\documentclass{../../lecture}

\usepackage[]{tikz-cd}

\begin{document}

\stepcounter{section}
\section{p-adische Zahlen}

\subsection{Der Ring $\Z_p$ und sein Quotientenkörper $\Q_p$}

Sei $p \in \N$ eine im Folgenden fest gewählte Primzahl.

Genauso wie eine natürliche Zahl $m \in \N$ bezüglich der Basis $10$ dargestellt werden kann,
ist das auch bezüglich der Basis $p$ möglich. Jede natürliche Zahl besitzt also eine
$p$-adische Entwicklung der Form
\[
m = a_0 + a_1 p + \ldots + a_n p^{n}
\] wobei die Koeffizienten $a_i$ in $\{0, 1, \ldots, p-1\} $ liegen. Die Darstellung ist damit eindeutig.

\begin{bsp}[]
    Diese Darstellung finden wir durch sukzessives Dividieren mit Rest. Für $n = 216$ erhalten
    wir für $p = 5$
    \begin{salign*}
        216 &= 1 + 5 \cdot 43 \\
         43 &= 3 + 5 \cdot 8 \\
          8 &= 3 + 5 \cdot 1 \\
          1 &= 1
          \intertext{Also insgesamt}
          216 &= 1 + 3 \cdot 5 + 3 \cdot 5^2 + 1 \cdot 5^3
    .\end{salign*}
\end{bsp}

Um nun auch negative und sogar gebrochene Zahlen darstellen zu können, gehen wir zu unendlichen
Reihen über:

\begin{definition}[Ganze $p$-adische Zahlen]
    Eine ganze $p$-adische Zahl ist eine formale unendliche Reihe
    \[
    \sum_{i=0}^{\infty} a_i p^{i} = a_0 + a_1 p + a_2 p^2 + \ldots
    \] mit $0 \le a_i < p$ für $i \in \N_0$. Die Menge dieser formalen Reihen
    wird mit $\Z_p$ bezeichnet.
\end{definition}
\begin{bem}[]
    $\sum_{i=0}^{\infty} a_i p^{i}$ ist rein formal gemeint, d.h. bezeichnet einfach
    die Folge der Partialsummen
    \[
    s_n = \sum_{i=0}^{n-1} a_i p^{i} \in \Z, \quad n \in \N
    .\]
\end{bem}

Womit können wir jetzt die ganzen Zahlen $\Z$ in den $p$-adischen Zahlen $\Z_p$ identifizieren?
Wie kann
also beispielsweise $-1$ in $\Z_p$ dargestellt werden?
Dazu stellen wir folgendes fest

\begin{lemma}
    Sei $a \in \Z$.
    Die Restklasse $a \; \text{mod } p^{n} \in \Z / p^{n} \Z$ wird in eindeutiger
    Darstellung durch
    \[
    a \equiv a_0 + a_1 p + a_2 p^2 + \ldots + a_{n-1} p^{n-1} \; (\text{mod } p^{n}) 
    \] gegeben, wobei $0 \le a_i < p$ für $i \in \{0, \ldots, n-1\} $.
    \label{le-eind-rest}
\end{lemma}

\begin{proof} 
    Per Induktion. Für $n = 1$ ist offenbar $a \equiv a_0 \; (\text{mod } p) $ mit $0 \le a_0 < p$.
    Sei nun die Behauptung für $n-1$ gezeigt. Dann ex. eine eindeutige Darstellung
    \begin{salign*}
        a &\equiv a_0 + a_1 p + a_2 p^2 + \ldots + a_{n-2} p^{n-2} \; (\text{mod } p^{n-1}) 
        \intertext{Also}
        a &= a_0 + a_1 p + a_2 p^2 + \ldots + a_{n-2} p^{n-2} + g p^{n-1}
        \intertext{
    für ein $g \in \Z$. Sei $0 \le a_{n-1} < p$, s.d. $g \equiv a_{n-1} \; (\text{mod } p) $, also
    $g = a_{n-1} + h p$ für $h \in \Z$. $a_{n-1}$ ist also eindeutig durch $a$ bestimmt und es
    folgt
        }
        a &= a_0 + \ldots + a_{n-2} p^{n-2} + a_{n-1} p^{n-1} + h p^{n}
    \end{salign*}
\end{proof}

Jede ganze Zahl $a$ definiert nun eine Folge von Restklassen $\overline{s_n} = \overline{a} \in \Z / p^{n} \Z$
für $n \in \N$, die nach \ref{le-eind-rest} von der Gestalt
\begin{salign*}
    s_1 &\equiv a_0 \; (\text{mod } p)  \\
s_2 &\equiv a_0 + a_1p \; (\text{mod } p^2) \\
&\;\;\vdots
\end{salign*}
sind mit eindeutig bestimmten Koeffizienten $a_0, a_1, \ldots \in \{0, \ldots, p-1\} $. Die Zahlenfolge
\[
s_n = a_0 + a_1 p + a_2 p^2 + \ldots + a_{n-1} p^{n-1}
\] definiert nun eine ganze $p$-adische Zahl $\sum_{i=0}^{\infty} a_i p^{i} \in \Z_p$, die
wir die $p$-adische Entwicklung von $a$ nennen.

\begin{bsp}
    Was ist jetzt die $p$-adische Entwicklung von $-1$? Es ist
    \begin{salign*}
        -1 &= (p-1) + (p-1)p + \ldots + (p-1)p^{n-1} - p^{n} \\
        \text{also }-1 &\equiv (p-1) + (p-1)p + \ldots + (p-1)p^{n-1} \; (\text{mod } p^{n}) 
    .\end{salign*}
    Es ist also $-1 = (p-1) + (p-1)p + (p-1)p^2 + \ldots \in \Z_p$ die $p$-adische Entwicklung von $-1$.
    \label{bsp-minus1}
\end{bsp}

Um $\Z_p$ eine algebraische Struktur zu geben, könnten wir mit diesen Reihen mit Überträgen
rechnen, so wie wir es von der Basis $10$ gewohnt sind. Einfacher wird es jedoch, wenn wir
eine ganze $p$-adische Zahl $x = \sum_{i=0}^{\infty} a_i p^{i}$ mit
der Folge der Restklassen $\overline{s_n} \in \Z / p^{n} \Z$ der Partialsummen identifizieren.

