\documentclass[uebung]{../../../lecture} \title{Lineare Algebra II: Übungsblatt 10} \author{Miriam Philipp, Dominik Daniel, Christian Merten} \begin{document} \punkte[36] \begin{aufgabe} Seien \[ A = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & 2 \end{pmatrix} \in M_{3,3}(\R) \] und $f_A$ die lineare Abbildung $\R^{3} \xrightarrow{A\cdot } \R^{3}$. Beh.: Die Darstellungsmatrix von $\bigwedge^2 f_A\colon \bigwedge^2\R^{3} \to \bigwedge^2\R^{3}$ bezüglich der Basis $ \mathcal{B} = (e_1 \wedge e_2, e_1 \wedge e_3, e_2 \wedge e_3)$ ist gegeben als \[ M_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}}\left({\bigwedge}^2 f_A\right) = \begin{pmatrix} -2 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 4 \\ 3 & 2 & -1 \end{pmatrix} .\] \begin{proof} Berechne Bild der Basisvektoren unter $\bigwedge^2f_A$: \begin{align*} {\bigwedge}^2f_A(e_1 \wedge e_2) &= f_A(e_1) \wedge f_A(e_2) \\ &= e_2 \wedge (2 e_1 + e_2 + 3e_3) \\ &= 2 e_2 \wedge e_1 + e_2 \wedge e_2 + 3 e_2 \wedge e_3 \\ &= -2 e_1 \wedge e_2 + 3 e_2 \wedge e_3 \intertext{Für restliche Basisvektoren analog} {\bigwedge}^2f_A(e_1 \wedge e_3) &= 2 e_2 \wedge e_3 \\ {\bigwedge}^2f_A(e_2 \wedge e_3) &= 2 e_1 \wedge e_2 + 4 e_1 \wedge e_3 - 1 e_2 \wedge e_3 .\end{align*} Durch Ablesen der Koeffizienten folgt die Behauptung. \end{proof} \end{aufgabe} \begin{aufgabe} Seien $R$ ein Ring und $M$ ein $R$-Modul. \begin{enumerate}[(a)] \item Beh.: Ist $M$ endlich erzeugt und frei, so ist $M$ flach. \begin{proof} Seien $N, L$ $R$-Moduln und $\varphi\colon N \to L$ ein injektiver $R$-Modul.hom. $M$ ist endlich erzeugt und frei. Fixiere Basis $(x_1, \ldots, x_n)$. Dann ist $M \stackrel{\sim }{=} R^{n}$. D.h. es existieren R-Mod.iso. $\Phi_1\colon M \otimes_R N \to R^{n} \otimes_R N$ und $\Phi_2\colon M \otimes_R L \to R^{n} \otimes_R L$. Weiter ex. R.-Mod.isomorphismen $f_1\colon R^{n} \otimes_R N \to N^{n}$ und $f_2\colon R^{n} \otimes_R L \to L^{n}$ mit $f_1((r_1, \ldots, r_n), x) = (r_1 x, \ldots, r_n x)$, analog für $f_2$. Weiter definiere: \begin{align*} \psi\colon N^{n} &\to L^{n} \\ (n_1, \ldots, n_n) &\mapsto (\varphi(n_1), \ldots, \varphi(n_n)) .\end{align*} $\psi$ ist $R$-Modulhom. und injektiv, da $\varphi$ injektiv ist. Definiere nun weiter \begin{align*} \Psi \colon M \otimes_R N \xrightarrow{\Phi_1} R^{n} \otimes_R N \xrightarrow{f_1} N^{n} \xrightarrow{\psi} L^{n} \xrightarrow{f_2^{-1}} R^{n} \otimes_R L \xrightarrow{\Phi_{2}^{-1}} M \otimes_R L .\end{align*} Beh.: $\Psi$ ist injektiver $R$-Modul.hom. mit $\text{id}_M \otimes \varphi = \Psi$. $\Psi$ ist Verknüpfung von injektiven $R$-Modul.homomorphismen, also selbst injektiver $R$-Mod.hom. Sei nun $a \otimes b \in M \otimes_R N$ beliebig. Dann ist ex. $r_1, \ldots, r_n \in R$, s.d. $a = \sum_{i=1}^{n} r_i x_i$. Damit folgt \begin{salign*} \Phi_1(a \otimes b) &= (r_1, \ldots, r_n) \otimes b \\ f_1((r_1, \ldots, r_n) \otimes b) &= (r_1 b, \ldots, r_n b) \\ \psi(r_1 b, \ldots, r_n b) &= (r_1 \varphi(b), \ldots, r_n \varphi(b)) \\ f_2^{-1}(r_1 \varphi(b), \ldots, r_n \varphi(b)) &= (r_1, \ldots, r_n) \otimes \varphi(b) \\ \Phi_2^{-1}((r_1, \ldots, r_n) \otimes \varphi(b)) &= (a \otimes \varphi(b)) \intertext{Also folgt} \Psi(a \otimes b) &= a \otimes \varphi(b) = (\text{id}_M \otimes \varphi)(a \otimes b) .