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\documentclass[uebung]{../../../lecture}

\title{Lineare Algebra II: Übungsblatt 5}
\author{Dominik Daniel, Christian Merten}

\usepackage[]{gauss}

\begin{document}

\punkte[18]

\begin{aufgabe}
    Sei $K$ ein Körper, $n \in \N$, $A \in M_{n,n}(K)$ und
    $I_A := \{ f \in K[t]  \mid  f(A) = 0\} $.
    \begin{enumerate}[(a)]
        \item Beh.: $I_A \subseteq K[t]$ ist ein Ideal und $\chi_{A}^{\text{char}} \in I_A$.
            \begin{proof}
                $I_A$ ist Ideal, denn
                \begin{enumerate}[label=(I\arabic*)]
                    \item $0 \in I_A$, denn $0(A) = 0$.
                    \item Seien $f, g \in I_A$. Dann ist $(f+g)(A) = f(A) + g(A) = 0 + 0 = 0$, also
                        $f+g \in I_A$.
                    \item Sei $f \in I_A$ und $r \in K[t]$. Dann ist $(f \cdot r)(A) = f(A) \cdot r(A) = 0 \cdot r(a) = 0 \implies rf \in I_A$.
                \end{enumerate}
                Mit dem Satz von Cayley-Hamilton gilt
                $\chi_{A}^{\text{char}}(A) = 0 \implies \chi_A^{\text{char}} \in I_A$.
            \end{proof}
        \item Beh.: Es ex. ein eindeutig bestimmtes normiertes Polynom
            $\chi_{A}^{\text{min}} \in K[t] \setminus \{0\} $
            mit $I_A = \left( \chi_{A}^{\text{min}} \right) $.
            \begin{proof}
                Es ist $\chi_{A}^{\text{char}} \neq 0$ und $\chi_{A}^{\text{char}} \in I_A$, also
                $I_A \neq (0)$. Wegen $K[t]$ HIR ex. ein bis auf Assoziiertheit eindeutig bestimmtes
                Polynom $f \in K[t] \setminus \{0\} $ mit $(f) = I_A$. Da $K$ Körper, ex. genau
                ein normiertes Polynom
                $\chi_{A}^{\text{min}}$ mit $\chi_{A}^{\text{min}} \stackrel{\wedge}{=} f$
                und damit $(\chi_{A}^{\text{min}}) = I_A$.
            \end{proof}
        \item Sei $\lambda \in K$. Beh.: $\chi_{A}^{\text{min}}(\lambda) = 0 \iff \chi_{A}^{\text{char}}(\lambda) = 0$.
            \begin{proof}
                Sei $\lambda \in K$ mit $\chi_{A}^{\text{char}}(\lambda) = 0$. Dann ist $\lambda$ Eigenwert
                von $A$ zu Eigenvektor $v \in K^{n} \setminus \{0\} $ mit $Av = \lambda v$. Für
                $f \in K[t]$ gilt dann:
                \begin{align*}
                    f(A)v &= a_0 v + a_1 Av + \ldots + a_m A^{m} v \\
                          &= a_0 v + a_1 \lambda v + \ldots + a_m A^{m-1} \lambda v \\
                          &= a_0 v + a_1 \lambda v + \ldots + a_m \lambda^{m} v \\
                          &= f(\lambda) v
                    \intertext{Damit folgt}
                    0 &= \chi_{A}^{\text{min}} (A) v = \chi_{A}^{\text{min}}(\lambda) v
                .\end{align*}
                 Wegen $v \neq 0$, folgt $\chi_{A}^{\text{min}}(\lambda) = 0$.