Dazu benötigen wir noch eine Vorüberlegung und einige Begriffe.

\begin{definition}
    Ein projektives System ist
    eine Folge von Mengen $(D_n)_{n \in \N}$ und eine Folge
    von Abbildungen $(p_n)_{n \in \N}$ mit $p_{n}\colon D_{n+1} \to D_n$
    \[
        D_1 \xleftarrow{p_1} D_2 \leftarrow \ldots \leftarrow D_{n} \xleftarrow{p_{n}} D_{n+1} \leftarrow \ldots
    .\] 
    Die Teilmenge
    \[
        D = \varprojlim \; (D_n, p_n) =
        \left\{ (a_n)_{n \in \N} \in \prod_{n=1}^{\infty} D_n  \mid p_n(a_{n+1}) = a_n \forall n \in \N \right\}
    \] heißt projektiver Limes des Systems.
\end{definition}

\begin{bem}[]
    Falls die $D_n$ Ringe und die $p_n$ Ringhomomorphismen sind, wird
    $\varprojlim \; (D_n, p_n)$ zum Teilring des Produktrings $\prod_{n=1}^{\infty} D_n $
    (leicht nachzurechnen).
\end{bem}

Setze im Folgenden $A_n \coloneqq \Z / p^{n} \Z$. Dann erhalten wir für $n \in \N$ einen
kanonischen Homomorphismus
\begin{salign*}
    \phi_{n}\colon A_{n+1} &\to A_n \\
    \overline{a} &\mapsto \overline{a}
.\end{salign*}


\begin{satz}
    Ordnet man jeder ganzen $p$-adischen Zahl
    \[
    x = \sum_{i=0}^{\infty} a_i p^{i}
    \] die Folge $(\overline{s}_n)_{n \in \N}$ der Restklassen
    \[
    \overline{s}_n = \sum_{i=0}^{n-1} a_i p^{i} \; (\text{mod } p^{n}) \in A_n
    \] zu, so erhält man eine Bijektion
    \[
        \Z_p \xrightarrow{\sim} \varprojlim \; (A_n, \phi_n)
    .\] 
\end{satz}

\begin{proof}
    Die Zuordnung ist wohldefiniert, da
    \[
     s_{n+1} = a_0 + a_1 p + \ldots + a_{n} p^{n}
     \equiv a_0 + a_1 p + \ldots + a_{n-1} p^{n-1} \; (\text{mod } p^{n})
     = s_n
 .\] Die Bijektivität folgt direkt aus \ref{le-eind-rest}
\end{proof}

\begin{bem}[]
    Die Koeffizienten der $p$-adischen Entwicklung von $a \in \Z$ ergeben sich durch die Kongruenzen
    \[
    a \equiv a_0 + a_1 p + \ldots + a_{n-1} p^{n-1} \; (\text{mod } p^{n}) 
    \] mit $0 \le a_i < p$. Bei der Identifizierung $\Z_p = \varprojlim \; (A_n, \phi_n)$ geht
    $a \in \Z$ daher über in
    \[
        (a \; \text{mod } p, a \; \text{mod } p^2, a \; \text{mod } p^{3} , \ldots ) \in
        \prod_{n=1}^{\infty} A_n 
    .\] 
    $\Z$ wird so zum Teilring von $\varprojlim \; (A_n, \phi_n)$.
    \label{bem-z-ident}
\end{bem}

\begin{bsp}[$\ref{bsp-minus1}$ fortgesetzt]
    Mit \ref{bem-z-ident} folgt also
    \[
        -1 = (p-1, p^2-1, p^{3}-1, \ldots) \in \varprojlim \; (A_n, \phi_n)
    .\] 
\end{bsp}

Wir identifizieren nun im Folgenden stets $\Z_p = \varprojlim \; (A_n, \phi_n)$. $\pi_n$ bezeichne
den kanonischen Projektionshomomorphismus $\pi_n\colon  \Z_p \to A_n$.

\begin{bem}
    \begin{enumerate}
        \item Per Definition ist $x \in \Z_p$ also ein Element $x \in \prod_{n=1}^{\infty} \Z / p^{n}\Z $
            mit der ,,Kompatibilitätsbedingung'':
            \[
                x_{n+1} \equiv x_n \text{ (mod } p^{n})
            .\] 
        \item $\Z_p$ erbt als Teilring nun also die komponentenweise Addition
            und Multiplikation des Produktrings
            $\prod_{n=1}^{\infty} A_n $, d.h. für $(a_n)_{n \in \N}, (b_n)_{n \in \N} \in \Z_p$ gilt
            \[
                (a_n)_{n \in \N} + (b_n)_{n \in \N} = (a_n + b_n)_{n \in \N}
                \quad
                (a_n)_{n \in \N} \cdot (b_n)_{n \in \N} = (a_n \cdot b_n)_{n \in \N}
            .\] 
        \item Versieht man $A_n$ mit der diskreten Topologie (d.h. alle Teilmengen sind offen)
            und $\prod_{n=1}^{\infty} A_n $ mit der Produkttopologie (die von den Urbildern der
            kanonischen Projektionen $\pi_n$ erzeugt wird), wird $\Z_p$ zu einem
            topologischen Ring.
    \end{enumerate}
\end{bem}

\begin{satz}[von Tychonoff]
    Ist $(X_i)_{i \in I}$ eine Familie kompakter topologischer Räume, dann ist
    auch das kartesische Produkt $\prod_{i \in I}^{} X_i $ kompakt bezüglich der
    Produkttopologie.
    \label{satz-tycho}
\end{satz}

\begin{proof}
    Der Satz ist äquivalent zum Auswahlaxiom. Ein Beweis findet sich beispielsweise
    in Klaus Jänich: \textit{Topologie}.
\end{proof}

