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\documentclass[uebung]{../../../lecture}

\title{Lineare Algebra I: Übungsblatt 8}
\author{Christian Merten, Mert Biyikli}

\begin{document}

\punkte

\begin{aufgabe}

\begin{enumerate}[(a)]
    \item Beh.: $\underline{w}$ ist eine Basis von $W = K[X]_{\le 3}$
        \begin{proof}
            Zz.: $\underline{w}$ ist linear unabhängig

            Seien $a, b, c, d \in K$ mit
            \begin{align*}
                a X^{0} + b (X^{0} + X^{1}) + c (X^{1} - X^{2} + X^{3} + d (X^{3} + X^{0}) &= 0 \\
                \implies X^{0}(a + b + d) + X^{1} (b + c) + X^{2} (-c) + X^{3}(c + d) = 0
            .\end{align*} Wegen $\underline{v}$ linear unabhängig, folgt:
            \begin{align*}
                c = 0 \implies d = 0 \implies b = 0 \implies a = 0
            .\end{align*}

            Zz.: $\underline{w}$ ist Erzeugendensystem

            Sei $v \in K[X]_{\le 3}$ beliebig, dann ex. $a, b, c, d \in K$ wegen $\underline{v}$ Basis
            s.d. $v = a X^{0} + b X^{1} + c X^{2} + d X^{3} $.

            Wähle nun $\alpha := a - b - 2c - d, \beta := b + c, \gamma := -c, \delta := c+d$.
            Damit folgt direkt:
                \begin{align*}
                    v &= \alpha X^{0} + \beta (X^{0} + x^{1}) + \gamma (X^{1} - X^{2} + X^{3}) +
                    \delta (X^{3} + X^{0}) \\
                      &= a X^{0} + b X^{1} + c X^{2} + d X^{3}
                .\end{align*}
            $\implies \underline{w}$ ist Basis
        \end{proof}
    \item Seien $\phi_{\underline{v}}\colon K^{4} \to K[X]_{\le 3}$ und
        $\phi_{\underline{w}}\colon K^{4} \to K[X]_{\le 3}$ die kanonischen Isomorphismen.
        \begin{enumerate}[(i)]
            \item 
                \[
                M_{\underline{v}}^{\underline{v}}(\partial) = A := 
                \begin{pmatrix}
                    0 & 1 & 0 & 0 \\
                    0 & 0 & 2 & 0 \\
                    0 & 0 & 0 & 3 \\
                    0 & 0 & 0 & 0 \\
                \end{pmatrix}
                .\] 
                \begin{proof}
                    Zu zeigen.: $F_{\underline{v}}^{\underline{v}}(A) = \partial$.

                    Zu überprüfen für die vier Basisvektoren von $K[X]_{\le 3}$ aus $\underline{v}$.

