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\documentclass{lecture}

\begin{document}
\section{Grundlagen}

\subsection{Abbildungen}

Die Gesamtheit aller Abbildungen einer Menge $M$ in eine Menge $N$ ist wieder eine Menge und wird mit $Abb(M, N)$ bezeichnet.

\begin{definition}[]
    Seien $M$, $N$, $K$ Mengen
    und $f: M \to N$, $g: N \to K$. Die Abb $g \circ f: M \to K, m \mapsto g(f(m))$
    heißt die Komposition von f und g. Die Komposition kann man auch als
    Mengenabbildung auffassen:
    \[
        \circ: Abb(M, N) \times Abb(N, K) \to Abb(M, K)
    \] 
    \[
        (f, g) \mapsto g \circ f
    .\] 
\end{definition}

\begin{lemma}[]
    Seien $I$ und $M$ Mengen und es sei: $(M_{i})_{i \in  I}$ die
    Familie von (immergleichen) Mengen $M_{i} = M$ indiziert
    über $i \in I$. Dann existiert eine natürliche Bijektion
    \[
        \Phi: Abb(I, M) \to^{\thicksim} \prod_{}^{} (M_{i})_{i \in I} (= M^I)
    .\] 
\end{lemma}
\begin{proof}
    rechts: Tupel $(m_{i})_{i \in I}, m_{i} \in M_{i} = M$
    links: Abbildung $f: I \to M$.
    Eine solche Abbildung ist dadurch gegeben, dass man jedem $i \in  I$
    ein $m_{i} = f(i) \in M$ zuordnet. Wir definieren $\Phi$ durch die
    Zuordnung:
    \[
    \Phi: f \in Abb(I, M) \mapsto (f(i))_{i \in I} \in \prod_{}^{} (M_{i})_{i \in I}
    .\] 
    Da die Abb. $f$ durch ihre Werte $f(i) \in M, i \in I$, gegeben ist,
    ist $\Phi$ injektiv.

    Ist umgekehrt $(m_{i}) \in \prod M_{i}$ gegeben, so ist die Abbildung
    $f: I \to M, i \mapsto m_{i} \in M$ ein Urbild unter $\Phi$. Daher
    ist $\Phi$ surjektiv.
\end{proof}

\section{Gruppen, Ringe, Körper}

\subsection{Gruppen}

\begin{definition}[Verknüpfung]
    Eine (binäre) Verknüpfung auf einer Menge $M$ ist eine Abbildung:
    \[
    *: M \times M \to M
    .\] 
\end{definition}

\begin{definition}[Gruppe]
    Eine Gruppe $(G, *, e)$ ist eine Menge $G$ mit einer Verknüfung $*$ und
    einem (ausgezeichneten) Element $e \in G$, so dass:
    \begin{enumerate}
        \item $g*(h*k) = (g*h*)*k$ $\forall g,h,k \in G$ (Assoziativität)
        \item $e * g = g$ $\forall g \in G$ ((Links)neutrales Element)
        \item $\forall g \in G$: $\exists h \in G$: $h * g = e$ (Linksinverses)
    \end{enumerate}
    Eine Gruppe heißt kommutativ oder abelsch wenn zusätzlich gilt:
    \begin{enumerate}
        \item $g * h = h * g$ $\forall g, h \in G$
    \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{bsp}[]
    \begin{enumerate}
        \item $(\Z, +, 0)$ ist abelsche Gruppe
        \item $(\Q, +, 0)$, $(\R, +, 0)$, $(\C, +, 0)$ sind abelsche Gruppen.
        \item $(\Q \setminus{\{0\}}, \cdot, 1)$ ist eine abelsche Gruppe
        \item $(\R_{>0}, \cdot, 1)$ ist abelsche Gruppe
    \end{enumerate}
\end{bsp}

\begin{bem}[]
    Menge der Restklassen:
    \[
    \{\overline{0}, \overline{1}, \ldots, \overline{n-1}\} = \Z / n\Z 
    .\] 
    $(\Z / n\Z, +, \overline{0})$ ist eine abelsche Gruppe.
    Wie ist die Summe von Restklassen definiert?

    Seien $A, B \in \Z / n\Z$. Vorschrift für ,,+''.
    \begin{enumerate}
        \item Wähle ,,Vertreter'' $a,b \in \Z$ von $A,B$, d.h. $a \in A$,
            $b \in B$.
        \item bilde $a+b$ in $\Z$
        \item $A+B =^{def} \overline{a+b}$, d.h. die Restklasse zu der
            $a+b$ gehört.
    \end{enumerate}
    Damit diese Definition widerspruchsfrei ist (Sprich: ,,+''
    ist \textit{wohldefiniert}) muss man nachweisen, dass das Ergebnis nicht
    von der Auswahl im ersten Schritt abhängt.
\end{bem}

\begin{bsp}[]
    Die symmetrische Gruppe $O_{n}$
    \[
        O_{n} := \text{die Menge aller bijektiven Abb.}\\
    \pi: \{1, \ldots, n\} \to \{1, \ldots, n\} 
    .\] 
    (sogennante Permutationen)

