(\mathcal{A}b)$ ist abgeschlossen unter speziellen inversen Limites.

    \label{lemma:exact-comp-complete-inv}
\end{lemma}

\begin{proof}
    Sei $(\com{S}_n)_{n \in \N}$ ein spezielles inverses System in $\mathcal{K}(\mathcal{A}b)$. Für $i \in \Z$
    erfüllt $(S_n^{i})_{n \in \N}$ die Bedingung P aus \ref{0.11}. Sei also $i \in \Z$ beliebig. Dann erfüllt
    \[
        (S_n^{i-1})_{n \in \N} \to (S_n^{i})_{n \in \N} \to (S_n^{i+1})_{n \in \N} \to (S_n^{i+2})_{n \in \N}
    \] die Bedingungen von \ref{0.11}, da nach Voraussetzung für alle $n > 1$ $\text{ker}(\com{S}_n \to \com{S}_{n-1})$
    exakt ist. Also ist
    \[
    \begin{tikzcd}
        \lim S_n^{i-1} \arrow{r} \arrow{d}{=} & \lim S_n^{i} \arrow{d}{=} \arrow{r} & \lim S_n^{i+1} \arrow{d}{=}\\
        (\lim S_n)^{i-1} \arrow{r} & (\lim S_n)^{i} \arrow{r} & (\lim S_n)^{i+1}
    \end{tikzcd}
    \] exakt. Da $i \in \Z$  beliebig, folgt $\lim S_n$ exakt.
\end{proof}

\begin{satz}
    Sei $\mathcal{B}$ eine weitere abelsche Kategorie und $\mathcal{J} \subset \mathcal{K}(B)$ abgeschlossen
    unter speziellen inversen Limites. Angenommen inverse Limites existieren in $\mathcal{A}$ und sei
    $F\colon \mathcal{K}(A) \to \mathcal{K}(B)$ ein kovarianter Funktor, der mit inversen Limites vertauscht und
    gradweise zerfallende kurze exakte Folgen erhält.

    Dann ist $F^{-1}(\mathcal{J}) \subset \mathcal{K}(\mathcal{A})$ abgeschlossen unter speziellen inversen Limites.

    \label{satz:complete-inv-system-functor}
\end{satz}

\begin{proof}
    Sei $(\com{S}_n)_{n \in \N}$ ein $F^{-1}(\mathcal{J})$-spezielles inverses System. Dann ist
    $(F(\com{S}_n))_{n \in \N}$ ein $\mathcal{J}$-spezielles System, denn
    \begin{enumerate}[(i)]
        \item $F(S_1) = F(1) = 0$, da $F$ mit inversen Limites vertauscht und die Null der Limes des leeren Diagramms
            ist.
        \item Für $n > 1$ ist nach Voraussetzung
            \[
            \begin{tikzcd}
                0 \arrow{r} & \text{ker } p_n \arrow{r} & \com{S}_n \arrow{r}{p_n} & \com{S}_{n-1} \arrow{r} & 0
            \end{tikzcd}
            \] 
            exakt, zerfällt gradweise und $\text{ker } p_n$ ist in $F^{-1}(\mathcal{J})$. Nach Voraussetzung ist damit
            \[
            \begin{tikzcd}
                0 \arrow{r} & F(\text{ker } p_n) \arrow{r} & F(\com{S}_n) \arrow{r}{F(p_n)} & F(\com{S}_{n-1}) \arrow{r} & 0
            \end{tikzcd}
            \] exakt und zerfällt gradweise. Aus der Exaktheit folgt damit auch
            $\text{ker } F(p_n) = F(\text{ker } p_n)$, also $\text{ker } F(p_n) \in \mathcal{J}$.
    \end{enumerate}
    Also $F(\lim \com{S}_n) = \lim F(\com{S}_n) \in \mathcal{J}$ und damit $\lim \com{S}_n \in F^{-1}(\mathcal{J})$.
\end{proof}

\begin{korollar}[]
    Sei $\mathcal{I}$ eine Klasse von Komplexen und angenommen in $\mathcal{A}$ existieren inverse Limites.

