\documentclass[a4paper]{../bachelorarbeit/arbeit}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{textcomp}
\usepackage[german]{babel}
\usepackage{amsmath, amssymb, amsthm}
\usepackage{tikz-cd}

\makeatletter
\newcommand{\colim@}[2]{%
  \vtop{\m@th\ialign{##\cr
    \hfil$#1\operator@font colim$\hfil\cr
    \noalign{\nointerlineskip\kern1.5\ex@}#2\cr
    \noalign{\nointerlineskip\kern-\ex@}\cr}}%
}
\newcommand{\colim}{%
  \mathop{\mathpalette\colim@{\rightarrowfill@\textstyle}}\nmlimits@
}
\makeatother

\newcommand{\spec}{\operatorname{Spec }}

\begin{document}

\section{Projektive Moduln und Algebren (Vortrag 8)}

\begin{satz}[Projektiv ist lokal frei]
    Sei $A$ ein Ring und $M$ ein $A$-Modul. Die folgenden Eigenschaften sind äquivalent:
    \begin{enumerate}[(i)]
        \item $M$ ist endlich erzeugter projektiver $A$-Modul.
        \item $M$ ist endlich präsentiert und $M_{\mathfrak{p}}$ ist freier
            $M_{\mathfrak{p}}$-Modul für alle $\mathfrak{p} \in \spec A$.
        \item Es existieren Elemente $\{f_i\}_{i \in I}$ von $A$ mit $\sum_{i \in I} (f_i) = A$, sodass
            $M_{f_i}$ freier, endlich erzeugter $A_{f_i}$ Modul ist.
    \end{enumerate}
    \label{satz:projectiveislocallyfree}
\end{satz}

\begin{proof}
    Siehe Theorem 4.6 in Lenstra.
\end{proof}

\begin{satz}
    Sei $B$ eine $A$-Algebra und $C$ eine treuflache $A$-Algebra, sodass
    $B \otimes_A C$ projektive, separable $C$-Algebra ist. Dann ist $B$ projektive, separable $A$-Algebra.
    \label{satz:4.14}
\end{satz}

\begin{proof}
    Vortrag 8. Theorem 4.14 in Lenstra.
\end{proof}

\begin{satz}
    Sei $A$ ein Ring und $B$ projektive separable $A$-Algebra. Dann
    existiert eine $B$-Algebra $C$ und ein $B$-Algebraisomorphismus
    $B \otimes_A B \to B \times C$.
    \label{satz:4.16}
\end{satz}

\begin{proof}
    Vortrag 8. Proposition 4.16 in Lenstra.
\end{proof}

\begin{bem}
    Sei $B$ endliche projektive $A$-Algebra und $\mathfrak{p} \in \spec A$. Nach \ref{satz:projectiveislocallyfree}
    existiert eine Familie $\{f_i\}_{i \in I}$, sodass $A = \sum_{i \in I} (f_i)$ und
    $B_{f_i}$ endliche, freie $A_{f_i}$-Algebra. Da $\mathfrak{p} \subsetneq A$ existiert ein $i \in I$, sodass
    $f_i \not\in \mathfrak{p}$. Also ist $A_{\mathfrak{p}} = (A_{f_i})_{\mathfrak{p}}$ und
    $B_{\mathfrak{p}} = (B_{f_i})_{\mathfrak{p}}$, also insbesondere $B_{\mathfrak{p}}$ endliche freie
    $A_{\mathfrak{p}}$-Algebra.
\end{bem}

\begin{definition}[Grad]
    Sei $B$ endliche projektive $A$-Algebra. Dann ist
    \[
        [ B : A ] \colon \spec A \to \Z, \mathfrak{p} \mapsto \text{rank}_{A_{\mathfrak{p}}}B_{\mathfrak{p}}
    \] die \emph{Gradabbildung}.
\end{definition}

\begin{satz}
    Sei $B$ endliche, projektive $A$-Algebra. Dann gilt
    \begin{enumerate}[(a)]
        \item $A \to B$ ist genau dann injektiv, wenn $[B : A] \ge 1$.
        \item $A \to B$ ist genau dann surjektiv, wenn $[B : A ] \le 1$.
        \item $A \to B$ ist genau dann ein Isomorphismus, wenn $[ B : A ] = 1$.
    \end{enumerate}
    \label{satz:rings-degree}
\end{satz}

\begin{proof}
    Vortrag 8.
\end{proof}

\begin{lemma}
    Sei $B$ endliche, projektive $A$-Algebra. Dann ist
    $[B : A]$ lokalkonstant, das heißt eine stetige Abbildung $\spec A \to \Z$, wobei $\Z$ die diskrete
    Topologie trägt. Insbesondere ist die Menge
    \[
        \{\mathfrak{p} \in \spec A \mid [B : A](\mathfrak{p}) = n\} 
    \] offen und abgeschlossen in $\spec A$ und $[B : A]$ ist konstant, falls $\spec A$ zusammenhängend ist.
\end{lemma}

\begin{proof}
    Erneut nach \ref{satz:projectiveislocallyfree} seien $\{f_i\}_{i \in I}$ in $A$, sodass
    $A = \sum_{i \in I} (f_i)$ und $B_{f_i}$ endliche, freie $A_{f_i}$-Algebra für alle $i \in I$. Dann
    ist $\spec A = \bigcup_{i \in I} D(f_i)$, wobei $D(f_i) = \{ \mathfrak{p} \in \spec A  \mid f_i \not\in p\}$.
    Per Definition der Zariskitopologie auf $\spec A$ sind die Mengen $D(f_i)$ offen und
    $[B : A]|_{D(f_i)}$ ist konstant.
\end{proof}


\subsection{Aufgaben nach Vortrag 8}

\begin{satz}[Komposition]
    Sei $A$ ein Ring, $B$ endliche, projektive $A$-Algebra und $C$ endliche, projektive $B$-Algebra. Dann
    ist $C$ endliche, projektive $A$-Algebra.
    \label{satz:composition-projective}
\end{satz}

\begin{proof}
    Sei $A^{n} = B \oplus Q$ und $B^{m} = C \oplus P$. Dann haben wir Isomorphismen von $A$-Moduln
    \[
        A^{mn} = (A^{n})^{m} = (B \oplus Q)^{m} = B^{m} \oplus Q^{m} = C \oplus P \oplus Q^{m}
    .\] 
\end{proof}

