\documentclass{../../../lecture}

\begin{document}

\begin{satz}[Reihenentwicklung Sinus / Cosinus]
    Für alle $x \in \R$ gilt (absolut konvergente
    Potenzreihendarstellung)
    \[
        \cos(x) = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^{k}\frac{x^{2k}}{(2k)!} = 1 - \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{4}}{4!} - \ldots
    .\] und
    \[
        \sin(x) = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^{k}\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!} = x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} - \ldots
    .\] 
\end{satz}

\begin{proof}
    Die absolute Konvergenz folgt als Teilreihe der Exponentialreihe (als Majorante)

    Es gilt für $m \in \N_0$
    \[
    i^{n} = \begin{cases}
        1 & n = 4m \\
        i & n = 4m+1 \\
        -1 & n = 4m+2 \\
        -i & n = 4m+3
    \end{cases}
    .\] Es folgt
    \begin{align*}
        e^{ix} &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(ix)^{n}}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} i^{n} \frac{x^{n}}{n!} \\
               &= \underbrace{\sum_{k=0}^{\infty} (-1)^{k} \frac{x^{2k}}{(2k)!}}_{\cos(x)} + i \underbrace{\sum_{k=0}^{\infty} (-1)^{k} \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}}_{\sin(x)}
    .\end{align*}
\end{proof}

\begin{satz}[Restgliedabschätzung Sinus / Cosinus]
    Für $n \in \N_0$ gilt
    \[
        \cos(x) = \sum_{k=0}^{n} (-1)^{k} \frac{x^{2k}}{(2k)!} + R_{2n+2}(x)
    .\] und
    \[
        \sin(x)= \sum_{k=0}^{n} (-1)^{k} \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!} + R_{2n+3}(x)
    .\] 
    mit
    \[
        |R_{2n+2}(x)| \le \frac{|x|^{2n+2}}{(2n+2)!} \text{ für } |x| \le 2n+3
    .\] bzw.
    \[
        |R_{2n+3}(x)| \le \frac{|x|^{2n+3}}{(2n+3)!} \text{ für } |x| \le 2n+4
    .\] 
\end{satz}

\begin{proof}
    Es gilt
    \begin{align*}
        R_{2n+2}(x) &= \sum_{k=n+1}^{\infty} (-1)^{k} \frac{x^{2k}}{(2k)!} \\
                    &= (-1)^{n+1} \frac{x^{2n+2}}{(2n+2)!}
                    \left( \sum_{k=n+1}^{\infty} (-1)^{k-(n+1)}
                    \frac{x^{2(k - (n+1))}}{(2k)! \frac{1}{(2n+2)!}}\right) \\
                    &= (-1)^{n+1} \frac{x^{2n+2}}{(2n+2)!}
                    \left( \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^{k}
                    \frac{x^{2k}(2n+2)!}{(2k+2n+2)!} \right) 
    .\end{align*}
    Für $k \in \N$ setze
    \begin{align*}
        a_k :&= \frac{x^{2k}(2n+2)!}{(2k+2n+2)!}
        = \frac{x^{2k}}{(2n+3)(2n+4) \ldots (2k + 2n + 2)} \\
        a_{k-1} &= \frac{x^{2k-2}(2n+2)!}{(2k+2n)!}
        \intertext{damit}
        a_k &= a_{k-1} \cdot \frac{x^{2}}{(2k+2n+1)(2k+2n+2)}
    .\end{align*}
    Es gilt für $|x| \le 2n+3, k\ge 1$
    \[
        \frac{x^{2}}{(2k+2n+1)(2k+2n+2)} \le \frac{(2n+3)^{2}}{(2n+3)(2n+4)} < 1
    .\] $\implies$
    \[
        a_k \le \frac{(2n+3)^{k}}{(2n+4)^{k}} a_0 \quad a_0 = \frac{1}{(2n+2)!}
    .\] $\stackrel{\text{Leibniz}}{\implies}$
    \[
        \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^{k} a_k
    .\] konvergent mit
    \[
        0 < \underbrace{\underbrace{1 - a_1}_{> 0} + \underbrace{a_2 - a_3}_{> 0}
        + \underbrace{a_4 - \ldots}_{> 0}}_{< 1} < 1
    .\] $\implies$
    \[
        |R_{2n+2}(x)| \le \frac{|x|^{2n+2}}{(2n+2)!} \text{ für } |x| \le 2n+3
    .\] Genauso für $R_{2n+3}(x)$ (Sinus).
\end{proof}