\end{salign*} Also stimmen $\Psi$ und $\text{id}_M \otimes \varphi$ auf den Erzeugern überein, also gilt $\Psi = \text{id}_M \otimes \varphi$. Damit ist auch $\text{id}_M \otimes \varphi$ injektiv. \end{proof} \item Seien $M$ flach, $N$ flacher $R$-Modul und $\varphi\colon M \to N$ injektiver $R$-Mod.hom. Beh.: $\varphi \otimes \varphi\colon M \otimes_R M \to N \otimes_R N$ ist injektiv. \begin{proof} Es gilt \[ \varphi \otimes \varphi = \underbrace{(\text{id}_N \otimes \varphi)}_{\text{injektiv, da } N \text{ flach}} \circ \underbrace{(\varphi \otimes \text{id}_M)}_{\text{injektiv, da } M \text{ flach}} .\] Damit ist $\varphi \otimes \varphi$ als Verknüpfung zweier injektiver $R$-Mod.homs. auch injektiv. \end{proof} \item Beh.: $\Z / 2\Z$ als $\Z$ Modul ist nicht flach. \begin{proof} Betrachte $\varphi\colon \Z \to \Z$, $r \mapsto 2r$. $\varphi$ ist injektiver $R$-Modulhomomorphismus, aber \[ (\varphi \otimes \text{id}_{\Z / 2\Z})( 1 \otimes \overline{1}) = \varphi(1) \otimes \overline{1} = 2 \otimes \overline{1} = 1 \otimes (2\cdot \overline{1}) = 1 \otimes \overline{0} = 0 .\] $1 \otimes \overline{1} \neq 0$ in $\Z \otimes_R \Z / 2 \Z$, denn mit $\beta\colon \Z \times \Z / 2\Z, (z, \overline{a}) \mapsto z \cdot \overline{a}$ bilinear und $\beta(1, \overline{1}) = \overline{1} \neq 0$ ist mit UT angewendet auf $\beta$ und $\Z / 2 \Z$ $1 \otimes \overline{1} \neq 0$. Damit ist $\text{ker } (\varphi \otimes \text{id}_{\Z / 2\Z}) \neq \{0\} $, also $\varphi \otimes \text{id}_{\Z / 2 \Z}$ nicht injektiv. \end{proof} \end{enumerate} \end{aufgabe} \begin{aufgabe} Seien $R$ ein Ring und $M$ ein e.e. freier $R$-Modul. \begin{enumerate}[(a)] \item Seien $N$ e.e. freier $R$-Modul und $\varphi\colon M \to N$ injektiver $R$-Mod.hom. Beh.: $\bigwedge^2 \varphi\colon \bigwedge^2 M \to \bigwedge^2 N$ ist injektiv. \begin{proof} Da $M$ und $N$ e.e. und frei ex. nach 35(a) und (b) eindeutige injektive $R$-Mod.homs. $f\colon \bigwedge^2 M \to M \otimes_R M$ und $g\colon \bigwedge^2 N \to N \otimes_R N$ mit $f(a \wedge b) = a \otimes b - b \otimes a$, analog für $g$. Definiere nun $\tilde{g}\colon \bigwedge^2N \to \text{Bild}(g)$. $\tilde{g}$ ist damit surjektiv und injektiv, also $R$-Modul.iso., inbes. ex. $\tilde{g}^{-1}\colon \text{Bild}(g) \to \bigwedge^2 N$. Definiere weiter \[ \psi\colon {\bigwedge}^2 M \xrightarrow[\text{inj. nach 35(b)}]{f} M \otimes_R M \xrightarrow[\text{inj. nach 37(b)}]{\varphi \otimes \varphi} N \otimes_R N \xrightarrow[\text{inj. nach 35(b)}]{\tilde{g}^{-1}} {\bigwedge}^2 N .