\documentclass{arbeit}

\usepackage{tikz-cd}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{hyperref}
\usepackage{graphicx}
\newcommand{\com}[1]{#1^{\text{\scalebox{0.7}{\textbullet}}}}
\newcommand{\K}{\mathcal{K}}

\begin{document}

\section{Motivation}

Aus der kommutativen Algebra ist für einen kommutativen Ring $A$ und einen $A$-Modul
$N$ die Adjunktion
\[
    - \otimes_A N \dashv \operatorname{Hom}_A(N, -)
\] bekannt. In der klassischen homologischen Algebra definiert man
die Funktoren $\operatorname{Ext}_A^{i}(N, -)$ und $\operatorname{Tor}_A^{i}(-, N)$ als
Ableitungen der Funktoren $\operatorname{Hom}_A(N, -)$ und $- \otimes_A N$. Nun stellt sich
die Frage, ob zwischen diesen ein analoges Adjunktionsresultat gilt.

Die Antwort ist nein, denn angenommen $\operatorname{Ext}_A^{i}(N, -)$ wäre rechtsadjungiert, dann
folgte, dass $\operatorname{Ext}_A^{i}(N, -)$ linksexakt sei. Die exakte Folge
\[
\begin{tikzcd}
    0 \arrow{r} & \Z \arrow{r}{\cdot 2} & \Z \arrow{r} & \Z / 2 \Z \arrow{r} & 0
\end{tikzcd}
\] in $\Z$-Mod lieferte dann die exakte Folge
\[
\begin{tikzcd}
    \underbrace{\operatorname{Ext}^{0}_{\Z}(\Z / 2\Z, \Z)}_{= 0} \arrow{r} &
    \underbrace{\operatorname{Ext}^{0}_{\Z}(\Z / 2\Z, \Z / 2 \Z)}_{\neq 0} \arrow{r}
                                            & \operatorname{Ext}^{1}_{\Z}(\Z / 2 \Z, \Z) \arrow{r}
                                            & \operatorname{Ext}^{1}_{\Z}(\Z / 2 \Z, \Z)
\end{tikzcd}
.\] Aber $\operatorname{Ext}_{\Z}^{0}(\Z / 2 \Z, \Z / 2 \Z) = \operatorname{Hom}_{\Z}(\Z / 2 \Z, \Z / 2 \Z) \neq 0$
und $\operatorname{Ext}_{\Z}^{0}(\Z / 2 \Z, \Z) = \operatorname{Hom}_{\Z}(\Z / 2 \Z, \Z) = 0$, also ist
$\operatorname{Ext}_{\Z}^{1}(\Z / 2 \Z, \Z) \to \operatorname{Ext}^{1}_{\Z}(\Z / 2 \Z, \Z)$ nicht injektiv.

\section{Neuer Ableitungsbegriff}

Es liegt also nahe, dass der klassische Ableitungsbegriff unvollständig ist.
Um einen allgemeineren zu finden,
betrachtet man die Bildung von klassischen Ableitungen.
%Konstruktion eines neuen Ableitungsbegriffs führt zum Begriff der derivierten Kategorie:
%Sei $\mathcal{A}$ eine abelsche Kategorie und sei $\mathcal{K}(\mathcal{A})$ die Homotopiekategorie
%von $\mathcal{A}$, das heißt die Kategorie, deren Objekte Komplexe aus $\mathcal{A}$ und
%deren Morphismen Homotopieäquivalenzklassen von Komplexhomomorphismen sind.
Dazu seien $\mathcal{A}, \mathcal{B}$ abelsche Kategorien und $\mathcal{A}$ habe
genügend viele Injektive.
Sei $F\colon \mathcal{A} \to \mathcal{B}$ ein additiver und linksexakter Funktor und
$X \in \mathcal{A}$. Dann existiert eine injektive Auflösung von $X$, also ein Komplex
$\com{I}$ in $\mathcal{A}$, sodass
\[
\begin{tikzcd}
    0 \arrow{r} & X \arrow{r} & I^{0} \arrow{r} & I^{1} \arrow{r} & \cdots
\end{tikzcd}
\] exakt ist oder, äquivalent dazu, dass die vertikalen Morphismen in
\begin{equation}
\begin{tikzcd}
    \cdots \arrow{r} & 0 \arrow{r} \arrow{d} & X \arrow{r} \arrow{d} & 0 \arrow{r} \arrow{d} & \cdots \\
    \cdots  \arrow{r} & 0 \arrow{r} & I^{0} \arrow{r} & I^{1} \arrow{r} & \cdots
    \label{eq:resolution}
\end{tikzcd}
\end{equation}
einen Quasiisomorphismus bilden, das heißt ein Komplexhomomorphismus, der Isomorphismen auf
den Kohomologiegruppen induziert. Die Ableitungen von $F$ bei $X$ sind nun die Kohomologiegruppen
des Komplexes $F(\com{I})$. Man zeigt dann aufwendig, dass dieser Prozess wohldefiniert ist, das
heißt insbesondere nicht von der Wahl der injektiven Auflösung von $X$ abhängt.

