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\documentclass[uebung]{../../../lecture}

\usepackage{siunitx}

\begin{document}

\title{Theoretische Physik II: Übungsblatt 1}
\author{Christian Merten}

\begin{aufgabe}[Gravitative Lichtablenkung]
    \begin{enumerate}[a)]
        \item Die Lichtteilchen befinden sich offenbar auf ungebundenen Bahnen, da wir das Licht sehen können. Außerdem ist
            $E > 0$, also bewegen sich die Lichtteilchen auf einer Hyperbelbahn.
        \item $L = b m v_{\infty}$, mit $b = R = R_{\text{Sonne}}$ und $v_{\infty} = c$ folgt $L = Rmc$.
        \item $r(\varphi) = \frac{p}{1 + \epsilon \cos(\varphi)}$. Für $r \to \infty$ folgt
            $1 + \epsilon \cos \varphi \to 0$. Damit folgt
            $\overline{\varphi} = \arccos\left( -\frac{1}{\epsilon} \right) $.

            Für die numerische Exzentrizität gilt
            \[
            \epsilon
            = \sqrt{1 + \frac{2EL^2}{m \alpha^2}}
            = \sqrt{1 + \frac{c^4 R^2}{G^2M^2}}
            .\] $\epsilon$ ist also masseunabhänig.
            
            $\varphi_a = \overline{\varphi} \implies \varphi_e = \pi - \overline{\varphi}$.
        \item Mit (c) folgt $\vartheta = \varphi_a - \varphi_e = 2\overline{\varphi} - \pi$. Damit folgt
            \begin{align*}
                \vartheta &= 2\cdot \arccos\left( -\frac{1}{\sqrt{1 + \frac{c^4 R^2}{G^2M^2}}} \right) - \pi \\
                &= 2\cdot \arccos\left( -\frac{1}{\sqrt{1 + \frac{(\SI{3e8}{ms^{-1}})^4 (\SI{7e8}{m})^2}
                {(\SI{6.7e-11}{m^{3}kg^{-1}s^{-2}})^2(\SI{2e30}{kg})^2}}} \right) - \pi \\
                &= \ang{;;0.88}
            .\end{align*}
    \end{enumerate}
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe}[Freier Fall auf zwei Wegen]
    \begin{enumerate}[a)]
        \item Hier bezeichnen die Integrationskonstanten $v_0$ die Anfangsgeschwindigkeit und
            $h_0$ die Anfangshöhe.
            \begin{align*}
                \ddot{x}(t) &= -g \\
                \dot{x}(t) &= -gt + v_0 \\
                x(t) &= -\frac{1}{2} gt^2 + v_0t + h_0
            .\end{align*}
        \item Zunächst: Lösung der homogenen DGL $\ddot{x}(t) = 0$. Zu erwarten ist ein Fundamentalsystem
            von zwei linear unabhängigen Lösungen:
            \begin{align*}
                x_1(t) &= 1 \\
                x_2(t) &= t
            .\end{align*}
            Diese sind offensichtlich linear unabhängig. Eine partikuläre Lösung der inhomogenen Gleichung
            $\ddot{x}(t) = -g$ ist:
            \[
                x_p(t) = -\frac{1}{2} gt^2
            .\] 
            Damit erhalten wir die allgemeine Lösung:
            \begin{align*}
                x(t) &= A x_1(t) + B x_2(t) + x_p(t) \\
                     &= A + B t - \frac{1}{2} gt^2
            .\end{align*}
            Mit $A = h_0$ und $B = v_0$ folgt damit erneut:
            \begin{align*}
                x(t) = h_0 + v_0 t - \frac{1}{2} gt^2
            .\end{align*}
        \item Die allgemeinen Lösungen in a) und b) sind wie zu erwarten die gleichen. Durch das schrittweise
            Integrieren in a) müssen Integrationskonstanten hinzugefügt werden, um die Allgemeinheit der
            Lösung zu erhalten.

            Bei b) wird die Allgemeinheit durch die Linearkombination der zwei linear unabhängigen Lösungen
            $x_1$ und $x_2$ sicher gestellt.
    \end{enumerate}

    \begin{aufgabe}[Gekoppelte Wasserbecken]
        \begin{enumerate}[a)]
            \item Becken A: Der Wasserabfluss ist proportional zum Wasservolumen. $f_A$ ist der
                Proportionalitätsfaktor. Wegen $f_A < 0$ fließt das Wasser ab. Es handelt sich
                um eine homogene DGL.

                Becken B: Hier gibt es einen Wasserabfluss $-f_B V_B$, der proportional zum Wasservolumen ist.
                $f_B$ ist hier der Proportionalitätsfaktor. Zudem gibt es einen Zufluss $f_AV_A$, der dem
                Abfluss aus Becken A entspricht. Es handelt sich wegen $f_AV_A$ um eine inhomogene DGL.
            \item Im folgenden sei $f = f_A = f_B$. Dann folgt:
                \begin{align*}
                    \frac{\d V_A}{\d t} &= - f V_A \\
                    \frac{\d V_A}{V_A} &= -f \d t \\
                    \ln(\V_A) &= -ft + C \\
                    \intertext{Mit $V_{A,0} = e^{C}$ folgt}
                    V_A &= V_{A,0} e^{-ft}
                    \intertext{Für den homogenen Teil von $V_B$ folgt analog}
                    V_{B_{h}} &= V_{B,0} e^{-ft}
                .\end{align*}
            \item Durch Variation der Konstanten $V_{B,0} = B(t)$ folgt $V_B(t) = B(t)e^{-ft}$. Damit
                \begin{align*}
                    \dot{V}_B &= \dot{B}e^{-ft} - f B e^{-ft} = \dot{B}e^{-ft} - f V_B
                    \intertext{Durch Einsetzen in die Ausgangs DGL für B ergibt sich}
                    \dot{B}e^{-ft} - fV_B &= - f V_B + f V_A
                    \intertext{Mit $V_A = V_{A,0} e^{-ft}$ folgt}
                    \dot{B} &= f V_{A,0}e^{-ft + ft} = f V_{A,0}
                    \intertext{Durch Integration erhalten wir}
                    B &= f V_{A,0} t + C
                    \intertext{Mit $V_B(t = 0) = C \stackrel{!}{=}$ folgt $C = 0$. Damit folgt}
                    V_B(t) &= f V_{A,0}t \cdot e^{-ft}
                .\end{align*}
            \item Das Volumen von B steigt zunächst durch den großen Abfluss von A an. Für sehr kleine
                $t$ ist $e^{-ft} \approx 1$, das heißt der Anstieg kommt durch den linearen Teil $f V_{A,0} t$
                zustande. Je größer das Volumen von B, desto mehr fließt auch ab, deswegen wird dann ein
                Maximum erreicht, nach dem das Volumen monoton fällt.
        \end{enumerate}
    \end{aufgabe}
\end{aufgabe}

\end{document}