\begin{korollar}[]
    $\Z_p$ ist kompakt. \label{kor-compact}
\end{korollar}

\begin{proof}
    Nach \ref{satz-tycho} ist $\prod_{n=1}^{\infty} A_n $ kompakt. Außerdem ist
    \[
        \Z_p = \bigcap_{n \in \N}
        \left\{ x \in \prod_{n=1}^{\infty} A_n  \mid \phi_{n}(\pi_{n+1}(x)) = \pi_n(x)\right\}
        = \bigcap_{n \in \N} f_n^{-1}(\{0\})
    \] mit $f_n \colon \prod_{n=1}^{\infty} A_n \to A_n, x \mapsto \phi_{n}(\pi_{n+1}(x)) - \pi_n(x)$.
    Es ist $f_n$ stetig, da $\pi_n$ per Definition der Produkttopologie und $\phi_n$ als
    Abbildung zwischen diskreten Räumen stetig sind. Da $\{0\} \subseteq A_n$ abgeschlossen, folgt
    die Behauptung.
\end{proof}

\begin{lemma}
    Es ist $\pi_n$ surjektiv und $\text{ker } \pi_n = p^{n} \Z_p$ $\forall n \in \N$.
    Insbesondere gilt
    \[
    \Z_p / p^{n} \Z_p \stackrel{\sim }{=} \Z / p^{n} \Z = A_n
    .\] 
    \label{le-kanproj}
\end{lemma}
\begin{proof}
    Die Surjektivität ist klar. Z.z.: $\text{ker } \pi_n = p^{n} \Z_p$. Sei dazu $x \in \Z_p$.
    Dann ist $p^{n} x_n \equiv 0 \; (\text{mod } p^n)$. Also $\pi_n(p^n x) = 0$. Damit
    $p^{n} \Z_p \subseteq \text{ker } \pi_n$.

    Sei nun $x = (x_m)_{m \in \N} \in \text{ker } \pi_n$
    und $m \ge n$.
    Wegen Kompatibilität folgt
    \[
    x_m \equiv x_n \; (\text{mod } p^{n}) \equiv 0 \; (\text{mod } p^{n}) 
    .\] Also folgt $x_m \in p^{n} A_m$. Betrachte nun
    \begin{salign*}
        \Psi_m\colon \Z &\to p^{n} \Z / p^{m} \Z = p^{n}A_m\\
        a &\mapsto \overline{p^{n} a}
    .\end{salign*}
    Es ist $\Psi_m$ Gruppenhomomorphismus, denn für $a, b \in \Z$ ist
    \[
    \Psi_m(a + b) = \overline{p^{n}(a+b)} = \overline{p^{n}a + p^{n}b} = \Psi_m(a) + \Psi_m(b)
    .\]
    Außerdem ist $\Psi_m$ offensichtlich surjektiv. Weiter gilt für $a \in \Z$:
    \[
    a \in \text{ker } \Psi_m \iff p^{n} a \equiv 0 \; (\text{mod } p^{m}) \iff p^{m}  \mid p^{n} a
    \iff a = p^{m-n}b \text{ für ein } b \in \Z
    .\] Damit folgt $\text{ker } \Psi_m = p^{m-n} \Z$.
    Also liefert der Homomorphiesatz einen Gruppenisomorphismus
    \begin{salign*}
        \psi_m \colon A_{m-n} &\to p^{n}A_m \\
        \overline{a} &\mapsto \overline{p^{n}a}
    .\end{salign*}
    Für $m > n$ setze nun $y_{m-n} \coloneqq \psi_m^{-1}(x_m)$ und $y \coloneqq (y_{i})_{i \in \N}
    \in \prod_{k=1}^{\infty} A_k $. Es
    gilt also
    \[
        x_m = \psi_m(y_{m-n}) \equiv p^{n} y_{m-n} \; (\text{mod } p^{m}) 
    .\] 

    Es bleibt zu zeigen, dass $p^{n}y = x$ und $y \in \Z_p$.


    \begin{itemize}
        \item Z.z.: $x = p^{n} y$. Für $m \le n$ ist $x_m = 0 = p^{n} y_m$. Für $m > n$ ist wegen Kompatibilität
            \[
            p^{n} y_m = p^{n} y_{m+n-n} \equiv x_{m+n} \; (\text{mod } p^{m+1})  \equiv x_m \; (\text{mod } p^{m}) 
            .\]
            Insgesamt folgt also $x = p^{n}y$.
    \item Z.z.: $y \in \Z_p$. Dazu betrachte

        \[\begin{tikzcd}
        A_{m+1-n}\arrow{r}{\psi_{m+1}} \arrow[swap]{d}{\phi_{m-n}} & p^{n}A_{m+1} \arrow{d}{\phi_{m}} \\
        A_{m-n} \arrow{r}{\psi_{m}} & p^{n}A_m
        \end{tikzcd}
        \]
        Dieses Diagramm kommutiert, denn für $\overline{a} \in A_{m+1-n}$ gilt
        \[
            \psi_m(\phi_{m-n}(\overline{a})) = \psi_m(\overline{a}) = \overline{p^{n}a}
            = \phi_{m}(\overline{p^{n}a}) = \phi_{m}(\psi_{m+1}(\overline{a}))
        .\] Also ist $\psi_m \circ \phi_{m-n} = \phi_{m} \circ \psi_{m+1}$. Und damit auch
        $\phi_{m-n} \circ \psi_{m+1}^{-1} = \psi_{m}^{-1} \circ \phi_{m}$ $(*)$. Also
        folgt damit
        \begin{salign*}
            \phi_{m-n}(y_{m+1-n}) &= \phi_{m-n}(\psi^{-1}_{m+1}(x_{m+1})) \\
            &\stackrel{(*)}{=} \psi_{m}^{-1}(\phi_{m}(x_{m+1})) \\
            &\stackrel{\text{Komp.}}{=} \psi_{m}^{-1}(x_m) \\
            &= y_{m-n}
        .\end{salign*}
        Und damit $y \in \Z_p$.
    \end{itemize}
    Insgesamt folgt also $\text{ker } \pi_n = p^{n}\Z_p$. Die Isomorphie folgt jetzt direkt aus
    dem Homomorphiesatz.
\end{proof}

\begin{lemma}[]
    Für $u \in \Z_p$ sind äquivalent
    \begin{enumerate}[(i)]
        \item $u \in \Z_p^{\times }$
        \item $p \nmid u$
        \item $0 \neq u_1 \in \Z / p \Z$
    \end{enumerate}
\end{lemma}
\begin{proof}
    (ii)$\iff$(iii) ist klar wegen Kompatibilität. b.z.z. (i) $\iff$ (ii). Sei dazu
    $u = (\overline{u_n})_{n\in \N} \in \Z_p^{\times }$.
    Dann $\exists v = (\overline{v_n})_{n \in \N} \in \Z_p$
    mit $uv = 1$ insb. $\overline{u_1 v_1} \equiv 1 \; (\text{mod } p) $ also
    insbesondere $p \nmid u_1 \implies \overline{u_1} \neq 0$.