                    \[
                        F_{\underline{v}}^{\underline{v}}(A) =
                        \phi_{\underline{v}} \circ F_{4,4}(A) \circ \phi_{\underline{v}}^{-1}
                    .\] 
                    \begin{enumerate}
                        \item $v_1 = X_0$, $\phi_{\underline{v}}^{-1}(X^{0}) = (1, 0, 0, 0)$
                            \[
                \begin{pmatrix}
                    0 & 1 & 0 & 0 \\
                    0 & 0 & 2 & 0 \\
                    0 & 0 & 0 & 3 \\
                    0 & 0 & 0 & 0 \\
                \end{pmatrix} \cdot 
                \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} 
                            .\] 
                            $\implies \phi_{\underline{v}}(0, 0,0,0) = 0 = \partial(X_0)$
                        \item $v_2 = X_1$, $\phi_{\underline{v}}^{-1}(X^{1}) = (0, 1, 0, 0)$
                            \[
                \begin{pmatrix}
                    0 & 1 & 0 & 0 \\
                    0 & 0 & 2 & 0 \\
                    0 & 0 & 0 & 3 \\
                    0 & 0 & 0 & 0 \\
                \end{pmatrix} \cdot 
                \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} 
                            .\] 
                        $\implies \phi_{\underline{v}}(1, 0, 0, 0) = X^{0} = \partial(X_1)$
                        \item $v_3 = X_2$, $\phi_{\underline{v}}^{-1}(X^{2}) = (0, 0, 1, 0)$
                            \[
                \begin{pmatrix}
                    0 & 1 & 0 & 0 \\
                    0 & 0 & 2 & 0 \\
                    0 & 0 & 0 & 3 \\
                    0 & 0 & 0 & 0 \\
                \end{pmatrix} \cdot 
                \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} 
                            .\] 
                        $\implies \phi_{\underline{v}}(0, 2, 0, 0) = 2X^{1} = \partial(X_2)$
                        \item $v_4 = X_3$, $\phi_{\underline{v}}^{-1}(X^{3}) = (0, 0, 0, 1)$
                            \[
                \begin{pmatrix}
                    0 & 1 & 0 & 0 \\
                    0 & 0 & 2 & 0 \\
                    0 & 0 & 0 & 3 \\
                    0 & 0 & 0 & 0 \\
                \end{pmatrix} \cdot 
                \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} 
                            .\] 
                        $\implies \phi_{\underline{v}}(0, 0, 3, 0) = 3X^{2} = \partial(X_3)$
                    \end{enumerate}
                    $\implies F_{\underline{v}}^{\underline{v}}(A) = \partial$
                \end{proof}
            \item
                \[
                M_{\underline{w}}^{\underline{v}}(id_W) = A := 
                \begin{pmatrix}
                    1 & -1 & -2 & -1 \\
                    0 & 1 & 1 & 0 \\
                    0 & 0 & -1 & 0 \\
                    0 & 0 & 1 & 1 \\
                \end{pmatrix}
                .\] 
                \begin{proof}
                    Zu zeigen.: $F_{\underline{w}}^{\underline{v}}(A) = id$

                    Zu überprüfen für die vier Basisvektoren von $K[X]_{\le 3}$ aus $\underline{v}$.

