\documentclass[uebung]{../../../lecture}

\title{Theo II: Übungsblatt 5}
\author{Christian Merten}

\usepackage[]{bbm}

\begin{document}

\punkte

\begin{aufgabe}[]
    \begin{enumerate}[a)]
        \item Die potentielle Energie ist gegeben als $mgz$, mit $z = R \cos \vartheta$ folgt also
            $m g R \cos \vartheta$. Die kinetische Energie hat zwei Komponenten, einmal die Rotation
            um $\vartheta$, gegeben als $R^2 \dot{\vartheta}^2$ und die Rotation um die $z$-Achse, die
            abhängig ist vom Rotationsradius, also gegeben als $R^2 \omega^2 \sin^2 \vartheta$.
        \item Für den kanonisch konjugierten Impuls gilt
            \begin{align*}
                \frac{\partial L}{\partial \dot{\vartheta}}
                &= M R^2 \dot{\vartheta} =: p_{\vartheta} \\
                \intertext{Damit folgt die Hamilton Funktion}
                H &= \frac{p_{\vartheta}^2}{mR^2} - L = \frac{p_{\vartheta}^2}{mR^2}
                - \frac{1}{2} mR^2 (\dot{\vartheta}^2 + \omega^2\sin^2\vartheta) + mg R \cos\vartheta
            .\end{align*}
        \item Da ein Potential vorliegt, ist die Hamilton-Funktion nach VL gleich der Gesamtenergie.
            Sie sind wegen $\frac{\partial H}{\partial t} = 0$ beide zeitlich erhalten.
        \item Für die kanonischen Gleichungen folgt
            \begin{align*}
                \frac{\partial H}{\partial p_{\vartheta}} &= \frac{2 p_{\vartheta}}{mR^2} - \frac{p_{\vartheta}}{mR^2}
            = \frac{p_{\vartheta}}{mR^2} = \dot{\vartheta} \\
            \frac{\partial H}{\partial \vartheta} &= mR^2 \omega^2 \sin\vartheta \cos \vartheta - mg R \sin\vartheta
            = mR\sin\vartheta(R\omega^2 \cos\vartheta - g) = - \dot{p}_{\vartheta}
            .\end{align*}
        \item
            Für stationäre Lösungen gilt $\dot{\vartheta} = 0$, also $p_{\vartheta} = 0$, damit folgt
            \begin{align*}
                mR \sin\vartheta (R \omega^2 \cos \vartheta -g ) &= 0
            .\end{align*}
            Als stationäre Lösungen folgen damit $\vartheta_1 = 0$ und $\vartheta_2 = \pi$, denn dann ist
            $\sin\vartheta = 0$. Für $\vartheta_3 = \frac{\pi}{2}$, folgt $- mRg = 0$, dies ist also
            nur möglich, falls Masse oder Radius 0 sind.