\begin{satz}[Basiswechsel endlich projektive]
    Sei $B$ endlich projektive $A$-Algebra und $C$ eine weitere $A$-Algebra. Dann
    ist $B \otimes_A C$ endlich projektive $C$-Algebra.
    Insbesondere kommutiert das folgende Diagramm
    \[
    \begin{tikzcd}
        \spec C \arrow[swap]{dr}{[B \otimes_A C : C]} \arrow[from=1-1,to=1-3] & & \spec A \arrow{dl}{[B : A]} \\
                & \Z &.
    \end{tikzcd}
    \] 
    \label{satz:basischange-projective}
\end{satz}

\begin{proof}
    Da $B$ endlich erzeugter, projektiver $A$-Modul ist,
    existiert ein $A$-Modul $Q$, sodass
    $A^{n} \simeq B \oplus Q$ als $A$-Moduln für ein $n \ge 0$. Da der natürliche Isomorphismus
    $A^{n} \otimes_A C \to C^{n}$ auch $C$-linear ist, folgt durch
    Tensorieren mit $C$
    \[
        C^{n} \simeq A^{n} \otimes_A C \simeq (B \oplus Q) \otimes_A C = (B \otimes_A C) \oplus (Q \otimes_A C)
    .\] Also ist $B \otimes_A C$ (endlich erzeugter) projektiver $C$-Modul.

    Für die Grade: Sei $\mathfrak{p} \in \spec C$ und $\mathfrak{q} \coloneqq \mathfrak{p}^{c}$. Sei
    weiter $\text{rank}_{A_{\mathfrak{q}}} B_{\mathfrak{q}} = n$. Also
    folgt
    \[
        (B \otimes_A C)_{\mathfrak{q}} = B \otimes_A C \otimes_A A_{\mathfrak{q}} = B_{\mathfrak{q}}
        \otimes_A C = A_{\mathfrak{q}}^{n} \otimes_A C = (A^{n} \otimes_A C)_{\mathfrak{q}} = (C^{n})_{\mathfrak{q}}
    .\] Die natürlichen Isomorphismen sind auch $C_{\mathfrak{q}}$ linear, also folgt
    $\text{rank}_{C_{\mathfrak{q}}} (B \otimes_A C)_{\mathfrak{q}} = n$. Da
    $(B \otimes_A C)_{\mathfrak{p}}$ bzw. $C_{\mathfrak{p}}$ eine Lokalisierung von
    $(B \otimes_A C)_{\mathfrak{q}}$ bzw. $C_{\mathfrak{q}}$ ist und Lokalisieren den Grad erhält, folgt die
    Behauptung.
\end{proof}

\begin{lemma}
    Sei $M$ endlich präsentierter $A$-Modul, das heißt es existiere eine exakte Folge
    \[
    A^{m} \to A^{n} \to M \to 0
    .\] Sei weiter $C$ eine $A$-Algebra und $N$ ein $A$-Modul.
    Falls $N$ oder $C$ flach sind, ist der natürliche $C$-Modulhomomorphismus
    \[
        \operatorname{Hom}_A(M, N) \otimes_A C \to \operatorname{Hom}_{C}(M \otimes_A C, N \otimes_A C)
    \] ein Isomorphismus.
    \label{lemma:tensor-and-hom}
\end{lemma}

\begin{proof}
    Da Tensorieren rechtsexakt ist und $\operatorname{Hom}_{C}(-, N \otimes_A C)$ linksexakt, erhalten wir durch anwenden 
    in dieser Reihenfolge auf die exakte Folge $A^{m} \to A^{n} \to M \to 0$, die exakte Folge
    \[
        0 \to \operatorname{Hom}_{C}(M \otimes_A C, N \otimes_A C) \to (N \otimes_A C)^{n} \to (N \otimes_A C)^{m}
    .\] Andererseits liefert zunächst anwenden von $\operatorname{Hom}_{A}(-, N)$ die exakte Folge
    \[
        0 \to \operatorname{Hom}_{A}(M, N) \to N^{n} \to N^{m}
    .\] Tensorieren mit $C$ liefert die exakte Folge
    \[
        \underbrace{\operatorname{Tor}_{1}^{A}(N^{m}, C)}_{= 0} \to \operatorname{Hom}_{A}(M, N) \otimes_A C
        \to (N \otimes_A C)^{n} \to (N \otimes_A C)^{m}
    .\] Der linke Term verschwindet, weil $N^{m}$ oder $C$ flach ist. Untereinanderschreiben der beiden Folgen mit
    den natürlichen Homomorphismen und Auffüllen mit $0$ nach links liefert ein kommutatives Diagramm und mit dem 5-er Lemma
    die Behauptung.
\end{proof}

\begin{bem}
    \ref{lemma:tensor-and-hom} wendet sich insbesondere dann an, wenn $M$ endlich erzeugter projektiver Modul ist.
\end{bem}

\begin{korollar}
    Seien $M$, $N$ $A$-Moduln und $M$ endlich präsentiert. Sei weiter $S \subset A$ ein multiplikatives System. Dann
    ist der natürliche $S^{-1}A$-Modulhomomorphismus
    \[
        S^{-1}\operatorname{Hom}_{A}(M, N) \to \operatorname{Hom}_{S^{-1}A}(S^{-1}M, S^{-1}N)
    \] ein Isomorphismus.
    \label{lemma:localisation-finitely-pres}
\end{korollar}


\section{Technische Randbemerkungen}

\begin{lemma}
    Sei $f\colon A \to B$ ein Ringhomomorphismus und $S \subseteq A$ ein multiplikatives System. Dann
    ist $f(S)$ ein multiplikatives System von $B$ und
    \[
        S^{-1}B \simeq f(S)^{-1}B
    \] als $S^{-1}A$-Algebren.
    \label{lemma:localisation}
\end{lemma}

\begin{proof}
    Die Formel $\frac{b}{s} \mapsto \frac{b}{f(s)}$ induziert den Isomorphismus.
\end{proof}

\begin{lemma}
    Sei $A$ ein Ring, $M$ ein $A$-Modul und $\mathfrak{p} \in \spec A$. Dann ist
    \[
        M_{\mathfrak{p}} = \colim_{f \in A \setminus \mathfrak{p}} M_f
    \] wobei $A \setminus \mathfrak{p}$ durch die Teilbarkeitsrelation halbgeordnet ist.
    \label{kor:localisation-is-colim}
\end{lemma}

\begin{proof}
    Für eine multiplikative Menge $S$ vertaucht $- \otimes_A S^{-1}A$ mit Kolimites, da das Tensorprodukt linksadjungiert
    ist. Es genügt also den Fall $M = A$ zu zeigen.