    Sei umgekehrt $\overline{u_1} \neq 0$. Wegen Kompatibilität folgt damit $p \nmid u_n$ $\forall n \in \N$, denn
    ang. $p  \mid  u_n$ für ein $n \in \N$. Dann folgt
    \[
    0 \equiv u_n \; (\text{mod } p) \equiv u_1 \; (\text{mod } p) \quad \contr
    .\] 
    Da $p$ prim folgt insbesondere $(p^{n}, u_n) = 1$. Also ex. nach euklid. Alg. $a, b \in \Z$, s.d.
    $1 = a p^{n} + b u_n$, also $1 = \overline{bu_n}$ mit $\overline{b} \in A_n$. Also
    $\overline{u_n} \in A_n^{\times }$ und damit
    $v \coloneqq (\ldots \overline{u_n}^{-1}, \overline{u_{n-1}}^{-1}, \ldots, \overline{u_1}^{-1}) = u^{-1}
    \in \Z_p$.
\end{proof}

\begin{lemma}[]
    Für $x \in \Z_p \setminus \{0\} $ ex. $n \in \N_0$ und $u \in \Z_p^{\times }$, s.d.
    \[
    x = p^{n} u
    .\] Diese Darstellung ist eindeutig.
    \label{le-decomp}
\end{lemma}
\begin{proof}
    \begin{enumerate}[(i)]
        \item Existenz: 
            Sei $x \in \Z_p \setminus \{0\} $. Da $x \neq 0$ ex. wegen Kompatibilität ein
            $n \in \N_0$ maximal, s.d.
            $x_n = \pi_n(x) = 0$. Also ist $x \in \text{ker } \pi_n$, insbesondere ex. nach
            \ref{le-kanproj} ein $u \in \Z_p$ mit $x = p^{n}u$. Ang.: $p \mid u$, dann
            ist $\pi_1(u) = 0$ also ex. wieder nach \ref{le-kanproj} ein $v \in \Z_p$ mit $u = pv$. Dann
            ist aber
            \[
            \pi_{n+1}(x) = \pi_{n+1}(p^{n}u) = \pi_{n+1}(p^{n+1}v) = 0
            .\] Widerspruch zur Maximalität von $n$.
        \item Eindeutigkeit: Sei $x = p^{n} u = p^{m} v$ mit $u, v \in \Z_p^{\times }$ und $n, m \in \N_0$.
            Sei o.E. $n \ge m$. Es ist $\pi_n(x) = \pi_n(p^{n}) \pi_n(u) = 0$ also
            auch $0 = \pi_n(x) = \pi_n(p^{m}) \pi_{n}(v)$. Da $v \in \Z_p^{\times }$ ist
            $\pi_n(v) \in A_n^{\times}$, also kein Nullteiler. Also folgt
            $\pi_n(p^{m}) = 0$ und damit $p^{m} \equiv 0 \; (\text{mod } p^{n}) $, also
            $m \ge n$. Insgesamt also $m = n$.

            Nun gilt weiter $x = p^{n} u = p^{n} v$, also $p^{n}(u-v) = 0$. Ang. $u-v \neq 0$. Dann
            ist nach (i) $u - v = p^{k} w$ mit $k \in \N_0$ und $w \in \Z_p^{\times }$. Also
            $0 = p^{n}(u-v) = p^{n+k} w$. Da $w \in \Z_p^{\times }$ also kein Nullteiler, folgt
            $0 = p^{n+k} \in \Z$ $\contr$.
    \end{enumerate}
\end{proof}

\begin{definition}[$p$-Bewertung]
    Für $x \in \Z_p \setminus \{0\} $ sei $x = p^{n} u$ mit $u \in \Z_p^{\times }$. Dann setze
    \[
        v_p(x) \coloneqq n
    \] und setze $v_p(0) \coloneqq \infty$. $v_p(x)$ heißt die $p$-Bewertung von $x$.
\end{definition}

\begin{bem}[]
    Wegen \ref{le-decomp} ist die $p$-Bewertung wohldefiniert.

    Per Konvention setze $n + \infty = \infty$ und $\infty > n$ für $n \in \N_0$.
\end{bem}

\begin{lemma}[Eigenschaften der $p$-Bewertung]
    Für $x, y \in \Z_p$ gilt
    \[
        v_p(xy) = v_p(x) + v_p(y), \quad v_p(x+y) \ge \min (v_p(x), v_p(y))
    .\] 
\end{lemma}

\begin{proof}
    Falls $x = 0$ oder $y = 0$, dann trivial. Seien also $x, y \neq 0$ und
    sei $x = p^{n}u$, $y = p^{m}v$ mit $u, v \in \Z_p^{\times }$ und $n, m \in \N_0$. Dann folgt
    \[
        xy = p^{n} u p^{n} v = p^{n+m} \underbrace{uv}_{\Z_p^{\times}}
    .\] Also $v_p(xy) = n + m = v_p(x) + v_p(y)$. Sei nun o.E. $n \ge m$. Dann folgt
    \[
        x + y = p^{n} u + p^{m} v = p^{m} (p^{n-m} u + v)
    .\] Also folgt $v_p(x+y) \ge m = \min(v_p(x), v_p(y))$.
\end{proof}

\begin{korollar}[]
    $\Z_p$ ist nullteilerfrei.
\end{korollar}

\begin{proof}
    Seien $x, y \in \Z_p$ mit $xy = 0$. Dann folgt
    \[
    \infty = v_p(0) = v_p(xy) = v_p(x) + v_p(y)
    .\] Also $v_p(x) = \infty$ oder $v_p(y) = \infty$, also $x = 0$ oder $y = 0$. 
\end{proof}