                    \[
                        F_{\underline{w}}^{\underline{v}}(A) =
                        \phi_{\underline{w}} \circ F_{4,4}(A) \circ \phi_{\underline{v}}^{-1}
                    .\] 
                    \begin{enumerate}
                        \item $v_1 = X_0$, $\phi_{\underline{v}}^{-1}(X^{0}) = (1, 0, 0, 0)$
                            \[
                \begin{pmatrix}
                    1 & -1 & -2 & -1 \\
                    0 & 1 & 1 & 0 \\
                    0 & 0 & -1 & 0 \\
                    0 & 0 & 1 & 1 \\
                \end{pmatrix} \cdot
                \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} 
                            .\] 
                            $\implies \phi_{\underline{w}}(1, 0,0,0) = X^{0} = id_W(X^{0})$
                        \item $v_2 = X_1$, $\phi_{\underline{v}}^{-1}(X^{1}) = (0, 1, 0, 0)$
                            \[
                \begin{pmatrix}
                    1 & -1 & -2 & -1 \\
                    0 & 1 & 1 & 0 \\
                    0 & 0 & -1 & 0 \\
                    0 & 0 & 1 & 1 \\
                \end{pmatrix} \cdot 
                \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} 
                            .\] 
                        $\implies \phi_{\underline{w}}(-1, 1, 0, 0) = -X^{0} + X^{0} + X^{1} = X^{1} = id_W(X^{1})$
                        \item $v_3 = X_2$, $\phi_{\underline{v}}^{-1}(X^{2}) = (0, 0, 1, 0)$
                            \[
                \begin{pmatrix}
                    1 & -1 & -2 & -1 \\
                    0 & 1 & 1 & 0 \\
                    0 & 0 & -1 & 0 \\
                    0 & 0 & 1 & 1 \\
                \end{pmatrix} \cdot 
                \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} 
                            .\] 
                            $\implies \phi_{\underline{w}}(-2, 1, -1, 1) = -2X^{0} + X^{0} + X^{1} - X^{1} + X^{2} - X^{3} + X^{3} + X^{0} = X^{2} = id_W(X^{2})$
                        \item $v_4 = X_3$, $\phi_{\underline{v}}^{-1}(X^{3}) = (0, 0, 0, 1)$
                            \[
                \begin{pmatrix}
                    1 & -1 & -2 & -1 \\
                    0 & 1 & 1 & 0 \\
                    0 & 0 & -1 & 0 \\
                    0 & 0 & 1 & 1 \\
                \end{pmatrix} \cdot 
                \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} 
                            .\] 
                        $\implies \phi_{\underline{w}}(-1, 0, 0, 1) = -X^{0} + X^{3} + X^{0} = X^{3} = id_W(X^{3})$
                    \end{enumerate}
                    $\implies F_{\underline{w}}^{\underline{v}}(A) = id_W$
                \end{proof}
            \item 
                \[
                M_{\underline{v}}^{\underline{w}}(id_W) = A := 
                \begin{pmatrix}
                    1 & 1 & 0 & 1 \\
                    0 & 1 & 1 & 0 \\
                    0 & 0 & -1 & 0 \\
                    0 & 0 & 1 & 1 \\
                \end{pmatrix}
                .\] 
                \begin{proof}
                    Erfolgt analog zu (ii).
                \end{proof}
            \item
                \[
                M_{\underline{w}}^{\underline{w}}(\partial) = M_{\underline{w}}^{\underline{v}}(id_W) \cdot 
                M_{\underline{v}}^{\underline{v}}(\partial) \cdot M_{\underline{v}}^{\underline{w}}(id_W)= 
                \begin{pmatrix}
                    0 & 1 & -3 & -6 \\
                    0 & 0 & 1 & 3 \\
                    0 & 0 & -3 & -3 \\
                    0 & 0 & 3 & 3 \\
                \end{pmatrix}
                .\] 
            \item
                \[
                M_{\underline{w}}^{\underline{v}}(\partial) = M_{\underline{w}}^{\underline{v}}(id_W) \cdot 
                M_{\underline{v}}^{\underline{v}}(\partial) = 
                \begin{pmatrix}
                    0 & 1 & -2 & -6 \\
                    0 & 0 & 2 & 3 \\
                    0 & 0 & 0 & -3 \\
                    0 & 0 & 0 & 3 \\
                \end{pmatrix}
                .\] 
            \item
                \[
                M_{\underline{v}}^{\underline{w}}(\partial) = M_{\underline{v}}^{\underline{v}}(\partial) \cdot 
                M_{\underline{v}}^{\underline{w}}(id_W) = 
                \begin{pmatrix}
                    0 & 1 & 1 & 0 \\
                    0 & 0 & -2 & 0 \\
                    0 & 0 & 3 & 3 \\
                    0 & 0 & 0 & 0 \\
                \end{pmatrix}
                .\] 
        \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{aufgabe}

\begin{aufgabe} Seien $f\colon U \to V$ und $g\colon V \to W$ lineare Abbildungen
    zwischen endlich dimensionalen Vektorräumen.
    \begin{enumerate}[(a)]
        \item Beh.: $\text{dim } \text{ker}(g\circ f) \le \text{dim } \text{ker } g + \text{dim } \text{ker }f$
            \begin{proof}
                Schränke $g$ auf $\text{Bild}(f)$ ein durch $g'\colon \text{Bild}(f) \to W$ mit
                $v \mapsto g(v)$.
                \begin{align*}
                    \text{dim } \text{ker }(g \circ f) &= \text{dim } U - \text{dim}(\text{Bild}(g \circ f)) \\
                    &= \text{dim }U - \text{Rg}(g')\\
                    &= \text{Rg}(f) - \text{Rg}(g') + \text{dim }U - \text{Rg}(f) \\
                    &= \text{dim } \text{ker }g' + \text{dim } \text{ker }f \\
                    &\le \text{dim } \text{ker }g + \text{dim } \text{ker }f
                .\end{align*}
            \end{proof}
        \item Beh.: $\text{Rg}(f) - \text{Rg}(g \circ f) \le \text{dim } V - \text{Rg}(g)$
            \begin{proof}
                Aus (a) folgt:
                \begin{align*}
                    \text{dim } \text{ker}(g \circ f) &\le \text{dim } \text{ker}(g) + \text{dim } \text{ker}(f) \\
                    \implies \text{dim } U - \text{Rg}(g \circ f) &\le \text{dim } V - \text{Rg}(g) + \text{dim } U - \text{Rg}(f)  \\
                    \implies \text{Rg}(f) - \text{Rg}(g \circ f) &\le \text{dim } V - \text{Rg}(g) 
                .\end{align*}
            \end{proof}
        \item Beh.: Für $A \in M_{n, m}(K)$ und $B \in M_{l,n}(K)$ gilt
            $S\text{Rg}(A) - S\text{Rg}(B \cdot A) \le n - S\text{Rg}(B) $. 

