uni/sose2022/bachelorarbeit/arbeit.tex

\documentclass{arbeit}

\author{Christian Merten}
\title{Auflösung unbeschränkter Komplexe}
\usepackage{tikz-cd}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{hyperref}

\newcommand{\com}[1]{#1^{\bullet}}
\newcommand{\K}{\mathcal{K}}
\newcommand{\colim}{\underset{\longrightarrow}{\text{colim }}}
\renewcommand{\lim}{\underset{\longleftarrow}{\text{lim }}}
\newcommand{\final}[1]{\underset{\rightarrow}{#1}}

\begin{document}

\maketitle

\section{Einleitung}

\section{Grundlagen}

\subsection{Triangulierte Kategorien}

\begin{definition}[Triangulierte Kategorie]
    Eine triangulierte Kategorie ist eine additive Kategorie $\mathcal{C}$ mit
    \begin{enumerate}[(a)]
        \item einem Kategorienautomorphismus $T\colon \mathcal{C} \to \mathcal{C}$, dem Verschiebefunktor, und
        \item einer Klasse von Sextupeln $(A, B, C, u, v, w)$, den ausgezeichneten Dreiecken von $\mathcal{C}$, wobei
            $A, B, C \in \mathcal{T}$ und $u\colon A \to B$, $v\colon B \to C$, $w\colon C \to T(A)$.
    \end{enumerate}
    Ein Morphismus von ausgezeichneten Dreiecken
    $(A, B, C, u, v, w) \to (A', B', C', u', v', w')$ ist ein kommutatives Diagramm
    \[
    \begin{tikzcd}
        A \arrow{r}{u} \arrow{d} & B \arrow{r}{v} \arrow{d} & C \arrow{r}{w} \arrow{d} & T(A) \arrow{d} \\
        A' \arrow{r}{u'} & B' \arrow{r}{v'} & C' \arrow{r}{w'} & T(A) \\
    \end{tikzcd}
    .\] 
    Weiter unterliegen diese Daten den folgenden Axiomen:
    \begin{enumerate}[(TR1), leftmargin=14mm]
        \item Jedes zu einem ausgezeichneten Dreieck
            isomorphe Sextupel $(A, B, C, u, v, w)$ wie oben, ist ein ausgezeichnetes Dreieck. Jeder
            Morphismus $u\colon A \to B$ kann in ein ausgezeichnetes Dreieck $(A, B, C, u, v, w)$ eingebettet werden
            und das Sextupel $(A, A, 0, \text{id}_A, 0, 0)$ ist ein ausgezeichnetes Dreieck für alle $A \in \mathcal{C}$.
        \item $(A, B, C, u, v, w)$ ist ein ausgezeichnetes Dreieck genau dann wenn $(B, C, T(A), v, w, -T(u))$ ein
            ausgezeichnetes Dreieck ist.
        \item Für zwei ausgezeichnete Dreiecke $(A, B, C, u, v, w)$ und $(A', B', C', u', v', w')$, und
            Morphismen $f\colon X \to X'$, $g\colon Y \to Y'$, die mit $u$ und $u'$ kommutieren, existiert
            ein nicht notwendig eindeutiger Morphismus $h\colon Z \to Z'$, so dass $(f, g, h)$ ein Morphismus
            von ausgezeichneten Dreiecken ist.
    \end{enumerate}
    \label{TR2}
\end{definition}

\begin{bem}
    Streng genommen ist die hier definierte Triangulierte Kategorie nur eine Pretriangulierte Kategorie. Für
    eine vollständig triangulierte Kategorie fehlt noch das Oktaheder Axiom, das wir im Folgenden jedoch nicht benötigen.
\end{bem}

\begin{definition}[Triangulierter Funktor]
    Ein additiver (kovarianter) Funktor $F\colon \mathcal{T} \to \mathcal{S}$ zwischen triangulierten Kategorien
    heißt trianguliert, wenn er ausgezeichnete Dreiecke in ausgezeichnete Dreiecke überführt und mit dem
    Verschiebefunktor kommutiert.
\end{definition}

\begin{definition}[Kohomologischer Funktor]
    Ein additiver (kovarianter) Funktor $H\colon \mathcal{T} \to \mathcal{A}$ von einer triangulierten Kategorie
    in eine abelsche Kategorie heißt (kovarianter) kohomologischer Funktor, wenn für jedes
    ausgezeichnete Dreieck $(X, Y, Z, u, v, w)$ von $\mathcal{T}$ die lange Folge
    \[
    \begin{tikzcd}
        \cdots \arrow{r} & H(T^{i}(X)) \arrow{r} & H(T^{i}Y) \arrow{r} & H(T^{i}Z) \arrow{r} & H(T^{i+1}X) \arrow{r}
        & \cdots
    \end{tikzcd}
    \] exakt ist. Wenn $H$ ein kohomologischer Funktor ist, dann schreiben wir auch $H^{i}(X)$ für $H(T^{i}(X))$
    für $i \in \Z$.
\end{definition}

\begin{lemma}
    Sei $\mathcal{T}$ eine triangulierte Kategorie und $A \in \mathcal{T}$.
    Dann sind $\text{Mor}_{\mathcal{T}}(A, -)$ und $\text{Mor}_{\mathcal{T}}(-, A)$ kohomologische Funktoren.
    \label{hom-cohom-func}
\end{lemma}

\subsection{Homotopiekategorie}

Das kanonische Beispiel für eine triangulierte Kategorie ist die Homotopiekategorie einer additiven Kategorie.

