\documentclass[uebung]{../../../lecture}

\title{Analysis 3: Übungsblatt 10}
\author{Leon Burgard, Christian Merten}
\usepackage[]{mathrsfs}
\newcommand{\tageq}{\stepcounter{equation}\tag{\theequation}}

\begin{document}

\punkte

\begin{aufgabe}
    Sei $\emptyset \neq \Omega \subseteq \R^{n}$.
    \begin{itemize}
        \item ,,$\implies$'': Sei $\Omega $ $n$-dimensionale $C^{1}$-Mannigfaltigkeit der
            Dimension $n$ und $x \in M$ beliebig. Dann ex. eine Umgebung $\Omega \subseteq \R^{n}$ von
            $x$ und eine Abbildung $f \in C^{1}(\Omega, \R^{0})$, mit
            $f^{-1}(0) = M \cap \Omega$. Da $\R^{0} = \{0\} $ folgt
            \[
                M \cap \Omega = f^{-1}(0) = \Omega
            .\] Also folgt $\Omega \subseteq M$. Da $\Omega$ Umgebung, ex. ein $\epsilon > 0$, s.d.
            $B_{\epsilon}(x) \subseteq \Omega \subseteq M$. Da $x$ beliebig, folgt $M$ offen.
        \item ,,$\impliedby$'': Sei $\Omega$ offen und $x \in M$ beliebig. Dann $\exists \epsilon > 0$, s.d.
            $B_{\epsilon}(x) \subseteq M$. Setze $\Omega \coloneqq B_{\epsilon}(x)$. Dann ist
            $\Omega \subseteq \R^{n}$ eine Umgebung von $x$. Setze weiter
            $f\colon  \Omega \to \R^{0}, x \mapsto 0$. Dann ist $f$ konstant, insbesondere
            $f \in C^{1}(\Omega, \R^{0})$ und $f^{-1}(0) = \Omega = M \cap \Omega$, da $\Omega \subseteq M$.
            Außerdem ist $Df(x) = 0$ $\forall x \in \Omega$, also $\text{rang} Df(x) = 0 = n - n$
            $\forall x \in \Omega$. Also $M$ $C^{1}$-Mannigfaltigkeit der Dimension $n$.
    \end{itemize}
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe}
    \begin{enumerate}[a)]
        \item Sei $x \in S^{n-1}$. Dann setze $\Omega \coloneqq \R^{n} \setminus \{0\} $. Dann
            ist $\Omega$ offen, da $\Omega^{c} = \{0\} $ abgeschlossen in $\R^{n}$. Außerdem
            ist $x \neq 0$, also $x \in \Omega$ und damit $\Omega$ Umgebung von $x$.

            Setze weiter $f\colon \Omega \to \R$ mit $g(x) \coloneqq |x| -1$. Dann
            gilt, da $0 \not\in S^{n-1}$:
            \[
                f^{-1}(0) = \{ x \in \R^{n}  \mid |x| = 1\}
                = S^{n-1} = S^{n-1} \cap (\R^{n} \setminus \{0\} ) = S^{n-1} \cap \Omega
            .\]
            Außerdem ist für $x \in \Omega$: $f(x) = \sqrt{\sum_{k=1}^{n} x_k} - 1$ als
            Komposition differenzierbarer Abbildungen differenzierbar auf $\Omega$. Außerdem
            ist für $i \in \{1, \ldots, n\} $ und $x \in \Omega$
            \[
                \frac{\partial f(x)}{\partial x_i} = \frac{x_i}{|x|}
            \] stetig also $f \in C^{1}(\Omega, \R)$ und
            \[
                D f(x) = \frac{x^{t}}{|x|} \neq 0
            .\] Dann folgt also $\text{rang}D f(x) = 1$ $\forall x \in \Omega$.