\begin{lemma}
    Sinus und Cosinus Funktionen haben das folgende Verhalten
    \[
        \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1
    .\]
    \[
        \lim_{x \to 0} \frac{\cos(x)-1}{x} = 0
    .\] 
\end{lemma}

\begin{proof}
    \begin{align*}
        \left| \frac{\sin(x)}{x} - 1 \right|
        &= \left| \underbrace{1 - \frac{x^{2}}{3!} + \frac{x^{4}}{5!}}_{\frac{\sin(x)}{x}} - \ldots - 1\right| \\
        &= \left| x \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k}\frac{x^{2k-1}}{(2k+1)!} \right|  \\
        &\stackrel{|x| < 1}{\le |x|} \cdot \left| \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(2k+1)!} \right|
        \le |x| \cdot e
    .\end{align*} $\implies$
    \[
        \underbrace{\left| \frac{\sin(x)}{x} -1 \right|}_{\to 0}
        \le \underbrace{|x| \cdot e}_{\to 0}
    .\] 
    genauso für $\lim_{x \to 0} \frac{\cos(x) - 1}{x}$.
\end{proof}

\section{Die Zahl $\pi$}
Ziel: Analytische Definition von $\pi \in \R$.

\begin{satz}[und Definition]
    Die Funktion $\cos\colon [0,2] \to \R$ hat genau eine Nullstelle
    im Intervall $[0,2]$, welche mit  $\frac{\pi}{2}$ bezeichnet
    wird ($\pi := 2 \frac{\pi}{2}$ ).
\end{satz}

\begin{proof}
    in 4 Schritten.

    Schritt 1 / Lemma 1: $\cos(2) \le -\frac{1}{3}$. \\
    Restgliedabschätzung liefert ($|x| \le 5$ ).
    \[
        \cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2} + R_4(x) \text{ mit } |R_4(x)| \le \frac{|x|^{4}}{24}
    .\] $\implies$
    \[
        \cos(2) = 1 - 2 + \underbrace{R_4(2)}_{\le \frac{16}{24} = \frac{2}{3}} \le -1 + \frac{2}{3} = -\frac{1}{3}
    .\] 

    Schritt 2 / Lemma 2: $\sin(x) > 0$ $\forall x \in \; ]0, 2[$\\
    Es gilt
    \begin{align*}
        \sin(x) = x + R_3(x) = x (1 + \frac{R_3(x)}{x})
        \left| \frac{R_3(x)}{x} \right| \le \frac{|x|^2}{6}
        \stackrel{0 < x \le 2}{\le} \frac{4}{6} = \frac{2}{3}
        \intertext{$\implies$}
        1 + \frac{R_3(x)}{x} \ge \frac{1}{3}
    .\end{align*}

    Schritt 3 / Lemma 3: $\cos: [0,2] \to \R$ ist streng monoton fallend.\\
    Sei $0 \le y < x \le 2$. Dann gilt
    \begin{align*}
        \cos(x) - \cos(y) \stackrel{\text{Additionstheorem}}{=}
        - 2 \underbrace{\sin\left( \frac{x+y}{2} \right)}_{> 0}
        \underbrace{\sin\left( \frac{x-y}{2} \right)}_{> 0} < 0
    .\end{align*}

    Schritt 4 (Beweis der Definition von $\pi$ )
    $\cos(0) = 1$ (nach Definition).
    \[
        \cos(2) \le - \frac{1}{3} \stackrel{\text{Zwischenwertsatz}}{\implies}
        \exists x_0 \in [0,2] \text{ mit } \cos(x_0) = 0
    .\] Nach Lemma 3 ist $x_0$ eindeutig.
\end{proof}

\begin{korrolar}[Spezielle Werte von $\exp$]
    Es gilt: $e^{i \frac{\pi}{2}} = i$,
    $e^{i \pi} = -1$, $e^{i \frac{3\pi}{2}} = -i$, $e^{2\pi i} = 1$ 
\end{korrolar}

\begin{proof}
    Übung.
\end{proof}

\begin{korrolar}[Eigenschaften Sinus / Cosinus]
    $\forall x \in \R$ gilt:
    \begin{enumerate}[(i)]
        \item $\cos(x + 2\pi) = \cos(x) \quad \sin(x+2\pi) = \sin(x)$  \\
            $2 \pi$: Periodizität
        \item $\cos(x + \pi) = - \cos(x) \quad \sin(x+ \pi) = - \sin(x)$
        \item $\cos(x) = \sin(\frac{\pi}{2} - x) \quad \sin(x) = \cos(\frac{\pi}{2} - x)$
        \item Nullstellen von $\sin / \cos$.\\
            $\{x \in \R | \sin x = 0\} = \{x = k\pi | k \in \Z\} $ \\
            $\{x \in \R | \cos x = 0\} = \{x = \left(k+\frac{1}{2}\right)\pi | k \in \Z\} $ \\
    \end{enumerate}
\end{korrolar}