\begin{definition}[Homotopiekategorie]
    Sei $\mathcal{C}$ eine additive Kategorie. Dann bezeichne $\mathcal{K}om(\mathcal{C})$ die
    Kategorie der Komplexe mit Objekten aus $\mathcal{C}$ mit Komplexhomomorphismen als Morphismen.
    Bezeichne mit $\mathcal{K}(\mathcal{C})$ weiter die Homotopiekategorie mit den selben Objekten wie
    $\mathcal{K}om(\mathcal{C})$ und mit Komplexhomomorphismen modulo Homotopie als Morphismen.
\end{definition}

\begin{definition}[Abbildungskegel]
    Seien $\com{A}, \com{B} \in \mathcal{K}$ zwei Komplexe und $f\colon \com{A} \to \com{B}$ ein
    Komplexhomomorphismus. Dann sei der Abbildungskegel $\com{C}_f$ definiert durch
    \[
    C_f^{n} = A^{n+1} \oplus B^{n}
    \] mit Differential
    \[
    d_{\com{C}_f} = \begin{pmatrix} 
        d_{\com{A}[1]} & 0 \\
        f[1] & d_{\com{B} }
    \end{pmatrix} 
    .\]
\end{definition}

\begin{satz}[Homotopiekategorie ist trianguliert]
    Sei $\mathcal{C}$ eine additive Kategorie. Dann ist die Homotopiekategorie $\mathcal{K}(\mathcal{C})$
    mit den folgenden Daten trianguliert:
    \begin{enumerate}[(a)]
        \item Der Verschiebefunktor $T\colon \mathcal{K}(\mathcal{C}) \to \mathcal{K}(\mathcal{C})$
            ist gegeben durch
            \[
                T(\com{A})^{i} = A^{i+1} \text{ und }d_{T(\com{A} )} = - d_{\com{A}}
            .\] 
        \item Ein Sextupel wie in \ref{TR2}
            $(\com{X}, \com{Y}, \com{Z}, u, v, w)$ in $\mathcal{K}(\mathcal{C})$
            ist ein ausgezeichnetes Dreieck
            genau dann wenn
            es im Sinne von ausgezeichneten Dreiecken isomorph ist zu einem Sextupel der Form
            $(\com{X}, \com{Y}, \com{C_{u}}, f, i, p)$, wobei $f\colon \com{X} \to \com{Y} $ ein Morphismus
            in $\mathcal{K}(\mathcal{C})$ ist und $i\colon \com{B} \to  \com{C_{f}}$,
            $p\colon \com{C}_{f} \to \com{C}$ die kanonischen Morphismen sind.
    \end{enumerate}
\end{satz}

Sei nun $\mathcal{A}$ eine abelsche Kategorie und $\mathcal{K} = \mathcal{K}(\mathcal{A})$ die Homotopiekategorie.

\begin{lemma}
    Der Funktor $H\colon \mathcal{K} \to \mathcal{A}b$ der einen Komplex $\com{A}$
    auf seine nullte Kohomologiegruppe abbildet, ist ein kohomologischer Funktor.
\end{lemma}

Daraus erhalten wir insbesondere folgendes Kriterium, ob ein Komplexhomomorphismus ein Quasiisomorphismus ist:

\begin{lemma}[]
    Seien $\com{A}, \com{B} \in \mathcal{K}$ und $f\colon \com{A} \to \com{B} $ ein Komplexhomomorphismus.
    Dann ist $f$ ein Quasiisomorphismus genau dann wenn $\com{C}_f$ exakt ist.
    \label{mapping-cone-exact-for-qis}
\end{lemma}

\begin{proof}
    Es ist $(\com{A}, \com{B}, \com{C}_f, f, i, p)$ ein ausgezeichnetes Dreieck in $\mathcal{K}$ mit
    $i\colon \com{B} \to \com{C}_f$ und $p\colon \com{C}_f \to \com{A}[1]$ die natürlichen Abbildungen. Also
    erhalten wir für $i \in \Z$ eine exakte Folge
    \[
        \begin{tikzcd}
            H^{i-1}(\com{C}_f) \arrow{r}
            & H^{i}(\com{A}) \arrow{r}{H^{i}(f)}
            & H^{i}(\com{B}) \arrow{r}
            & H^{i}(\com{C}_f) \arrow{r}
            & H^{i+1}(\com{A}) \arrow{r}{H^{i+1}(f)}
            & H^{i+1}(\com{B})
        \end{tikzcd}
    .\] Die Exaktheit liefert nun die Äquivalenz.
\end{proof}


\subsection{Lokalisierung von Kategorien}

\begin{definition}[Multiplikatives System]
    Sei $\mathcal{C}$ eine Kategorie. Eine Klasse $\mathcal{S}$ von Morphismen von $\mathcal{C}$ heißt
    multiplikatives System, wenn es die folgenden Axiome erfüllt:
    \begin{enumerate}[(FR1), leftmargin=14mm]
        \item Wenn $f, g \in \mathcal{S}$, sodass $fg$ existiert, ist $fg \in \mathcal{S}$. Für
            alle $X \in \mathcal{C}$ ist $\text{id}_{X}\in \mathcal{S}$.
        \item Jedes Diagramm in $\mathcal{C}$
            \[
            \begin{tikzcd}
                & Z \arrow{d}{s} \\
                X \arrow{r}{u} & Y \\
            \end{tikzcd}
            \] mit $s \in \mathcal{S}$ kann zu einem kommutativen Diagramm
            \[
            \begin{tikzcd}
                W \arrow{r}{v} \arrow{d}{t} & Z \arrow{d}{s} \\
                X \arrow{r}{u} & Y
            \end{tikzcd}
            \] mit $t \in \mathcal{S}$ ergänzt werden. Analog gilt die selbe Aussage mit allen Pfeilen umgedreht.
        \item Für $f, g \colon X \to Y$ Morphismen in $\mathcal{C}$, sind die folgenden Bedingungen äquivalent:
            \begin{enumerate}[(i)]
                \item Es existiert ein $s\colon Y \to Y'$ in $\mathcal{S}$, sodass $sf = sg$.
                \item Es existiert ein $t\colon X \to X'$ in $\mathcal{S}$, sodass $sf = sg$.
            \end{enumerate}
    \end{enumerate}
    \label{def:mult-system}
\end{definition}