\] Z.z.: $\psi$ wohldefiniert, g.z.z. $\text{Bild}((\varphi \otimes \varphi) \circ f) = \text{Bild}(g)$. Dazu seien $a, b \in M$. Dann gilt \begin{salign*} (\varphi \otimes \varphi)(f(a \wedge b)) &= (\varphi \otimes \varphi)(a \otimes b - b \otimes a) \\ &= (\varphi(a) \otimes \varphi(b) - \varphi(b) \otimes \varphi(a)) \\ &= g(\varphi(a) \wedge \varphi(b)) \in \text{Bild}(g) \intertext{Da Elemente der Form $a \wedge b$ $\bigwedge^2M$ erzeugen, folgt Behauptung. Damit ist $\psi$ als Verkettung von injektiven $R$-Mod.homs, injektiver $R$-Mod.hom. Bleibt zu zeigen: $\psi = \bigwedge^2 \varphi$. Mit obiger Rechnung folgt sofort} \psi(a \wedge b) &= \tilde{g}^{-1}((\varphi \otimes \varphi)f(a \wedge b)) \\ &= \tilde{g}^{-1}(g(\varphi(a) \wedge \varphi(b)))\\ &= \varphi(a) \wedge \varphi(b) \\ &= {\bigwedge}^2 \varphi(a \wedge b) .\end{salign*} Da $\bigwedge^2M$ von Elementen der Form $a \wedge b$ erzeugt wird, folgt $\psi = \bigwedge^2\varphi$. Da $\psi$ injektiv als Verkettung von injektiven $R$-Mod.homs, ist $\bigwedge^2\varphi$ injektiv. \end{proof} \item Beh.: Für $m_1, m_2 \in M$ sind folgende Aussagen äquivalent: \begin{enumerate}[(i)] \item Die Familie $(m_1, m_2)$ ist linear unabhängig. \item Aus $r (m_1 \wedge m_2) = 0$ in $\bigwedge^2M$ mit $r \in R$ folgt $r = 0$. \end{enumerate} \begin{proof} (i) $\implies$ (ii): Definiere \begin{align*} \varphi\colon R &\to {\bigwedge}^2 M \\ r &\mapsto r (m_1 \wedge m_2) .\end{align*} Z.z.: $\varphi$ ist injektiv. Sei $(e_1, e_2)$ die Standardbasis des $R^2$. Definiere damit \begin{align*} \Phi&\colon R \to {\bigwedge}^2 R^2, \quad r \mapsto r (e_1 \wedge e_2) \\ \psi&\colon R^2 \to M, \quad \psi(e_i) = m_i \quad i=1,2 .\end{align*} Da $\{e_1 \wedge e_2 \}$ Basis von $\bigwedge^2 R^2$, ist $e_1 \wedge e_2$ l.u. und damit $\Phi$ injektiv. Weiter sind $R^2$ und $M$ e.e. und frei und $\psi$ injektiver $R$-Mod.hom. Mit (a) folgt damit, dass $\bigwedge^2 \psi$ injektiv ist. Außerdem gilt für $r \in R$ beliebig: \begin{salign*} \left({\bigwedge}^2 \psi\right)(\Phi(r)) &= ({\bigwedge}^2\psi)(r (e_1 \wedge e_2)) \\ &= r (\psi(e_1) \wedge \psi(e_2)) \\ &= r (m_1 \wedge m_2) \\ &= \varphi(r) .\end{salign*} Damit gilt $\varphi = \bigwedge^2 \psi \circ \Phi$ und damit $\varphi$ injektiv, als Verkettung injektiver $R$-Mod.homs. (ii) $\implies$ (i): Kontraposition. Seien $(m_1, m_2)$ linear abhängig. Dann ex. ein $\alpha \in R$ mit $m_1 = \alpha m_2$. Damit folgt \[ 1 \cdot (m_1 \wedge m_2) = 1 \cdot (\alpha m_2 \wedge m_2) = \alpha (m_2 \wedge m_2) = 0 ,\] aber $1 \neq 0$ in $R$, da $R \neq 0$ nach Konvention der VL von Kapitel 9. \end{proof} \item Beh.: Für $\text{Rang}(M) = 2$ und $\varphi \in \text{End}_R(M)$ sind die folgenden Aussagen äquivalent: \begin{enumerate}[(i)] \item $\varphi$ ist injektiv \item $\text{det}(\varphi) \in R$ ist kein Nullteiler \end{enumerate} \begin{proof} (i) $\implies$(ii): Da $\varphi$ injektiv, ist $\bigwedge^2 \varphi$ injektiv. Sei $(x_1, x_2)$ Basis von $M$. Dann gilt \begin{salign*} {\bigwedge}^2\varphi(\underbrace{x_1 \wedge x_2}_{\neq 0}) = \varphi(x_1) \wedge \varphi(x_2) = \text{det}(\varphi) (x_1 \wedge x_2) \neq 0 .