Anstatt den abgeleiteten Funktor von $F$ auf $\mathcal{A}$ zu konstruieren, definiert man nun
die Ableitung auf einer Komplexkategorie von $\mathcal{A}$, das heißt einer Kategorie, deren
Objekte Komplexe mit Objekten aus $\mathcal{A}$ sind. Bezeichne mit $X[0]$ den oberen Komplex
in \eqref{eq:resolution}. Dann ist es natürlich zu fordern, dass die Ableitung von $F$ bei
$X[0]$ bis auf Isomorphie mit der Ableitung von $F$ bei $\com{I}$ und bei allen weiteren injektiven
Auflösungen von $X$ übereinstimmt.

Dies führt zu der Idee, Objekte (und allgemeiner Komplexe) auf kategorieller Ebene
mit ihren Auflösungen zu identifizieren,
also eine geeignete Kategorie von Komplexen zu finden,
in der quasiisomorphe Komplexe bereits isomorph sind.
Dazu kann man zunächst zur
Homotopiekategorie $\mathcal{K}(\mathcal{A})$ übergehen, das heißt die Kategorie, deren
Objekte Komplexe aus $\mathcal{A}$ und deren Morphismen
Homotopieäquivalenzklassen von Komplexhomomorphismen sind. Allerdings ist ein Quasiisomorphismus im
Allgemeinen keine Homotopieäquivalenz. Deshalb konstruiert man eine weitere Kategorie
$\mathcal{D}(\mathcal{A})$, die derivierte Kategorie von $\mathcal{A}$, mit den Objekten
von $\mathcal{K}(\mathcal{A})$, wobei alle Quasiisomorphismen in $\mathcal{K}(\mathcal{A})$
Isomorphismen in $\mathcal{D}(\mathcal{A})$ induzieren. Man erhält einen kanonischen Funktor
$Q_{\mathcal{A}}\colon \mathcal{K}(\mathcal{A}) \to \mathcal{D}(\mathcal{A})$.

Die (Rechts-)Ableitung von $F$ ist nun (falls existent) ein Funktor
$\text{R}F\colon \mathcal{D}(\mathcal{A}) \to \mathcal{D}(\mathcal{B})$ mit
einer natürlichen Transformation
$\xi\colon Q_{\mathcal{B}} \circ F \to \text{R}F \circ Q_{\mathcal{A}}$, die den Zusammenhang
zwischen $\text{R}F$ und $F$ herstellt.

Im Allgemeinen ist die Existenz von $\text{R}F$ eine schwierige Frage, in der klassischen
Situation existiert $\text{R}F$ jedoch zumindest
auf der Unterkategorie $\mathcal{D}(\mathcal{A})^{+}$ der
nach unten beschränkten Komplexe und die Kohomologiegruppen $H^{i}\text{R}F(X[0])$ stimmen
mit den klassischen Rechtsableitungen $\text{R}^{i}F(X)$ überein. Vom klassischen Standpunkt
erwartungsgemäß, induziert die natürliche Transformation $\xi$ auf der Klasse der nach
unten beschränkten Komplexe mit injektiven Objekten Isomorphismen, das heißt $F$ stimmt mit
seiner Ableitung $\text{R}F$ auf diesen Komplexen überein.