                 Sei nun $\chi_{A}^{\text{min}} (\lambda) = 0$. Wegen
                 $\chi_{A}^{\text{char}} \in (\chi_{A}^{\text{min}})$ ex. ein $f \in K[t]$ mit
                 $\chi_{A}^{\text{char}} = f \cdot \chi_{A}^{\text{min}}$. Damit folgt
                 \[
                     \chi_{A}^{\text{char}}(\lambda) = f(\lambda) \cdot \chi_{A}^{\text{min}}(\lambda) = f(\lambda) \cdot 0 = 0
                 .\] 
            \end{proof}
        \item Sei $B \in M_{n,n}(K)$. Beh.: $B \approx A \implies I_B = I_A$ und
            $\chi_{B}^{\text{min}} = \chi_{A}^{\text{min}} $.
            \begin{proof}
                Sei $B \approx A$. Dann ex. $S \in \text{GL}_n(K)$ mit $B = SAS^{-1}$. Es ist
                \begin{align*}
                    (SAS^{-1})^{m} &= \underbrace{SA\overbrace{S^{-1} \cdot S}^{= E_n}AS^{-1} \cdot \ldots \cdot SAS^{-1}}_{m\text{-mal}} \\
                    &= SA^{m}S^{-1}
                    \intertext{Damit folgt}
                    f(SAS^{-1}) &= \sum_{k=0}^{m} a_k (SAS^{-1})^{k} \\
                    &= \sum_{k=0}^{m} a_k S A^{k} S^{-1} \\
                    &= S \cdot \sum_{k=0}^{m} a_k A^{K} \cdot S^{-1} \\
                    &= S f(A) S^{-1}
                .\end{align*}
                Also gilt
                \begin{salign*}
                & f \in I_A \\
                    \iff & f(A) = 0 \\
                    \stackrel{S \neq 0}{\iff} & S f(A) S^{-1} = 0 \\
                    \iff& f(SAS^{-1}) = 0 \\
                    \iff & f(B) = 0 \\
                    \iff & f \in I_B
                .\end{salign*}
                Also ist $(\chi_{A}^{\text{min}}) = I_A = I_B = (\chi_{B}^{\text{min}})$ und,
                wegen $\chi_{A}^{\text{min}}$ und $\chi_{B}^{\text{min}} $ normiert,
                $\chi_{A}^{\text{min}} = \chi_{B}^{\text{min}} $.
            \end{proof}
        \item Beh.: Mit $ A := \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $ ist
            $\chi_{A}^{\text{min}} \neq \chi_{A}^{\text{char}} $.
            \begin{proof}
                Es ist $P_A = \begin{pmatrix} t-1 & 0 \\ 0 & t-1 \end{pmatrix} $. Also
                $c_1(A) = c_2(A) = t-1$, also mit 19(b) $\chi_{A}^{\text{min}} = t-1$, aber
                $\chi_{A}^{\text{char}} = \text{det}(P_A) = (t-1)^2 \neq t-1 = \chi_{A}^{\text{min}} $.
            \end{proof}
    \end{enumerate}
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe}
    Sei $K$ ein Körper.
    \begin{enumerate}[(a)]
        \item Sei $g \in K[t]$ nichtkonstant und normiert mit Begleitmatrix $B_g$. Beh.:
            $\chi_{B_g}^{\text{min}} = g$.
            \begin{proof}
                Zunächst z.Z.: $\text{deg}(\chi_{B_g}^{\text{min}} ) \ge \text{deg}(g) $. Ang. es ex.
                ein $0 \neq f \in I_A$ mit $\N \ni m := \text{deg}(f) < \text{deg}(g) =: n \in \N$. Es gilt
                $\forall k \in \N$ mit $k < n$:
                \[
                B_g^{k}e_1 = B_g^{k-1} B_g e_1 = B_g^{k-1} e_2 = \ldots = e_{k+1}
                .\] Damit folgt
                \[
                    f(B_g) e_1 = a_0 e_1 + a_1 e_2 + \ldots + a_m e_{m+1} = \begin{pmatrix} a_0 \\ a_1 \\ \vdots \\ a_m \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix} = 0
                .\] Also $a_0 = a_1 = \ldots = a_m = 0 \implies f = 0$ $\contr$.
                Da $\chi_{A}^{\text{min}} \neq 0 \implies \text{deg}(\chi_{A}^{\text{min}} ) \ge \text{deg}(g)$.

                Da $\chi_{A}^{\text{char}} \in (\chi_{A}^{\text{min}})$, ex. ein $r \in K[t]$
                mit $g = \chi_{A}^{\text{char}} = r \cdot \chi_{A}^{\text{min}} $. Da $K[t]$ nullteilerfrei,
                folgt also
                $\text{deg}(g) = \text{deg}(\chi_{A}^{\text{char}} ) \ge \text{deg}(\chi_{A}^{\text{min}} ) $.
                Damit folgt $\text{deg}(g) = \text{deg}(\chi_{A}^{\text{min}} ) $ und
                $\chi_{A}^{\text{min}} \mid g$. Da $g$ und $\chi_{A}^{\text{min}} $ normiert, folgt
                $g = \chi_{A}^{\text{min}} $.
            \end{proof}
        \item Seien $n \in \N$ und $A \in M_{n,n}(K)$ mit Invariantenteilern
            $c_1(A), \ldots, c_n(A)$ und $c_1(A)  \mid \ldots  \mid c_n(A)$. Beh.:
            $c_n(A) = \chi_{A}^{\text{min}} $.
            \begin{proof}
                Seien $g_1, \ldots, g_r$ die nichtkonstanten Invariantenteiler von $A$. Dann
                ist $g_r = c_n$ und $A \approx B_{g_1, \ldots, g_r}$. $B_{g_1, \ldots, g_r}$ ist
                diagonale Blockmatrix, d.h.
                \[
                    B_{g_1, \ldots, g_r}^{k} = \begin{pmatrix} B_{g_1}^{k} & 0 \\
                        0 & \ddots & \\
                          & & B_{g_r}^{k}
                \end{pmatrix} 
                .\] 

