\documentclass[uebung]{../../../lecture} \usepackage{gauss} \begin{document} \title{Lineare Algebra II: Übungsblatt 3} \author{Dominik Daniel, Christian Merten} \punkte[12] \begin{aufgabe} \begin{enumerate}[(a)] \item Seien $m, n \in \Z$. Beh.: Folgende Aussagen sind äquivalent \begin{enumerate}[(i)] \item $\overline{m}$ ist eine Einheit in $\Z / n \Z$ \item $\text{ggT}(m,n) = 1$ \end{enumerate} \begin{proof} (i)$\implies$(ii): Sei $\overline{m} \in \left( \Z / n \Z \right)^{\times}$. Dann existiert ein $l \in \Z$ mit $\overline{m} \cdot \overline{l} = \overline{1}$. Also ist $ml - 1 \in n \Z$ und es ex. $k \in \Z$ mit $ml - 1 = kn \implies 1 = ml - kn$. Sei nun $d \in \Z$ mit $d \mid m$ und $d \mid n$. Dann folgt $d \mid (ml - kn) = 1$. Wegen $d \in \Z$, folgt $d = \pm 1$. Damit ist $\text{ggT}(m,n) = 1$. (ii)$\implies$(i): Sei $\text{ggT}(m,n) = 1$. Dann folgt mit dem Erw. Euklid. Alg.: $\exists u, v \in \Z$ mit $um + vn = 1 \implies \overline{um} + \underbrace{\overline{vn}}_{= \overline{0}} = 1 \implies \overline{u} \cdot \overline{m} = 1 \implies \overline{m} \in (\Z / n \Z)^{\times}$. \end{proof} \item Es ist mit Euklidischem Algorithmus \begin{align*} 51 &= 1 \cdot 42 + 9 \\ 42 &= 4 \cdot 9 + 6 \\ 9 &= 1 \cdot 6 + 3 \\ 6 &= 2\cdot 3 \intertext{Also ist $\text{ggT}(51, 42) = 3 \implies \overline{42} \not\in (\Z / 51 \Z)^{\times}$.} 55 &= 1\cdot 42 + 13 \\ 42 &= 3 \cdot 13 + 3\\ 13 &= 4\cdot 3 + 1 \\ 3 &= 3 \cdot 1 \end{align*} Also ist $\text{ggT}(55, 42) = 1 \implies \overline{42} \in ( \Z / 55 \Z)^{\times }$. Der EEA liefert: \begin{align*} 1 &= 13 - 4 \cdot 3 \\ &= 13 - 4 (42 - 3\cdot 13) \\ &= 13 \cdot 13 - 4 \cdot 42 \\ &= 13 (55 - 42) - 4\cdot 42 \\ &= 13 \cdot 55 + (-17) \cdot 42 .\end{align*} Es ist $-17 + 55 = 38$, also folgt $\overline{42} \cdot \overline{38} = \overline{1}$ in $\Z / 55 \Z$. \end{enumerate} \end{aufgabe} \begin{aufgabe} \begin{enumerate}[(a)] \item Beh.: $\forall z \in \mathbb{C}$ ex. $a + bi \in \Z[i]$ mit $\delta |z - (a+bi)| \le \frac{1}{\sqrt{2} }$. \begin{proof} Mit $\text{rd}\colon \R \to \Z$ \[ \text{rd}(x) = \begin{cases} \left\lceil x \right\rceil & |x - \left\lceil x \right\rceil | \le |x - \left\lfloor x \right\rfloor | \\ \left\lfloor x \right\rfloor & \text{sonst} \end{cases} .\] Damit folgt $\forall x \in \R$ $|x - \text{rd}(x)| \le \frac{1}{2}$. Sei nun $z \in \mathbb{C}$ mit $c, d \in \R$ und $z = c + di$. Dann wähle $a := \text{rd}(c)$ und $b := \text{rd}(d)$. Damit folgt \[ 0 \le (\underbrace{c - a}_{\le \frac{1}{2}})^2 + (\underbrace{d - b}_{\le \frac{1}{2}})^2 \le \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2} .