\documentclass{../../../lecture}

\usepackage{enumerate}

\begin{document}

\begin{lemma}
    $(a_n)_{n \in N}$, $(b_n)_{n \in \N}$ Cauchy Folgen.
\end{lemma}

\begin{proof}
    Sei $a_n \le b_n$ für fast alle $n \in \N$, aber $b < a$.
    Dann $\exists \delta > 0$ mit $b + \delta = a$.

    Wegen der Konvergenz:
    \[
    b_n \to b, a_n \to a, n \to \infty
    .\] 
    \[
    \exists n_\epsilon \in \N \text{ sd. } |b - b_n| \le \frac{1}{2} \delta 
    .\] und
    \[
        |a - a_n| \le \frac{1}{2} \delta \text{ } \forall n > n_\epsilon
    .\] 
    Dann
    \[
    b_n = b_n - b + b - a + a - a_n + a_n \le |b_n - b| + b - a | a - a_n| + a_n
    \le \frac{1}{2} \delta - \delta + \frac{1}{2} \delta + a_n = a_n
    .\] $\implies$
    \[
    b_n \le a_n
    .\] Widerspruch zur Annahme, dass $a_n \le b_n$ für fast alle $n \in \N$.
\end{proof}

\begin{bem}[Folgerung aus 3]
    Sei Cauchy-Folge $(a_{n})_{n \in \N} $ keine Nullfolge und
    $a_n \to a$, $a > 0$ $n \to \infty$.
    Dann $a_n > 0$ für fast alle $n$.
\end{bem}

\begin{proof}
    Annahme: $a_n \le 0$ für fast alle $n \in N$, dann
    $a_n \to a \le 0$ $\leftarrow$ $\{0\}$ $n \in N$
\end{proof}

\textbf{Ziel}: Reelle Zahlen als Grenzwerte von rationalen Cauchy Folgen.

Wichtig: Zwei Cauchy Folgen mit gleichem Limes definieren gleiche Zahl.
Deshalb: \underline{Äquivalenzklassen}

\begin{definition}[Äquivalenzrelation für Cauchy Folgen rationaler Zahlen]
    \begin{align*}
        (a_n)_{n\in\N} \thicksim (a'_n)_{n\in\N} :\iff |a_n - a'_n| \to 0, n \to \infty
    .\end{align*}
\end{definition}

\begin{proof}[Die Relation ist Äquivalenzrelation]

    \begin{enumerate}
        \item Reflexivität $(a \sim a)$ (trivial)
        \item Symmetrie $(a \sim b \implies b \sim a)$
            \[
            (a_n)_{n\in\N} \sim (b_n)_{n\in\N} \iff |a_n - b_n| \to 0
            \iff |b_n - a_n| \to 0
            \iff (b_n)_{n\in\N} \sim (a_n)_{n\in\N}
            .\] 
        \item Transitivität $a \sim b, b \sim c \implies a \sim c$
            \begin{align*}
            (a_n)_{n\in\N} \sim (b_n)_{n\in\N}, (b_n)_{n\in\N} ~ (c_n)_{n\in\N}
            \iff |a_n - b_n| \to  0, |b_n - c_n| \to 0 \\
            \iff \forall \epsilon > 0 \exists n_\epsilon \text{ s.d. } \\
            \forall n \ge n_\epsilon
            .\end{align*}
            Dann
            \[
            |a_n - c_n| = |(a_n - b_n) + (b_n - c_n)| \\
            \le |a_n - b_n|
            .\]
    \end{enumerate}
\end{proof}

\begin{definition}[Äquivalenzklassen]
    \begin{align*}
        \overline{\R} :=& \{ [a_n]_{n \in \N}\}  \\
        =& \{ (a'_n)_{n\in\N} | (a'_n)_{n\in\N} \sim (a_n)_{n\in\N}\} \\
        =& \{ (a'_n)_{n\in\N} | (a_n' - a_n)_{n \in \N} \to 0\} 
    .\end{align*}
    $(a_n)_{n\in\N}$ Repräsentant von Klasse $[(a_n)]_{n \in \N}$
\end{definition}

\begin{bem}[]
    $a \in \Q \implies$
    \[
        [(a_n)_{n\in\N}, a_n := a ] \in \overline{\R}
    .\] 
    Jede Teilfolge $(a_{n_k})_{{k}\in\N}$ einer Cauchy Folge
    \[
        (a_{n_k})_{{k}\in\N} \in [(a_n)_{n\in\N}]
    .\] 
    Jede Äquivalenzklasse $[\left( (a_n)_{n\in\N} \right) ]$ von Cauchy
    Folge rationaler Zahlen definiert genau eine reelle Zahl
\end{bem}

\begin{satz}[]
    Jeder Äquivalenzklasse $[(a_n)_{n\in\N}]$ entspricht genau einem
    (möglicherweise unendlichen) Dezimalbruch.