    Sei $S = A \setminus \mathfrak{p}$. Dann ist $S$ halbgeordnet und gerichtet.
    Für alle $f \in S$ ist $\frac{f}{1} \in A_{\mathfrak{p}}^{\times}$,
    also existiert eine natürliche Abbildung $A_f \to A_{\mathfrak{p}}$. Für $f, g \in S$ mit
    $f \mid g$ kommutieren diese Abbildungen mit $A_f \to A_g$ und induzieren damit
    eine Abbildung $\colim_{f \in S} A_f \to A_{\mathfrak{p}}$. Wir zeigen, dass
    diese Abbildung bijektiv ist.

    Surjektiv: Sei $x = \frac{a}{f} \in A_{\mathfrak{p}}$. Also $f \in S$ und das Bild von $\frac{a}{f} \in A_f$
    in $\colim_{f \in S} A_f$ ist ein Urbild von $x$.
    Injektiv: Sei $x \in \colim_{f \in S} A_f$ mit Bild $0$ in $A_{\mathfrak{p}}$. Dann
    existiert ein $f \in S$ und $a \in A$, sodass $\frac{a}{f^{n}} = 0$ in $A_{\mathfrak{p}}$. Also
    existiert ein $g \in S$, sodass $ga = 0$. Insbesondere ist $fga = 0$ also $\frac{a}{f} = 0$ in $A_{fg}$.
    Außerdem ist $f \mid fg$ und damit $x = 0$.
\end{proof}

\section{Endlich étale Morphismen}

\begin{definition}
    Sei $f\colon A \to B$ ein Ringhomomorphismus. 
    $f$ ist \emph{endlich und lokal frei}, wenn eine Familie $(f_i)_{i \in I}$ existiert, sodass
    $A = \sum_{i \in I} (f_i)$ und $B_{f_i}$ endliche, freie $A_{f_{i}}$ Algebra ist für alle $i \in I$.
    \label{def:finite-locally-free}
\end{definition}

\begin{bem}
    Sei $f\colon A \to B$ ein Ringhomomorphismus. Dann ist $f$ genau dann endlich und lokal frei,
    wenn $B$ endliche, projektive $A$-Algebra ist.
    \label{satz:morph-local-free-char}
\end{bem}

\begin{proof}
    \ref{satz:projectiveislocallyfree}
\end{proof}

\begin{bem}[Zariskiüberdeckung]
    Eine Überdeckung von $A$ wie in \ref{def:finite-locally-free} nennen wir im Folgenden Zariskiüberdeckung.
\end{bem}

Aus Vorträgen 7 und 8 kennen wir den folgenden Zusammenhang:

\begin{satz}[Äquivalente Charakterisierungen von endlich étale]
    Sei $f\colon A \to B$ ein Ringhomomorphismus. Dann sind äquivalent
    \begin{enumerate}[(i)]
        \item $f$ endlich étale, das heißt $f$ ist endlich, flach und unverzweigt.
        \item Es existiert eine Zariskiüberdeckung $\{f_i\}_{i \in I}$ von $A$, sodass
            $B_{f_i}$ endliche, freie, separable $A_{f_i}$-Algebra ist.
        \item $B$ ist endlich präsentiert und flach als $A$-Modul und $\Omega_{B / A} = 0$.
        \item $B$ endliche projektive $A$-Algebra und $\Omega_{B / A} = 0$.
    \end{enumerate}
\end{satz}

\begin{bem}
    Jede endlich étale Algebra ist auch endlich und lokal frei, denn separable Algebren sind per Definition endlich.
    \label{bem:finite-etale-is-locally-free}
\end{bem}

\begin{lemma}
    Sei $B$ eine endliche, projektive $A$-Algebra. Dann ist $A \to B$ genau dann separabel, wenn
    $A_{\mathfrak{p}} \to B_{\mathfrak{p}}$ separabel ist für alle $\mathfrak{p} \in \spec A$.
    \label{lemma:separable-is-local}
\end{lemma}

\begin{proof}
    $A \to B$ ist genau dann separabel, wenn die von der Spur induzierte Abbildung
    $B \to \operatorname{Hom}_{A}(B, A)$ ein Isomorphismus ist. Das
    ist eine lokale Eigenschaft. Da außerdem $B$ endlich erzeugter, projektiver $A$-Modul ist, das 
    heißt insbesondere endlich präsentiert ist, folgt mit \ref{lemma:localisation-finitely-pres}
    \[
        \operatorname{Hom}_{A}(B, A)_{\mathfrak{p}} =
        \operatorname{Hom}_{A_{\mathfrak{p}}}(B_{\mathfrak{p}}, A_{\mathfrak{p}})
    \] und damit die Behauptung.
\end{proof}

\begin{satz}
    Sei $B$ eine $A$-Algebra. Dann ist $B$ genau dann endlich étale über $A$, wenn
    $B$ projektive, separable $A$-Algebra ist.
    \label{satz:equiv-finite-etale}
\end{satz}

\begin{proof}
    ($\Rightarrow$) 
    Nach \ref{bem:finite-etale-is-locally-free} ist $B$ endliche projektive $A$-Algebra. Weiter sei
    $\{f_i\}_{i \in I}$ in $A$, sodass $A = \sum_{i \in I} (f_i)$ und
    $B_{f_i}$ endliche separable $A_{f_i}$ Algebra für alle $i \in I$. Nun sei $\mathfrak{p} \in \spec A$. Dann
    existiert ein $i \in I$, sodass $f_i \not\in \mathfrak{p}$. Also
    folgt $B_{\mathfrak{p}} = (B_{f_i})_{\mathfrak{p}}$ und $A_{\mathfrak{p}} = (A_{f_i})_{\mathfrak{p}}$.
    Nach \ref{lemma:separable-is-local} ist also
    $A_{\mathfrak{p}} \to B_{\mathfrak{p}}$ separabel.
    Da $\mathfrak{p}$ beliebig war, folgt erneut mit \ref{lemma:separable-is-local} die Behauptung.