    Dann ist die Klasse aller Komplexe $\com{A} \in \mathcal{K}$, sodass
    $\com{\text{Hom}}(\com{T}, \com{A})$ exakt ist für alle $\com{T} \in \mathcal{I}$, abgeschlossen unter speziellen
    inversen Limites. Insbesondere ist die Klasse der K-injektiven Komplexe abgeschlossen unter speziellen inversen
    Limites.
\end{korollar}

\begin{proof}
    Sei $\mathcal{J}$ die Klasse der exakten Komplexe und für $\com{T} \in \mathcal{I}$ sei
    $\mathcal{E}_{\com{T}}$ die Klasse der Komplexe $\com{A} $, sodass
    $\com{\text{Hom}}(\com{T}, \com{A})$ exakt ist. Dann
    ist $\mathcal{E}_{\com{T}} = \com{\text{Hom}}(\com{T}, -)^{-1}(\mathcal{J})$. $\com{\text{Hom}}(\com{T}, -)$ erfüllt
    die Voraussetzungen von \ref{satz:complete-inv-system-functor}, denn:

    \begin{enumerate}[(i)]
        \item Nach \ref{lemma:exact-comp-complete-inv} ist
            $\mathcal{J}$ abgeschlossen unter speziellen inversen Limites.
        \item Wegen \ref{satz:adjunction-hom-tor-comp} ist $\com{\text{Hom}} (\com{T}, -)$ rechtsadjungiert und
            vertauscht daher mit Limites. Außerdem ist $\com{\text{Hom}}(\com{T}, -)$ gradweise additiv, erhält also
            gradweise zerfallende Folgen.
    \end{enumerate}
    Also ist $\mathcal{E}_{\com{T}}$ und damit $\bigcap_{\com{T} \in \mathcal{I}} \mathcal{E}_{\com{T} }$
    abgeschlossen unter speziellen inversen Limites.

    Das Insbesondere folgt wenn $\mathcal{I} = \mathcal{J}$ gesetzt wird.
\end{proof}

Wenn wir alle Pfeile umdrehen erhalten wir die folgende Definition und Ergebnisse:

\begin{definition}[Spezielles direktes System]
    Sei $\mathcal{P} \subset \mathcal{K}$ eine Klasse von Komplexen.
    \begin{enumerate}[(a)]
        \item Ein direktes System $(\com{P}_n)_{n \in \N}$ in $\mathcal{K}$ heißt $\mathcal{P}$-spezielles
            direktes System, falls folgende Bedingungen erfüllt sind:
            \begin{enumerate}[(i)]
                \item Falls $n = 1$, dann ist $\com{P}_n = 0$.
                \item Falls $n > 1$, dann sei $\com{C}_n$ der Kokern der natürlichen Abbildung
                    $\com{P}_{n-1} \to \com{P}_{n}$. Dann ist $\com{C}_n \in \mathcal{P}$ und
                    die kurze exakte Folge
                    \[
                    0 \to \com{P}_{n-1} \to \com{P}_{n} \to \com{C}_n \to  0
                    \] zerfällt stufenweise.
            \end{enumerate}
        \item Die Klasse $\mathcal{P}$ heißt abgeschlossen unter speziellen direkten Colimites, falls jedes
            $\mathcal{P}$-spezielle direkte System in $\mathcal{K}$ einen Colimes in $\mathcal{P}$ besitzt und jeder
            Komplex in $\mathcal{K}$, der isomorph ist zu einem Komplex in $\mathcal{P}$, bereits in $\mathcal{P}$ ist.
    \end{enumerate}
\end{definition}

Durch Umdrehen aller Pfeile, erhalten wir auch eine duale Version von \ref{lemma:bounded-compl-in-complete-class}.
Ebenfalls analog gilt:

