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\documentclass[uebung]{../../../lecture}
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\title{Theo II: Übungsblatt 5}
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\author{Christian Merten}
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\usepackage[]{bbm}
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\begin{document}
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\punkte
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\begin{aufgabe}[]
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\begin{enumerate}[a)]
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\item Die potentielle Energie ist gegeben als $mgz$, mit $z = R \cos \vartheta$ folgt also
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$m g R \cos \vartheta$.
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Im mitrotierten Bezugssystem (gestrichene Koordinaten) ist
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\[
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\vec{x}' = R \begin{pmatrix} \sin\vartheta \\ 0 \\ \cos\vartheta \end{pmatrix}
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.\] Daraus ergibt sich im Laborsystem mit einer Drehmatrix $S$
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\[
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\vec{x} = S \vec{x}'
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.\] Die Geschwindigkeit ist damit gegeben als
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\[
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\dot{\vec{x}}' = S \left( \dot{\vec{x}}' + \vec{\omega} \times \vec{x}' \right)
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.\] Also folgt mit $\vec{w} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \omega \end{pmatrix}$
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und wegen $S^{T}S = \mathbbm{1}_3$:
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\[
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\dot{\vec{x}}^2 = R^2 (\dot{\vartheta}^2 + \omega^2 \sin^2\vartheta)
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.\] Damit folgt die Lagrangefunktion.
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\item Für den kanonisch konjugierten Impuls gilt
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\begin{align*}
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\frac{\partial L}{\partial \dot{\vartheta}}
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&= M R^2 \dot{\vartheta} =: p_{\vartheta} \\
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\intertext{Damit folgt die Hamilton Funktion}
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H &= \frac{p_{\vartheta}^2}{mR^2} - L \\
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&= \frac{p_{\vartheta}^2}{mR^2}
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- \frac{1}{2} mR^2 (\dot{\vartheta}^2 + \omega^2\sin^2\vartheta) + mg R \cos\vartheta \\
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&= \frac{p_{\vartheta}^2}{2mR^2} - \frac{1}{2} R^2 \omega^2 \sin^2\vartheta + mgR\cos\vartheta
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.\end{align*}
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\item Es liegt hier zwar ein Potential vor, allerdings ist
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die kinetische Energie des Systems gegeben als
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\[
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T = \frac{m}{2}R^2(\dot{\vartheta}^2 + \omega^2 \sin^2\vartheta)
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.\] Diese ist nicht homogen vom Grad $2$ in $\dot{\vartheta}$, also ist die
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Hamiltonfunktion nicht gleich der Gesamtenergie. Das liegt
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an der zeitabhängigen Zwangsbedingung.
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Wegen $\frac{\partial H}{\partial t} = 0$ ist die Hamilton Funktion zeitlich
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erhalten. Da die Zwangskräfte von der Zeit abhängen, ist das
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System nicht invariant gegenüber Zeittranslation, also ist die Energie nicht
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erhalten.
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\item Für die kanonischen Gleichungen folgt
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\begin{align*}
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\frac{\partial H}{\partial p_{\vartheta}} &= \frac{2 p_{\vartheta}}{mR^2} - \frac{p_{\vartheta}}{mR^2}
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= \frac{p_{\vartheta}}{mR^2} = \dot{\vartheta} \\
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\frac{\partial H}{\partial \vartheta} &= mR^2 \omega^2 \sin\vartheta \cos \vartheta + mg R \sin\vartheta
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= mR\sin\vartheta(R\omega^2 \cos\vartheta + g) = \dot{p}_{\vartheta}
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.\end{align*}
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\item
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Für stationäre Lösungen gilt $\dot{\vartheta} = 0$, also $p_{\vartheta} = 0$, damit folgt
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\begin{align*}
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mR \sin\vartheta (R \omega^2 \cos \vartheta +g ) &= 0
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.\end{align*}
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Als stationäre Lösungen folgen damit $\vartheta_1 = 0$ und $\vartheta_2 = \pi$, denn dann ist
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$\sin\vartheta = 0$. Für $\vartheta_3 = \frac{\pi}{2}$, folgt $mRg = 0$, dies ist also
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nur möglich, falls Masse oder Radius 0 sind.