    ($\Leftarrow$) Sei $B$ projektive, separable $A$-Algebra. Nach \ref{satz:projectiveislocallyfree}
    existieren $\{f_i\}_{i \in I}$, sodass $\sum_{i \in I} (f_i) = A$ und
    $B_{f_i}$ endliche, freie $A_{f_i}$-Algebra. Da Lokalisieren Separabilität erhält, ist $B_{f_i}$ auch separabel
    über $A_{f_i}$ und es folgt die Behauptung.
\end{proof}

\subsection{Stabilität von endlich étale}

\begin{satz}[Basiswechsel endlich étale]
    Sei $B$ endlich étale $A$-Algebra und $C$ eine weitere $A$-Algebra. Dann ist
    $B \otimes_{A} C$ endlich étale $C$-Algebra.
    \label{satz:basischange}
\end{satz}

\begin{proof}
    Flache (bzw. endlich präsentierte) Homomorphismen sind stabil unter Basiswechsel.
    Außerdem ist $\Omega_{B \otimes_A C/C} = \Omega_{B / A} \otimes_A C = 0$. Also
    ist $B \otimes_A C$ auch formal unverzweigt und damit endlich étale über $C$.
\end{proof}

\begin{satz}[Komposition endlich étale]
    Sei $B$ endlich étale $A$-Algebra und $C$ endlich étale $B$-Algebra. Dann ist
    $C$ endlich étale $A$-Algebra.
\end{satz}

\begin{proof}
    Flache (bzw. endlich präsentierte) Homomorphismen sind stabil unter Komposition.
    Außerdem haben wir die exakte Kotangentialfolge
    \[
        \begin{tikzcd}
            \underbrace{C \otimes_B \Omega_{B / A}}_{= 0} \arrow{r}
            & \Omega_{C / A} \arrow{r}
            & \underbrace{\Omega_{C / B}}_{= 0} \arrow{r}
            & 0
        \end{tikzcd}
    .\] Aus der Exaktheit folgt also $\Omega_{C / A} = 0$.
\end{proof}

\subsection{Grad}

\begin{definition}[Treuprojektive Algebren]
    Sei $B$ endliche projektive $A$-Algebra. Dann ist $B$ \emph{treuprojektiv}, wenn $[B : A] \ge 1$.
\end{definition}

\begin{satz}
    Sei $B$ endliche, projektive $A$-Algebra. Dann ist
    \begin{enumerate}[(a)]
        \item $B = 0 \iff [B : A] = 0$.
        \item $A \to B$ Isomorphismus $\iff [B : A] = 1$.
        \item $\spec B \to \spec A$ surjektiv $\iff$ $B$ treuprojektive $A$-Algebra.
    \end{enumerate}
    \label{satz:degree}
\end{satz}

\begin{proof}
    \begin{enumerate}[(a)]
        \item $B = 0 \iff B_{\mathfrak{p}} = 0$
            $\forall \mathfrak{p} \in \spec A \iff \text{rang}_{A_{\mathfrak{p}}} B_{\mathfrak{p}} = 0$
            $\forall \mathfrak{p} \in \spec A$
            $\iff [B : A] = 0$.
        \item Das ist \ref{satz:rings-degree}(c).
        \item
            Sei $\spec B \to \spec A$ surjektiv und sei $\mathfrak{p} \in \spec A$ mit Urbild
            $\mathfrak{q} \in \spec{B}$. Also ist $B \neq 0$ und damit $B_{\mathfrak{q}} \neq 0$.
            Sei $\varphi\colon A \to B$ der induzierte Ringhomomorphismus,
            $S = \varphi(A \setminus \mathfrak{p})$ und $T = B \setminus \mathfrak{q}$. Wegen
            $\mathfrak{p} = f(\mathfrak{q}) = \varphi^{-1}(\mathfrak{q})$, folgt
            $S \subseteq T$. Und damit
            \[
                B_{\mathfrak{q}} = T^{-1}B  \simeq (S^{-1}T)^{-1}(S^{-1}B) = (S^{-1}T)^{-1} B_{\mathfrak{p}},
            \] also ist $B_{\mathfrak{q}}$ eine Lokalisierung von $B_{\mathfrak{p}}$. Also folgt
            auch $B_{\mathfrak{p}} \neq 0$, also
            $[ B : A ](\mathfrak{p}) > 0$. Rückrichtung: Mit \ref{satz:rings-degree}(a) ist $A \to B$ injektiv
            und weil $B$ endliche $A$-Algebra, ist $B$ ganze Ringerweiterung von $A$, also folgt
            die Aussage aus Macdonald Theorem 5.10.
    \end{enumerate}
\end{proof}

%\begin{lemma}
%    Seien $M, N$ $A$-Moduln und $M$ endlich präsentiert, d.h. es existiert eine exakte Folge
%    \[
%    A^{m} \to A^{n} \to M \to 0
%    .\] Sei weiter $S \subset A$ ein multiplikatives System. Dann ist der natürliche $A$-Modul Homomorphismus
%    \[
%        S^{-1}\operatorname{Hom}_A(M, N) \to \operatorname{Hom}_{S^{-1}A}(S^{-1}M, S^{-1}N)
%    \] ein Isomorphismus.
%    \label{lemma:localisation-finitely-pres}
%\end{lemma}
%
%\begin{proof}
%    $S^{-1}A$ ist ein flacher $A$-Modul und $\operatorname{Hom}_A(-, N)$ bzw. $\operatorname{Hom}_{S^{-1}A}(-, S^{-1}N)$
%    sind linksexakt. So erhalten wir exakte Folgen
%    \[
%        0 \to \operatorname{Hom}_{S^{-1}A}(S^{-1}M, S^{-1}N)
%        \to (S^{-1}N)^{n} \to (S^{-1}N)^{m}
%    \] und
%    \[
%        0 \to S^{-1}\operatorname{Hom}_{A}(M, N) \to (S^{-1}N)^{n} \to (S^{-1}N)^{m}
%    .\] Das 5-er Lemma liefert das Ergebnis.
%\end{proof}

%\begin{korollar}
%    Ein Morphismus von Schemata $f\colon Y \to X$ ist genau dann endlich étale, wenn
%    eine Basis von offenen affinen Mengen $\{U_i\}_{i \in I}$ von $X$ existiert, sodass
%    $U_i = \spec A_i$ und $f^{-1}(U_i) = \spec B_i$, wobei $B_i$ freie, separable $A_i$-Algebra ist.
%
%    \label{bem:finite-etale-basis}
%\end{korollar}
%
%\begin{proof}
%    Die Rückrichtung ist klar. Für die Hinrichtung beachte, dass eine endliche, projektive $A$-Algebra $B$ genau dann
%    separabel ist, wenn der von der Spur induzierte $A$-Modulhomomorphismus $B \to \operatorname{Hom}_A(B, A)$
%    ein Isomorphismus ist. Diese Eigenschaft bleibt nach \ref{lemma:localisation-finitely-pres}
%    durch Lokalisieren erhalten.
%\end{proof}

\begin{satz}[Treuprojektiv ist treuflach]
    Sei $B$ treuprojektive $A$-Algebra. Dann ist $B$ treuflach.
    \label{satz:faithfully-projective-faithfully-flat}
\end{satz}

\begin{proof}
    Wir zeigen die Kontraposition: Sei $B$ nicht treuflach, dann existiert
    nach Algebra 2 ein Maximalideal $\mathfrak{m}$ von $A$, sodass $B = \mathfrak{m}B$.
    Dann folgt insbesondere $B_{\mathfrak{m}} = \mathfrak{m}B_{\mathfrak{m}}$.
    Da $B_{\mathfrak{m}}$ endlich erzeugter $A_{\mathfrak{m}}$-Modul folgt mit Nakayama $B_{\mathfrak{m}} = 0$, also
    $[ B : A ](\mathfrak{m}) = 0 < 1$.
\end{proof}