Dieser neue Ableitungsbegriff erlaubt auf natürliche Weise auch Funktoren\footnote{Unter Voraussetzung
einer schwachen Bedingung an $F$, die beispielsweise erfüllt ist, wenn
$F$ von einem additiven Funktor
$\mathcal{A} \to \mathcal{B}$ induziert ist.}
$F\colon \mathcal{K}(\mathcal{A}) \to \mathcal{K}(\mathcal{B})$ zuzulassen.
Analog zur klassischen
Theorie ist dann die Existenz der Ableitung von $F$ gesichert durch:
\begin{enumerate}[(1)]
    \item eine Klasse $\mathcal{J}$ von $F$-azyklischen Komplexen, das heißt
        eine Klasse von Komplexen für die $F$ Exaktheit erhält, und
    \item für jeden Komplex einen Quasiisomorphismus in einen Komplex aus $\mathcal{J}$.
\end{enumerate}
In diesem Fall induziert $\xi$ auf den Komplexen aus $\mathcal{J}$ Isomorphismen, das heißt
Ableitungen berechnen sich, analog zur klassischen Situation, durch Auflösungen durch Komplexe
aus $\mathcal{J}$.

Besonders die zweite Bedingung ist für beliebige abelsche Kategorien jedoch nur
sehr schwer zu erfüllen und hängt durch $\mathcal{J}$ von dem konkreten Funktor $F$ ab. Spaltenstein
hat das in seiner
Arbeit ,,Resolution of unbounded complexes`` \cite{spaltenstein}
für zahlreiche Funktoren unter wenigen Voraussetzungen
an die beteiligten Kategorien gelöst. Die vorliegende Arbeit stellt im
\ref{sec:resolutions}. Abschnitt sein Argument dar, um dies im \ref{sec:application}.
Abschnitt auf den Homfunktor und das Tensorprodukt anzuwenden.

Dafür erweitern wir die Funktoren $\operatorname{Hom}_A(N, -)$ und $- \otimes_A N$ in natürlicher Weise
zu Funktoren $\mathcal{K}(A\text{-Mod}) \to \mathcal{K}(A\text{-Mod})$, sodass die Erweiterungen,
angewendet auf eingradige Komplexe, mit den ursprünglichen Funktoren übereinstimmen. Der naive
Ansatz $\operatorname{Hom}_A(N, -)$ bzw. $\operatorname{Hom}_A(-, N)$ in beiden Variablen zu erweitern,
indem für Komplexe $\com{M}, \com{N} \in \mathcal{K}(A\text{-Mod})$ gradweise
$\operatorname{Hom}_A(M^{i}, N^{i})$ gebildet wird, ist nicht hinreichend,
denn dieser neue Komplex enthielte keine Informationen über die Komplexhomomorphismen
von $\com{M}$ nach $\com{N}$.

%Die Idee
%der derivierten Kategorie kommt von der Beobachtung, dass vor allem die Kohomologiegruppen von
%Komplexen von Interessse sind. Allerdings ist ein Quasiisomorphismus
%$f\colon \com{X} \to \com{Y}$ zwischen Komplexen $\com{X}, \com{Y} $ in $\mathcal{A}$,
%also ein Komplexhomomorphismus, der Isomorphismen zwischen den Kohomologiegruppen induziert,
%im Allgemeinen keine Homotopieäquivalenz, das heißt kein Isomorphismus in $\mathcal{K}(\mathcal{A})$.
%Diesen Defekt behebt die deriverte Kategorie $\mathcal{D}(\mathcal{A})$, die die selben Objekte
%hat wie $\mathcal{K}(\mathcal{A})$ und in der alle Quasiisomorphismen zu Isomorphismen erklärt
%werden. Bezeichne im Folgenden
%$Q_{\mathcal{A}}\colon \mathcal{K}(\mathcal{A}) \to \mathcal{D}(\mathcal{A})$ den kanonischen Funktor.

%Sei nun $\mathcal{B}$ eine weitere abelsche Kategorie und $F\colon \mathcal{A} \to \mathcal{B}$
%ein additiver Funktor. Dann definiert man einen Funktor
%$\text{R}F\colon \mathcal{D}(\mathcal{A}) \to \mathcal{D}(\mathcal{B})$
%mit einer natürlichen Transformation
%$\xi\colon Q_{\mathcal{B}} \circ F \to \text{R}F \circ Q_{\mathcal{A}}$. Für ein Objekt
%$X \in \mathcal{A}$ bezeichne $X[0] \in \mathcal{K}(\mathcal{A})$ den Komplex der im Grad $0$ $X$
%zu stehen hat und in allen anderen Graden $0$ ist.
%Falls $F$ linksexakt ist,
%existiert $\text{R}F$ und die Kohomologiegruppen $H^{i}\text{R}F(X[0]) $ entsprechen
%den klassischen Rechtsableitungen $\text{R}^{i}F(X)$. Allgemeiner definiert man $\text{R}F$
%für bestimmte Funktoren $F\colon \mathcal{K}(\mathcal{A}) \to \mathcal{K}(\mathcal{A})$. Das
%bedeutet der neue Ableitungsbegriff ist eine echte Verallgemeinerung des alten.