                Damit folgt für $f \in K[t]$ beliebig.
                \begin{salign*}
                    &\qquad f \in I_{B_{g_1, \ldots, g_r}} \\
                    \iff& f(B_{g_k}) = 0 \quad \forall k = 1,\ldots,r \\
                    \stackrel{\text{(a)}}{\iff}& g_k  \mid f \quad \forall k = 1,\ldots,r \\
                    \stackrel{g_1  \mid g_2  \mid \ldots  \mid g_r}{\iff}& g_r  \mid f \\
                    \iff& f = q \cdot g_r \\
                    \iff& f \in (g_r)
                .\end{salign*}
                Also folgt $(c_n) = (g_r) = I_{B_{g_1, \ldots, g_r}} \quad \stackrel{\text{18(d)}}{=} \quad I_A$.
                Da $c_n$ normiert, folgt also $c_n = \chi_{A}^{\text{min}}$.
            \end{proof}
    \end{enumerate}
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe}
    \begin{enumerate}[(a)]
        \item Es ist $n = 8$, $\chi_{A}^{\text{char}} = c_6(A) \cdot c_7(A) \cdot c_8(A)
            = (t+1) \cdot  t (t+1) \cdot t^2(t+1)^{3} = t^3 (t+1)^{5}$ und
            $\chi_{A}^{\text{min}} = c_8(A) = t ^{3}(t+1)^{5}$.
        \item Es ist $d_1(A) = \ldots = d_5(A) = 1$. $d_6(A) = c_6(A) = t+1$,
            $d_7(A) = c_6(A) \cdot c_7(A) = t(t+1)^2$, $d_8(A) = d_7(A) \cdot c_8(A) = t ^3(t+1)^{5}$.
            \begin{align*}
            A \approx B_{c_6, c_7, c_8} =
            \begin{gmatrix}[p] 
                -1 & 0 & 0 \\
                0 & \begin{gmatrix}[b] 0 & 0 \\ 1 & - 1 \end{gmatrix} & 0 \\
                0 & 0 & \begin{gmatrix}[b] 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
                1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
                0 & 1 & 0 & 0 & -1 \\
                0 & 0 & 1 & 0 & -3 \\
                0 & 0 & 0 & 1 & -3 \end{gmatrix} 
            \end{gmatrix} 
            .\end{align*}
        \item Die Weistraßteiler sind
            $h_1 = t+1$, $h_2 = t$, $h_3 = t+1$, $h_4 = t^2$, $h_5 = (t+1)^{3}$.
            \begin{align*}
            A \approx B_{h_1, h_2, h_3, h_4, h_5} =
            \begin{gmatrix}[p] 
                -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
                0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
                0 & 0 & -1 & 0 & 0 \\
                0 & 0 & 0 & \begin{gmatrix}[b] 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{gmatrix} & 0 \\
                0 & 0 & 0 & 0 & \begin{gmatrix}[b] 0 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & -3 \\ 0 & 1 & -3 \end{gmatrix} 
            \end{gmatrix} 
            .\end{align*}
    \end{enumerate}
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe}
    Für $A = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 0  \end{pmatrix} \in M_{n,n}(\Q)$ gilt:
    \begin{align*}
        P_A =
        \begin{pmatrix} t & -2 \\ -1 & t \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & t^2 -2\end{pmatrix}
    .\end{align*}
    Also sind $c_1(A) = 1$ und $c_2(A) = t^2 -2$. Über $\Q$ ist $t^2 - 2$ irreduzibel, also
    $h_1 = t^2 - 2$. Damit folgt für die Weierstraßnormalform
    \begin{align*}
        A \approx B_{h_1} = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} 
    .\end{align*}

    Über $\R$ ist $t^2 - 2$ reduzibel als $t^2 - 2 = \underbrace{( t + \sqrt{2}  )}_{=: \tilde{h}_1}\underbrace{( t - \sqrt{2}  )}_{=: \tilde{h}_2} $, also folgt
    \begin{align*}
        A \approx B_{\tilde{h}_1, \tilde{h}_2} = \begin{pmatrix} \sqrt{2} & 0 \\ 0 & -\sqrt{2} \end{pmatrix} 
    .\end{align*}
\end{aufgabe}

\end{document}