\] Da beide Seiten nicht negativ, folgt \begin{align*} |z - (a + bi)| &= |c + di - (a + bi)| = |(c-a)^2 + (d-b)^2| \le \frac{1}{\sqrt{2}} .\end{align*} \end{proof} \item Beh.: $\delta(xy) = \delta (x) \cdot \delta (y)$ $\forall x, y \in \Z$. \begin{proof} Durch Einsetzen der Definition und Nachrechnen, analog zum letzten Zettel. \end{proof} Beh.: $\forall z, w \in \Z[i]$ mit $w \neq 0$ ex. $q \in \Z[i]$ mit $\delta (z - q\cdot w) \le \frac{1}{2}\delta(w)$. \begin{proof} Seien $z, w \in \Z[i]$ mit $w \neq 0$. Dann ex. mit (a) ein $q \in \Z[i]$, s.d. \begin{align*} \delta \left(\frac{z}{w} - q\right) &\le \frac{1}{2} .\end{align*} Damit folgt direkt \begin{align*} \delta (w) \delta \left( \frac{z}{w} - q \right) = \delta \left( w \left(\frac{z}{w} - q\right) \right) = \delta ( z - q w) &\le \frac{1}{2} \delta (w) .\end{align*} \end{proof} \item Beh.: $\Z[i]$ ist Euklidischer Ring. \begin{proof} Zunächst ist $\Z[i]$ nullteilerfrei. Weiter seien $f, g \in \Z[i]$ mit $g \neq 0$. Dann ex. mit (b) ein $q \in \Z[i]$ mit \[ \delta(f - q\cdot g) \le \frac{1}{2}\delta (g) .\] Mit $r := f - q\cdot g$ folgt damit $\delta (r) \le \frac{1}{2} \delta(g)$, also wegen $g \neq 0$ und $\delta(r), \delta (g) \in \N_0$, $\delta (r) < \delta (g)$. Damit folgt \[ f = qg + r \qquad (\delta (r) < \delta (g) \text{ oder } r = 0) .\] \end{proof} \item Beh.: $1 \in \text{GGT}(9, 3+4i)$. \begin{proof} Mit dem Euklid. Alg. folgt: \begin{align*} 9 &= (1 - i) (3+4i) + (2 - i) \\ 3+4i &= 2 i \cdot (2 - i) + 1 \\ 2 - i &= (2 - i) \cdot 1 .\end{align*} \end{proof} \end{enumerate} \end{aufgabe} \begin{aufgabe} Beh.: Sei $R \neq 0$ ein Ring, dann sind äquivalent: \begin{enumerate}[(i)] \item $R$ ist ein Körper \item $R[t]$ ist ein Euklidischer Ring \item $R[t]$ ist ein Hauptidealring \end{enumerate} \begin{proof} (i) $\implies$ (ii): Polynomringe über Körper sind nach VL euklidisch. (ii) $\implies$ (iii): Jeder Euklidische Ring ist nach VL Hauptidealring. (iii) $\implies$ (i): Sei $R$ kein Körper. Falls $R$ nicht nullteilerfrei, folgt die Behauptung. Sei im Folgenden also $R$ nullteilerfrei. Wegen $R \neq 0$ existiert ein $x \in R \setminus \{0\} $ mit $xy \neq 1$ $\forall y \in R$. Beh.: $(x,t)$ ist kein Hauptideal. Ang.: $\exists f \in R[t]$ mit $(f) = (x, t)$. Dann ex. $h \in R[t]$ mit $x = fh$. Da $R$ nullteilerfrei, folgt \[ 0 = \text{deg}(x) = \text{deg}(f) + \text{deg}(h) \implies \text{deg}(f) = \text{deg}(h) = 0 .\] Es ex. also ein $a \in R$ mit $f = a$. Außerdem ex. $g \in R[t]$ mit $t = fg = a g$. Also ist $\text{deg}(g) = 1$ und wegen $e(t) = 1$ folgt \[ 1 = e(t) = e(a) \cdot e(g) = a \cdot \underbrace{e(h)}_{\in R} .