            Für $R \neq 0$, $m \neq 0$, $\sin\vartheta \neq 0$ und $\omega \neq 0$ folgt
            \begin{align*}
                \underbrace{\sin\vartheta}_{\neq 0}(R \omega^2 \cos\vartheta - g) &= 0 \\
                \implies R \omega^2 \cos\vartheta - g &= 0 \\
                \implies \vartheta &= \arccos \left( \frac{g}{R\omega^2} \right)
            .\end{align*}
            Wie zu erwarten ist $\vartheta \xrightarrow{\omega \to \infty} \frac{\pi}{2}$.
    \end{enumerate}
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe}
    \begin{enumerate}[a)]
        \item Für Lagrange- und Hamiltonfunktion ist
            \begin{align*}
                L &= T - V = \frac{m}{2} \dot{q}^2 - \frac{m}{2} \omega^2 q^2 = \frac{m}{2}
                (\dot{q}^2 + \omega^2q^2) \\
                H &= \dot{q}p - L = \frac{p^2}{m} - \frac{m}{2}\left( \frac{p^2}{m^2} - \omega^2 q^2 \right) 
            .\end{align*}
        \item Die kanonischen Gleichungen sind
            \begin{align*}
                \frac{\partial H}{\partial p} &= \frac{p}{m} = \dot{q} \\
                \frac{\partial H}{\partial q} &= m \omega^2 q = - \dot{p}
                \intertext{In Matrixschreibweise folgt also}
                \dot{\vec{y}} &= \underbrace{\begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{m} \\ -m\omega^2 & 0 \end{pmatrix}}
                _{=: A}
                \begin{pmatrix} q \\ p \end{pmatrix} 
                \intertext{Als Lösung folgt}
                \vec{y} &= e^{At} \vec{y_0} \\
                &= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(At)^{k}}{k!} \vec{y_0}
                \intertext{Mit $A^{2k} = (-1)^{k} \begin{pmatrix} \omega & 0 \\ 0 & \omega \end{pmatrix}^{2k}$
                und $A^{2k+1} = A^{2k} \cdot A = (-1)^{k} \begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{\omega m} \\
                - m \omega & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \omega & 0 \\ 0 & \omega \end{pmatrix}^{2k+1}$
                folgt}
                \vec{y} &= \left(\sum_{k=0}^{\infty} (-1)^{k} \frac{(\omega t \mathbbm{1}_2)^{2k}}{(2k)!}
                + \begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{\omega m} \\ - m \omega & 0  \end{pmatrix}
                \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^{k} \frac{(\omega t \mathbbm{1}_2)^{2k+1}}{(2k+1)!} \right)
                \vec{y}_0 \\
                &= \left( \cos(\omega t) + \begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{\omega m} \\ -m\omega & 0 \end{pmatrix}
                \sin(\omega t) \right) \vec{y_0}
                \intertext{Damit folgt}
                q &= q_0 \cos(\omega t) + \frac{p_0}{\omega m} \sin(\omega t) \\
                p &= p_0 \cos(\omega t) - m\omega q_0 \sin(\omega t)
            .\end{align*}
    \end{enumerate}
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe}[]
    \begin{enumerate}[a)]
        \item Ansatz: $q(r,t) = R(r) T(t)$. Damit folgt
            \begin{align*}
                &\frac{\partial^2 q}{\partial t^2} - v^2 \Delta_{(n)} q = 0 \\
                \implies & R \frac{\d[2]T}{\d t^2} - v^2T \Delta_{(n)} R = 0 \\
                \implies & \frac{1}{T} \frac{\d[2] T}{\d t^2} = \text{konst.} =
                \frac{v^2}{R} \Delta_{(n)} R =: -c
            .\end{align*}
            Damit folgt für $T$:
            \[
                \frac{\d[2]T}{\d t^2} + cT = 0
            .\] Für $n = 2$ gilt für $R$:
            \begin{align*}
                &\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r}\left( r \frac{\partial R}{\partial r} \right) 
                + \frac{1}{r^2} \underbrace{\frac{\partial^2 R}{\partial \varphi^2}}_{= 0}
                + \frac{c}{v^2} R = 0 \\
                \implies &\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r}\left( r \frac{\partial R}{\partial r} \right)
                + \frac{c}{v^2}R = 0
            .\end{align*}
            Für $n = 3$ folgt analog
            \begin{align*}
                \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r}\left( r^2 \frac{\partial R}{\partial r} \right)
                + \frac{c}{v^2}R = 0
            .\end{align*}
        \item Sei $c > 0$. Ansatz: $R(r) = \frac{\tilde{R}(r)}{r}$.
            Aus der DGL für $R$ folgt
            \begin{align*}
                &\frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \frac{\tilde{R} - r \frac{\partial \tilde R}{\partial r^2}}{r^2} \right) + \frac{c}{v^2} \frac{\tilde R }{r} = 0 \\
                \implies &\frac{1}{r} \left( - \frac{\partial^2 \tilde R}{\partial r}
                + \frac{c}{v^2} \tilde R \right) = 0 \\
                \implies & - \frac{\partial^2 \tilde R}{\partial r^2} + \frac{c}{v^2} \tilde R = 0 \\
                \implies & \tilde{R} = A\exp\left(\sqrt{\frac{c}{v^2}}r\right) + B\exp\left(-\sqrt{\frac{c}{v^2}}r\right)  \\
                \implies & R = \frac{A\exp\left(\sqrt{\frac{c}{v^2}}r\right) + B\exp\left(-\sqrt{\frac{c}{v^2}}r\right)}{r}
            .\end{align*}
            Damit folgt
            \[
                q = T \cdot R = \frac{A_0}{r} \cos(\sqrt{c} t - \delta)
                \left(  A\exp\left(\sqrt{\frac{c}{v^2}}r\right) + B\exp\left(-\sqrt{\frac{c}{v^2}}r\right)\right) 
            .\] 
\end{enumerate}
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe}[Verständnisfragen]
    \begin{enumerate}[a)]
        \item Die Hamilton-Funktion ist definiert als
            \[
                H(q, p) = \dot{q}_i p_i - L
            .\] und ist, falls die Kräfte Potentialkräfte sind und nur
            zeitunabhängige Zwangsbedingungen vorliegen, gleich der Gesamtenergie des Systems.

            Die kanonischen Gleichungen sind DGL 1. Ordnung, die die Bewegung des Systems im Phasenraum
            beschreiben.
        \item Wenn von $N$-Massepunkten zu einem kontinuierlichen System übergegangen wird,
            geht die Lagrange-Funktion in ein räumliches Integral über eine Lagrange-Dichte über.
            \[
                L \to L(q, \dot{q}) = \int_{0}^{l}  \text{Lagrange-Dichte} \d x
            .\] Die Wirkung ist das Zeitintegral über eine Lagrangefunktion.
        \item Die d'Alembertsche Gleichung ist eine homogene partielle Differentialgleichung
            zweiter Ordnung.
            \[
            \frac{\partial^2 q}{\partial t^2} - \sum_{i=1}^{N} v^2 \frac{\partial^2 q}{\partial x_i^2} = 0
            .\] Allgemein ist die Lösung für zwei beliebige Funktionen $g$ und $h$ gegeben als
            \[
                q(x, t) = g(x + vt) + h(x - vt)
            ,\] also eine Überlagerung zweier Wellen, wobei $g$ rück- und $h$ vorläufig ist.
    \end{enumerate}
\end{aufgabe}

\end{document}