            \begin{proof}
                Seien $A \in M_{n,m}(K)$ und $B \in M_{l,n}(K)$ beliebig, dann definiere
                $f := F_{n, m}(A)$ und $g := F_{l, n}(B)$. Damit folgt: $F_{m, l}(B \cdot A) = g \circ f$.

                Dann folgt aus (b) direkt:
                \[
                \text{Rg}(f) - \text{Rg}(g \circ f) \le \text{dim } K^{n} - \text{Rg}(g) 
                .\] Mit $\text{Rg}(f) = S\text{Rg}(A) $, $\text{Rg}(g) = S\text{Rg}(B) $ und
                $\text{Rg}(g \circ f) = S\text{Rg}(A\cdot B)$ ergibt sich
                \[
                S\text{Rg}(A) - S\text{Rg}(B \cdot A) \le n - S\text{Rg}(B)
                .\] 
            \end{proof}
    \end{enumerate}
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe} Sei $V$ ein Vektorraum, $U$ ein Untervektorraum und $W$ ein Komplement von $U$ in $V$.
    \begin{enumerate}[(a)]
        \item Beh.: Es existiert eine eindeutige lineare Abbildung $\pi\colon V \to V$, welche eingeschränkt
            auf $U$ die Identität und eingeschränkt auf $W$ konstant null ist.

            \begin{proof}
                Sei $(v_i)_{i\in I}$ Basis von $U$ und $(v_j)_{j \in J}$ mit $J \cap U = \emptyset$
                Basis von $W$.
                Damit ist $(v_i)_{i \in I \cup J}$ Basis von $V$. Definiere $\pi\colon V \to V$ linear mit
                \[
                    \pi(v_i) = \begin{cases}
                        v_i & \text{falls } i \in I \\
                        0 & \text{falls } i \in J
                    \end{cases}
                .\]

                Schränke nun $\pi$ auf $U$ ein: Dann ex. für alle $u \in U$ ein
                $(\alpha_i)_{i \in I} \in K^{(I)}$, s.d.
                $v = \sum_{i \in I} \alpha_i v_i$. Damit:
                \[
                    \pi(v) = \sum_{i \in I} \alpha_i \pi(v_i) = \sum_{i \in I} \alpha_i v_i = v
                .\]

                Schränke nun $\pi$ auf $W$ ein: Dann ex. für alle $w \in W$
                ein $(\alpha_j)_{j \in J} \in K^{(J)}$, s.d.
                $v = \sum_{i \in J} \alpha_j v_j$. Damit
                \[
                    \pi(v) = \sum_{j \in J} \alpha_j \pi(v_j) = 0
                .\] 

                $\pi$ ist eindeutig, da eindeutig durch die Basisvektoren definiert.
            \end{proof}
        \item Beh.: Für dieses $\pi$ gilt: $\pi \circ \pi = \pi$.
            \begin{proof}
                Seien die Basen wie in (a).
                Sei $v \in V$ beliebig. Dann ex. ein $(\alpha_i)_{i\in I} \in K^{(I)}$ und ein
                $(\beta_j)_{j\in J} \in K^{(J)}$, s.d.
                \[
                v = \sum_{i \in I} \alpha_i v_i + \sum_{j \in J} \beta_j v_j
                .\] Damit gilt
                \[
                    \pi(v) = \sum_{i \in I} \alpha_i \pi(v_i) + \sum_{j \in J} \beta_j \pi(v_j)
                    = \sum_{i \in I} \alpha_i v_i
                .\] $\implies$
                \[
                    \pi(\pi(v)) = \pi\left( \sum_{i \in I} \alpha_i v_i\right) =
                    \sum_{i \in I} \alpha_i v_i = \pi(v)
                .\] $\implies \pi = \pi \circ \pi$
            \end{proof}
        \item Beh.: Für $\pi : V \to V$ eine lineare Abbildung gilt
            \[
                V \stackrel{\sim }{=} \text{Bild}(\pi) \oplus \text{ker } \pi
            .\] 

