\documentclass[uebung]{../../../lecture}

\title{Lineare Algebra 2: Übungsblatt 4}
\author{Dominik Daniel, Christian Merten}

\begin{document}

\punkte[16]

\begin{aufgabe}
    Seien $L$ und $K$ Teilkörper mit $K \subseteq L$.
    \begin{enumerate}[a)]
        \item \begin{enumerate}[(i)]
                \item Beh.: Für $f, g \in K[t]$ gilt $\text{ggT}_{L[t]}(f,g) = \text{ggT}_{K[t]}(f,g)$.
                    \begin{proof}
                        Seien $f, g \in K[t]$. Der euklid. Algorithmus in $K[t]$ liefert
                        $a_2, \ldots, a_k \in K[t]$ mit $a_k \in \text{GGT}_{K[t]}(f, g)$. Da
                        $K$ Teilkörper von $L$ ist, ist $K[t]$ Unterring von $L[t]$. Das heißt,
                        der euklid. Algorithmus kann in $L[t]$ mit den selben $a_2, \ldots a_k$
                        ausgeführt werden. Damit folgt $a_k \in \text{GGT}_{L[t]}(f,g)$.

                        Definiere $d \in K[t]$, als das normierte Polynom von $a_k$. Wegen
                        der Eindeutigkeit des größten gemeinsamen Teilers in $L[t]$ und $K[t]$ folgt damit
                        \[
                            \text{ggT}_{L[t]}(f, g) = d = \text{ggT}_{K[t]}(f,g)
                        .\] 
                   \end{proof}
               \item Beh.: Für $A, B \in M_{n, n}(K)$ so gilt
                   \[
                       A \approx B \text{ in } M_{n,n}(K)
                       \iff
                       A \approx B \text{ in } M_{n, n}(L)
                   .\] 
                   \begin{proof}
                       Seien $A, B$ in $M_{n, n}(K)$. ,,$\implies$'' ist trivial.

                       ,,$\impliedby$'': Sei $A \approx B$ in $M_{n,n}(L)$. Da
                       $P_{A} \in M_{n,n}(K[t])$ folgt
                       \begin{salign*}
                           d_{l_{L[t]}}(A) &=
                           \text{ggT}_{L[t]}\{ \underbrace{\text{det}(C)}_{\in K[t]}  \mid C \text{ ist } l \times l \text{ Untermatrix von } P_A\}  \\
                           &\stackrel{(i)}{=} \text{ggT}_{K[t]}\{ \text{det}(C) \mid C \text{ ist } l \times l \text{ Untermatrix von } P_A\}  \\
                           &= d_{l_{K[t]}}(A)
                       .\end{salign*}
                       Analog für $B$. Wegen $A \approx B$ in $M_{n,n}(L)$ gilt $\forall l=1,\ldots, n$:
                       \[
                           d_{l_{K[t]}}(A) = d_{l_{L[t]}}(A) = d_{l_{L[t]}}(B) = d_{l_{K[t]}}(B)
                       .\] Damit folgt $A \approx B$ in $M_{n,n}(K)$.
                   \end{proof}
            \end{enumerate}
        \item Beh.: Für $A \in M_{n,n}(K)$ ist $A \approx A^{T}$.
            \begin{proof}
                Es ist $Fit_{l}(P_A) = Fit_{l}((P_A)^{T})$ $\forall l = 1, \ldots, n$. Also
                $P_{A} \sim (P_A)^{T}$. Wegen $(P_A)^{T} = (tE_n - A)^{T} = tE_n - A^{T} = P_{A^{T}}$ folgt
                $P_{A} \sim P_{A^{T}}$. Damit folgt mit dem Satz von Frobenius: $A \approx A^{T}$.
            \end{proof}
    \end{enumerate}
\end{aufgabe}

\end{document}