\begin{lemma}[Topologie auf $\Z_p$]
    Die Topologie auf $\Z_p$ wird induziert durch die Metrik
    \[
        d(x, y) = \exp(-v_p(x-y))
    .\] $\Z_p$ ist vollständig und $\Z$ ist dicht in $\Z_p$.
\end{lemma}

\begin{bem}[Bälle]
    Es sei im Folgenden stets
    \[
        B(x, r) = \{ y \in \Z_p  \mid d(x,y) < r \} \text{ und }
        \overline{B(x,r)} = \{y \in \Z_p  \mid d(x,y) \le r\} 
    .\] Da $d(x,y) \in \{ \exp(n)  \mid n \in \Z\}$ gilt
    \[
    \overline{B(x, e^{-n})} = \{ y \in \Z_p  \mid v_p(x-y) \ge n\}
    = \{ y \in \Z_p  \mid v_p(x-y) > n-1\} = B(x, e^{-(n-1)})
    .\] 
\end{bem}

\begin{proof}[Beweis des Lemmas (Skizze)]
    $d(\cdot , \cdot )$ ist eine Metrik (nachrechnen).
        Sei nun
        \[
            S \coloneqq \{ \pi_n^{-1}(B)  \mid B \subseteq A_n, n \in \N\} 
        .\] 
        Die offenen Mengen von $\Z_p$ bezüglich der Produkttopologie sind dann per Definition
        gegeben als $\langle S \rangle$, wobei mit $\langle \ldots \rangle$ die durch
        endliche Schnitte und beliebige Vereinigungen erzeugten Mengen gemeint sind.

        Für $D \in S$ ist $D = \pi_n^{-1}(B) = (A_1, \ldots, A_{n-1}, B, A_{n+1}, \ldots) \subseteq \Z_p$
        wobei $B \subseteq A_n$ für ein $n \in \N$. Für $U \in \langle S \rangle$ ist dann
        $U = (B_1, \ldots, B_n, A_{n+1}, \ldots)$ mit $B_n \subsetneq A_n$ für $n \in \N_0$.
        Sei nun $0 \in U$. Dann ist $p^{n} \Z_p \subseteq U$.

        Für beliebiges $V \subseteq \Z_p$ offen
        ex. nun für $v \in V$ ein $n_v \in \N_0$, s.d. $v + p^{n_v} \Z_p \subseteq V$. Also folgt
        \[
            V = \bigcup_{v \in V} (v + p^{n_v} \Z_p)
        .\]
        Nun ist aber 
        \begin{salign*}
            v + p^{n} \Z_p &= \{ v + a  \mid a \in p^{n} \Z_p\} \\
                           &= \{ x \in \Z_p  \mid v_p(v - x) \ge n \} \\
                           &= \{ x \in \Z_p  \mid \exp(-v_p(v-x)) \le \exp(-n) \} \\
                           &= \{ x \in \Z_p  \mid d(v, x) < e^{-(n-1)}\} \\
                           &= B(v; e^{-(n-1)})
        .\end{salign*}
        Also folgt
        \[
            V = \bigcup_{v \in V} B(v; e^{-(n-1)})
        \] also $V$ auch offen bezüglich $d(\cdot, \cdot )$. Umgekehrt
        sei $U$ offen bezüglich $d(\cdot , \cdot )$. Dann ist
        $U$ Vereinigung von offenen (bezüglich $d(\cdot , \cdot )$) Bällen.
        Da $p^{n} \Z_p = \pi_n^{-1}(\{0\})$, sind diese auch offen bezüglich der Produkttopologie.

        Z.z.: $\Z_p$ vollständig. Da $\Z_p$ nach \ref{kor-compact}
        kompakt ist, hat jede Folge in $\Z_p$ eine konvergente Teilfolge. Insbesondere hat
        also jede Cauchy-Folge eine konvergente Teilfolge und damit konvergiert jede Cauchy-Folge
        in $\Z_p$.

        Z.z.: $\Z$ dicht in $\Z_p$. Sei $x = (x_n)_{n \in \N} \in \Z_p$. Setze $y_n \in \Z$, s.d.
        $y_n \equiv x_n \; (\text{mod } p^{n}) $. Dann ist für $n \in \N$ fest,
        $y_n \equiv x_m \; (\text{mod } p^{m}) $ $\forall m \le n$, also
        $v_p(y_n - x) \ge n$. Also
        \[
            d(y_n, x) = \exp(-v_p(y_n - x)) \le \exp(-n) \xrightarrow{n \to \infty} 0
        .\] 
\end{proof}

\begin{definition}
    Der Quotientenkörper der ganzen $p$-adischen Zahlen $\Z_p$
    heißt Körper der $p$-adischen Zahlen
    \[
        \Q_p \coloneqq Q(\Z_p)
    .\]
\end{definition}

\begin{bem}
    \begin{enumerate}[]
        \item Ein Element $x = \frac{a}{b} \in \Q_p^{\times}$ mit $a, b \in \Z_p$, $b \neq 0$
            kann eindeutig als $x = p^{r}w$ mit $r \in \Z$ und $w \in \Z_p^{\times }$ dargestellt werden,
            denn nach \ref{le-decomp} ist
            \[
                x = \frac{a}{b} = \frac{p^{n}u}{p^{m}v} = p^{n-m} \underbrace{u v^{-1}}_{\in \Z_p^{\times }}
            .\]
            Damit setzt sich die Definition von $v_p$ auf $\Q_p$ fort. Es gilt
            $v_p(x) \ge 0 \iff x \in \Z_p$.
        \item Nach (1) ist also $\Q_p = \Z_p[p^{-1}]$.
    \end{enumerate}
\end{bem}

\begin{lemma}[Topologie auf $\Q_p$]
    $\Q_p$ mit der von $\Z_p$ geerbten Metrik $d(x,y) = \exp(-v_p(x-y))$ ist
    lokal kompakt und enthält $\Z_p$ als offenen Teilring. $\Q$ ist dicht in $\Q_p$.
\end{lemma}