            \begin{proof}
                Sei $U$ Komplement zu $\text{ker }\pi$ und $(u_i)_{i\in I}$ Basis von $U$.

                Wegen Homomorphiesatz gilt: $\text{Bild}(\pi) \stackrel{\sim }{=} V / \text{ker }(\pi)$.
                Nach Blatt 6 Aufg. 3c) gilt:
                $(u_i + \text{ker } \pi)_{i \in I}$
                ist Basis von $V / \text{ker }(\pi)$.

                Wegen $(u_i)_{i \in I}$ Basis von $U$, folgt also
                $V / \text{ker }(\pi) \stackrel{\sim }{=} U$.
                Damit:
                \[
                    \text{Bild}(\pi) \stackrel{\sim }{=} V / \text{ker }(\pi) \stackrel{\sim }{=} U
                .\] Da $U$ das Komplement zu $\text{ker }\pi$ ist, folgt
                daraus direkt:
                \[
                    \text{Bild}(\pi) \oplus \text{ker }\pi \stackrel{\sim }{=} U \oplus \text{ker }\pi
                    \stackrel{\sim }{=} V
                .\] 
            \end{proof}
    \end{enumerate}
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe}

\[
        A_1 := \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad
        A_2 := \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad
        A_3 := \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} 
.\] 
\begin{proof}
    Sei $\underline{e}$ die kanonische Basis des $V := \Q^{2}$.
    \begin{enumerate}
        \item Wähle $U = V$ und
            $W = \{0\} $ und wähle $\pi = id$ in der kanonischen Basis, damit
            gilt
            \[
            A_1 := M(\pi) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} 
            .\] 

            Die Eigenschaften sind für die Einheitsmatrix offensichtlich
            erfüllt.
        \item Wähle die Basis  $\underline{v} =\{(1, 1), (1, 0)\}$ und damit
            $U = \text{Lin}((1,1))$ und $W = \text{Lin}((1,0))$.

            Nun definiere $\pi: V \to V$ mit $\pi((1,1)) = (1,1)$ und
            $\pi((1,0)) = (0,0)$. Die Darstellungsmatrix von $\underline{v}$
            nach  $\underline{e}$ ergibt sich damit durch:
             \[
                 A_2 := M_{\underline{e}}^{\underline{v}} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}
            .\]
            \[
                A_2 \cdot A_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} 
                \cdot \begin{pmatrix}  1 & 0 \\ 1 & 0\end{pmatrix} 
                = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}  = A_2
            .\] \[
            A_2 \cdot (1,1)^{t} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} 
            \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} 
            = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}  = (1,1)^{t}
            .\]  
        \item Wähle die Basis  $\underline{v} =\{(0, 1), (1, 1)\}$ und damit
            $U = \text{Lin}((1,1))$ und $W = \text{Lin}((0,1))$.

            Nun definiere $\pi: V \to V$ mit $\pi((1,1)) = (1,1)$ und
            $\pi((0,1)) = (0,0)$. Die Darstellungsmatrix von $\underline{v}$
            nach  $\underline{e}$ ergibt sich damit durch:
             \[
                 A_3 := M_{\underline{e}}^{\underline{v}} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
            \]
            \[
                A_3 \cdot A_3 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} 
                \cdot \begin{pmatrix}  0 & 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix} 
                = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}  = A_3
            .\]
            \[
            A_3 \cdot (1,1)^{t} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} 
            \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} 
            = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}  = (1,1)^{t}
            .\] 
    \end{enumerate}
\end{proof}

\end{aufgabe}

\end{document}