%Um die abgeleitete Hom-Tensor Adjunktion zu formulieren, werden die Funktoren $\operatorname{Hom}_A(N, -)$
%und $- \otimes_A N$ in natürlicher Weise zu Funktoren
%$\mathcal{K}(A\text{-Mod}) \to \mathcal{K}(A\text{-Mod})$ erweitert, sodass
%die Erweiterungen, angewendet auf eingradige Komplexe, mit den ursprünglichen Funktoren
%übereinstimmen. Der so (in beiden Variablen) funktoriell definierte Komplex
%$\com{\operatorname{Hom}}(\com{M}, \com{N})$ für
%Komplexe $\com{M}, \com{N} \in \mathcal{K}(A\text{-Mod})$ soll dabei Informationen über die
%Morphismen in $\mathcal{K}(A\text{-Mod})$ von $\com{M} $ nach $\com{N} $ enthalten. Man definiert
%also für $n \in \Z$

\begin{definition}
Anstatt dessen definiert man für $n \in \Z$ und Komplexe $\com{M}, \com{N} \in
\mathcal{K}(\mathcal{A})$:
\[
\operatorname{Hom}^{n}(\com{M}, \com{N}) = \prod_{i \in \Z} \operatorname{Hom}_A(M^{i}, N^{i+n})
\] mit Differential
\[
    d^{n}(f) = d_{\com{N} } f - (-1)^{n} f d_{\com{M}}
.\]
\end{definition}

\begin{lemma}
    Dann erhält man den Zusammenhang
    \[
    H^{0}\com{\operatorname{Hom}}(\com{M}, \com{N}) = \operatorname{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{M}, \com{N})
    .\]
\end{lemma}

\begin{definition}
Für $\com{M}, \com{N} \in \mathcal{K}(A\text{-Mod})$ definiert man nun
$\com{M} \otimes_A \com{N}$ so, dass man, analog zur klassischen Adjunktion, für
$\com{P} \in \mathcal{K}(A\text{-Mod})$ einen natürlichen Isomorphismus
\[
    \com{\operatorname{Hom}}(\com{M} \otimes_A \com{N}, \com{P}) =
    \com{\operatorname{Hom}}(\com{M}, \com{\operatorname{Hom}}(\com{N}, \com{P}))
\] erhält.
\end{definition}
Das Ziel ist nun die Funktoren $\com{\operatorname{Hom}}(\com{N}, -)$, $\com{\operatorname{Hom}}(-, \com{N})$
und $- \otimes_A \com{N} $ abzuleiten.
Dafür suchen wir jeweils eine Klasse $\mathcal{J}$ von Komplexen, die die Bedingungen
(1) und (2) für den entsprechenden Funktor erfüllt.

Für
$\com{\operatorname{Hom}}(\com{N}, -)$ definieren wir dafür
\begin{definition}
    Ein Komplex $\com{I} \in \mathcal{K}(\mathcal{A})$ heißt \emph{K-injektiv}, wenn
    der Funktor $\com{\operatorname{Hom}}(-, \com{I})$ Exaktheit von Komplexen erhält. Eine \emph{K-injektive
    Auflösung} eines Komplexes $\com{M} \in \mathcal{K}(\mathcal{A})$ ist ein Quasiisomorphismus
    $\com{M} \to \com{I} $ mit einem K-injektiven Komplex $\com{I}$.
\end{definition}

Sei nun $\mathcal{J}$ die Klasse der K-injektiven Komplexe. Die Bedingung
(1) ist für diese Wahl erfüllt, denn:

\begin{lemma}
    Ein exakter K-injektiver Komplex ist in $\mathcal{K}(\mathcal{A})$ der Nullkomplex.
\end{lemma}

\begin{proof}
    Sei $\com{I} \in \mathcal{K}$ exakt und K-injektiv. Dann ist
    \[
    \text{id}_{\com{I} } \in \operatorname{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{I}, \com{I})
    = H^{0}\com{\operatorname{Hom}}(\com{I}, \com{I}) = 0
    .\]
\end{proof}

Der schwierige Teil ist Bedingung (2) nachzuweisen.