\begin{proof}
    Da $x \in \Z_p \iff v_p(x) \ge 0 \iff v_p(x) > -1$ folgt $\Z_p = \overline{B(0, 1)} = B(0, e)$,
    also $\Z_p$ offen.
    Da $\Z_p$ kompakt, folgt, dass
    $B(x, e)$ kompakt $\forall x \in \Q_p$, also $\Q_p$ lokal kompakt. Außerdem ist
    $\Z$ dicht in $\Z_p$, d.h. für $x \in \Q_p$ mit $x = p^{k} u$ und $k \in \Z$, $u \in \Z_p^{\times }$ ex.
    eine Folge $(y_n)_{n \in \N} \subseteq \Z$ mit $y_n \xrightarrow{n \to \infty} u$. Dann
    setze $z_n \coloneqq p^{k} y_n \in \Q$. Dann folgt direkt
    $z_n = p^{k} y_n \xrightarrow{n \to \infty} p^{k} u = x$.
\end{proof}

\begin{bem}[]
    \begin{enumerate}[]
        \item $\Q_p$ kann auch als Vervollständigung von $\Q$ bezüglich der $p$-adischen
            Metrik $d(\cdot , \cdot )$ definiert werden (analog zu $\R$ als
            Vervollständigung von $\Q$ bezüglich $|\cdot |$).
        \item Es ist leicht nachzurechnen, dass $d(\cdot , \cdot )$ die ultrametrische Ungleichung
            (auch starke Dreiecksungleichung) erfüllt, d.h.
            \[
                d(x, z) \le \max(d(x,y), d(y,z))
            \] für $x, y, z \in \Q_p$. Damit folgt das eine Folge
            $(a_n)_{n \in \N} \subseteq \Q_p$ genau dann konvergiert, wenn
            $\lim_{n \to \infty} (u_{n+1} - u_n) = 0$ (was in $\R$ bezüglich $|\cdot |$ falsch ist).
    \end{enumerate}
\end{bem}

\subsection{$p$-adische Gleichungen}

\begin{lemma}[]
    Sei $D_1 \leftarrow D_2 \leftarrow \ldots$ ein projektives System und
    $D = \varprojlim \; (D_n, p_n)$ sein inverser Limes. Falls $D_n \neq \emptyset$ und endlich
    folgt $D \neq \emptyset$.
    \label{le-projlim}
\end{lemma}

\begin{proof}
    Sei zunächst $p_{n}\colon D_{n+1} \to D_n$ surjektiv. Dann ex. für alle $x_{n} \in D_{n}$
    ein $x_{n+1} \in D_{n+1}$, s.d. $p_{n}(x_{n+1}) = x_n$. Da $D_1 \neq \emptyset$ folgt
    $D \neq \emptyset$ induktiv.

    Im Allgemeinen bezeichne für $m,n \in \N$:
    \[
        D_{n,m} \coloneqq (p_{n} \circ \ldots \circ p_{n+m-1})(D_{n+m})
    .\] Da $D_{n+m} \neq \emptyset$ folgt $D_{n,m} \neq \emptyset$ und da
    $D_k$ endlich folgt $\# p_k(D_{k+1}) \le \# D_{k+1}$ $\forall k \in \N$. D.h. $\#D_{n,m}$
    ist monoton fallend in $m$ bei festem $n$.
    Da $D_{n,m} \neq \emptyset$ wird die Folge stationär, d.h.
    es ex. ein $m_0 \in \N$, s.d. $D_{n, m_0} = D_{n, m}$ $\forall m \ge m_0$.
    Sei $E_n$ dieser Grenzwert.

    Beh.: $p_{n}(E_{n+1}) = E_n$ $\forall n \in \N$. Sei dazu $n \in \N$. Nun ex. ein
    $m_0 \in \N$, s.d. $E_{n+1} = D_{n+1, m_0}$ und
    $E_n = D_{n, m_0} = D_{n, m_0+1}$. Damit folgt
    \begin{salign*}
        p_{n}(E_{n+1})
        &= p_{n}(D_{n+1, m_0}) \\
        &= p_{n}((p_{n+1} \circ \ldots \circ p_{n+m_0})(D_{n+1+m_0})) \\
        &= (p_{n} \circ p_{n+1} \circ \ldots \circ p_{n+m_0})(D_{n+m_0+1}) \\
        &= D_{n, m_0+1} \\
        &= E_n
    .\end{salign*}

    Also sind die Einschränkungen $p_{n}|_{E_{n+1}}\colon E_{n+1} \to E_n$ surjektiv,
    $E_n \neq \emptyset$ und endlich, also
    folgt nach der Vorüberlegung $\varprojlim \; (E_n, p_n|_{E_n}) \neq \emptyset$, also
    insbesondere $D \neq \emptyset$.
\end{proof}

\begin{satz}[]
    Seien $f^{(i)} \in \Z_p[X_1, \ldots, X_m]$ Polynome in den ganzen $p$-adischen Zahlen. Dann
    sind äquivalent:
    \begin{enumerate}[(i)]
        \item Die $f^{(i)}$ haben eine gemeinsame Nullstelle in $(\Z_p)^{m}$.
        \item Für $n \in \N$ haben die Polynome $f^{(i)} \; (\text{mod } p^{n}) $ eine
            gemeinsame Nullstelle in $(A_n)^{m}$.
    \end{enumerate}
    \label{satz-nsequiv}
\end{satz}

\begin{proof}
    Sei $D = \{ \text{gemeinsame NS von } f^{(i)} \text{ in } (\Z_p)^{m} \} \subseteq (\Z_p)^{m}$
    und\\
    $D_n \coloneqq \{ \text{ gemeinsame NS von } f^{(i)} \text{ in } (A_n)^{m} \; (\text{mod } p^{n})  \} $.
    Es bezeichne $(\phi_{n})^m\colon (A_{n+1})^{m} \to (A_n)^{m}$ die Abbildung, die $\phi_{n}$
    komponentenweise anwendet. Dann ist $(D_n, (\phi_n)^m)$ ein projektives System
    mit $D = \varprojlim \; (D_n, (\phi_n)^m)$.