\begin{definition}[Lokalisierung]
    Seien $\mathcal{C}$ eine Kategorie und $\mathcal{S}$ eine Klasse von Morphismen in $\mathcal{C}$. Dann
    ist die Lokalisierung von $\mathcal{C}$ in Bezug auf $\mathcal{S}$ eine Kategorie $\mathcal{C}_{\mathcal{S}}$
    zusammen mit einem Funktor $Q\colon \mathcal{C} \to \mathcal{C}_{\mathcal{S}}$, sodass
    \begin{enumerate}[(a)]
        \item $Q(s)$ ein Isomorphismus ist für alle $s \in \mathcal{S}$ und
        \item jeder Funktor $F\colon \mathcal{C} \to \mathcal{D}$, sodass $F(s)$ ein Isomorphismus ist
            für alle $s \in \mathcal{S}$, eindeutig über $Q$ faktorisiert.
    \end{enumerate}
    \label{def:localisation}
\end{definition}

\begin{definition}
    Sei $\mathcal{C}$ eine Kategorie und $\mathcal{S}$ ein multiplikatives System in $\mathcal{C}$. Dann definiere
    die Kategorie $\mathcal{C}_{\mathcal{S}}$ durch
    \begin{enumerate}[(a)]
        \item $ob(\mathcal{C}) = ob(\mathcal{C}_{\mathcal{S}})$.
        \item Für $X, Y \in \mathcal{C}$ setze
            $\text{Mor}_{\mathcal{C}_{\mathcal{S}}}(X, Y) = \{ (f, Z, s)  \mid f \colon Z \to Y, 
            s \colon Z \to X \text{ mit } s \in \mathcal{S}\} / \sim $ wobei
            $(f, Z, s) \sim (f', Z', s')$ genau dann wenn ein kommutatives Diagramm
            \[
            \begin{tikzcd}
                & Z \arrow{dl}{s} \arrow{dr}{f} & \\
                X & W \arrow{l}{t} \arrow{u}{g} \arrow{d}{h} & Y \\
                  & \arrow{ul}{s'} Z' \arrow{ur}{f'} &
            \end{tikzcd}
            \] mit $t \in \mathcal{S}$ in $\mathcal{C}$ existiert.
        \item Für $(f, U, s) \in \text{Mor}_{\mathcal{C}_{\mathcal{S}}}(X, Y)$,
            $(g, V, t) \in \text{Mor}_{\mathcal{C}_{\mathcal{S}}}(Y, Z)$ sei
            die Komposition definiert durch die äußeren Morphismen des kommutativen Diagramms
            \[
            \begin{tikzcd}
                & & \arrow[dashed]{dl}{r} W \arrow[dashed]{dr}{h} & & \\
                & \arrow{dl}{s} U \arrow{dr}{f} & & \arrow{dl}{t} V \arrow{dr}{g} & \\
                X & & Y & & Z
            \end{tikzcd}
            .\] Die gestrichelten Morphismen existieren wegen \hyperref[def:mult-system]{FR2}.
        \item Für $X \in \mathcal{C}$ ist die Identität $X \to X$ in $\mathcal{C}_{\mathcal{S}}$
            gegeben durch das Tripel $(\text{id}_X, X, \text{id}_X)$.
    \end{enumerate}
    \label{constr:localisation}
\end{definition}

\begin{satz}
    Sei $\mathcal{C}$ eine Kategorie und $\mathcal{S}$ ein multiplikatives System, dann ist
    die in \ref{constr:localisation} konstruierte Kategorie $\mathcal{C}_{\mathcal{S}}$
    wohldefiniert und eine Lokalisierung von $\mathcal{C}$ bezüglich $\mathcal{S}$. Der kanonische
    Funktor $Q\colon \mathcal{C} \to  \mathcal{C}_{\mathcal{S}}$ ist dann gegeben durch
    $Q(X) = X$ für $X \in \mathcal{C}$ und $Q(f) = (f, X, \text{id}_{X})$ für $f\colon X \to Y$ in $\mathcal{C}$.

    \label{satz:existence-localisation}
\end{satz}

\begin{bem}
    Die Lokalisierung $\mathcal{C}_{\mathcal{S}}$ einer Kategorie $\mathcal{C}$
    kann auch dual, dass heißt durch Umdrehen aller Pfeile,
    konstruiert werden. Wenn im Folgenden der Kontext klar ist, dann schreiben wir auch einfach
    $X$ für $Q(X)$ für ein Objekt $X \in \mathcal{C}$. Ebenso schreiben wir für $X, Y \in \mathcal{C}$ auch
    $s^{-1}f$ bzw. in der dualen Konstruktion $fs^{-1}$ für die Äquivalenzklasse des Tripels
    $(f, Z, s) \in \text{Mor}_{\mathcal{C}_{\mathcal{S}}}(X, Y)$. In dieser Notation ist
    dann $Q(f) = \text{id}^{-1}f$ bzw. $Q(f) f\text{id}^{-1}$ für $f\colon X \to Y$ in $\mathcal{C}$.
\end{bem}

\begin{definition}[Mit Triangulation kompatibles multiplikatives System]
    Sei $\mathcal{C}$ eine triangulierte Kategorie mit Verschiebefunktor $T$
    und $\mathcal{S}$ ein multiplikatives System
    von Morphismen. Wir nennen $\mathcal{S}$ kompatibel mit der Triangulation, wenn die folgenden
    Axiome erfüllt sind:
    \begin{enumerate}[(FR1), leftmargin=14mm]
        \item $s \in \mathcal{S} \iff T(s) \in \mathcal{S}$.
        \item \hyperref[TR2]{TR3} unter der zusätzlichen Annahme, dass $f, g \in \mathcal{S}$
            und der zusätzlichen Forderung, dass $h \in \mathcal{S}$ ist.
    \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{satz}
    Sei $\mathcal{C}$ eine triangulierte Kategorie und $\mathcal{S}$ ein
    mit der Triangulation kompatibles
    multiplikatives System. Dann hat $\mathcal{C}_{\mathcal{S}}$ eine eindeutige
    triangulierte Struktur, sodass $Q$ ein triangulierter Funktor ist und
    die universelle Eigenschaft b) aus \ref{def:localisation} für triangulierte Funktoren in triangulierte
    Kategorien erfüllt.
    \label{satz:existence-triangulated-localisation}
\end{satz}