% brauche ich nicht
%\begin{lemma}
%    Die Klasse der exakten Komplexe in $\mathcal{K}(\mathcal{A}b)$ ist abgeschlossen unter speziellen direkten Colimites.
%
%    \label{lemma:exact-comp-complete-inv}
%\end{lemma}
%
%\begin{proof}
%    
%\end{proof}

\begin{satz}
    Sei $\mathcal{B}$ eine weitere abelsche Kategorie und $\mathcal{J} \subset \mathcal{K}(B)$ abgeschlossen
    unter speziellen inversen Colimites. Angenommen direkte Colimites existieren in $\mathcal{A}$ und sei
    $F\colon \mathcal{K}(A) \to \mathcal{K}(B)$ ein kontravarianter Funktor, der direkte Colimites in
    inverse Limites überführt und gradweise zerfallende kurze exakte Folgen erhält.

    Dann ist $F^{-1}(\mathcal{J}) \subset \mathcal{K}(\mathcal{A})$ abgeschlossen unter speziellen direkten Colimites.

    \label{satz:complete-inv-system-functor}
\end{satz}

\begin{korollar}[]
    Sei $\mathcal{I}$ eine Klasse von Komplexen und angenommen in $\mathcal{A}$ existieren direkte Colimites.

    Dann ist die Klasse aller Komplexe $\com{A} \in \mathcal{K}$, sodass
    $\com{\text{Hom}}(\com{A},  \com{T})$ exakt ist für alle $\com{T} \in \mathcal{I}$, abgeschlossen unter speziellen
    direkten Colimites. Insbesondere ist die Klasse der K-projektiven Komplexe abgeschlossen unter speziellen direkten
    Colimites.
    \label{kor:k-proj-closed}
\end{korollar}


\begin{definition}[]
    Angenommen inverse (bzw. direkte) Limites existieren in $\mathcal{K}$ und sei $\mathcal{G}$ eine Klasse von
    Komplexen in $\mathcal{K}$. Dann nennen wir $\underset{\leftarrow}{\mathcal{G}}$
    (bzw. $\underset{\rightarrow}{\mathcal{G}})$ die kleinste Klasse von Komplexen in $\mathcal{K}$, die abgeschlossen
    unter speziellen inversen (bzw. direkten) Limites ist und $\mathcal{G}$ enthält.
\end{definition}

\subsection{Existenz von K-projektiven und K-injektiven Auflösungen}

Sei $\mathcal{P}$ eine Klasse von Komplexen in $\mathcal{K}$. Die folgenden Bedingungen an $\mathcal{P}$ sind
äquivalent:

\begin{enumerate}[(1)]
    \item Jeder nach oben beschränkte Komplex $\com{A} \in \mathcal{K}$ hat eine Auflösung $\com{P} \to \com{A} $
        nach links mit $\com{P} \in \mathcal{P}$.
    \item Für alle $\com{A} \in \mathcal{K} $ und $n \in \Z$, existiert ein $\com{P} \in \mathcal{P}$ mit
        $H^{i}(\com{P}) = 0$ für $i > n$ und ein Komplexhomomorphismus $f\colon \com{P} \to \com{A} $, der
        einen Isomorphismus $H^{i}(\com{P}) \to H^{i}(\com{A})$ induziert für $i \le n$.
\end{enumerate}

\begin{proof}
    (1) $\implies$ (2): Sei $\com{A} \in \mathcal{K}$ und $n \in \Z$. Dann ist $\tau_{\le n} \com{A}$ nach oben
beschränkt, also existiert ein $\com{P} \in \mathcal{P}$ und ein Quasiisomorphismus $s\colon \com{P} \to \tau_{\le n}\com{A}$. Durch Komposition mit dem natürlichen Komplexhomomorphismus $\tau_{\le n}\com{A} \to \com{A}$ erhalten wir
ein $f\colon \com{P} \to \com{A} $.
Für $i > n$ ist nun $H^{i}(\com{P}) = H^{i}(\tau_{\le n}\com{A}) = 0 $. Für $i \le n$ ist
$H^{i}(\tau_{\le n}\com{A}) = H^{i}(\com{A})$, also induziert $f$ den gewünschten Isomorphismus.