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Für $R \neq 0$, $m \neq 0$, $\sin\vartheta \neq 0$ und $\omega \neq 0$ folgt
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\begin{align*}
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\underbrace{\sin\vartheta}_{\neq 0}(R \omega^2 \cos\vartheta + g) &= 0 \\
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\implies R \omega^2 \cos\vartheta + g &= 0 \\
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\implies \vartheta &= \arccos \left( -\frac{g}{R\omega^2} \right)
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.\end{align*}
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Wie zu erwarten ist $\vartheta \xrightarrow{\omega \to \infty} \frac{\pi}{2}$.
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\end{enumerate}
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\end{aufgabe}
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\begin{aufgabe}
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\begin{enumerate}[a)]
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\item Für Lagrange- und Hamiltonfunktion ist
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\begin{align*}
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L &= T - V = \frac{m}{2} \dot{q}^2 - \frac{m}{2} \omega^2 q^2 = \frac{m}{2}
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(\dot{q}^2 + \omega^2q^2) \\
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H &= \dot{q}p - L = \frac{p^2}{m} - \frac{m}{2}\left( \frac{p^2}{m^2} - \omega^2 q^2 \right)
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.\end{align*}
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\item Die kanonischen Gleichungen sind
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\begin{align*}
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\frac{\partial H}{\partial p} &= \frac{p}{m} = \dot{q} \\
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\frac{\partial H}{\partial q} &= m \omega^2 q = - \dot{p}
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\intertext{In Matrixschreibweise folgt also}
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\dot{\vec{y}} &= \underbrace{\begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{m} \\ -m\omega^2 & 0 \end{pmatrix}}
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_{=: A}
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\begin{pmatrix} q \\ p \end{pmatrix}
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\intertext{Als Lösung folgt}
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\vec{y} &= e^{At} \vec{y_0} \\
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&= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(At)^{k}}{k!} \vec{y_0}
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\intertext{Mit $A^{2k} = (-1)^{k} \begin{pmatrix} \omega & 0 \\ 0 & \omega \end{pmatrix}^{2k}$
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und $A^{2k+1} = A^{2k} \cdot A = (-1)^{k} \begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{\omega m} \\
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- m \omega & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \omega & 0 \\ 0 & \omega \end{pmatrix}^{2k+1}$
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folgt}
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\vec{y} &= \left(\sum_{k=0}^{\infty} (-1)^{k} \frac{(\omega t \mathbbm{1}_2)^{2k}}{(2k)!}
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+ \begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{\omega m} \\ - m \omega & 0 \end{pmatrix}
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\sum_{k=0}^{\infty} (-1)^{k} \frac{(\omega t \mathbbm{1}_2)^{2k+1}}{(2k+1)!} \right)
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\vec{y}_0 \\
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&= \left( \cos(\omega t) + \begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{\omega m} \\ -m\omega & 0 \end{pmatrix}
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\sin(\omega t) \right) \vec{y_0}
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\intertext{Damit folgt}
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q &= q_0 \cos(\omega t) + \frac{p_0}{\omega m} \sin(\omega t) \\
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p &= p_0 \cos(\omega t) - m\omega q_0 \sin(\omega t)
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.\end{align*}
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\end{enumerate}
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\end{aufgabe}
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\begin{aufgabe}[]
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\begin{enumerate}[a)]
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\item Ansatz: $q(r,t) = R(r) T(t)$. Damit folgt
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\begin{align*}
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&\frac{\partial^2 q}{\partial t^2} - v^2 \Delta_{(n)} q = 0 \\
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\implies & R \frac{\d[2]T}{\d t^2} - v^2T \Delta_{(n)} R = 0 \\
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\implies & \frac{1}{T} \frac{\d[2] T}{\d t^2} = \text{konst.} =
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\frac{v^2}{R} \Delta_{(n)} R =: -c
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.\end{align*}
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Damit folgt für $T$:
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\[
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\frac{\d[2]T}{\d t^2} + cT = 0
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.\] Für $n = 2$ gilt für $R$:
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\begin{align*}
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&\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r}\left( r \frac{\partial R}{\partial r} \right)
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+ \frac{1}{r^2} \underbrace{\frac{\partial^2 R}{\partial \varphi^2}}_{= 0}
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+ \frac{c}{v^2} R = 0 \\
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\implies &\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r}\left( r \frac{\partial R}{\partial r} \right)
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+ \frac{c}{v^2}R = 0
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.\end{align*}
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Für $n = 3$ folgt analog
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\begin{align*}
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\frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r}\left( r^2 \frac{\partial R}{\partial r} \right)
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+ \frac{c}{v^2}R = 0
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.\end{align*}
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\item Sei $c > 0$ und $\omega^2 = c$. Ansatz: $R(r) = \frac{\tilde{R}(r)}{r}$.