\subsection{Derivierte Kategorie}

Sei im Folgenden $\mathcal{A}$ eine feste abelsche Kategorie und $\mathcal{K} = \mathcal{K}(\mathcal{A})$ die
Homotopiekategorie.

\begin{lemma}[$\mathcal{Q}is$ ist multiplikativ]
    Die Klasse $\mathcal{Q}is$ der Quasiisomorphismen in $\mathcal{K}$
    ist ein mit der Triangulation von $\mathcal{K}$ kompatibles multiplikatives System.
    \label{lemma:qis-mult}
\end{lemma}

Nach \ref{satz:existence-localisation}, \ref{satz:existence-triangulated-localisation} und \ref{lemma:qis-mult} angewendet
auf $\mathcal{K}$ und $\mathcal{Q}is$, existiert die triangulierte Kategorie $\mathcal{K}_{\mathcal{Q}is}$.

\begin{definition}[Derivierte Kategorie]
    Wir bezeichnen die triangulierte Lokalisierung $\mathcal{K}_{\mathcal{Q}is}$
    als die derivierte Kategorie $\mathcal{D} = \mathcal{D}(\mathcal{A})$ von $\mathcal{A}$.
\end{definition}

\begin{bem}[]
    Im Folgenden bezeichne $Q = Q_{\mathcal{A}}\colon \mathcal{K}(\mathcal{A}) \to \mathcal{D}(\mathcal{A})$
    den kanonischen Lokalisierungsfunktor.
\end{bem}

Um zu verstehen, wann zwei Morphismen in $\mathcal{K}$ den selben Morphismus in $\mathcal{D}$ induzieren, hilft
das folgende Lemma:

\begin{lemma}
    Seien $\com{A}, \com{B} \in \mathcal{K}$ und $f\colon \com{A} \to \com{B}$. Dann ist
    $f = 0$ in $\mathcal{D}$ genau dann wenn ein Quasiisomorphismus $s\colon \com{B}  \to \com{C} $ existiert, sodass
    $sf = 0$ in $\mathcal{K}$.

    \label{derived-cat-morphism-null}
\end{lemma}

\begin{proof}
    Es ist $f\text{id}^{-1} = 0$ genau dann wenn ein kommutatives Diagram existiert:
    \[
    \begin{tikzcd}
        & \com{B} \arrow[dashed]{d} & \\
        \com{A} \arrow{ur}{f} \arrow{dr}{0} & \com{C} & \com{B} \arrow[dashed]{l}{s} \arrow{ul}{\text{id}} \arrow{dl}{\text{id}} \\
        & \com{B} \arrow[dashed]{u} & 
    \end{tikzcd}
    \] mit $s$ Quasiisomorphismus.
\end{proof}

Die derivierte Kategorie erlaubt es Ableitungen von Funktoren allgemeiner zu formulieren. Wir führen hier
nur die Situation der Rechtsableitung kovarianter Funktoren aus.
Seien dafür $\mathcal{A}$ und $\mathcal{B}$ abelsche Kategorien und
$F\colon \mathcal{K}(\mathcal{A}) \to \mathcal{K}(\mathcal{A})$ ein triangulierter Funktor.

Falls $F$ exakt ist werden Quasiisomorphismen auf Quasiisomorphismen geschickt und $F$ induziert daher
einen Funktor von $\mathcal{D}(\mathcal{A})$ nach $\mathcal{D}(\mathcal{B})$.
Im Allgemeinen ist das nicht der Fall. Dennoch möchten wir einen Funktor von $\mathcal{D}(\mathcal{A})$
nach $\mathcal{D}(\mathcal{B})$ konstruieren, der $F$ so nahe wie möglich kommt.

\begin{definition}[Abgeleiteter Funktor]
    Seien $\mathcal{A}, \mathcal{B}$ abelsche Kategorien. Der rechts abgeleitete Funktor von $F$ ist
    ein triangulierter Funktor
    \[
        \text{R}F\colon \mathcal{D}(\mathcal{A}) \to \mathcal{D}(\mathcal{A})
    \] zusammen mit einer natürlichen Transformation
    \[
        \xi\colon Q_{\mathcal{B}} \circ F \to \text{R}F \circ Q_{\mathcal{A}}
    \] von Funktoren von $\mathcal{K}(\mathcal{A})$ nach $\mathcal{D}(\mathcal{B})$ mit
    der folgenden universellen Eigenschaft: Für jeden triangulierten Funktor
    \[
        G\colon \mathcal{D}(\mathcal{A}) \to \mathcal{D}(\mathcal{B})
    \] 
    und jede natürliche Transformation
    \[
        \zeta\colon Q_{\mathcal{B}} \circ F \to G \circ Q_{\mathcal{A}}
    \] existiert eine eindeutige natürliche Transformation
    \[
    \eta\colon \text{R}F \to G
    \] von Funktoren von $\mathcal{D}(\mathcal{A})$ nach $\mathcal{D}(\mathcal{B})$, sodass
    \[
        \xi = (\eta \circ Q_{\mathcal{A}}) \circ \xi
    .\] 
\end{definition}

\begin{bem}[]
    \begin{enumerate}[(1)]
        \item Falls $\text{R}F$ existiert, ist dieser bis auf eindeutige natürliche Transformationen eindeutig.
        \item Wir schreiben $R^{i}F$  für $H^{i}(\text{R}F)$ und wenn $F$ induziert ist von einem
            links-exakten Funktor $F\colon \mathcal{A} \to \mathcal{B}$ und $\mathcal{A}$ genügend Injektive hat, sind
            das genau die klassischen abgeleiteten Funktoren von $F$.
    \end{enumerate}
\end{bem}