Zuänchst bemerken wir, dass nach unten beschränkte Komplexe mit injektiven Objekten
K-injektiv sind. Klassisch ist bekannt, dass
jeder nach unten beschränkte Komplex eine Auflösung durch einen solchen Komplex hat. Für
einen beliebigen (unbeschränkten) Komplex $\com{M} \in \mathcal{K}(\mathcal{A})$ funktioniert die
klassische, induktive Konstruktion jedoch nicht.

Wir konstruieren deshalb geeignete $\mathcal{J}$-spezielle inverse Systeme.
Das sind abzählbare inverse Systeme mit surjektiven Übergangsabbildungen, wobei die Kerne dieser
in $\mathcal{J}$ liegen. Im ersten Schritt zeigen wir nun, dass $\mathcal{J}$ abgeschlossen
unter $\mathcal{J}$-speziellen inversen Limites ist, das heißt, dass die Limites von solchen
Systemen in $\mathcal{J}$ liegen.

Die Idee im zweiten Schritt ist nun, für $n \in \N$ den unbeschränkten Komplex
$\com{M}$ so abzuschneiden, dass
die Kohomologiegruppen vom Grad $\ge -n$ erhalten bleiben. So erhalten wir ein System
$(\tau^{\ge -n} \com{M})_{n \in \N}$ der abgeschnittenen Komplexe von $\com{M}$.

Induktiv konstruieren wir dann ein $\mathcal{J}$-spezielles inverses System
$(\com{I}_n)_{n \in \N}$ und ein inverses System von Quasiisomorphismen
$f_n\colon \tau^{\ge -n} \com{M} \to \com{I}_n$, indem wir in jedem Schritt für $n \in \N$
aus $\tau^{\ge -n} \com{M}$ und $\com{I}_{n-1}$ einen nach unten beschränkten Komplex konstruieren,
der klassisch durch einen K-injektiven aufgelöst werden kann.
So erhalten wir im Limes einen K-injektiven Komplex $\com{I}$ und einen Komplexhomomorphismus
$f\colon \com{M} \to \com{I}$.

Da für $\mathcal{A} = A\text{-Mod}$ der inverse Limes jedoch nicht exakt ist, ist
$f\colon \com{M} \to \com{I}$
a priori kein Quasiisomorphismus, obwohl $f_n$ ein solcher ist für alle $n \in \N$.
Mithilfe einer Variante des
Mittag-Leffler Kriteriums können wir zeigen, dass $f$ dennoch ein Quasiisomorphismus ist.

Dual dazu definieren wir K-projektive Komplexe und Auflösungen und zeigen, dass jeder
Komplex in $A$-Mod ebenfalls eine K-projektive Auflösung hat.
Für den Funktor $- \otimes_A \com{N}$ benötigen
wir dann noch eine dritte Klasse von Komplexen, die K-flachen Komplexe, die analog zu den
K-Injektiven auf das Tensorprodukt angepasst definiert werden. Wir können dann zeigen, dass
jeder K-projektive Komplex schon K-flach ist und erhalten so, dass jeder Komplex auch eine K-flache
Auflösung besitzt.

Im letzten Abschnitt wenden wir die Existenz von K-injektiven, K-projektiven und K-flachen
Auflösungen an, um die Existenz der abgeleiteten Funktoren $\text{R}\com{\operatorname{Hom}}(\com{N}, -)$,
$\text{R}\com{\operatorname{Hom}}(-, \com{N})$ und $- \otimes_A^{L} \com{N} $ zu zeigen.
Als Korollar erhalten wir daraus die Adjunktion von $- \otimes^{L}_A \com{N}$
und $\text{R}\com{\operatorname{Hom}}(\com{N}, -)$, indem wir durch geeignetes Auflösen
der beteiligten Komplexe die
Situation auf die Adjunktion von $- \otimes_A \com{N}$ und $\com{\operatorname{Hom}}(\com{N}, -)$
zurückführen.

\end{document}