\begin{korollar}
    Sei $B$ eine $A$-Algebra und $C$ treuprojektive $A$-Algebra.
    Dann ist $B$ genau dann endlich étale $A$-Algebra, wenn
    $B \otimes_A C$ endlich étale $C$-Algebra ist.
    \label{kor:finite-etale}
\end{korollar}

\begin{proof}
    Die Hinrichtung gilt für beliebige Basiswechsel nach \ref{satz:basischange}.
    Zur Rückrichtung: Nach \ref{satz:faithfully-projective-faithfully-flat} ist $C$ treuflach. Damit folgt
    die Behauptung aus \ref{satz:4.14}.
\end{proof}

\begin{bem}[Offene und abgeschlossene Mengen in $\spec A$]
    Sei $A$ ein Ring. Dann sind die offenen und abgeschlossenen Mengen in $\spec A$
    von der Form $D(e)$, wobei $e$ idempotent und eindeutig bestimmt ist. Insbesondere
    existiert für alle $n \ge 0$ genau ein Idempotent $e$, sodass
    $\{\mathfrak{p} \in \spec A  \mid [ B : A](\mathfrak{p}) = n\} = D(e)$.
    \label{bem:clopen-sets}
\end{bem}

\begin{lemma}
    Sei $A$ ein Ring und $\{f_i\}_{i \in I}$ Elemente von $A$, sodass
    $\spec A = \coprod_{i \in I} D(f_i)$. Dann ist der natürliche Ringhomomorphismus
    \[
    A \longrightarrow \prod_{i \in I} A_{f_i}
    \] ein Isomorphismus.
    \label{lemma:disjoint-union-of-spec}
\end{lemma}

\begin{proof}
    Sei $\mathfrak{p} \in \spec A$ und $i \in I$. Falls $f_i \not\in \mathfrak{p}$ ist
    $(A_{f_i})_{\mathfrak{p}} = A_{\mathfrak{p}}$. Sei nun $f_i \in \mathfrak{p}$. Beh.: $(A_{f_i})_{\mathfrak{p}} = 0$.

    Wir zeigen $f_i$ nilpotent in $A_{\mathfrak{p}}$.
    Sei $\mathfrak{q} \in \spec A$ mit $f_i \not\in \mathfrak{q}$. Dann ist
    $\{\mathfrak{q}\} \subseteq D(f_i)$ und $D(f_i)$ ist abgeschlossen. Also folgt
    $V(\mathfrak{q}) = \overline{\{\mathfrak{q}\}} \subseteq D(f_i)$. Da $\mathfrak{p} \not\in D(f_i)$, folgt
    a fortiori $\mathfrak{p} \not\in V(\mathfrak{q})$. M.a.W.: $\mathfrak{q} \not\in \spec A_{\mathfrak{p}}$.
    Kontraposition: Für $\mathfrak{q} \in \spec A_{\mathfrak{p}}$ folgt bereits $f_i \in \mathfrak{q}$.
    Also ist $f_i$ nilpotent in $A_{\mathfrak{p}}$ und damit
    $(A_{f_i})_{\mathfrak{p}} = (A_{\mathfrak{p}})_{f_i} = 0$.

    Es existiert nun genau ein $i_{0} \in I$, sodass $\mathfrak{p} \in D(f_{i_0})$. Lokalisieren
    von $A \to \prod_{i \in I} A_i$ ergibt also
    \[
        A_{\mathfrak{p}} \to \left(\prod_{i \in I} A_{f_i}\right)_{\mathfrak{p}}
        = \prod_{i \in I} (A_{f_i})_{\mathfrak{p}} = A_{\mathfrak{p}}
    .\] Das erste Gleichheitszeichen gilt, da Spektren von Ringen quasikompakt sind, das heißt $I$ endlich ist.
    Weil Isomorphismus eine lokale Eigenschaft ist, folgt die Behauptung.
\end{proof}

\begin{lemma}
    Sei $f\colon A \to B$ Ringhomomorphismus und $\varphi \colon \spec B \to \spec A$ die induzierte
    Abbildung. Dann ist für $a \in A$:
    \[
        \varphi^{-1}(D(a)) = D(f(a))
    .\]
    \label{lemma:preimage-of-d}
\end{lemma}

\begin{proof}
    $\mathfrak{p} \in \varphi^{-1}(D(a)) \iff \varphi(\mathfrak{p})\in D(a) \iff a \not\in \varphi(\mathfrak{p})
    = f^{-1}(\mathfrak{p}) \iff \mathfrak{p} \not\in D(f(a))$.
\end{proof}

\begin{definition}[Total zerlegbare Algebren]
    Eine $A$-Algebra $B$ ist \emph{total zerlegbar}, wenn
    $A$ ein endliches Produkt von Ringen $A_n$ ist mit $n \ge 0$ und
    $B$ isomorph ist zu $\prod_{n \ge 0} A_n^{n}$, sodass
    \[
    \begin{tikzcd}
        B \arrow{r}{\sim} & \prod_{n \ge 0}^{} A_n^{n}  \\
        A \arrow{u} \arrow{r}{\sim} & \prod_{n \ge 0} A_n \arrow{u}
    \end{tikzcd}
    \] kommutiert.
\end{definition}

\begin{satz}
    Sei $B$ eine $A$-Algebra. Dann ist $B$ genau dann endlich étale,
    wenn $B \otimes_A C$ total zerlegbare $C$-Algebra ist für eine treuprojektive $A$-Algebra $C$.
    \label{th:5.10}
\end{satz}

\begin{proof}
    Die Rückrichtung ist klar nach \ref{kor:finite-etale}. Hinrichtung: Sei $B$ eine endlich
    étale $A$-Algebra und sei zunächst $[ B : A ] = n$ konstant. Dann zeigen wir die Behauptung per Induktion
    nach $n$.

    Falls $n = 0$: Dann ist $B = 0$ und wir können $C = A$ setzen. Sei nun $n > 0$.
    Nach \ref{satz:4.16} existiert eine $B$-Algebra $B'$ und ein
    Isomorphismus von $B$-Algebren $B \otimes_A B \to B \times B'$.
    Nach \ref{satz:basischange} ist $B \otimes_A B$ endlich étale $B$-Algebra und
    $[ B \otimes_A B : B] = n$. Wenn $B$ natürlicherweise als $B$-Algebra aufgefasst wird, ist $[ B : B ] = 1$,
    also nach \ref{ex:5.3} $[ B' : B ] = [ B \times B' : B ] - [ B : B ] = n-1$. Also wendet
    sich die Induktionsvoraussetzung an und es gibt eine treuprojektive $B$-Algebra $C$, sodass
    $B' \otimes_B C$ total zerlegbare $C$-Algebra ist.

