\documentclass{lecture}

\begin{document}
\subsection{Vollständige Induktion}

\begin{bsp}
    Betrachte die Summe der ersten $n$ natürlichen Zahlen. Es gilt:
    \[
    \sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}
    .\] 

    \begin{proof}
        Induktionsanfang für $n=1$:
        \[
        \sum_{k=1}^{1} k = 1 = \frac{1(1+2)}{2} = 1
        .\] 
        Induktionsschritt
        \[
        \sum_{k=1}^{n+1} k = \sum_{k=1}^{n} k + n + 1 = \frac{n(n+1)}{2} + n + 1
        = \frac{n(n+1)+2n+2}{2} = \frac{(n+1)(n+2)}{2}
        .\] 
    \end{proof}
\end{bsp}

\begin{definition}
    Seien $m, n \in \N, m \le n$\\
    $a_{m}, a_{m+1}, \ldots,  a_n \in \R$. Dann
    $a_m + a_{m+1} + \ldots + a_n = \sum_{k=m}^{n} a_{k}$.
    Falls $m>n$, dann $\sum_{k=m}^{n} a_{k} := 0$

\end{definition}

\begin{bsp}
    Definiere rekursiv für $x \in \R$:
    $x^0 := 1$ und $x^{n+1} := x \cdot x^n, n \in \N_0$
    Betrachte 
    \[
    \sum_{k=0}^n x^k = 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + \ldots + x^n, x \in \R
    .\] 
    Dann heißt
    \[
    \sum_{k=0}^n x^{k} = \frac{1 - x^{n+1}}{1 - x}
    \] geometrische Summenformel.

    \begin{proof}
        Induktionsanfang für $n = 1$:
        \[
        1+x = \frac{(1+x)(1-x)}{1-x} = \frac{1-x^2}{1-x}
        .\] 

        Induktionsschritt: $n \to n + 1$

        \begin{align*}
            \sum_{n=0}^{n+1} x^k &= \sum_{k=0}^{n} x^k + x^{n+1}\\
            &= \frac{1-x^{n+1}}{1-x} + x^{n+1}
            &= \frac{1-x^{n+1}}{1-x} + \frac{(1-x)(x^{n+1})}{1-x}
            &= \frac{1 - x^{n+2}}{1-x}
        .\end{align*}
    \end{proof}

    \begin{proof}[Alternativbeweis mit Teleskop-Summe]
        \begin{align*}
            1-x^{n+1} &= 1 - x + x - x^2 + x^2 - \ldots - x^n + x^n - x^{n+1} \\
            &= \sum_{k=0}^{n} x^{k} - \sum_{k=1}^{n+1} x^{k} \\
            &= \sum_{k=0}^{n} x^{k} - \sum_{k=0}^{n} x^{k+1} \\
            &= \sum_{k=0}^{n} x^{k} - x \sum_{k=0}^{n} x^{k} \\
            &= (1-x) \sum_{k=0}^{n} x^{k}
        .\end{align*}
    \end{proof}

\end{bsp}

Als Anwendung der geometrischen Summenformel ergeben sich nützliche Formeln, z.B.
$ \forall a, b \in \R$ und $n \in \N$ gilt:

\begin{align*}
    a^n - b^n = (a - b) \sum_{k=0}^{n-1} a^{n-1-k} b^k
\end{align*}

\begin{proof}
    Für $a=0$ und  $a = b$ stimmt die Formel offenbar.\\
    Betrachte geometrische Reihe mit $x := \frac{b}{a} \neq 1$
    \begin{align*}
    &1 - \left(\frac{b}{a}\right)^n = 1 - x^n = (1 - x) \sum_{k=0}^{n-1} x^k
    = (1 - \frac{b}{a}) \sum_{k=0}^{n-1} \left(\frac{b}{a}\right)^k \quad \Big| \cdot a^{n}\\
    \implies &a^n - b^n = (a-b) \sum_{k=0}^{n-1} b^k a^{-k} a^{n-1} = (a - b) \sum_{k=0}^{n-1} a^{n-1-k} b^k 
    .\end{align*}
\end{proof}

\subsection{Elemente der Kombinatorik}

Für $n \in \N$ ist die Fakultät $n!$ rekursiv definiert durch:
\[
    1! := 1 \text{ und } \forall n \in \N: (n + 1)! = n!(n+1)
.\] Per Definition $0! := 1$

\begin{satz}[Permutationen]
    Die Anzahl aller Anordnungen (oder Permutationen) von $n \in \N$ Elementen ist $n!$. 
\end{satz}

\begin{proof}
    Induktionsanfang:

    $n=1$: Eine Anordnung 1 \\
    $n=2$: Zwei Anordnungen 12, 21

    Induktionsschritt $n \to n+1$: Anzahl von Anordnungen der Elemente ${1, \ldots, n+1}$,
    die das Element $(n+1)$ auf Platz 1 hat bei beliebiger Anordnung der
    anderen Elemente nach Induktionsannahme ist $n!$. Für jedes der $n+1$
    Plätze ergeben sich wieder $n!$ Anordnungen, d.h. insgesamt:
    $n!(n+1) = (n+1)!$
\end{proof}

\begin{definition}[Binomialkoeffizient]
    Für $n, k \in \N_0$ definieren wir:\\
    \begin{align*}
        n \ge  k \ge  1\colon & \binom{n}{k} := \frac{n(n-1) \ldots (n -k + 1)}{k!} \\
        k = 0\colon & \binom{n}{0} := 1
    \end{align*}
    $\binom{n}{k}$ ist die Anzahl der k-Elementigen Teilmengen einer n-Elementigen Menge, z.B.: Lotto $\binom{49}{6} = 13.983.816$.
    \begin{align*}
        \binom{n}{k} &= \frac{n(n-1) \ldots (n - k +1)}{k!}\\
                     &= \frac{n(n-1) \ldots (n-k+1)(n-k)!}{k!(n-k)!}\\
                     &= \frac{n!}{k!(n-k)!} = \binom{n}{n-k}
    .\end{align*}
    Es folgt $\binom{n}{0} = 1$, $\binom{n}{n} = 1$,
    $\binom{n}{1} = \binom{n}{n-1} = n, \forall n \in \N.$
\end{definition}

\end{document}
