\documentclass{../../../lecture} \begin{document} Folgerung: Sei $f\colon D \to \R$ stetig in $a \in D$ und $f(a) \neq 0$. Dann $\exists \delta > 0$ mit $f(x) \neq 0$ für alle $x \in D \cap ]a-\delta, a + \delta[$, d.h. es ex. Umgebungen von $a$, s.d. $f(x) \neq 0$ für alle Punkte in dieser Umgebung. \begin{proof} Wähle $\epsilon := \frac{|f(a)|}{4} > 0$. Dann $\exists \delta > 0$ mit $|f(x) - f(a)| < \epsilon$ $\forall x \in D$ mit $|x - a| < \delta$. \\ \[ \implies |f(x)| \ge |f(a)| - |\underbrace{f(x)-f(a)}_{< \epsilon}| > |f(a)| - \frac{|f(a)|}{4} = \frac{3}{4} |f(a)| > 0 .\] $\forall x \in D$ mit $|x - a| < \delta$ \end{proof} \begin{satz} \begin{enumerate} \item Es sei $f, g: D \to \R$ stetig in $a \in D$. Dann sind $\lambda f + \mu g$ $\forall \lambda, \mu \in \R$, $f\cdot g$ und falls $g(x) \neq 0$ $\forall x \in D$ $\frac{f}{g}$ stetig in $a$. \item Sei $f$ stetig in $a \in D$ mit $f(D) \subset \overline{D} \subset \R$ und $h\colon \overline{D} \to \R$ stetig in $f(a)$. Dann ist die Komposition $(h\circ f)\colon D \to R, (h\circ f)(x) := h(f(x))$ stetig in $a$. \end{enumerate} \end{satz} \begin{proof} \begin{enumerate} \item folgt aus Rechenregeln für konvergente Folgen. z.B.: $(x_n)_{n \in \N}$ eine Folge in $D$ mit $\lim_{n \to \infty} x_n = a$. Dann \[ (f+g)(a) = \lim_{n \to \infty} (f+g)(x_n) = \lim_{n \to \infty} f(x_n) + \lim_{n \to \infty} g(x_n) = f(a) + g(a) .\] \item Sei $(x_n)_{n\in\N}$ Folge in $D$ mit $\lim_{n \to \infty} x_n = a$. Dann: \[ \lim_{n \to \infty} \underbrace{f(x_n)}_{y_n := f(x_n)} = b =: f(a) .\] $(y_n)_{n\in\N}$ Folge in $\overline{D}$. Aus Stetigkeit von $h$ in $b$ folgt: \[ \lim_{n \to \infty} h(y_n) = h(b) \implies \lim_{n \to \infty} \underbrace{h(f(x_n))}_{(h \circ f)(x_n)} = h(f(a)) .\] \end{enumerate} \end{proof} \begin{bsp} \begin{enumerate} \item Alle Polynome \[ f(x) := \sum_{k=0}^{n} a_k x^{k} .\] sind stetig in $\R$. \item Rationale Funktionen $\frac{f}{g}$ mit Polynomen $f, g$ $(g \neq 0)$ sind stetig in $D := \{x \in \R \mid g(x) \neq 0\} $. \item $f$ stetig in $D$, dann ist auch $|f|\colon D \to \R$ stetig, als Komposition: $(|\cdot | \circ f)(x)$. \item Heaviside Funktion ist stetig $\forall x \in R \setminus \{0\} $. \item Dirichlet-Funktion $f\colon \R \to \R$ \[ f(x) = \begin{cases} 1 & x \in \Q \\ 0 & x \in \R \setminus \Q \end{cases} .\] ist in keinem Punkt stetig. \begin{proof} Sei $a \in \Q$. Es existiert eine Folge \[ x_n := a + \frac{\sqrt{2} }{n} \in \R \setminus \Q \text{ mit } \lim_{n \to \infty} x_n = a .\] aber \[ \lim_{n \to \infty} \underbrace{f(x_n)}_{= 0} = 0 \neq 1 = f(a) .