    Dann ist $B \otimes_A C = B \otimes_A B \otimes_B C = (B \times B') \otimes_B C =
    (B \otimes_B C) \times (B' \otimes_B C) = C \times (B' \otimes_B C)$. Da $C$
    und $B' \otimes_B C$ als $C$-Algebren total zerlegbar sind, ist auch $B \otimes_A C$ total zerlegbar als
    $C$-Algebra.

    Nach \ref{satz:composition-projective} ist $C$ endliche, projektive $A$-Algebra. Da $[ B : A ] \ge 1$
    und $[ C : B ] \ge 1$ ist $\spec C \to \spec B \to \spec A$ surjektiv, also
    $C$ treuprojektive $A$-Algebra nach \ref{satz:degree}.

    Im Allgemeinen Fall sei $\spec A = \coprod_{n \ge 0} [ B : A ]^{-1}(\{n\})$. Dann existieren
    idempotente Elemente $(e_n)_{n \ge 0}$, sodass $D(e_n) = [B : A]^{-1}(\{n\})$, also
    $\spec A = \coprod_{n \ge 0} D(e_n)$. Mit \ref{lemma:disjoint-union-of-spec}
    ist also $A = \prod_{n \ge 0}^{} A_{e_n}$, wobei wegen der Quasikompaktheit von $\spec A$ fast alle $e_n = 0$ sind.
    Mit \ref{satz:projective-prod} ist also
    $B = \prod_{n \ge 0} B_{e_n}$ mit $A_{e_n} \to B_{e_n}$ endlich étale.

    Nun ist $[ B_{e_n} : A_{e_n} ] = n$ und
    mit dem ersten Teil existiert eine treuprojektive $A_{e_n}$-Algebra $C_{n}$, sodass
    $B_{e_n} \otimes_A C_n$ total zerlegbare $C_n$-Algebra ist. Setze
    nun $C = \prod_{n \ge 0} C_{n}$. Nach \ref{satz:projective-prod} ist
    $C$ endliche, projektive $A$-Algebra und $[C : A]|_{D(e_n)} = [ C_{e_n} : A_{e_n} ] \ge 1$, also
    $[ C : A] \ge 1$ und damit $C$ treuprojektiv.
    
    Weiter ist
    \[
        B \otimes_A C = \left(\prod_{n \ge 0} B_{e_n} \right) \otimes_{\prod_{n \ge 0} A_{e_n}  }
        \left(\prod_{n \ge 0} C_n\right)
    = \prod_{n \ge 0}^{} B_{e_n} \otimes_{A_{e_n}} C_n
    \simeq \prod_{n \ge 0} C_n^{n}
    \] wobei der letzte Isomorphismus aus der totalen Zerlegbarkeit von $B_{e_n} \otimes_{A_{e_n}} C_n$ folgt.
\end{proof}

Sei $A$ ein Ring und $E$ eine endliche Menge. Dann schreiben wir $A^{E}$ für $\prod_{e \in E} A$. Sei
$\phi\colon D \to E$ eine Abbildung zwischen endlichen Mengen. Für $d \in D$ sei
$\psi_d \colon A^{E} \to A$ gegeben durch $(a_e)_{e \in E} \mapsto a_{\phi(d)}$. Das induziert
einen Ringhomomorphismus $A^{E} \to A^{D}$.

\begin{lemma}
    Der induzierte Ringhomomorphismus $A^{E} \to A^{D}$ ist endlich étale.    
    \label{lemma:induced-finite-etale}
\end{lemma}

\begin{proof}
    $A \to A$ und $A \to 0$ sind endlich étale, also mit \ref{satz:projective-prod} auch
    $\psi_d \colon A^{E} \to A = A \times 0 \times \ldots \times 0$
    und damit $A^{E} \to A^{D}$ nach \ref{ex:5.3}.
\end{proof}

Wir benötigen noch zwei Lemmata aus der kommutativen Algebra:

\begin{lemma}
    Sei $(A, \mathfrak{m})$ ein lokaler Ring. Dann hat $A$ keine nicht-trivialen idempotenten Elemente.
    \label{lemma:local-idempotents}
\end{lemma}

\begin{proof}
    Sei $e \in A$ idempotent. Dann ist $e(1-e) = e^2 - e = e - e = 0$. Falls $e \in A^{\times }$, folgt
    $1-e = 0$ also $e = 1$. Falls $e \not\in A^{\times}$: Dann ist $e \in \mathfrak{m}$. Angenommen
    $1-e \in \mathfrak{m}$, dann ist auch $1 = 1-e +e \in \mathfrak{m}$. Widerspruch. Also ist
    $1-e \not\in \mathfrak{m}$. Da $A$ lokal, ist also $1-e \in A^{\times}$ und damit $e = 0$.
\end{proof}

\begin{lemma}
    Sei $A$ ein Ring ohne nicht-triviale Idempotente und seien $E,D$ endliche Mengen. Dann
    ist jeder $A$-Algebra Homomorphismus $A^{E} \to A^{D}$ induziert von einer Abbildung $D \to E$.
    \label{lemma:no-idempotents}
\end{lemma}

\begin{proof}
    Sei $\psi\colon A^{E} \to A^{D}$ ein $A$-Algebra Homomorphismus.
    Setze $f_e \coloneqq (\delta_{\tilde{e}e})_{\tilde{e} \in E} \in A^{E}$. Dann ist $f_e^2 = 1$ und
    $f_ef_{\tilde{e}} = 0$ falls $e \neq \tilde{e}$.

    Sei nun $d \in D$ beliebig. Dann gilt
    $\psi(f_e)^2 = \psi(f_e^2) = \psi(f_e)$, also $\psi(f_e)_d$ idempotent, also $\psi(f_e)_d \in \{0, 1\}$.
    Weiter ist $1 = \psi(1)_d = \psi(\sum_{e \in E} f_e)_d$ und für $e \neq \tilde{e} \in E$ ist
    $0 = \psi(f_ef_{\tilde{e}})_d = \psi(f_e)_d \psi(f_{\tilde{e}})_d$. Es existiert also
    genau ein $e(d) \in E$, sodass $\psi(f_e)_d = 1$.