\begin{satz}
    Seien $\mathcal{A}, \mathcal{B}$ abelsche Kategorien und
    $F\colon \mathcal{K}(\mathcal{A}) \to \mathcal{K}(\mathcal{B})$ ein triangulierter Funktor. Angenommen es
    existiert eine triangulierte Unterkategorie $\mathcal{L} \subset \mathcal{K}(\mathcal{A})$, s.d.
    \begin{enumerate}[(i)]
        \item Jeder Komplex in $\mathcal{K}(\mathcal{A})$ besitzt einen Quasiisomorphismus in einen
            Komplex aus $\mathcal{L}$.
        \item $F|_{\mathcal{L}}$ ist exakt.
    \end{enumerate}
    Dann existiert der Funktor $\text{R}F\colon \mathcal{D}(\mathcal{A}) \to \mathcal{D}(\mathcal{B})$ und
    eine natürliche Transformation $\xi\colon Q_{\mathcal{B}} \circ F \to \text{R}F \circ Q_{\mathcal{A}}$, sodass
    für alle $\com{I} \in \mathcal{L}$ die Abbildung
    \[
        \xi(\com{I})\colon Q_{\mathcal{B}}(F(\com{I}) \to \text{R}F(Q_{\mathcal{A}}(\com{I}))
    \] ein Isomorphismus in $\mathcal{D}(A)$ ist.
    \label{satz:existence-derived-functors}
\end{satz}

\begin{bem}
    Die Voraussetzungen von \ref{satz:existence-derived-functors} sind im Allgemeinen schwer zu erfüllen. Ziel
    dieser Arbeit ist es herauszuarbeiten, dass im Falle von $\mathcal{A} = A\text{-Mod}$ für einen kommutativen
    Ring $A$, die Bedingungen für die im Folgenden definierten Funktoren $\com{\text{Hom}}(\com{M}, -)$,
    $\com{\text{Hom}}(-, \com{M})$ und $\com{M} \otimes_A -$ erfüllt sind.
\end{bem}

\begin{definition}
    Seien $\com{A}, \com{B} \in \mathcal{K}$ zwei Komplexe in einer beliebigen abelschen Kategorie $\mathcal{A}$.
    Dann sei $\com{\text{Hom}}(\com{A}, \com{B}) \in \mathcal{K}(\mathcal{A}b)$ definiert durch
    \[
    \text{Hom}^{n}(\com{A}, \com{B}) = \prod_{i \in \Z} \text{Hom}(A^{i}, B^{i+n})
    \] mit Differentialen
    \[
    d^{n}(f) = d_{\com{B} } \circ f - (-1)^{n} f \circ d_{\com{A}}
    \] für $f \in \text{Hom}^{n}(\com{A}, \com{B})$.
\end{definition}

\begin{definition}
    Seien $\com{M}, \com{N} \in \mathcal{K}(A\text{-Mod})$. Dann sei
    $\com{M} \otimes_A \com{N} \in \mathcal{K}(A\text{-Mod})$ definiert durch
    \[
        (\com{M} \otimes_A \com{N})^{n} = \bigoplus_{i \in \Z} M^{i} \otimes_A N^{n-i}
    \] mit Differentialen
    \[
    d^{n}(m \otimes n) = d_{\com{M} }(m) \otimes n + (-1)^{i} m \otimes d_{\com{N} }(n)
    \] für $m \in M^{i}, n \in N^{n-i}$.
\end{definition}

\begin{lemma}[]
    Seien $\com{A}, \com{B} \in \mathcal{K}$ zwei Komplexe. Dann gilt für $n \in \Z$:
    \[
        H^{n}(\com{\text{Hom}}(\com{A}, \com{B}) = \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{A}, \com{B}[n])
    .\]\label{hom-compl-cohomgroups}
\end{lemma}
\begin{proof}
    Sei $(f^i)_{i \in \Z} \in \prod_{i \in \Z} \text{Hom}(A^{i}, B^{i+n})$. Dann ist:
    \[
        (f^{i})_{i \in \Z} \in \text{ker } d^{n} \iff (-1)^{n} d_{\com{B}}^{i+n}  f^i = f^{i+1} d_{\com{A} }^{i}
        \text{ für } i \in \Z
    .\] Wegen $d_{\com{B}[n]} = (-1)^{n}d_{\com{B}}$, induziert $(f^i)_{i \in \Z}$ also genau dann
    einen Komplexhomomorphismus $\com{A} \to \com{B}[n]$, wenn $(f^{i})_{i \in \Z} \in \text{ker } d^{n}$.

    Weiter ist $(f^{i})_{i \in \Z} \in \text{im } d^{n-1}$ genau dann wenn eine Familie
    $(k^{i})_{i \in \Z}\in \prod_{i \in \Z}^{} \text{Hom}(A^{i}, B^{i+n-1})$ existiert, sodass
    %\[
    %     f^{i} = d_{\com{B}}^{i+n-1} k^{i} - (-1)^{n-1} k^{i+1} d_{\com{A} }^{i}
    %     = d_{\com{B}}^{i+n-1} k^{i} + (-1)^{n} k^{i+1} d_{\com{A} }^{i}
    %.\]
    \[
        (-1)^{n}f^{i} = (-1)^{n} d_{\com{B}}^{i+n-1} k^{i} + k^{i+1} d_{\com{A} }^{i}
    .\] Erneut wegen $d_{\com{B} [n]} = (-1)^{n} d_{\com{B} }$, ist also für $(f_i)_{i \in \Z} \in \text{ker } d^{n}$
    der induzierte Komplexhomomorphismus $f\colon \com{A} \to \com{B} $ genau dann nullhomotop,
    wenn $(f^{i})_{i \in \Z} \in \text{im }d^{n-1}$.
\end{proof}

\begin{lemma}[Tensorprodukt ist trianguliert]
    Sei $\com{M} \in \mathcal{K}(A\text{-Mod})$.
    Dann ist $- \otimes_A \com{M}$ (und $\com{M} \otimes_A -$) ein triangulierter Funktor von $\mathcal{K}(A\text{-Mod})$
    nach $\mathcal{K}(A\text{-Mod})$.
    \label{satz:tor-is-triangulated}
\end{lemma}