    Die Menge aller dieser Dezimalbrüche wird bezeichnet als Menge
    $\R$ der ,,reellen Zahlen''.
    \[
        \R = \left\{a := \pm (a_0 + 0,d_1d_2d_3\ldots d_k\  \mid
        a_0 \in \N_0, d_k \in \{0, \ldots, 9\} \right\} 
    .\] 
    Für eine CF rationaler Zahlen $(a_n)_{n\in\N}$ wird $a \in \R$
    als Grenzwert bezeichnet:
    \[
    a = \lim_{n \to \infty} a_n
    .\] 
    $(a_n)_{n\in\N}$ heißt eine ,,approximierende'' Folge von $a \in \R$.
    In diesem Sinne hat jede CF rationaler Zahlen nach Konstruktion
    einen Grenzwert in $\R$.
\end{satz}

\begin{bem}[Erinnerung Geometrische Reihe]
    \[
    1 + x + x^2 + \ldots + x^{n} = \frac{1-x^{n+1}}{1 - x}, x + 1
    .\] 
\end{bem}

\begin{proof}
    \begin{enumerate}
        \item $\forall a \in \R$ $\exists [(a_n)_{n\in\N}] \in \overline{\R}$
            \[
                a = \pm (a_0 + 0,d_1d_2d_3 \ldots )
            .\] 
            definieren wir eine Folge $(a_n)_{n\in\N}$ (rationaler) endlicher
            Teilbrüche:
            \[
                a_n = \pm (a_0, d_1\ldots d_n), a_0 \in \N_0, d_k \in \{0, \ldots, 9\} 
            .\] zu zeigen: $(a_n)_{n\in\N}$ ist eine Cauchy Folge.

            Sei $m > n + 1$, dann
            \begin{align*}
                |a_n - a_m| &= |a_0 + 0,d_1d_2\ldots d_n -
                (a_0 + 0, d_1d_2 \ldots d_n d_{n+1} \ldots d_m )| \\
                &= | 0,00\ldots 0 d_{n + 1} \ldots d_m| \\
                &= d_{n+1} 10^{-(n+1)} + \ldots + d_m 10^{-m} \\
                &\le 10^{-n} (d_{n+1} 10^{-1} + \ldots + d_m 10^{-m+n}) \\
                &\le 10^{-n} (10^{0} + \ldots + 10^{-m+n+1}) \\
                &= 10^{-n} \left( \left( \frac{1}{10}^{0} \right) + 
                \ldots + \frac{1}{10}^{m-n-1} \right)  \\
                &= 10^{-n} \frac{1 - \frac{1}{10}^{m-n}}{1 - \frac{1}{10}} \\
                &\le 10^{-n} \frac{1}{\frac{9}{10}} \\
                &= 10^{-n} \frac{10}{9} \to 0, n \to \infty
            .\end{align*}
            $\implies (a_n)_{n\in\N}$ ist Cauchy Folge und repräsentiert
            eine Klasse $[(a_n)_{n\in\N}] \in  \overline{\R}$

            ,,Einbettung'' $a \mapsto [(a_n)_{n\in\N}]$

        \item Wir zeigen, dass diese ,,Einbettung'' bijektiv ist.

            \textbf{a)} $a \mapsto [(a_n)_{n\in\N}]$ ist injektiv
            ($\forall a, a' \in \overline{R}$ gilt:
            aus $(a_n)_{n\in\N} \sim (a'_n)_{n\in\N}$ folgt $a = a'$)
            
            Für
            \begin{align*}
                &a = a_0 + 0,d_1d_2 \ldots \\
                &a' = a'_{0} + 0,d'_1d'_2 \ldots
            \end{align*}
            gilt:
            \begin{align*}
                |a_n - a'_n| &= |a_0 + 0,d_1\ldots d_n - (a'_0 + 0, d'_1 \ldots d'_n)| \\
                &\le \epsilon, \forall n \ge n_\epsilon, \forall \epsilon > 0
            .\end{align*}
            $\implies a = a'$
            
            \textbf{b)} ,,Einbettung'' $a \mapsto [(a_n)_{n\in\N}]$ ist
            surjektiv

            \begin{enumerate}[(i)]
                \item Sei $(a_n)_{n\in\N}$ Nullfolge
                    \[
                    \implies z = 0 = 0,00 \ldots
                    .\] 
                \item Sei $(a_n)_{n\in\N}$ keine Nullfolge
                    Dann fast alle $a_n > 0$ oder fast alle
                    $a_n < 0 $
                    O.B.d.A. $a_n > 0$, $n \in \N$ 

                    Ziel: $z \ge 0$ zu konstruieren.

                    Falls $a_n < 0$ (bzw. $-a_n > 0$ konstruiert $-z$)
                    \[
                        (a_n)_{n\in\N} \implies \text{beschränkt} \\
                        \implies \exists N \in \N (N \ge 2) \text{ s.d. }
                        0 < a_n < N, n \in \N
                    .\] 

                    Dann $\exists z_0 \in \N_0$, s.d. im Interval:
                    \[
                    I_0 := \{x \in \Q  \mid 0 \le z_0 \le x < z_0 + 1 < n\} 
                    .\] unendlich viele Elemente von $(a_n)_{n\in\N}$ liegen.
            \end{enumerate}
    \end{enumerate}
\end{proof}
\end{document}