    Setze nun $\phi\colon D \to E$, $d \mapsto e(d)$. Nun sei $f = (a_e)_{e \in E} \in A^{E}$ beliebig. Dann
    gilt
    $f = \sum_{e \in E} a_e f_e$ und
    \[
        \psi(f)_d = \sum_{e \in E} a_e \psi(f_e)_d = a_{\phi(d)}
    .\]
\end{proof}

\begin{lemma}
    Seien $A, B, C$ Ringe und $f\colon A \to B$, $g\colon A \to C$ total zerlegbar und $h\colon C \to B$ ein
    Ringhomomorphismus mit $f = hg$. Sei weiter $\mathfrak{p} \in \spec A$. Dann
    existiert ein $a \in A$, sodass $a \not\in \mathfrak{p}$ und $f, g$ und $h$ trivial über $D(a)$ sind. Das heißt
    es existieren endliche Mengen $D$ und $E$ und Isomorphismen $\alpha\colon A_a^{D} \to B_a$
    und $\beta\colon A_a^{E} \to C_a$ und eine Abbildung $\phi\colon D \to E$, sodass das Diagramm
    \[
    \begin{tikzcd}
        B_a & & & \arrow[from=1-4,to=1-1,swap]{}{h} C_a \\
            & \arrow{ul}{\alpha} A_a^{D} & \arrow{l} A_a^{E} \arrow{ur}{\beta} & \\
            A_a \arrow[from=3-1,to=1-1]{}{f} \arrow{ur} & & & \arrow[from=3-4,to=3-1]{}{\operatorname{id}_{A_a}} \arrow{ul} A_a \arrow[from=3-4,to=1-4]{}{g}
    \end{tikzcd}
    \] kommutiert.
    \label{lemma:locally-trivial}
\end{lemma}

\begin{proof}
    Da die Mengen der Form $D(a)$ eine Basis der Topologie von $\spec A$ bilden, kann $a$ so gewählt werden, dass
    $[B : A]$ und $[C : A]$ von konstantem Grad auf $D(a)$ sind mit $\mathfrak{p} \in D(a)$.
    Durch ersetzen von $A$, $B$ und $C$
    durch $A_a$, $B_a$ und $C_a$ können wir wegen der totalen Zerlegbarkeit von $f$ und $g$ ohne Einschränkung
    annehmen, dass $B \simeq A^{D}$ und $C \simeq A^{E}$.

    Der lokale Ring $A_{\mathfrak{p}}$ hat nach \ref{lemma:local-idempotents} keine nicht trivialen idempotenten Elemente.
    Also ist die induzierte Abbildung $h \colon A_{\mathfrak{p}}^{E} \to A_{\mathfrak{p}}^{D}$ nach
    \ref{lemma:no-idempotents} induziert von einer Abbildung $\phi\colon D \to E$. $\phi$ induziert
    nun eine Abbildung $\psi\colon A^{E} \to A^{D}$ und $h$ und $\psi$ haben selbes Bild
    in
    \begin{salign*}
        \operatorname{Hom}_A(A^{E}, A^{D})_{\mathfrak{p}} &\stackrel{\ref{lemma:localisation-finitely-pres}}{=} \operatorname{Hom}_{A_{\mathfrak{p}}}(A_{\mathfrak{p}}^{E},
    A_{\mathfrak{p}}^{D})
    .\end{salign*}
    Nach \ref{kor:localisation-is-colim} existiert nun ein $a \in A \setminus \mathfrak{p}$, sodass
    $h$ und $\psi$ die selbe Abbildung $A_a^{E} \to A_a^{D}$ induzieren.
\end{proof}

\begin{satz}
    Seien $f\colon A \to B$ und $g\colon A \to C$ endlich étale Ringhomomorphismen und
    $h\colon C \to B$ ein Ringhomomorphismus mit $f = gh$. Dann ist $h$ endlich étale.
\end{satz}

\begin{proof}
    Seien zunächst $f$ und $g$ total zerlegbar. Die Eigenschaft endlich étale ist lokal auf $C$ und damit
    insbesondere auf $A$. Es genügt also für jedes $\mathfrak{p} \in \spec A$ ein $a \in A$ zu finden, sodass
    $h\colon C_a \to B_a$ endlich étale.
    Damit folgt die Aussage aus \ref{lemma:locally-trivial} und \ref{lemma:induced-finite-etale}.

    Im Allgemeinen seien $D_1$ und $D_2$ treuprojektive $A$-Algebren, sodass
    $D_1 \to B \otimes_A D_1$ und $D_2 \to C \otimes_A D_2$ total zerlegbar sind. Dann
    ist mit \ref{satz:composition-projective} und \ref{satz:basischange-projective}
    auch $A \to D_2 \to D_1 \otimes_A D_2$ endlich und projektiv. Da
    $[ D_1 : A ] \ge 1$ folgt erneut mit \ref{satz:basischange-projective}, dass
    $[ D_1 \otimes_A D_2 : D_2] \ge 1$. Also
    sind mit \ref{satz:degree} $\spec D_1 \otimes_A D_2 \to \spec D_2$ und $\spec D_2 \to \spec A$ surjektiv, also
    auch $\spec D_1 \otimes_A D_2 \to \spec A$. Damit ist $D = D_1 \otimes_A D_2$ treuprojektive $A$-Algebra.

    Da $D_1 \to B \otimes_A D_1$ total zerlegbar ist und $- \otimes_A D_2$ mit endlichen Produkten kommutiert, ist auch
    $D = D_1 \otimes_A D_2 \to B \otimes_A D_1 \otimes_A D_2 = B \otimes_A D$ total zerlegbar. Analog
    ist $D \to C \otimes_A D$ total zerlegbar und
    \[
    \begin{tikzcd}
        C \otimes_A D \arrow[from=1-1,to=1-3] & & B \otimes_A D \\
                                              & \arrow{ul} D \arrow{ur} &
    \end{tikzcd}
    \] kommutiert, also wendet sich der obige Speziallfall an und $C \otimes_A D \to B \otimes_A D$ ist endlich étale.

