\documentclass{../../../lecture}

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\begin{document}

Heute: Längstes deutsches Wort!

,,Intervallschachtelungseigenschaft hat ganze 33 Buchstaben'' meint Kostina.

\begin{proof}[Fortsetzung des Beweises vom letzten Mal]
    Ab jetzt: $n$ statt $k$.
    
    Zu zeigen: Es existiert eine Wurzel für $0 < a < 1$.

    Definiere Menge $M := \{y \in \R | 0 < y < 1, y^{n} < a\} $  \\
    $M \neq \emptyset$, weil $\frac{1}{2} a \in M$. $M$ ist auch
    beschränkt, untere Schranke $0$, obere Schranke $1$.

    Da $\R$ vollständig $\implies \exists$ sup $M =: x$.

    Zu zeigen: $x^{n} = a$
    Annahme: $x^{n} < a$. Wegen $(x+1) \not\in M$ gilt $(x+1)^{n} > a$.
    Konstruiere:
    \[
        \tau := \frac{\overbrace{a-x^{n}}^{>1}}{(x+1)^{n}-x^{n}}
    .\] 
    \begin{align*}
        (x+\tau)^{n} &= x^{n} + \sum_{k=1}^{n} \binom{n}{k} \tau^{k}x^{n-k} \\
                     &< x^{n} + \tau \sum_{k=1}^{n} \binom{n}{k} x^{n-k} \\
                     &= x^{n} + \tau((x + 1)^{n}-x^{n}) \\
                     &\stackrel{\text{Def. }\tau}{=} x^{n} + (a-x^{n}) = a
    .\end{align*}
    $\implies$ 
    \[
        (x+\tau)^{n} < a \implies(x+\tau) \in M
    .\] und damit:
    \[
    x + \tau > x \qquad \text{Widerspruch zu } x = \text{sup } M
    .\] 
    (folgt aus der binomischen Formel: $(x+1)^{n} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{n-k})$

    Annahme: $x^{n} > a$

    Nach der Ungleichung von Bernoulli gilt für $\tau := \frac{x^{n} - a}{n x^{n}}$.
    $\left( 0 < \tau < \frac{x^{n} - a}{x^{n}} < 1 \right) $ 
    Damit:
    \begin{align*}
        (x-\tau x)^{n} &= x^{n} ( 1 - \tau) \ge x^{n} ( 1 - n \tau) \\
                       &= x^{n} \left(1 - \frac{x^{n} - a}{x^{n}}\right) = a
    .\end{align*}
    $\implies$ Für $y \in M$ gilt:
    \[
        y^{n} < a < (x - \tau x)^{n}
    .\]  $\implies$
    \[
        0 < (x- \tau x)^{n} - y^{n} = \underbrace{(x - \tau x - y) \sum_{k=0}^{n} (x - \tau x)^{n-1-k} y^{k}}_{> 0}
    .\] 
    $\implies x - \tau x - y > 0$  \\
    $\implies y < x - \tau x < x \implies x - \tau x < x$ eine obere
    Schranke von M. Widerspruch zu $x = \text{sup }M$

    (Formel: $a^{n} - b^{n} = (a - b) \sum_{k=0}^{n-1} a^{n-1-k} b^{k}$)
\end{proof}

\begin{bem}[Ungleichung von Bernoulli]
    Sei $x \ge -1$, dann gilt:
    \[
        (1+x)^{n} \ge 1 + nx, \forall n 
    .\] 
\end{bem}

\begin{definition}[Allgemeine rationale Potenzen]
    $a^{q}, q = \frac{r}{s} \in \Q, a > 0, a \in \R$ wird definiert durch
    \[
        a^{q} = a^{\frac{r}{s}} := \left( \sqrt[s]{a} \right)^{r}
    .\] 
\end{definition}

\begin{bem}
    \begin{itemize}
        \item Regeln für das Rechnen mit Wurzeln
            \[
            \left( \sqrt[s]{a}  \right)^{r} = (a^{\frac{1}{s}})^{r}  
            = a^{\frac{r}{s}} = \left( a^{r} \right) ^{\frac{1}{s}}
            = \sqrt[s]{a^{r}} 
            .\] 
        \item Für $a \in \R_+$ wird unter $\sqrt[k]{a} $ \textbf{immer}
            die positive $k$-te Wurzel verstanden.\\
            $\implies$ Aussage $\sqrt{a^2} = a $ ist falsch.\\
            Korrekt: $\sqrt{a^{2}} = |a|$

            Die Gleichung $x^{2} = a$ hat zwei Lösungen:
            $x_1 = \sqrt{a}, x_2 = -\sqrt{a} $
    \end{itemize}
\end{bem}

\begin{bem}[Reelle Potenzen]
    $a \in \R_+, r \in \R, a^{r}$ - ?