            Also folgt $S^{n-1}$ $n-1$-dimensionale $C^{1}$-Mfkt.
        \item Sei $x \in K^{n-1} \setminus \{0\} $. Dann setze $\Omega \coloneqq \R^{n} \setminus \{0\} $.
            Dann ist analog zu (a), $\Omega$ eine Umgebung von $x$. Setze weiter
            $f\colon \Omega \to \R, x \mapsto \sum_{k=1}^{x_k^2} - x_n^2$. Dann ist
            $f$ differenzierbar und für $i \in \{ 1, \ldots, n-1\} $ gilt
            \[
            \frac{\partial f}{ \partial x_i} = 2 x_i \qquad \frac{\partial f}{\partial x_n} = - 2x_n
            .\] Also folgt
            \[
                D f(x) = 2 \begin{pmatrix} x_1 & x_2 & \ldots & x_{n-1} & - x_n \end{pmatrix} \neq 0
                \quad \forall x \in \Omega
            .\] Also $\text{rang}Df(x) = 1$ $\forall x \in \Omega$. Zuletzt gilt
            \[
                f^{-1}(0) = K^{n-1} \setminus \{0\}  = (K^{n-1} \setminus \{0\})  \cap \Omega
            .\] Also ist $K^{n-1}$ eine $n-1$ dim. $C^{1}$-Mfkt.
        \item Ang.: $K^{n-1}$ ist eine $C^{1}$-Mfkt. Dann betrachte $x := 0$. Dann ex.
            eine Umgebung $\Omega \subseteq \R^{n}$ von $x$ und $U \subseteq \R^{n-1}$ und
            ein $g \in C^{1}(U, \R^{1})$ mit $K^{n-1} \cap \Omega = \pi (\text{graph }g)$.
            Da $\Omega$ Umgebung
            von $x$, ex. ein $\epsilon > 0$, s.d. $B_{\epsilon}(0) \subseteq \Omega$.