    $* = \circ$ Komposition von Abbildungen\\
    $e = id_{\{1, \ldots, n\}}$\\
    Wir schreiben Permutationen in der Form:
    \[
        \pi =
        \begin{pmatrix}
            1 & 2 & 3 & \ldots & n \\
            \pi(1) & \pi(2) & \pi(3) & \ldots & \pi(n)
        \end{pmatrix} 
    .\] 
    Elementare Kombinationen: $n$ Möglichkeiten für $\pi(1)$, $(n-1)$
    Möglichkeiten, für $\pi(2)\ldots$, 1 Möglichkeit für $\pi(n)$.
    \[
        \#O_{n} = n! \text{ (Fakultät)}
    .\] 
    Verifikation der Gruppenaxiome
    \begin{enumerate}
        \item $g*(h*k) = g \circ (h \circ k) = (g \circ h) \circ k = (g * h) * k$
        \item $e * g = id * g = g$
        \item Sei g eine Permutation und $h = g^{-1}$ die Umkehrabbildung.
            Dann gilt $h*g = g^{-1} \circ g = id = e$.
    \end{enumerate}
    Für $n \ge 3$ ist $\sigma_{n}$ nicht kommutativ.
    \[
        \begin{pmatrix} 
            1 & 2 & 3 & 4 & \ldots \\
            2 & 1 & 3 & 4 & \ldots
        \end{pmatrix} 
        \circ
        \begin{pmatrix}
            1 & 2 & 3 & 4 & \ldots \\
            1 & 3 & 2 & 4 & \ldots
        \end{pmatrix} 
        =
        \begin{pmatrix}
            1 & 2 & 3 & 4 & \ldots \\
            2 & 3 & 1 & 4 & \ldots
        \end{pmatrix} 
    .\] 
    \[
    \begin{pmatrix} 
        1 & 2 & 3 & 4 & \ldots \\
        1 & 3 & 2 & 4 & \ldots
    \end{pmatrix} 
    \circ
    \begin{pmatrix}
        1 & 2 & 3 & 4 & \ldots \\
        2 & 1 & 3 & 4 & \ldots
    \end{pmatrix} 
    =
    \begin{pmatrix}
        1 & 2 & 3 & 4 & \ldots \\
        3 & 1 & 2 & 4 & \ldots
    \end{pmatrix} 
    .\] 

\end{bsp}

\begin{satz}[]
    Sei $G = (G, *, e)$ eine Gruppe. Dann gilt für alle $g, h, k \in G$.
    \begin{enumerate}
        \item $g * h = g * k \implies h = k$ (Linkskürzung)
        \item $g * h = k * h \implies g = k$ (Rechtskürzung)
        \item $g * e = g$ (das (links)neutrale Element ist auch rechtsneutral)
        \item aus $g*h=g$ oder $h*g=g$ für ein einziges $g\in G$, so folgt $h=e$
        \item $\forall g \in G$: existiert ein eindeutig bestimmtes Element
            $g^{-1} \in G$ mit $g^{-1} * g = e = g * g^{-1}$.
        \item Aus $h * g = e$ oder $g*h=e$ folgt $h=g^{-1}$.
        \item $\left(g^{-1}\right)^{-1} = g$ $\forall g \in G$
    \end{enumerate}
\end{satz}

\begin{proof}[Beweis 1]
    Sei $g * h = g * k$.
    
    Nach (G3) $\exists s \in G$, sodass $s * g = e$.
    Daher gilt $s*(g*h) = (s*g)*h = e*h = k$.\\
    Analog: $s*(g*k) = (s*g)*k = e*k = k$
    Daraus folgt: $h = k$.
\end{proof}

\begin{proof}[Beweis 3]
    Nach (G3) existiert $h\in G$ und $h*g=e$.

    Es folgt $h*(g*e)=(h*g)*e=e*e=e=h*g$\\
    Nach (1) folgt $g*e=g$
\end{proof}

\begin{proof}[Beweis 5, Existenz]
    Sei $h\in G$ mit $h*g = e$ (ex. nach G3) 

    $h*(g*h) = (h*g)*h = e * h = h = h * e$\\
    Durch Linkskürzung erhalten wir $g * h = e$.
\end{proof}

\begin{proof}[Beweis 2]
    Sei $g*k=h*k$. Sei $s \in G$ so dass $k*s=e$ (existenz nach 5).

    $\implies (g*k)*s = g*(k*s) = g*e = g$, analog\\
    $\implies (h*k) * s = h*(k*s) = h*e = h$\\
    Daraus folgt $g = h$.
\end{proof}

\begin{proof}[Beweis 4]
    $g * h = g = g * e \implies h = e$, analog\\
    $h*g = g = e*g \implies h=e$
\end{proof}

\begin{proof}[Beweis 5 Eindeutigkeit und 6]
    Seien $h, h' \in G$ mit $h*g=e=h'*g$ Nach Rechtskürzung folgt
    $h = h'$. Daher ist $g^{-1} eindeutig$. Sei $h \in G$ mit
    $g * h = e$. Wegen $g^{-1}*g = e$ folgt mit Linkskürzung, dass $h = g^{-1}$.
\end{proof}

\begin{proof}[Beweis 7]
    aus $g * g^{-1} = e$ folgt $\left(g^{-1}\right)^{-1} = g$
\end{proof}

\begin{bem}[]
    $g, h \in  G$, so gilt $(g * h)^{-1} = h^{-1} * g^{-1}$\\
    Grund: $(h^{-1} * g^{-1}) * (g *h) = h^{-1} * (g*g^{-1}) * h = h^{-1}* e * h = h * h^{-1} = e.$
\end{bem}
\end{document}