\begin{satz}[Adjunktion der Hom- und Tensorproduktkomplexe]
    Seien $\com{M}, \com{N}, \com{P} \in \mathcal{K}(A\text{-Mod})$. Dann existiert
    ein natürlicher Isomorphismus, der funktoriell in allen Variablen ist:
    \[
    \com{\text{Hom}}(\com{M} \otimes_A \com{N}, \com{P})
    = \com{\text{Hom}}(\com{M},\com{\text{Hom}} (\com{N} , \com{P} ))
    .\] 
    \label{satz:adjunction-hom-tor-comp}
\end{satz}

\begin{proof}
    
\end{proof}

% TODO: Bedingung (I) an Indexmengen

% TODO: verstehe ich nicht aber habe alternative
%\begin{lemma}[]
%    Sei $\com{A} \in \mathcal{K}$ und $\mathcal{G}$ eine Klasse von Objekten
%    von $\mathcal{A}$, sodass jedes Objekt von $\mathcal{A}$ eine Einbettung
%    in ein Objekt aus $\mathcal{G}$ besitzt. Angenommen
%    $\com{\text{Hom}}(\com{A}, E) \in \mathcal{K}(\mathcal{A}b)$ ist exakt für alle
%    $E \in \mathcal{G}$. Dann ist $\com{A} $ exakt.
%    \label{lemma:0.10}
%\end{lemma}

\newpage

\section{K-injektive und K-projektive Auflösungen}

In diesem Abschnitt möchten wir, in der Notation von \ref{satz:existence-derived-functors}, jeweils eine
Unterkategorie $\mathcal{L}$ finden, die die Bedingungen von \ref{satz:existence-derived-functors}
für die Funktoren $\com{\text{Hom}}(\com{A}, -) $ bzw. $\com{\text{Hom}}(- , \com{A})$ erfüllt. Dazu definieren
wir folgende Klasse von Komplexen:

\begin{definition}[K-injektiv bzw. K-projektiv]
    Ein Komplex $\com{X} \in \K$ heißt K-injektiv (bzw. K-projektiv), wenn für alle $\com{S} \in \K$, der Komplex
    $\com{\mathrm{Hom}}(\com{S}, \com{X})$ (bzw. $\com{\mathrm{Hom}}(\com{X}, \com{S})$) exakt ist.
\end{definition}

\begin{bem}
    Mit \ref{hom-compl-cohomgroups} ist $\com{X} $ genau dann K-injektiv (bzw. K-projektiv), wenn
    $\forall \com{S} \in K$ exakt: $\text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{S}[i] , \com{X}) = 0$
    (bzw. $\text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{X}, \com{S}[i]) = 0)$  $\forall i \in \Z$. Da Verschieben Exaktheit erhält
    folgt also
    \[
    \com{X}  \text{ K-projektiv} \iff \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{X} , \com{S} )  = 0 \quad \forall \com{S} \text{ exakt}
    \]
    \[
    \com{X}  \text{ K-injektiv} \iff \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{S} , \com{X} )  = 0 \quad \forall \com{S} \text{ exakt}
    .\]
\end{bem}

\subsection{Elementare Eigenschaften von K-injektiven und K-projektiven Komplexen} 

\begin{bem}
    Ein exakter K-projektiver oder K-injektiver Komplex $\com{X}$ ist zusammenziehbar, d.h. ist nullhomotop.
    \begin{proof}
        Betrachte $\mathrm{id}_{\com{X}} \in \mathrm{Hom}^{0}(\com{X}, \com{X}) = \mathrm{Mor}_{\K}(\com{X} , \com{X}) = \mathrm{H}^0 \com{\mathrm{Hom}}(\com{X}, \com{X}) = 0$. Also ist $\mathrm{id}_{\com{X} } = 0$ und damit
        $\com{X} = 0$ in $\K$.
    \end{proof}
\end{bem}

\begin{satz}
    Sei $\com{X} \in \K$ mit $X^{i} = 0$ $\forall i \neq 0$. Dann ist $\com{X} $ K-injektiv (bzw. K-projektiv) genau
    dann wenn $A^{0}$ injektiv (bzw. projektiv) in $\mathcal{A}$ ist.

    \label{satz:single-degree-compl-k-proj}
\end{satz}

\begin{proof}
    ,,$\implies$'': Sei $\com{X} $ K-projektiv und $\com{S} = 0 \to M \to  N \to  P \to 0$ kurze exakte Folge in $\mathcal{A}$. Sei
    $f\colon X^{0} \to P$. Das induziert einen Komplexhomomorphismus $\com{X} \to \com{S}$
\[\begin{tikzcd}
    0 \arrow{d} \arrow{r} & 0 \arrow{d} \arrow{r} & X^0 \arrow{d}{f} \arrow[dashed]{dl}{k} \arrow{r}
    & 0 \arrow{d} \arrow[dashed]{dl}\\
    M \arrow{r} & N \arrow{r}{v} & P \arrow{r} & 0
\end{tikzcd}\]
Nach Voraussetzung ist dieser nullhomotop, d.h. es existiert $k \colon X^{0} \to N$, s.d. $f = vk$. Also ist
$\text{Hom}(X^{0}, N) \to \text{Hom}(X^{0}, P)$ surjektiv und damit $X^{0}$ projektiv.