\begin{proof}
    folgt aus den Additionstheoremen, der Definition von $\frac{\pi}{2}$,
    den speziellen Werten von $\exp$ und folgender Tabelle
    \begin{tabular}{l|l|l|l|l|l}
        x & 0 & $\frac{\pi}{2}$ & $\pi$ & $\frac{3}{2} \pi$ & $2 \pi$ \\ \hline
        $\cos x$ & 1 & 0 & $-1$ & 0 & 1 \\ \hline
        $\sin x$ & 0 & 1 & 0 & $-1$ & 0 \\
    \end{tabular}.
\end{proof}

\begin{korrolar}[$e^{z} = 1$]
    Es gilt $\{z \in \mathbb{C} | e^{z} = 1\} = \{i 2 \pi k | k \in \Z\} $
\end{korrolar}

\begin{proof}
    ohne Beweis.
\end{proof}

\begin{definition}[Tangens, Cotangens]
    \begin{enumerate}[(i)]
        \item Die Tangensfunktion
            \begin{align*}
                &\tan: \R \setminus \left\{x = \left(k + \frac{1}{2}\right) \pi  \mid  k \in \Z\right\} 
                \to \R
            \intertext{ist definiert durch}
                &\tan x := \frac{\sin x}{\cos x}
            .\end{align*}
        \item Die Cotangensfunktion
            \begin{align*}
                &\cot: \R \setminus \{x = k \pi  \mid  k \in \Z\} \to \R
            \intertext{ist definiert durch}
                &\cot x := \frac{\cos(x)}{\sin(x)}
            .\end{align*}
    \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{figure}[h!]
    \centering
    \begin{tikzpicture}
        \begin{axis}%
            [grid=both,
             minor tick num=4,
             grid style={line width=.1pt, draw=gray!10},
             major grid style={line width=.2pt,draw=gray!50},
             axis lines=middle,
             enlargelimits={abs=0.2},
             ymax=5,
             ymin=-5
            ]
            \addplot[domain=-3:3,samples=50,smooth,red] {tan(deg(x))};
          \end{axis}
    \end{tikzpicture}
    \caption{$\tan(x)$}
\end{figure}

\begin{figure}[h!]
    \centering
    \begin{tikzpicture}
        \begin{axis}%
            [grid=both,
             minor tick num=4,
             grid style={line width=.1pt, draw=gray!10},
             major grid style={line width=.2pt,draw=gray!50},
             axis lines=middle,
             enlargelimits={abs=0.2},
             ymax=5,
             ymin=-5
            ]
            \addplot[domain=-3:3,samples=50,smooth,red] {cot(deg(x))};
          \end{axis}
    \end{tikzpicture}
    \caption{$\cot(x)$}
\end{figure}

\begin{definition}[Arcusfunktionen]
    \begin{enumerate}[(i)]
        \item $\cos\colon  [0, \pi] \to  [-1, 1]$ ist streng monoton fallend
            und bijektiv. Die Umkehrfunktion heißt
            Arcus-Cosinus.
            \[
                \arccos: [-1,1] \to  [0, \pi]
            .\] 
        \item $\sin\colon  \left[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right] \to [-1, 1]$
            ist streng monoton wachsend und bijektiv. Die Umkehrfunktion
            heißt Arcus-Sinus.
            \[
                \arcsin: [-1,1] \to \left[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right] 
            .\] 
        \item $\tan\colon  \; ] - \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} [ \to  \R$ ist streng
            monoton wachsend und bijektiv. Die Umkehrfunktion heißt
            Arcus-Tangens.
            \[
                \arctan: \R \to  ] - \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} [
            .\] 
    \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{satz}[Polarkoordinaten]
    Jedes $z \in \mathbb{C}$ lässt sich schreiben als
    $z = r\cdot e^{i \varphi}$, $\varphi \in \R$ und
    $r = |z| \in [0, \infty[$.

    Für $z \neq 0$ ist $\varphi$ bis auf ein ganzzahliges Vielfaches von
    $2\pi$ eindeutig bestimmt.
\end{satz}

\begin{proof}
    Rannacher.
\end{proof}

\end{document}