\documentclass{lecture}

\begin{document}

\section{Folgen und Reihen}
\subsection{Folgen}
Eine Zahlenfolge ist eine Abbildung von $\N$ nach $\R$, d.h. $n \mapsto a_n \in \R$.

Teilfolge: $(a_{n_k})_{k \in\N}$ von $(a_n)_{n\in\N}$ wobei $(n_k)_{k \in \N}$ eine Folge natürlicher
Zahlen, weile streng monoton wächst, d.h. $n_1 < n_2 < \ldots.$ bzw. $n_k < n_{k+1} \forall k \in \N$ 

\begin{bsp}
    $(-1)^{n}$ hat zwei Teilfolgen: $(-1)^{2n} = 1$ und $(-1)^{2n+1} = -1$.
\end{bsp}

\begin{definition}[Konvergenz, Beschränktheit, Monotonie von Folgen]

    \begin{enumerate}
        \item Eine Folge $(a_n)_{n\in\N} \in \R$ heißt \textit{beschränkt}, wenn es eine
            Konstante $c \in \R$ gibt mit $|a_n| \le C$.

            Sie heißt nach oben (bzw. unten) beschränkt falls $\exists  C \in \R$, s.d. $a_n \le C (\text{bzw. } a_n \ge C) \forall n \in \N$
        \item $(a_n)_{n\in\N}$ heißt monoton wachsend (fallend), wenn $a_n \le a_{n+1}$ ($a_n \ge a_{n+1}) \quad \forall n \in \N$.
        \item $(a_n)_{n \in \N}$ heißt konvergent gegen $a \in \R$, wenn $\forall \epsilon > 0 \exists n_\epsilon \in \N$, s.d.
            \[
            |a_n - a| < \epsilon \qquad \forall n \ge n_\epsilon
            .\] 
        \item $(a_n)_{n\in\N}$ heißt divergent, falls sie gegen keine reelle Zahl konvergiert.
    \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{bem}
    \begin{enumerate}
        \item Eine Folge $(a_n)_{n\in\N}$ konvergiert gegen $a \in \R$ falls in jeder $\epsilon$-Umgebung $]a - \epsilon, a + \epsilon[$ fast alle
            Folgenelemente liegen.
        \item In Def. kann auch $\le \epsilon$ und statt $\epsilon$ kann man $\frac{1}{N}$ für beliebig große $N \in \N$ schreiben.
    \end{enumerate}
\end{bem}
Bald ist mein Akku leer :/

\end{document}