\] Also ist $a \in \R^{\times}$ und damit $1 \in (a) = (x, t)$, denn $1 = aa^{-1}$. Wegen $(a) = (x, t)$, existieren $u, v \in R[t]$ mit \[ 1 = xu + tv \stackrel{t = 0}{\implies} 1 = x \cdot \underbrace{u(0)}_{\in R} .\] Damit ist $x \in R^{\times }$ $\contr$. \end{proof} \end{aufgabe} \begin{aufgabe} \begin{enumerate}[(a)] \item Rechnerei ergibt \begin{align*} &\begin{gmatrix}[p] 0 & 20 & 0 \\ 10 & 12 & 6 \\ 20 & 12 & 10 \rowops \swap{0}{1} \colops \swap{0}{2} \end{gmatrix} \rightsquigarrow \begin{gmatrix}[p] 6 & 12 & 10 \\ 0 & 20 & 0 \\ 10 & 12 & 20 \colops \add[-2]{0}{1} \rowops \add[-1]{0}{2} \swap{0}{2} \end{gmatrix} \rightsquigarrow \begin{gmatrix}[p] 4 & -8 & 10 \\ 0 & 20 & 0 \\ 6 & 0 & 10 \rowops \add[-1]{0}{2} \swap{0}{2} \add[-2]{0}{2} \swap{0}{2} \end{gmatrix} \\ &\rightsquigarrow \begin{gmatrix}[p] 2 & 8 & 0 \\ 0 & 20 & 0 \\ 0 & -24 & 10 \colops \add[-4]{0}{1} \rowops \add{1}{2} \swap{1}{2} \add[-5]{1}{2} \end{gmatrix} \rightsquigarrow \begin{gmatrix}[p] 2 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 10 \\ 0 & 0 & -50 \colops \add[-2]{1}{2} \swap{1}{2} \end{gmatrix} \rightsquigarrow \begin{gmatrix}[p] 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 4 \\ 0 & -50 & 0 \rowops \add[25]{1}{2} \colops \add[-2]{1}{2} \end{gmatrix} \rightsquigarrow \begin{gmatrix}[p] 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 100 \end{gmatrix} .\end{align*} Damit folgen mit dem Elementarteilersatz die Elementarteiler $2, 2$ und $100$. Also folgen die Fittingideale mit $\text{Fit}_1(A) = (2)$, $\text{Fit}_2(A) = (2\cdot 2) = (4)$ und $\text{Fit}_3(A) = (2 \cdot 2 \cdot 100) = (400)$. \item Noch mehr Rechnerei ergibt \begin{align*} &\begin{gmatrix}[p] 1 -t & -1 & 2 \\ -1 & -t & 3 \\ 0 & -1 & 3-t \rowops \swap{0}{1} \mult{0}{\cdot (-1)} \end{gmatrix} \rightsquigarrow \begin{gmatrix}[p] 1 & t & -3 \\ 1 - t & -1 & 2 \\ 0 & -1 & 3-t \colops \add[-t]{0}{1} \add[-3]{0}{2} \rowops \add[-(t-1)]{0}{1} \end{gmatrix}\\ &\rightsquigarrow \begin{gmatrix}[p] 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1-t+t^2 & 5-3t \\ 0 & -1 & 3-t \colops \rowops \swap{1}{2} \mult{1}{\cdot (-1)} \end{gmatrix} \rightsquigarrow \begin{gmatrix}[p] 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -3 + t \\ 0 & -1 -t + t^2 & 5-3t \colops \add[-(-3 + t)]{1}{2} \rowops \add[1+t-t^2]{1}{2} \end{gmatrix} \\ &\rightsquigarrow \begin{gmatrix}[p] 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 - 5t + 4t^2 - t^3 \end{gmatrix} .\end{align*} Damit folgen die Elementarteiler $1$, $1$ und $2 - 5t + 4t^2 - t^3$. Für die Fittingideale gilt $\text{Fit}_1(B) = (1)$, $\text{Fit}_2(B) = (1)$ und $\text{Fit}_3(B) = (2 - 5t + 4t^2 - t^{3})$. \end{enumerate} \end{aufgabe} \end{document}