\documentclass{../../../lecture}

\begin{document}

Heute: Längstes deutsches Wort! Hi Josua :D

,,Intervallschachtelungseigenschaft hat ganze 33 Buchstaben'' meint Kostina.

\begin{proof}[Fortsetzung des Beweises vom letzten Mal]
    Ab jetzt: $n$ statt $k$.
    
    Zu zeigen: Es existiert eine Wurzel für $0 < a < 1$.

    Definiere Menge $M := \{y \in \R | 0 < y < 1, y^{n} < a\} $  \\
    $M \neq \emptyset$, weil $\frac{1}{2} a \in M$. $M$ ist auch
    beschränkt, untere Schranke $0$, obere Schranke $1$.

    Da $\R$ vollständig $\implies \exists$ sup $M =: x$.

    Zu zeigen: $x^{n} = a$
    Annahme: $x^{n} < a$. Wegen $(x+1) \not\in M$ gilt $(x+1)^{n} > a$.
    Konstruiere:
    \[
        \tau := \frac{\overbrace{a-x^{n}}^{>1}}{(x+1)^{n}-x^{n}}
    .\] 
    \begin{align*}
        (x+\tau)^{n} &= x^{n} + \sum_{k=1}^{n} \binom{n}{k} \tau^{k}x^{n-k} \\
                     &< x^{n} + \tau \sum_{k=1}^{n} \binom{n}{k} x^{n-k} \\
                     &= x^{n} + \tau((x + 1)^{n}-x^{n}) \\
                     &\stackrel{\text{Def. }\tau}{=} x^{n} + (a-x^{n}) = a
    .\end{align*}
    $\implies$ 
    \[
        (x+\tau)^{n} < a \implies(x+\tau) \in M
    .\] und damit:
    \[
    x + \tau > x \qquad \text{Widerspruch zu } x = \text{sup } M
    .\] 
    (folgt aus der binomischen Formel: $(x+1)^{n} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{n-k})$

    Annahme: $x^{n} > a$

    Nach der Ungleichung von Bernoulli gilt für $\tau := \frac{x^{n} - a}{n x^{n}}$.
    $\left( 0 < \tau < \frac{x^{n} - a}{x^{n}} < 1 \right) $ 
    Damit:
    \begin{align*}
        (x-\tau x)^{n} &= x^{n} ( 1 - \tau) \ge x^{n} ( 1 - n \tau) \\
                       &= x^{n} \left(1 - \frac{x^{n} - a}{x^{n}}\right) = a
    .\end{align*}
    $\implies$ Für $y \in M$ gilt:
    \[
        y^{n} < a < (x - \tau x)^{n}
    .\]  $\implies$
    \[
        0 < (x- \tau x)^{n} - y^{n} = \underbrace{(x - \tau x - y) \sum_{k=0}^{n} (x - \tau x)^{n-1-k} y^{k}}_{> 0}
    .\] 
    $\implies x - \tau x - y > 0$  \\
    $\implies y < x - \tau x < x \implies x - \tau x < x$ eine obere
    Schranke von M. Widerspruch zu $x = \text{sup }M$

    (Formel: $a^{n} - b^{n} = (a - b) \sum_{k=0}^{n-1} a^{n-1-k} b^{k}$)
\end{proof}

\begin{bem}[Ungleichung von Bernoulli]
    Sei $x \ge -1$, dann gilt:
    \[
        (1+x)^{n} \ge 1 + nx, \forall n 
    .\] 
\end{bem}

\begin{definition}[Allgemeine rationale Potenzen]
    $a^{q}, q = \frac{r}{s} \in \Q, a > 0, a \in \R$ wird definiert durch
    \[
        a^{q} = a^{\frac{r}{s}} := \left( \sqrt[s]{a} \right)^{r}
    .\] 
\end{definition}

\begin{bem}
    \begin{itemize}
        \item Regeln für das Rechnen mit Wurzeln
            \[
            \left( \sqrt[s]{a}  \right)^{r} = (a^{\frac{1}{s}})^{r}  
            = a^{\frac{r}{s}} = \left( a^{r} \right) ^{\frac{1}{s}}
            = \sqrt[s]{a^{r}} 
            .\] 
        \item Für $a \in \R_+$ wird unter $\sqrt[k]{a} $ \textbf{immer}
            die positive $k$-te Wurzel verstanden.\\
            $\implies$ Aussage $\sqrt{a^2} = a $ ist falsch.\\
            Korrekt: $\sqrt{a^{2}} = |a|$

            Die Gleichung $x^{2} = a$ hat zwei Lösungen:
            $x_1 = \sqrt{a}, x_2 = -\sqrt{a} $
    \end{itemize}
\end{bem}

\begin{bem}[Reelle Potenzen]
    $a \in \R_+, r \in \R, a^{r}$ - ?

    $\exists (q_n)_{n\in\N} \to r, q_n \in \Q$, damit:
    \[
    a^{r} := \lim_{n \to \infty} a^{q}
    .\] 
    Noch zu überprüfen: ob der Grenzwert existiert und eindeutig ist
\end{bem}

\begin{bsp}
    $\sqrt{2} , (q_n) = \{1.4, 1.41, 1.414, \ldots\} $
    \[
        a^{\sqrt{2} } = \lim_{n \to \infty} a_n, a_1 = a^{1.4}, a_2 = a^{1.41}, \ldots
    .\] Analog über Intervallschachtelung:
    \begin{align*}
        I_1 &= \left[ 1.4; 1.5 \right] \\
        I_2 &= \left[ 1.41; 1.42 \right] \\
        I_3 &= \left[ 1.414; 1.415 \right] \\
        I_n &= \left[ r_n, s_n \right]
    .\end{align*}
    \[
        a^{\sqrt{2} } = \bigcap_{n = 1}^{\infty} \overline{I_n}
    .\] 
    Alternative Definition über $\exp$ und $\ln$ 
    \[
        a^{r} = \exp(r \ln a)
    .\] und Reihenentwicklung:
    \[
        \exp(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!}
    .\] oder
    \[
        \exp(x) = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{x}{n} \right) ^{n}
    .\] 
\end{bsp}

\subsection{Mächtigkeit von $\Q$ und $\R$ }

\begin{definition}[Mächtigkeit]
    Die Mächtigkeit einer Menge ist die Anzahl ihrer Elemente.

    Eine Menge ist ,,unendlich'', wenn eine bijektive Abbildung
     $f: A \to \text{Echte Teilmenge von }A$ existiert.
    Dann $|A| = \infty$.

    Eine unendliche Menge, deren Elemente mit Hilfe der natürlichen Zahlen
    durchnummeriert werden kann, heißt ,,abzählbar (unendlich)'', sonst
    ,,überabzählbar''.
    
    Abzählbarkeit heißt: Es existiert eine bijektive Abbildung $f\colon \N \to  A$.
\end{definition}

\begin{bsp}
    \begin{itemize}
        \item $A = \{a_1, a_2, a_3\} $ dann $|A| = 3$
    \end{itemize}
\end{bsp}

\end{document}