\] Sei $a \in \R \setminus \Q$. Es ex. eine Folge von rationalen Zahlen $x_n$ mit $\lim_{n \to \infty} x_n = a$. $x_n \in \Q$ $\forall n \in \N$ (Konstruktion von reellen Zahlen) es gilt \[ \lim_{n \to \infty} \underbrace{f(x_n)}_{= 1} = 1 \neq 0 = f(a) .\] \end{proof} \end{enumerate} \end{bsp} \subsection{Weitere Eigenschaften stetiger Funktionen} \begin{definition}[offene, abgeschlossene, kompakte Mengen] Eine Menge $D \subset \R$ heißt offen, falls $\forall x \in D$ $\exists r > 0$ mit \[ B_r(x) := \; ]x - r, x + r[ \; \subset D .\] d.h. jeder Punkt besitzt eine Umgebung, welche ganz in $D$ liegt. Eine Menge $D \subset \R$ heißt abgeschlossen, falls die Grenzwerte von konvergenten Folgen aus $D$ wieder in $D$ liegt, d.h. $(x_n)_{n\in\N}$ in $D$ mit $\lim_{n \to \infty} x_n = x_0 \implies x_0 \in D$. $D \subset \R$ heißt kompakt, falls $D$ beschränkt und abgeschlossen ist. (beschränkt $\stackrel{\text{def.}}{=}$ $\exists C > 0$ mit $|x| < C$ $\forall x \in D$ ) \end{definition} \begin{bsp} \begin{enumerate} \item $]0,1[$ ist offen. $\forall x \in \; ]0,1[$ setze $r := \frac{1}{2} \text{min}\{x, 1 - x\} $. Man kann zeigen, dass $B_r(x) \subset \; ]0, 1[$ $]0, 1[$ ist nicht abgeschlossen, weil $\left(\frac{1}{n}\right)_{n \in \N} \subset \; ]0, 1[$. mit $\frac{1}{n} \to 0 \not\in \; ]0, 1[$. \item $[0,1]$ ist kompakt. $x \in [0,1] \implies |x| \le 1 \implies [0,1]$ beschränkt. Sei $(x_n)_{n \in \N}$ in $[0,1]$ mit $\lim_{n \to \infty} x_n = x_0$. Dann gilt \[ 0 \le x_n \le 1 \; \forall n \stackrel{\text{Sandwich}}{\implies} 0 \le x_0 \le 1 \implies x_0 \in [0,1] \quad \text{abgeschlossen} .\] $[0,1]$ ist nicht offen, da $0 \in [0,1]$, aber $\underbrace{]-r, r[}_{B_r(0) \subset [0,1]} \quad \forall r > 0$ \item $\R$ ist offen, abgeschlossen aber nicht kompakt. \end{enumerate} \end{bsp} \begin{lemma}[Folgenkompakt] $D \subset \R$ ist kompakt genau dann wenn, alle Folgen $(x_n)_{n\in\N}$ in $D$ eine konvergente Teilfolge enthalten mit Grenzwert in $D$. \end{lemma} \begin{proof} \begin{itemize} \item ,,$\implies$ '' Sei $(x_n)_{n\in\N}$ eine Folge in $D$, Folge $(x_n)_{n\in\N}$ beschränkt $\implies$ nach Satz von Bolzano-Weierstraß existiert eine konvergente Teilfolge $(x_{n_k})_{k\in\N} \subset D$ $\stackrel{D \text{ abgeschlossen}}{\implies} \lim_{k \to \infty} x_{n_k} \in D$ \item ,,$\impliedby$'' Angenommen. $D$ ist unbeschränkt, d.h. $\forall n \in \N$ $\exists x_n \in D$ mit $|x_n| \ge n$. Dann enthält $(x_n)_{n\in\N}$ keine konvergente Teilfolge, weil alle Teilfolgen unbeschränkt sind. Widerspruch $\implies$ $D$ ist beschränkt. Bleibt zu zeigen: $D$ ist abgeschlossen. Sei $(x_n)_{n\in\N}$ in $D$ mit $x_n \to x_0, n \to \infty$. Nach Voraussetzungen existiert eine konvergente Teilfolge