    Sei nun $D \neq \emptyset$ und $x \in D$. Dann ist $\pi_n(x) \in D_n$ $\forall n \in \N$. Seien umgekehrt
    $D_n \neq \emptyset$ $\forall n \in \N$. Da $D_n \subseteq A_n$ endlich folgt mit
    \ref{le-projlim} $D \neq \emptyset$.
\end{proof}

\begin{definition}[]
    Ein Element $x = (x_1, \ldots, x_m) \in (\Z_p)^{m}$ (bzw. $(A_n)^{m}$) heißt primitiv, falls ein
    $x_i \in \Z_p^{\times}$ (bzw. $\in A_n^{\times}$) ist.
\end{definition}

\begin{definition}[]
    Sei $R$ ein Ring. Ein Polynom $f \in R[X_1, \ldots, X_m]$ heißt
    homogen vom Grad $2$, falls in $R[X_1, \ldots, X_m][T]$ gilt
    \[
        f(TX_1, \ldots, TX_m) = T^{k} f(X_1, \ldots, X_m)
    .\] Ein homogenes Polynom vom Grad $2$ heißt quadratische Form.
\end{definition}

\begin{bsp}[]
    Das Polynom $f = X^5 + X^3Y^2 + XY^4 \in \Z[X,Y]$ ist homogen, aber $g = X^2 + X + Y^2 \in \Z[X,Y]$ ist nicht
    homogen.
\end{bsp}

\begin{korollar}[]
    Seien $f^{(i)} \in \Z_p[X_1, \ldots, X_m]$ homogene Polynome. Dann sind äquivalent
    \begin{enumerate}[(i)]
        \item Die $f^{(i)}$ haben eine nichttriviale gemeinsame Nullstelle in $(\Q_p)^{m}$.
        \item Die $f^{(i)}$ haben eine gemeinsame primitive Nullstelle in $(\Z_p)^{m}$.
        \item Für $n \in \N$ haben die Polynome $f^{(i)} \; (\text{mod } p^{n}) $ eine gemeinsame
            primitive Nullstelle.
    \end{enumerate}
\end{korollar}

\begin{proof}
    (i)$\implies$(ii): Sei $x = (x_1, \ldots, x_m)$ eine nichttriviale gemeinsame Nullstelle
    der $f^{(i)}$. Dann setze
    \[
        k \coloneqq \min(v_p(x_1), \ldots, v_p(x_m)) \text{ und } y = p^{-k} x
    .\] Sei $i \in \{1, \ldots, m\} $, s.d. $k = v_p(x_i)$. Dann ist
    $v_p(y_i) = v_p(p^{-k}) + v_p(x_i) = -k + k = 0$. Also $y_i \in \Z_p^{\times }$ und damit $y$ primitiv.
    Außerdem gilt für ein $n \in \N$
    \[
        f^{(i)}(y) = f^{(i)}(p^{-k} x) \quad \stackrel{\text{Homog.}}{=} \quad p^{-nk} f^{(i)}(x) = 0
    .\] 
    (ii)$\implies$(i) ist trivial und (ii) $\iff$ (iii) folgt aus \ref{satz-nsequiv}.
\end{proof}

\begin{bem}[]
    Die Voraussetzung homogenes Polynom ist notwendig, wie am Beispiel:
    \[
        f = pX - 1 \in  \Z_p[X]
    \] deutlich wird, denn $f(p^{-1}) = 0$, aber im Körper $\Q_p$ hat das lineare Polynom $f$ maximal
    eine Nullstelle und $p^{-1} \not\in \Z_p$.
\end{bem}

Wir möchten nun betrachten, unter welchen Umständen eine Lösung $\; (\text{mod } p^{n}) $ zu einer
echten Lösung in $\Z_p$ entwickelt werden kann. Dazu verwenden wir die $p$-adische Version
des Newton Verfahrens.

\begin{lemma}[Henselsches Lemma]
    Sei $f = a_mX^{m} + \ldots + a_0 \in \Z_p[X]$ und $f' = a_m m X^{m-1} + \ldots + a_1 \in \Z_p[X]$ seine
    Ableitung. Weiter sei $x \in \Z_p$, s.d. $f(x) \equiv 0 \; (\text{mod } p^{n}) $ für ein $n \in \N$
    und $v_p(f'(x)) = k$ mit $0 \le 2k < n$. Dann existiert ein $y \in \Z_p$, s.d.
    \[
        f(y) \equiv 0 \; (\text{mod } p^{n+1}), v_p(f'(y)) = k \text{ und } y \equiv x \; (\text{mod } p^{n-k}) 
    .\] 
    \label{le-hensel}
\end{lemma}

\begin{proof}
    Nach Voraussetzung ist $f(x) = p^{n}b$ und $f'(x) = p^{k}c$ mit $b \in \Z_p$ und $c \in \Z_p^{\times }$.
    Dann setze $z \coloneqq -b c^{-1}$ und $y \coloneqq x + p^{n-k}z$. Damit erfüllt
    $y \equiv x \; (\text{mod } p^{n-k}) $. Der binomische Lehrsatz
    liefert
    \begin{salign*}
        a_i y^{i} = a_i \sum_{j=0}^{i} \binom{i}{j} x^{i-j} (p^{n-k} z)^{j}
        = a_i x^{i} + a_i i x^{i-1} p^{n-k} z + p^{2n-2k} z^2 R_i
    \end{salign*} für $R_i \in \Z_p$. Aufsummieren und addieren von $a_0$ liefert mit $R \in \Z_p$
    eine ,,Taylorentwicklung'':
    \begin{salign*}
        f(y) &= f(x) + p^{n-k} z f'(x) + p^{2n-2k} z^2 R
        \intertext{Einsetzen liefert}
        f(y) &= p^{n}b - p^{n-k} b c^{-1} p^{k} c + p^{2n-2k} z^2 R \\
             &= p^{2n-2k} z^2 R \\
             &\equiv 0 \; (\text{mod } p^{n+1}) 
    ,\end{salign*} da $2k < n \implies 2n - 2k \ge n+1$.
    Anwenden der ,,Taylorentwicklung'' auf $f'$ liefert
    \begin{salign*}
        f'(y) &= f'(x) + p^{n-k} z f''(x) + p^{2n-2k} z^2 R \\
              &= p^{k} c + p^{n-k} z f''(x) + p^{2n-2k}z^2R \\
              &= p^{k}(\underbrace{c + p^{n-2k} z f''(x) + p^{2n-3k} z^2 R}_{=: s})
    .\end{salign*}
    Es ist $n-2k > 0$ und $2n - 3k > 0$, aber $c \in \Z_p^{\times }$, also $p \nmid s$ und damit
    $s \in \Z_p^{\times }$ und $v_p(f'(y)) = k$.
\end{proof}