\end{salign*} Also gilt $\text{det}(\varphi) \neq 0$. Sei nun $r \in R$ beliebig mit $\text{det}(\varphi) r = 0$. Dann betrachte \begin{salign*} {\bigwedge}^2 \varphi(r x_1 \wedge x_2) = \varphi(r x_1) \wedge \varphi(x_2) = \text{det}(\varphi) r (x_1 \wedge x_2) = 0 = r \underbrace{(\text{det}(\varphi) x_1 \wedge x_2)}_{\neq 0} .\end{salign*} Da $(x_1, x_2)$ Basis sind auch $\text{det}(\varphi) x_1$ und $x_2$ linear unabhängig, d.h. mit (b) folgt $r = 0$. (ii) $\implies$ (i): Sei $m \in M$ beliebig mit $\varphi(m) = 0$ und $(x_1, x_2)$ Basis von $M$. Ang.: $m \neq 0$. Dann ex. $a, b \in R$ mit $m = ax_1 + b x_2$ mit $a \neq 0 \lor b\neq 0$. O.E.: $a \neq 0$. Dann folgt \begin{salign*} 0 &= \varphi(m) \wedge \varphi(x_2) \\ &= \text{det}(\varphi) (m \wedge x_2) \\ &= \text{det}(\varphi) (a x_1 + b x_2) \wedge x_2 \\ &= \text{det}(\varphi) (a x_1 \wedge x_2) \\ &= \text{det}(\varphi) \cdot a (x_1 \wedge x_2) .\end{salign*} Da $x_1$, $x_2$ l.u., folgt mit (b), dass $\text{det}(\varphi) \cdot a = 0$. Da $\text{det}(\varphi) $ kein Nullteiler, folgt $a \neq 0$ $\contr$. \end{proof} \end{enumerate} \end{aufgabe} \begin{aufgabe} Seien $N = \Z$, $M = \bigoplus_{i \in \N} \Z / 2 \Z$ und $f\colon N \to M \oplus M$, $g: N \oplus M \to M$ gegeben durch \[ f(n) = (2n, 0) \quad \text{und} \quad g(n, (\overline{m_1}, \ldots, )) = (\overline{n}, \overline{m_1}, \ldots) .\] \begin{enumerate}[(a)] \item Beh.: Die Folge $0 \to N \xrightarrow{f} N \oplus M \xrightarrow{g} M \to 0$ ist eine kurze exakte Folge von $\Z$-Moduln. \begin{proof} Offensichtlicherweise ist $f$ injektiv und $g$ surjektiv. Bleibt zu zeigen: $\text{ker } g = \text{im } f$. ,,$\subseteq $``: Sei $x \in \text{ker } g$. Dann ex. $n, m_1, m_2, \ldots \in \Z$ mit $x = (n, (\overline{m_1}, \ldots))$. Da $g(x) = 0$ folgt $\overline{n} = \overline{m_1}= \ldots = 0$. Damit ex. $z \in \Z$ mit $z = 2 z$. Also ist $f(z) = (2z, 0) = (n, 0) = (n, (\overline{m_1}, \overline{m_2}, \ldots)) = x$. Damit ist $x \in \text{im }f$. ,,$\supseteq$``: Sei $x \in \text{im } f$. Dann $\exists n \in \Z$, s.d. $f(n) = (2n, 0) = x$. Damit folgt $g(x) = g(2n, 0) = (\overline{2n}, 0, \ldots) = (\overline{0}, \overline{0}, \ldots) = 0$. Also $x \in \text{ker } g$. \end{proof} \item Beh.: Die Folge aus (a) zerfällt nicht. \begin{proof} Ang.: Die Folge aus (a) zerfällt. Dann ex. ein $\Z$-Untermodul $T \subseteq N \oplus M$, s.d. $g|_T\colon T \to M$ Isomorphismus ist. Wähle $x \coloneqq (\overline{1}, \overline{0}, \ldots) \in M$. Da $g|_T$ surjektiv, ex. ein $y \in T$, s.d. $g(y) = x$. Es ex. $n, m_1, \ldots \in \Z$ mit $y = (n, (\overline{m_1}, \ldots))$. Wegen \[ g(y) = g(n, (\overline{m_1}, \ldots)) = (\overline{n}, \overline{m_1}, \ldots) = (\overline{1}, \overline{0}, \ldots) = x \] folgt $n \equiv 1$ $(\text{mod } n)$. Da $T$ $\Z$-Untermodul, ist auch $2y = (2n, (\overline{2 m_1}, \ldots)) = (2n, 0) \in T$. Damit folgt \[ g(y) = g(2n, 0) = (\overline{2n}, \overline{0}, \ldots) = (\overline{0}, \overline{0}, \ldots) = 0 .\] Da $n \neq 0$ und $\Z$ nullteilerfrei, folgt $y = (2n,0) \neq 0$, folgt $\text{ker } g|_T \neq \{0\} $ $\contr$. \end{proof} \end{enumerate} \end{aufgabe} \end{document}