    $\exists (q_n)_{n\in\N} \to r, q_n \in \Q$, damit:
    \[
    a^{r} := \lim_{n \to \infty} a^{q}
    .\] 
    Noch zu überprüfen: ob der Grenzwert existiert und eindeutig ist
\end{bem}

\begin{bsp}
    $\sqrt{2} , (q_n) = \{1.4, 1.41, 1.414, \ldots\} $
    \[
        a^{\sqrt{2} } = \lim_{n \to \infty} a_n, a_1 = a^{1.4}, a_2 = a^{1.41}, \ldots
    .\] Analog über Intervallschachtelung:
    \begin{align*}
        I_1 &= \left[ 1.4; 1.5 \right] \\
        I_2 &= \left[ 1.41; 1.42 \right] \\
        I_3 &= \left[ 1.414; 1.415 \right] \\
        I_n &= \left[ r_n, s_n \right]
    .\end{align*}
    \[
        a^{\sqrt{2} } = \bigcap_{n = 1}^{\infty} \overline{I_n}
    .\] 
    Alternative Definition über $\exp$ und $\ln$ 
    \[
        a^{r} = \exp(r \ln a)
    .\] und Reihenentwicklung:
    \[
        \exp(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!}
    .\] oder
    \[
        \exp(x) = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{x}{n} \right) ^{n}
    .\] 
\end{bsp}

\section{Mächtigkeit von $\Q$ und $\R$ }

\begin{definition}[Mächtigkeit]
    Die Mächtigkeit einer Menge ist die Anzahl ihrer Elemente.

    Eine Menge ist ,,unendlich'', wenn eine bijektive Abbildung
     $f: A \to \text{Echte Teilmenge von }A$ existiert.
    Dann $|A| = \infty$.

    Eine unendliche Menge, deren Elemente mit Hilfe der natürlichen Zahlen
    durchnummeriert werden kann, heißt ,,abzählbar (unendlich)'', sonst
    ,,überabzählbar''.
    
    Abzählbarkeit heißt: Es existiert eine bijektive Abbildung $f\colon \N \to  A$.
\end{definition}

\begin{bsp}
    \begin{itemize}
        \item $A = \{a_1, a_2, a_3\} $ dann $|A| = 3$
        \item $\N, \Q, \R$ sind unendliche Mengen
    \end{itemize}
\end{bsp}

\begin{satz}[Abzählbarkeit]
    $\Z$ und $\Q$ sind abzählbar, $\R$ ist überabzählbar.
\end{satz}

\begin{proof}[$\Z$ Abzählbar]
    $\Z$ ist abzählbar, weil $\{z_n  \mid n \in \N\} $ mit $z_n = \frac{1}{2}n$ für $n$ gerade
    und $z_n = \frac{1}{2}(1-n)$ für $n$ ungerade ist eine Abzählung von $\Z$.
\end{proof}

\begin{proof}[$\Q$ Abzählbar]
    Argumentation nach Cantor

    $p \in \Q$, $q = \frac{n}{m}$

    \begin{tikzpicture}
        %\begin{axis}[grid=both,ymin=-5,ymax=5,xmax=5,xmin=-5,xticklabel=\empty,yticklabel=\empty,
        %       minor tick num=1,axis lines = middle,xlabel=$x$,ylabel=$y$,label style =
        %       {at={(ticklabel cs:1.1)}}]
        %    \draw[-, color=red] (0,0) -- (1000,1000);
        %     
        %\end{axis}
        \draw[help lines, color=gray!30, dashed] (-0.5, -0.5) grid (6.9, 6.9);
        \draw[->, thick] (-0.5,0) -- (7,0) node[right]{$x$};
        \draw[->, thick] (0, -0.5) -- (0, 7) node[above]{$y$};
        \draw[-, color=red] (1,1) node[below](){$1$}
            -- (2,1) node[below](){$2$}
            -- (1,2) node[left](){$\frac{1}{2}$}
            -- (1,3) node[left](){$\frac{1}{3}$}
            -- (3,1) node[below](){$3$}
            -- (4,1) node[below](){$4$}
            -- (3,2) node[above](){$\frac{3}{2}$}
            -- (2,3) node[above](){$\frac{2}{3}$}
            -- (1,4) node[left](){$\frac{1}{4}$}
            -- (1,5) node[left](){$\frac{1}{5}$}
            -- (5,1) node[below](){$5$}
            -- (6,1) node[below](){$6$}
            -- (5,2) node[above](){$\frac{5}{2}$}
            -- (4,3) node[above](){$\frac{4}{3}$}
            -- (3,4) node[above](){$\frac{3}{4}$}
            -- (2,5) node[above](){$\frac{2}{5}$}
            -- (1,6) node[left](){$\frac{1}{6}$}
            -- (1,7);
        
    \end{tikzpicture}

    Hier werden Punkte ausgelassen, für die $n$ und $n$ nicht teilerfremd sind. Die Gitterpunkte
    werden durchnummeriert $\implies \{z_n  \mid  n \in \N\} = \{1, 2, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, 3, \ldots\} $.
\end{proof}

\begin{proof}[$\R$ ist überabzählbar]
    Wir zeigen, dass $[0, 1)$ nicht abzählbar ist.