von $(x_n)_{n \in \N}$ mit Limes in $D$. Da alle Teilfolgen ebenfalls gegen $x_0$ konvergieren folgt, dass $x_0 \in D$. \end{itemize} \end{proof} \begin{satz}[Das stetige Bild kompakter Mengen ist kompakt] Sei $f\colon D \to \R$ stetig mit $D \subset \R$ kompakt. Dann ist $f(D) = \{ f(x) \mid x \in D\} $ kompakt. \end{satz} \begin{proof} Zu zeigen: $f(D)$ ist kompakt. Sei $(y_n)_{n\in\N}$ eine Folge in $f(D)$. Dann ex. eine Folge $(x_n)_{n\in\N} \subset D$ mit $f(x_n) = y_n$ $\forall n \in \N$ ($f$ stetig). $D$ kompakt $\implies$ $\exists $ Teilfolge $(x_{n_k})_{k \in\N}$ mit $\lim_{k \to \infty} x_{n_k} = x_0 \in D $. \[ f \text{ stetig } \implies f(x_{n_k}) = \underbrace{y_{n_k}}_{\text{Teilfolge in }f(D)} \to f(x_0) \in f(D) .\] \end{proof} \begin{definition}[Supremum, Infimum, Maximum, Minimum reellwertiger Funktionen] Sei $f \colon D \to \R$, $D \subset \R$. \begin{align*} \operatorname{sup}_{x \in D} f(x) \quad &\text{kleinste obere Grenze der Bildmenge } B_f := \{f(x) \mid x \in D\} \\ & := \text{sup } B_f := \text{min}\{\beta \in \R \mid y \le \beta \; \forall y \in B_f \} .\end{align*} \begin{align*} \operatorname{inf}_{x \in D} f(x) \; := \text{inf } B_f := \text{min}\{\beta \in \R \mid y \le \beta \; \forall y \in B_f\} .\end{align*} Falls $B_f := f(D)$ beschränkt ist, dann $\exists $ inf und sup. $x_min \in D$ heißt Minimum, $x_max$ Maximum von $f$, falls \[ \begin{cases} \text{inf } f(x) = f(x_{min}) =: \text{min } f(x) \\ \text{sup } f(x) = f(x_{max}) =: \text{max } f(x) \end{cases} .\] \end{definition} \begin{satz} Stetige reellwertige Funktionen nehmen auf kompakten Mengen ihr Minimum und Maximum an, d.h. $f\colon D \to \R$ stetig, $D$ kompakt, dann ex. $x_{min}, x_{max} \in D$ mit \\ $f(x_{min}) = \text{inf } \{f(x) \mid x \in D\} $ \\ $f(x_{max}) = \text{sup } \{f(x) \mid x \in D\} $ \end{satz} \begin{proof} Folgt aus Satz. Zunächst $f(D)$ ist beschränkt, d.h. dass Supremum und Infimum von $f(D)$ existieren. Nach Definition von $s := \text{sup }\{f(x) \mid x \in D\} $ ex. eine Folge $(x_n)_{n\in\N}$ in $D$ mit $f(x_n) \to s, n \to \infty$. $(x_n)_{n\in\N}$ hat eine konvergente Teilfolge $(x_{n_k})_{k \in\N}$ mit $x_{n_k} \to x_{max}$, $k \to \infty$, $x_{max} \in D$.\\ $\implies$ $f(x_{n_k}) \to f(x_{max}), k \to \infty$\\ $\implies$ Behauptung für Supremum \end{proof} \begin{satz}[Zwischenwertsatz] Sei $f\colon \underbrace{[a,b]}_{\text{kompakt}} \to \R$ stetig mit $f(a) \neq f(b)$. Dann gibt es zu jedem $y$ zwischen $f(a)$ und $f(b)$ ($*$) mindestens ein $c \in [a,b]$ mit $f(c) = y$. $*$ d.h. $f(a) \le y \le f(b)$ falls $f(a) \le f(b)$, sonst $f(b) \le y \le f(a)$) \end{satz} \end{document}