            Setze
            nun $a \coloneqq \frac{\epsilon}{2}$ und $b \coloneqq \sqrt{\frac{a^2}{n-1}} $.
            Für $z \in \pi(\text{graph  }g)$ ex. ein $k \in \{1, \ldots, n\} $ mit
            $z_k = g(z_1, \ldots, z_{k-1}, z_{k+1}, \ldots, z_n)$. 
            Dann
            setze für $i \in \{ 1 \ldots, n-1\} $: $y_i := b$ und
            $y_n \coloneqq a$. Setze nun
            \[
                \tilde{y}_i \coloneqq \begin{cases}
                    y_i & i \neq k \\
                    - y_i & i = k
                \end{cases} \qquad \forall i \in \{ 1, \ldots, n\} 
            .\] Dann folgt da $\tilde{y}_i^2 = y_i^2$ $\forall i \in \{1, \ldots, n\} $:
            \[
                |y| = |\tilde{y}| = \sqrt{(n-1) b^2 + a^2} = \sqrt{2 a^2} = \frac{\epsilon}{\sqrt{2} }
                < \epsilon
            .\] Außerdem
            \[
                \sum_{i=1}^{n-1} y_i^2 = \sum_{i=1}^{n-1} \tilde{y}_i^2 = (n-1) b^2 = a^2 =
                y_n^2 = \tilde{y}_n^2
            .\] Also ist $y, \tilde{y} \in \Omega \cap K^{n-1}$. Sei nun nach Umnummerierung
            der Koordinaten o.E. $k = n$. Dann ex. ein $u \in U \subseteq \R^{n-1}$,
            s.d. $(u, g(u)) = y$. Das heißt $u_1, \ldots, u_{n-1} = b$ und
            $g(u) = a$. Aber da $\tilde{y} \in K^{n-1} \cap \Omega$ ist auch
            $(u, -a) \in \text{graph }g$, insbesondere folgt
            \[
                -a = g(u) = a
            \] aber das ist ein Widerspruch zu $g$ Abbildung.
    \end{enumerate}
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe}
    \begin{enumerate}[a)]
        \item Sei $v \in T_{\xi}M$. Dann ex. $\gamma \in C^{1}((-\epsilon, \epsilon), M)$ mit
            $\gamma(0) = \xi$ und $\gamma'(0) = v$. Dann ist $F \circ \gamma(0) = F(\xi)$.
            Es gilt $\forall t \in (- \epsilon, \epsilon)\colon \gamma(t) \in M$. Da
            $B_r(\xi)$ offen und $\gamma \in C^{1}((- \epsilon, \epsilon), M)$ ex.
            ein $0 < \delta < \epsilon$, s.d. $\forall t \in (-\delta, \delta)\colon
            \gamma(t) \in M \cap B_r(\xi)$. Also gilt
            $\forall t \in (-\delta, \delta)\colon F \circ \gamma(t) \ge F \circ \gamma(0)$. Also
            ist $0$ ein lokales Minimum von $F \circ \gamma$. Damit folgt
            mit der Kettenregel
            \begin{salign*}
                0 = (F \circ \gamma)(0)'
                  = (D F)(\xi) \gamma'(0)
                  = (\nabla F)(\xi)^{t} v
                  = \langle \nabla F(\xi), v \rangle
            .\end{salign*}
            Also folgt $\nabla F(\xi) \in T_{\xi}M^{\perp} = N_{\xi}M$.
        \item Das gegebene $f$ erfüllt gerade die Eigenschaften aus Satz 5.6, d.h. es folgt
            $N_{\xi}M = \text{span} \langle \nabla f_1(\xi), \ldots, \nabla f_{m-n}(\xi) \rangle$.
            Da nach (a) $\nabla F(\xi) \in N_{\xi}M$, ex. also $y_i \in \R$ s.d.
            \[
                \nabla F(\xi) = \sum_{i=1}^{m-n} y_i \nabla f_i(\xi)
            .\] 
    \end{enumerate}
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe}
    Sei $f \in \mathscr{S}(\R)$ und $\lambda > 0$. Dann ist
    $\widehat{f} \in \mathscr{\R}$ und für ein beliebiges Polynom $p \in C^{\infty}(\R)$
    auch $p \widehat{f} \in \mathscr{S}(\R)$ nach Definition von $\mathscr{S}(\R)$. Falls
    $p(x) \neq 0$ $\forall x \in \R$ ist ebenfalls $\frac{\widehat{f}}{p} \in \mathscr{S}(\R)$.
    Mit Quotientenregel folgt, dass 
    \[
        \frac{\mathrm{d}^{k}}{\d{x^{k}}}\left( \frac{\widehat{f}(x)}{-x^2 - \lambda} \right)
        = \frac{\sum_{k=1}^{s} p_k(x) \frac{\mathrm{d}^{k}}{\d{x^{k}}}\widehat{f}(x)}{(-x^2 - \lambda)^{2k}}
        \tageq \label{eq:1}
    \] für Polynome $p_k \in C^{\infty}$.
    Da $(-x^2 - \lambda)^{k} \neq 0$ für $k \in \N$ und $x \in \R$, folgt mit (\ref{eq:1}), dass
    \[
        \frac{\widehat{f}}{-x^2 - \lambda} \in \mathscr{S}(\R)
    .\]
    Setze nun $u\colon \R \to \R$ mit
    $u(x) \coloneqq \mathcal{F}^{-1}\left( \frac{\widehat{f}}{-x^2 - \lambda} \right)(x) $ für $x \in \R$.
    Dann ist $u \in \mathscr{S}(\R)$ und es gilt:
    %\begin{salign*}
    %    &\quad \; u(x) = \mathcal{F}^{-1}\left( \frac{\widehat{f}}{-x^2 - \lambda} \right)(x) \qquad \forall x \in \R\\
    %    \stackrel{\mathcal{F} \text{ inj.}}{\iff}& \widehat{u}(x) = \frac{\widehat{f}}{-x^2 - \lambda}
    %    \qquad \forall x \in \R\\
    %    \stackrel{-x^2 - \lambda \neq 0}{\iff}& \widehat{u}(x) (-x^2 - \lambda) = \widehat{f}(x) 
    %    \qquad \forall x \in \R\\
    %    \iff& ix \widehat{u'}(x) - \lambda \widehat{u}(x) = \widehat{f}(x) \qquad \forall x \in \R\\
    %    \iff& \widehat{u''}(x) - \lambda \widehat{u}(x) = \widehat{f}(x) \qquad \forall x \in \R\\
    %    \iff& \mathcal{F}(u'' - \lambda u)(x) = \mathcal{F}f(x) \qquad \forall x \in \R\\
    %    \stackrel{\mathcal{F} \text{ inj.}}{\iff}& u''(x) - \lambda u(x) = f(x) \qquad \forall x \in \R
    %.\end{salign*}
    \begin{alignat*}{4}
        &\quad & u(x) = \mathcal{F}^{-1}\left( \frac{\widehat{f}}{-x^2 - \lambda} \right)(x) &\qquad &\forall x \in \R\\
        \stackrel{\mathcal{F} \text{ inj.}}{\iff}& & \widehat{u}(x) = \frac{\widehat{f}}{-x^2 - \lambda}
        & &\forall x \in \R\\
        \stackrel{-x^2 - \lambda \neq 0}{\iff}& &\widehat{u}(x) (-x^2 - \lambda) = \widehat{f}(x) 
        & &\forall x \in \R\\
        \iff& & ix \widehat{u'}(x) - \lambda \widehat{u}(x) = \widehat{f}(x) &&\forall x \in \R\\
        \iff& & \widehat{u''}(x) - \lambda \widehat{u}(x) = \widehat{f}(x) &&\forall x \in \R\\
        \iff& & \mathcal{F}(u'' - \lambda u)(x) = \mathcal{F}f(x) &&\forall x \in \R\\
        \stackrel{\mathcal{F} \text{ inj.}}{\iff}& & u''(x) - \lambda u(x) = f(x) &&\forall x \in \R
    \end{alignat*}
    Das zeigt die Existenz und die Eindeutigkeit.
\end{aufgabe}

\end{document}