    Angenommen: $[0,1)$ ist abzählbar, dann sei $\{z_n  \mid n \in \N\} $ eine Abzählung, z.B.:
    \begin{align*}
        z_1 &= 0,d_{11}d_{12}d_{13}\ldots \\
        z_2 &= 0,d_{21}d_{22}d_{23}\ldots \\
        \vdots
    \end{align*}
    Dann Zahl $y := 0,d_1d_2d_3, \ldots$ mit
    \[
    d_n := \begin{cases}
        2 & \text{falls } d_{nn} = 1 \\
        1 & \text{falls } d_{nn} \neq 1
    \end{cases}
    \]
    liegt in $[0,1)$, $d_i \neq 9 \forall i$, aber $y \not\in \{z_n  \mid n \in \N\} $, denn falls
    $y = z_k$ für ein $k \implies$
    \[
        y = 0,d_{k1},d_{k2},d_{k3}, \ldots, d_{kk}, \ldots
    .\] aber $d_k \neq d_{kk}$ nach Konstruktion.
\end{proof}

\section{Die Komplexen Zahlen $\C$}
\[
    \C := \R \times \R = \{ z = (x, y)  \mid x, y \in \R\} 
.\] Addition in $\C$ : $z_1 = (x_1, y_1) \in \C$, $z_2 = (x_2, y_2) \in \C$:
\[
    z_1 + z_2 := (x_1+x_2, y_1+y_2)
.\] Multiplikation in $\C$ :
\[
    z_1\cdot z_2 = (x_1 x_2 - y_1y_2, x_1y_2+x_2y_1)
.\] 
\newpage

\begin{satz}[$\C$ ist ein Körper]
    Körperaxiome gelten (nachrechnen!)
    
    Nullelement $0 := (0, 0)$ \\
    Einselement $1 := (1, 0)$ \\
    Imaginäre Einheit $i := (0,1)$ mit $i^{2} = (0,1)\cdot (0,1) = (-1,0) = -1$

    Inverse der Addition $-z := (-x, -y)$ \\
    Inverse der Multiplikation  $z^{-1} := \left( \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2} } , \frac{-y}{\sqrt{x^2 + y^2} }\right) $ 

    Schreibweise / Normaldarstellung\\
    $z = (x, y)$ oder $z = x+iy$ mit  $i^{2} = -1$.
\end{satz}

\begin{bem}[Rechnen in $\C$]
    \[
        (x_1+iy_1)(x_2+iy_2) = x_1x_2+i^2y_1y_2 + i y_1x_2 + ix_1y_2 = (x_1x_2-y_1y_2) + i(x_2y_1+x_1y_2)
    .\] 
\end{bem}

\begin{definition}
    Für $z = (x, y) = x+iy \in \C$ heißt

    $x = \text{Re}(z)$ Realteil von $z$ \\
    $y = \text{Im}(z)$ Imaginärteil von $z$

    $|z| := \sqrt{x^2 + y^2} $ Betrag von $z$ \\
    $\overline{z} := x - iy = (x, -y)$ zu $z$ konjugierte komplexe Zahl

    \begin{tikzpicture}
        \draw[->, thick] (-0.5,0) -- (2,0) coordinate (x) node[right]{$x$};
        \draw[->, thick] (0, -0.5) -- (0, 2) coordinate (y) node[above]{$y$};
        \draw[-] (0, 0) coordinate (origin) -- (1.6, 1.3) coordinate (z) node[right]{$z$};
        \draw[-, dotted] (1.6, 1.3)
            -- (1.6, 0) coordinate (re) node[below]{Re($z$)}
            pic[solid,draw=black, angle radius=1cm]{angle=re--origin--z};
        \node[] () at (0.7,0.25) {$\varphi$};
        \draw[-, dotted] (1.6, 1.3) -- (0, 1.3) node[left](im){Im($z$)};
    \end{tikzpicture}

    $\text{Re}(z) = |z| \cos(\varphi)$ \\
    $\text{Im}(z) = |z| \sin(\varphi)$ \\
    $\implies z = r (\cos\varphi + i \sin\varphi) = r e^{i\varphi}$ mit $r = |z|$.

\end{definition}

\end{document}