,,$\impliedby$'': Sei nun $X^{0}$ projektiv, $\com{S} \in \mathcal{K}$ exakt und $f\colon \com{X} \to \com{S}$
Komplexhomomorphismus. Dann betrachte
\[
\begin{tikzcd}
    0 \arrow[from=1-1,to=1-3] \arrow{d} & & X^{0} \arrow{r}
    \arrow[dashed, from=1-3,to=2-1]{}{k^{0}}
    \arrow[dashed]{dl} \arrow{d}{f^{0}} & 0 \arrow{d} \\
    S^{-1} \arrow{r}{d^{-1}} & \text{im }d^{-1} \arrow{r} & S^{0} \arrow{r}{d^{0}} & S^{1}
\end{tikzcd}
.\] 
Da $d^{0}f^{0} = 0$ faktorisiert $f^{0}$ über $\text{ker } d^{0} = \text{im }d^{-1}$. Weil
$X^0$ projektiv, existiert $k^{0}\colon A^{0} \to S^{-1}$, s.d. $f^{0} = d^{-1} k^{0}$.
\end{proof}

\begin{satz}[]
    \begin{enumerate}[(i)]
        \item $\com{X} \in \mathcal{K}$ ist K-projektiv (bzw. K-injektiv) genau dann wenn $\com{X}[1]$ dies ist.
        \item Falls zwei Punkte eines ausgezeichneten Dreiecks in $\mathcal{K}$ K-projektiv (bzw. K-injektiv) sind,
            dann auch der dritte.
    \end{enumerate}
    \label{satz:k-proj-triangulated}
\end{satz}
    
\begin{proof}
    \begin{enumerate}[(i)]
        \item Das folgt, daraus dass für $\com{X}, \com{S} \in \mathcal{K}$ gilt: $\com{S} $ exakt $\iff \com{S} [-1]$
            exakt und
            \[
            \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{X}, \com{S}[-1]) = \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{X}[1], \com{S})
            .\] 
        \item Sei $(\com{X}, \com{Y}, \com{Z}, u, v, w)$ ein ausgezeichnetes Dreieck mit $\com{X}, \com{Y} $ K-projektiv
            und $\com{S} $ exakt. Nach Anwenden von $\text{Mor}_{\mathcal{K}}(-, \com{S})$
            ist dann mit \ref{hom-cohom-func}
            \[
                \underbrace{\text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{X}[1], \com{S})}_{= 0}
                \to \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{Z}, \com{S} )
                \to
                \underbrace{\text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{Y}, \com{S} )}_{= 0}
            \] exakt und die äußeren Terme $0$ nach Voraussetzung und (i). Also folgt
            $\text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{Z}, \com{S}) = 0$, also $\com{Z} $ K-projektiv. Der allgemeine Fall folgt nun
            mit \hyperref[TR2]{TR2}.
    \end{enumerate}
\end{proof}

\begin{satz}
    Sei $\com{P} \in \mathcal{K}$. Dann sind äquivalent
    \begin{enumerate}[(i)]
        \item $\com{P} $ K-projektiv
        \item Für $\com{X} \to \com{Y} $ Quasiisomorphismus in $\mathcal{K}$ ist der natürliche Homomorphismus
            \[
            \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{X} ) \to \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{Y} ) 
            \] ein Isomorphismus.
        \item Für $\com{S} \in \mathcal{K}$ ist der natürliche Homomorphismus
            \[
                \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{S} ) \to \text{Mor}_{\mathcal{D}}(\com{P} , \com{S} ) 
            \] ein Isomorphismus.
    \end{enumerate}
    \label{satz:mork=mord-for-kproj}
\end{satz}

\begin{proof}
    (i)$\implies$(ii): Sei $f\colon \com{X} \to \com{Y} $ ein Quasiisomorphismus. Dann ist
    \[
    \begin{tikzcd}
        \com{X} \arrow{r}{f} & \com{Y} \arrow{r} & \com{C_f} \arrow{r} & \com{X}[1]
    \end{tikzcd}
    \] ein ausgezeichnetes Dreieck und $\com{C_f}$ ist nach \ref{mapping-cone-exact-for-qis} exakt. Anwenden von
    $\text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , -) $ liefert mit \ref{hom-cohom-func} eine exakte Folge:
    \[
        \begin{tikzcd}
            \underbrace{\text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{C_f}[-1]) \arrow{r}}_{= 0} &
            \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{X} ) \arrow{r} &
            \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{Y} ) \arrow{r} &
            \underbrace{\text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P}, \com{C_f} ) }_{= 0}
        \end{tikzcd}
    .\] Die äußeren Terme sind 0, da $\com{P} $ K-projektiv, also folgt der behauptete Isomorphismus.

    (ii)$\implies$(iii): Injektivität: Sei $f\colon \com{P} \to \com{S} $, s.d. $\text{id}^{-1}f = 0$. Nach
    \ref{derived-cat-morphism-null} existiert ein $t\colon \com{S} \to \com{T} $ Quasiisomorphismus, s.d. $tf= 0$.
    Nach (ii) ist $t_{*}\colon \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{S} ) \to \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{T} ) $
    injektiv, also folgt $f = 0$. Surjektivität: Sei $a \in \text{Mor}_{\mathcal{D}}(\com{P} , \com{S} ) $. Dann
    ist $a$ ein Diagramm in $\mathcal{K}$
    \[
    \begin{tikzcd}
        & \com{M} & \\
        \com{P} \arrow{ur}{f} & & \arrow{ul}{s} \com{S} 
    \end{tikzcd}
    \] mit $s$ Quasiisomorphismus. Nach (ii) ist $s_{*}\colon \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{S} ) \to \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{M} ) $ surjektiv, also existiert ein $g\colon \com{P} \to \com{S} $, s.d. $sg = f$. Also
    kommutiert
    \[
    \begin{tikzcd}
        & \com{S} \arrow{d}{s} & \\
        \com{P} \arrow{dr}{f} \arrow{ur}{g} & \com{M} & \arrow{l}{s} \arrow{ul}{\text{id}} \com{S} \arrow{dl}{s}\\
        & \com{M} \arrow{u}{\text{id}} & \\
    \end{tikzcd}
    .\] Damit folgt $a = g\text{id}^{-1}$.