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Aus der DGL für $R$ folgt
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\begin{align*}
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&\frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \frac{r \frac{\partial \tilde R}{\partial r} - \tilde{R}}{r^2} \right) + \frac{\omega^2}{v^2} \frac{\tilde R }{r} = 0 \\
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\implies &\frac{1}{r} \left( \frac{\partial^2 \tilde R}{\partial r}
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+ \frac{\omega^2}{v^2} \tilde R \right) = 0 \\
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\implies & \frac{\partial^2 \tilde R}{\partial r^2} + \frac{\omega^2}{v^2} \tilde R = 0 \\
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\implies & \tilde{R} = A \sin\left( \frac{\omega}{v}r \right) + B \cos\left( \frac{\omega}{v}r \right) \\
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\implies & R = \frac{A \sin\left( \frac{\omega}{v}r \right) + B \cos\left( \frac{\omega}{v}r \right)}{r}
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\intertext{Mit der Vorraussetzung $R$ bei $r=0$ stetig folgt $B=0$:}
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&R = \frac{A}{r} \sin \left( \frac{\omega}{v}r \right)
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.\end{align*}
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Damit folgt
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\[
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q = T \cdot R = \frac{A_0}{r} \cos(\omega t - \delta) \sin\left(\frac{\omega}{v} r\right)
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.\]
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\end{enumerate}
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\end{aufgabe}
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\begin{aufgabe}[Verständnisfragen]
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\begin{enumerate}[a)]
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\item Die Hamilton-Funktion ist definiert als
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\[
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H(q, p) = \dot{q}_i p_i - L
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.\] und ist, falls die Kräfte Potentialkräfte sind und nur
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zeitunabhängige Zwangsbedingungen vorliegen, gleich der Gesamtenergie des Systems.
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Die kanonischen Gleichungen sind DGL 1. Ordnung, die die Bewegung des Systems im Phasenraum
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beschreiben.
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\item Wenn von $N$-Massepunkten zu einem kontinuierlichen System übergegangen wird,
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geht die Lagrange-Funktion in ein räumliches Integral über eine Lagrange-Dichte über.
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\[
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L \to L(q, \dot{q}) = \int_{0}^{l} \text{Lagrange-Dichte} \d x
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.\] Die Wirkung ist das Zeitintegral über eine Lagrangefunktion.
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\item Die d'Alembertsche Gleichung ist eine homogene partielle Differentialgleichung
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zweiter Ordnung. ,,Zweite Zeitableitung $-$ charakteristische Geschwindigkeit zum Quadrat
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mal zweite Ortsableitung gleich 0``.
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\[
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\frac{\partial^2 q}{\partial t^2} - \sum_{i=1}^{N} v^2 \frac{\partial^2 q}{\partial x_i^2} = 0
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.\] Allgemein ist die Lösung für zwei beliebige, zweifach differenzierbare
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Funktionen $g$ und $h$ gegeben als
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\[
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q(x, t) = g(x + vt) + h(x - vt)
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,\] also eine Überlagerung zweier Wellen, wobei $g$ rück- und $h$ vorläufig ist. D.h.
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die Funktionen müssen sich jeweils mit der charakteristischen Geschwindigkeit verschieben.
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\end{enumerate}
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\end{aufgabe}
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\end{document}
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