\documentclass{../lectures/lecture}

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    top=10mm,
    left=15mm,
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\renewcommand{\thechapter}{\Alph{chapter}}
\setcounter{chapter}{4}
\setcounter{section}{6}

Seien im Folgenden
$S$ und $S'$ zwei Koordinatensysteme, wobei sich $S'$ relativ zu $S$ mit Geschwindigkeit $v$ bewege,
sodass zum Zeitpunkt $ct = ct' = 0$ auch $x = x' = 0$ gelte.
Das Ereignis $A$ liege im gemeinsamen Ursprung von $S$ und $S'$.

\section{Geometrischer Vergleich zwischen Lorentz-Transformationen und Rotationen}

Rotationen (links) und Lorentz-Transformationen (rechts) erzeugen deutlich verschiedene Geometrien.
\begin{salign*}
\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} \cos\alpha & \sin\alpha \\ -\sin\alpha & \cos\alpha \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \qquad
\begin{pmatrix} ct' \\ x' \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} \cosh\psi & \sinh\psi \\ \sinh\psi & \cosh\psi \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} ct \\ x \end{pmatrix} 
.\end{salign*}
Das fehlende Minuszeichen in den
Lorentz-Transformationen, führt dazu, dass die Achsen für positive Rapidität zueinander geschert werden
und die hyperbolischen Funktionen dazu, dass die Linien von gleichem $s^2$, also die Linien,
auf denen die Lorentzinvariante $s^2 = (ct)^2 - x^2$ konstant ist, hyperbelförmig sind, im Gegensatz
zu den kreisförmigen Linien gleichen Radius bei Rotationen.

\section{Kausale Struktur der Raumzeit}

Die Raumzeit ist durch eine ausgezeichnete Linie getrennt. Diese erfüllt
die Gleichung $x = ct$. Hier ist $s^2 = 0$ und Ereignisse auf dieser Linie werden \textbf{lichtartig} gennant.
Lichtsignale, die im Ursprung eines Koordinatensystems losgeschickt werden, verlaufen auf dieser (Null-)Linie.

Die Nulllinie trennt Ereignisse in der Raumzeit in zwei Gruppen: Die \textbf{zeitartig} getrennten,
mit $s^2 > 0$ und die \textbf{raumartig} getrennten mit $s^2 < 0$. Der Bereich der Raumzeit, wo $s^2 > 0$ gilt,
wird auch \textbf{Lichtkegel} genannt. Innerhalb des Lichtkegels
liegt eine absolute zeitliche Ordnung der Ereignisse vor: Ein Ereignis $B$, das in $S$ nach $A$ stattfindet,
findet auch in $S'$ nach $A$ statt. Außerhalb des Lichtkegels, also für raumartig getrennte Ereignisse
gilt das nicht: Es kann $v$ immer so gewählt werden, dass $B$ unterhalb der $x'$-Achse liegt. Dann
findet $B$ in $S'$ vor $A$ statt.

Außerdem kann $A$ nur zeitartigen Ereignissen $B$ Lichtsignale senden, da dort das Lichtsignal ankommt,
bevor $B$ stattfindet.
Bei raumartigen Ereignissen $C$ kann jedoch ein Lichtsignal von $A$ nicht ankommen,
da wenn das Lichtsignal die räumlichen Koordinaten von $C$ erreicht hat, $B$ schon passiert ist.

\section{Relativistische Effekte}

\begin{itemize}
    \item Relativität der Gleichzeitig: Wie bereits im vorangegangenen Abschnitt erwähnt,
        ist keine zeitliche Ordnung der Ereignisse außerhalb des Lichtkegels gegeben.
    \item Zeitdilatation: Eine in $S'$ ruhende Uhr, scheint von $S$ aus betrachtet langsamer
        zu gehen. Genauer: $\Delta t = \gamma \Delta t'$. Dieser Effekt ist symmetrisch und wird
        von der Transformation erzeugt.
    \item Längenkontraktion: Längenmaßstäbe in einem bewegten System erscheinen verkürzt. Genauer:
        $\Delta x = \frac{1}{\gamma} \Delta x'$. Auch dieser Effekt ist symmetrisch und wird nur durch
        die Transformation erzeugt.
\end{itemize}

\section{Eigenzeit}
\thispagestyle{plain}

Sei eine Trajektorie $x^{\mu}(\tau)$ durch ein Koordinatensystem gegeben. Die Uhr eines Insassen eines
Raumschiffes, das sich auf dieser Trajektorie bewegt, zeigt die sogenannte \textbf{Eigenzeit} $\tau$ des
Systems an. Die Tangente $u^{\mu}(\tau) = \frac{\d{x}^{\mu}}{\d{\tau}}$ gibt die Geschwindigkeit
des Teilchens auf der Trajektorie an.

Durch Berechnung der Lorentz-Invariante $s^2$ erhalten wir $s^2 = (c\tau)^2$ im Ruhesystem
des Teilchens. Da dieser Zusammenhang auch infinitesimal gilt, folgt insgesamt für
die vom Ereignis $A$ zum Ereignis $B$ vergangene Eigenzeit
\begin{salign*}
    \tau = \int_{A}^{B}  \d{\tau} = \int_{A}^{B} \frac{\d{t}}{\gamma}
\end{salign*}
für Start- und Endpunkte $A$ und $B$.

\end{document}