    (2) $\implies$ (1): Sei $\com{A} \in \mathcal{K}^{-}$. Ohne Einschränkung ist $A^{i} = 0$ für alle $i > 0$. Dann
    existiert für $n = 0$ ein $f\colon \com{P} \to \com{A} $ mit $\com{P} \in \mathcal{P}$ und $f$ induziert
    $H^{i}(\com{P}) \xrightarrow[\sim]{0 = H^{i}(f)} 0 = H^{i}(\com{A})$ für $i > 0$ und
    $H^{i}(\com{P})\xrightarrow[\sim]{H^{i}(f)} H^{i}(\com{A})$ für $i \le 0$. Also ist $f$ ein Quasiisomorphismus.
\end{proof}

Im Folgenden nehmen wir an, dass $\mathcal{P}$ die Eigenschaft (1) erfüllt.

\begin{bsp}[]
    Falls $\mathcal{A}$ genügend Projektive hat, können wir $\mathcal{P}$ als die Klasse der nach oben beschränkten
    Komplexe
    $\com{P} \in \mathcal{K}$ mit $P^{i}$ projektiv für alle $i \in \Z$ wählen.

    Ein solches $\com{P}$ ist K-projektiv, denn: Für alle eingradigen Komplexe $\com{Q}$ mit
    $Q^{i}$ projektiv für alle $i \in \Z$ ist $\com{Q} $ nach \ref{satz:single-degree-compl-k-proj} K-projektiv. Da
    nach \ref{kor:k-proj-closed} die Klasse der K-projektiven
    abgeschlossen unter speziellen direkten Colimites ist, folgt mit dem Dual von
    \ref{lemma:bounded-compl-in-complete-class}, dass $\com{P} $ K-projektiv ist.

    Erneut nach \ref{kor:k-proj-closed} sind die Komplexe in $\underset{\rightarrow}{\mathcal{P}}$ damit ebenfalls
    $K$-projektiv.
\end{bsp}

Unser Ziel ist nun für einen gegebenen Komplex $\com{A}$ eine Auflösung nach Links durch einen Komplex
aus $\mathcal{P}$ zu konstruieren. Dazu schneiden wir den Komplex nach oben ab und lösen schrittweise auf. Das
folgende Lemma führt diese Konstruktion aus.

\begin{lemma}
    Sei $\com{A} \in \mathcal{K}$. Dann existiert ein $\mathcal{P}$-spezielles direktes System $(\com{P}_n)_{n\ge -1}$ und
    ein direktes System von Kettenhomomorphismen $f_n \colon \com{P}_n \to \tau_{\le n}\com{A}$, sodass
    $f_n$ ein Quasiisomorphismus ist für alle $n \ge 0$.
\end{lemma}

\begin{proof}
    Wir gehen induktiv vor. Setze $\com{P}_{-1} = 0$ und $f_{-1} = 0$. Nach (1) existiert ein Quasiisomorphismus
    $f_0 \colon \com{P}_0 \to \tau_{\le 0}\com{A} $ mit $\com{P}_0 \in \mathcal{P}$.

    Sei nun $n \ge 1$ und seien $\com{P}_{-1}, \ldots, \com{P}_{n-1}$ und $f_{-1}, \ldots, f_{n-1}$ konstruiert. Dann
    setze $\com{P} = \com{P}_{n-1}$, $\com{B} = \tau_{\le n} \com{A} $. Es sei
    $a_{n-1}\colon \tau_{\le n-1}\com{A} \to \tau_{\le n} \com{A} $ der natürliche Komplexhomomorphismus
    und $f = a_{n-1}f_{n-1}$.

    Da $\com{B} = \tau_{\le n}\com{A} $ nach oben beschränkt ist und $C_f^{i} = P^{i+1} \oplus B^{i}$.

    Mit (1) existiert ein Quasiisomorphismus $g\colon \com{Q} \to \com{C}_f[-1] $ mit $\com{Q}[1] \in \mathcal{P}$.
\end{proof}

\newpage

\section{Adjunktion von abgeleitetem Hom und Tensorprodukt}

\end{document}