Zum Studium der quadratischen Formen benötigen wir noch die auf $m$ Variablen verallgemeinerte Version
des Henselschen Lemmas.

\begin{satz}
    Sei $f \in \Z_p[X_1, \ldots, X_m]$ und $x = (x_i) \in (\Z_p)^{m}$, s.d.
    $f(x) \equiv 0 \; (\text{mod } p^{n}) $. Weiter existiere ein
    $1 \le j \le m$, s.d. $v_p\left( \frac{\partial f}{\partial X_j}(x) \right) = k$ mit
    $0 \le 2k < n$. Dann existiert eine Nullstelle $y \in (\Z_p)^{m}$ von $f$ mit
    $y \equiv x \; (\text{mod } p^{n-k}) $.
    \label{satz-hensel}
\end{satz}

\begin{proof}
    Sei zunächst $m = 1$. Mit \ref{le-hensel} angewendet auf $x^{(0)} \coloneqq x$, erhält man
    $x^{(1)} \in \Z_p$ mit
    \[
        f(x^{(1)}) \equiv 0 \; (\text{mod } p^{n+1})\text{, }
        v_p(f'(x^{(1)})) = k \text{ und }
        x^{(1)} \equiv x^{(0)} \; (\text{mod } p^{n-k}) 
    .\] Wende \ref{le-hensel} nun auf $x^{(1)}$ und $n+1$ an. Induktiv erhält man eine Folge
    $(x^{(q)})_{q \in \N}$ mit den Eigenschaften
    \[
        x^{(q+1)} \equiv x^{(q)} \; (\text{mod } p^{n+q-k}) \text{ und } f(x^{(q)}) \equiv 0 \; (\text{mod } p^{n+q}) 
    .\] Es gilt nun $v_p(x^{(q+1)} - x^{(q)}) \ge n+q-k$, also
    $d(x^{(q+1)}, x^{(q)}) \xrightarrow{q\to \infty} 0$. Also ist $x^{(q)}$ eine Cauchy Folge
    und konvergiert gegen ein $y \in \Z_p$. Dann gilt
    \[
        0 = \lim_{q \to \infty} f(x^{(q)}) = f(\lim_{q \to \infty} x^{(q)}) = f(y)
    \] und $y \equiv x \; (\text{mod } p^{n-k}) $.

    Sei nun $m > 1$. Ersetze in $f$ die Variablen $X_i$ durch $x_i$ für $i \neq j$.
    Dann sei $g \in \Z_p[X_j]$ das entstandene Polynom in einer Variablen. Wende nun den Fall für $m = 1$
    auf $g$ an. Dann erhalten wir ein $y_j \in \Z_p$ mit $y_j \equiv x_j \; (\text{mod } p^{n-k}) $
    und $g(y_j) = 0$. Setze nun $y_i \coloneqq x_i$ für $i \neq j$. Dann ist
    $y \equiv x \; (\text{mod } p^{n-k}) $ und
    \[
        f(y) = f(y_1, \ldots, y_m) = f(x_1, \ldots, x_{j-1}, y_j, x_{j+1}, \ldots, x_m) = g(y_j) = 0
    .\] 
\end{proof}

Aus dem letzten Satz können wir einfache Schlussfolgerungen für quadratische Formen ziehen.

\begin{korollar}[]
    Sei $f \in \Z_p[X_1, \ldots, X_m]$ und $x \in \Z_p$ mit
    \[
        f(x) \equiv 0 \; (\text{mod } p)
    \] und es sei mind. eine partielle Ableitung
    $\frac{\partial f}{\partial X_j}(x) \not\equiv 0 \; (\text{mod } p) $, dann hebt sich $x$
    zu einer echten Nullstelle.
    \label{kor-1}
\end{korollar}

\begin{proof}
    Das ist der Fall $n = 1$ und $k = 0$ in \ref{satz-hensel}.
\end{proof}

\begin{korollar}[]
    Sei $p\neq 2$ und $f = \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{m} a_{ij} X_i X_j \in \Z_p[X_1, \ldots, X_m]$ eine
    quadratische Form mit $a_{ij} = a_{ji}$ und sei $ p \nmid \text{det}(a_{ij})$. Sei weiter $a \in \Z_p$. Dann
    hebt sich jede primitive Lösung der Gleichung $f(x) \equiv a \; (\text{mod } p) $ zu einer
    echten Lösung.
\end{korollar}
\begin{proof}
    Mit \ref{kor-1} g.z.z., dass mind. eine partielle Ableitung $\; (\text{mod } p) $ nicht verschwindet.
    Sei $A = (a_{ij}) \in \Z_p^{m \times m}$. Da $\text{det}(a_{ij}) \not\equiv 0 \; (\text{mod } p) $
    folgt $\text{det}(a_{ij}) \in \mathbb{F}_p^{\times }$ und damit $\text{ker } A = \{0\} $. Es gilt weiter
    \[
    \frac{\partial f}{\partial X_i} = 2 \sum_{j=1}^{m} a_{ij}X_j \text{ also }
    \begin{pmatrix} \partial_{X_i} f(x) \\ \vdots \\ \partial_{X_m} f(x) \end{pmatrix}
    = 2 A x
    .\] Da $x$ primitiv ist $x \neq 0 \in \mathbb{F}_p^{m}$ und damit mind. eine partielle Ableitung
    $\not\equiv 0 \; (\text{mod } p) $.
\end{proof}

%\begin{korollar}[]
%    Sei $p=2$ und $f = \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{m} a_{ij} X_i X_j \in \Z_2[X_1, \ldots, X_m]$
%    eine quadratische Form mit $a_{ij} = a_{ji}$. Weiter sei $a \in \Z_2$ und $x$ eine primitive Lösung
%    der Gleichung $f(x) \equiv a \; (\text{mod } 8) $. Dann hebt sich $x$ zu einer echten Lösung, falls
%    nicht alle partiellen Ableitungen $\; (\text{mod } 4) $ verschwinden. Dies ist erfüllt, wenn
%    $\text{det}(a_{ij})$.
%\end{korollar}

% ????

\end{document}