    Da $A \to D$ treuprojektiv, folgt mit \ref{satz:basischange-projective}, dass $C \to C \otimes_A D$ treuprojektiv ist.
    Anwenden von \ref{kor:finite-etale} auf $C \otimes_A D \to B \otimes_A D = B \otimes_C (C \otimes_A D)$, liefert
    $h\colon C \to B$ endlich étale.
\end{proof}

\section{Aufgaben nach unserem Kapitel}

\begin{satz}[Aufgabe 5.3]
    Sei $A$ ein Ring und $B_i$ $A$-Algebren für $1 \le i \le n$. Sei weiter
    $B = \prod_{i=1}^{n} B_i$. Dann ist $B$ genau dann endlich étale, wenn
    jedes $B_i$ endlich étale ist. In diesem Fall gilt
    $[B : A] = \sum_{i=1}^{n} [B_i : A]$.
    \label{ex:5.3}
\end{satz}

\begin{proof}
    Als $A$-Modul ist $B \simeq \bigoplus_{i = 1}^{n} B_i$. Also ist $B$ genau dann endlich erzeugt bzw. projektiv, wenn
    $B_i$ endlich erzeugt bzw. projektiv ist für $1 \le i \le n$. Ebenso
    existiert ein natürlicher $A$-Modulisomorphismus
    \[
        \text{Hom}_A(B, A) = \text{Hom}_A\left( \bigoplus_{i=1}^{n} B_i, A \right)
        = \prod_{i=1}^{n} \text{Hom}_A(B_i, A) 
    .\] Das heißt
    $B \to \text{Hom}_A(B, A)$ ist genau dann ein Isomorphismus, wenn $B_i \to \text{Hom}_A(B_i, A)$ ein Isomorphismus
    ist für $1 \le i \le n$.

    Gradformel: Sei $\mathfrak{p} \in \spec A$. Dann ist
    \[
        [B : A](\mathfrak{p})% = \text{rank}_{A_{\mathfrak{p}}} B_{\mathfrak{p}}
        = \text{rank}_{A_{\mathfrak{p}}} \left(\bigoplus_{i = 1}^{n} B_i\right)_{\mathfrak{p}}
        = \text{rank}_{A_{\mathfrak{p}}} \left( \bigoplus_{i = 1}^{n} (B_{i})_{\mathfrak{p}} \right)
        = \sum_{i=1}^{n} \text{rank}_{A_{\mathfrak{p}}} (B_{i})_{\mathfrak{p}}
        = \sum_{i=1}^{n} [B_i : A ](\mathfrak{p})
    .\]
\end{proof}

\begin{satz}[Aufgabe 5.4]
    Seien $(A_i)_{i \in I}, (B_i)_{i \in I}$ Ringe mit $I$ endlich und sei $B_i$ endlich étale $A_i$-Algebra
    für alle $i \in I$. Dann ist $\prod_{i \in I} B_i$ endlich étale $\prod_{i \in I} A_i$-Algebra. Außerdem
    ist jede endlich étale $\prod_{i \in I} A_i$ Algebra von dieser Form.
    Weiter ist
    \[
    \left[ \prod_{i \in I} B_i : \prod_{i \in I} A_i \right]\Big|_{\spec A_j} = [ B_j : A_j]
    .\] 
    \label{satz:projective-prod}
\end{satz}

\begin{proof}
    Die Folge abelscher Gruppen
    \[
        \begin{tikzcd}
            \left( \prod_{i \in I} A_i \right)^{n} \arrow{r}\arrow{d}{\simeq}
            & \left( \prod_{i \in I} A_i \right)^{m} \arrow{r}\arrow{d}{\simeq}
        & \prod_{i \in I} B_i \arrow{r} \arrow{d}{=} & 0 \\
        \prod_{i \in I} A_i^{n} \arrow{r} & \prod_{i \in I} A_i^{m} \arrow{r} & \prod_{i \in I} B_i \arrow{r} & 0
        \end{tikzcd}
    \] ist genau dann exakt, wenn
    \[
    \begin{tikzcd}
        A_i^{n} \arrow{r} & A_i^{m} \arrow{r} & B_i \arrow{r} & 0
    \end{tikzcd}
    \] exakt ist für alle $i \in I$. Also ist $\prod_{i \in I} B_i$ genau dann endlich präsentierter
    $\prod_{i \in I} A_i$-Modul, wenn $B_i$ endlich präsentierter $A_i$-Modul ist für alle $i \in I$.

    Außerdem ist $\spec A = \coprod_{i \in I} \spec A_i$. Also für $\mathfrak{p} \in \spec A$
    existiert genau ein $i \in I$, sodass $\mathfrak{p} \in \spec A_i$ und
    $A_{\mathfrak{p}} = (A_{i})_{\mathfrak{p}}$ und $B_{\mathfrak{p}} = (B_{i})_{\mathfrak{p}}$.
    Also ist $A_{\mathfrak{p}} \to B_{\mathfrak{p}}$ genau dann frei separabel für
    alle $\mathfrak{p} \in \spec A$, wenn
    $(A_i)_{\mathfrak{p}} \to (B_{i})_{\mathfrak{p}}$ frei separabel ist für alle $\mathfrak{p} \in \spec A_i$ und
    alle $i \in I$.

    Insgesamt ist $A \to B$ genau dann endlich étale, wenn $A_i \to B_i$ endlich étale ist für alle $i \in I$.

    %Endlich étale ist eine lokale Eigenschaft auf $A$, genauer: Für alle $i \in I$ existieren
    %$\{f_{ij}\}_{j \in J_i}$, sodass $A_i = \sum_{j \in J_i} (f_{ij})$ und
    %$(B_i)_{f_{ij}}$ separable, freie $(A_{i})_{f_{ij}}$-Algebra für alle $j \in J_i$. Dann
    %setze $\tilde{f}_{ij} = (0, \ldots, 0, f_{ij}, 0, \ldots, 0)$. Dann ist mit \ref{lemma:localised-product-ring}
    %$B_{\tilde{f}_{ij}} = (B_i)_{f_{ij}}$ separable, freie $A_{\tilde{f}_{ij}} = (A_i)_{f_{ij}}$-Algebra
    %und $A = \sum_{i \in I} \sum_{j \in J_i} (\tilde{f}_{ij})$. Also ist $B$ endlich separable $A$-Algebra.

    Sei nun $f\colon \prod_{i \in I} A_i \to B$ endlich étale. Es ist
    $\spec A = \coprod_{i \in I} \spec A_i$. Nach \ref{bem:clopen-sets} existieren
    also idempotente Elemente $e_i \in A$, sodass $\spec A = \coprod_{i \in I} D(e_i)$. Nach
    \ref{lemma:preimage-of-d} ist $\spec B = \coprod_{i \in I} D(f(e_i))$. Wir haben das folgende kommutative
    Diagramm
    \[
    \begin{tikzcd}
        B \arrow{r} & \prod_{i \in I} B_{e_i} \\
        A \arrow{u} \arrow{r} & \prod_{i \in I} A_{e_i} \arrow{u}
    \end{tikzcd}
    .\] Nach \ref{lemma:disjoint-union-of-spec} sind die horizontalen Pfeile Isomorphismen
    und wir sind in der obigen Situation.

    Die Gradformel folgt aus $\spec A = \coprod_{i \in I} \spec A_i$ und durch Berechnung in der Überdeckung aus dem
    ersten Absatz.
\end{proof}


\end{document}