    (iii)$\implies$(i): Sei $\com{S} $ exakt. Dann ist $\com{S} \to 0$ ein Quasiisomorphismus, also
    $\com{S} \stackrel{\sim }{=} 0$ in $\mathcal{D}$, also
    \[
        \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{X} , \com{S} )
        \stackrel{\text{(ii)}}{=} \text{Mor}_{\mathcal{D}}(\com{X} , \com{S} )
        = \text{Mor}_{\mathcal{D}}(\com{X} , \com{0} ) = 0
    .\]
\end{proof}

\begin{satz}
    Sei $\com{P} \in \mathcal{K}$. Dann sind äquivalent
    \begin{enumerate}[(i)]
        \item $\com{P} $ K-projektiv.
        \item Für alle Diagramme in $\mathcal{K}$
            \[
            \begin{tikzcd}
                & \com{M} \arrow{d}{s}  \\
                \com{P} \arrow{r}{f} & \com{N}\\
            \end{tikzcd}
            \] mit $s$ Quasiisomorphismus, existiert genau ein $g\colon \com{P} \to \com{M} $, s.d.
            $sg= f$ in $\mathcal{K}$.
        \item Für alle Quasiisomorphismen $u\colon \com{S} \to \com{P} $ in $\mathcal{K}$ existiert ein
            $v\colon \com{P} \to \com{S} $, s.d. $uv = \text{id}_{\com{P} }$ in $\mathcal{K}$.
    \end{enumerate}
\end{satz}

\begin{proof}
    (i)$\implies$(ii): Betrachte das gegebene Diagramm in $\mathcal{D}$:
    \[
        \begin{tikzcd}
            & \com{X} \arrow{d}{\text{id}^{-1}s} \\
            \com{P} \arrow[dashed]{ur}{g} \arrow{r}{\text{id}^{-1}f} & \com{Y}
        \end{tikzcd}
    .\] Da $s$ Quasiisomorphismus, ist $s$ Isomorphismus in $\mathcal{D}$, also existiert ein
    $g\colon \com{P} \to \com{X} $ in $\mathcal{D}$, sodass das Diagramm kommutiert. \ref{satz:mork=mord-for-kproj}
    (iii) liefert das gewünschte Diagramm in $\mathcal{K}$.

    (ii)$\implies$(iii): Betrachte
    \[
    \begin{tikzcd}
        & \com{S} \arrow{d}{s} \\
        \com{P} \arrow{r}{\text{id}} & \com{P} 
    \end{tikzcd}
    .\] Da $s$ Quasiisomorphismus existiert mit (ii) ein $f\colon \com{P} \to \com{S}$, s.d. $sf = \text{id}_{\com{P} }$.

    (iii)$\implies$(ii): Erneut mit \ref{satz:mork=mord-for-kproj} genügt es zu zeigen, dass für
    $\com{S} \in \mathcal{K}$
    $\text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{S} ) \to \text{Mor}_{\mathcal{D}}(\com{P} , \com{S} ) $ bijektiv ist.
    Injektivität: Sei $f\colon \com{P} \to \com{S} $ mit $\text{id}^{-1}f = 0$ in $\mathcal{D}$. Dann
    existiert nach \ref{derived-cat-morphism-null} ein $t\colon \com{T} \to \com{P} $ Quasiisomorphismus mit $ft = 0$.
    Also existiert mit (iii) ein $s\colon \com{P} \to \com{T} $, s.d. $ts = \text{id}_{\com{P} }$, also
    \[
        f = f \text{id}_{\com{P} } = \underbrace{ft}_{=0}s = 0
    .\] 
    Surjektivität: Sei $a \colon \com{P} \to \com{S} $ in $\mathcal{D}$. Dann ist $a$ gegeben durch ein Diagramm
    \[
    \begin{tikzcd}
        & \com{Q} \arrow{dr}{f} \arrow{dl}{s} & \\
        \com{P} & & \com{S}
    \end{tikzcd}
    \] in $\mathcal{K}$ mit $s$ Quasiisomorphismus. Nach (iii) existiert ein $t\colon \com{P} \to \com{Q}$ mit
    $st = \text{id}_{\com{P} }$. Dann ist
    \[
    \begin{tikzcd}
        & \com{Q} \arrow{dl}{s} \arrow{dr}{f} & \\
        \com{P} & \com{P} \arrow{l}{\text{id}} \arrow{u}{t} \arrow{d}{\text{id}} & \com{S} \\
        & \com{P} \arrow{ul}{\text{id}} \arrow{ur}{ft} & \\
    \end{tikzcd}
    \] ein kommutatives Diagramm in $\mathcal{K}$, also folgt $s^{-1}f = \text{id}^{-1}(ft)$ in $\mathcal{D}$.
\end{proof}

Durch Umdrehen aller Pfeile erhalten wir analog:

\begin{satz}[]
    Für jeden Komplex $\com{I} \in \mathcal{K}$ sind äquivalent:
    \begin{enumerate}[(i)]
        \item $\com{I}$ K-injektiv
        \item Für $\com{S} \in \mathcal{K}$ ist der natürliche Homomorphismus
            \[
            \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{S} , \com{I} ) \to \text{Mor}_{\mathcal{D}}(\com{S} , \com{I} ) 
            \] ein Isomorphismus.
        \item Für jedes Diagramm in $\mathcal{K}$
            \[
            \begin{tikzcd}
                \com{Y} \arrow{r}{f} \arrow{d}{s} & \com{I} \\
                \com{X} 
            \end{tikzcd}
            \] mit $s$ Quasiisomorphismus, existiert genau ein $g\colon \com{X} \to \com{I} $, s.d. das Diagramm
            kommutiert.
        \item Für jeden Quasiisomorphismus $u\colon \com{I} \to \com{S} $ in $\mathcal{K}$ existiert ein
            $v\colon \com{S} \to \com{I} $, s.d. $vu = \text{id}_{\com{I} }$ in $\mathcal{K}$.
    \end{enumerate}
    \label{satz:mork=mord-for-k-inj}
\end{satz}

\subsection{Spezielle inverse und direkte Systeme}

In der Notation von 
\ref{satz:existence-derived-functors} 
möchten wir die Klasse der K-injektiven bzw. K-projektiven Komplexe als $\mathcal{L}$
für die Funktoren
$\com{\text{Hom}}(\com{M}, -)$ bzw. $\com{\text{Hom}}(-, \com{M})$ für $\com{M} \in \mathcal{K}$ verwenden.

Nun stellt sich die Aufgabe für jeden Komplex $\com{A} \in \mathcal{K}$ eine K-injektive bzw. eine K-projektive
Auflösung zu konstruieren. Dies machen wir mit sogenannten speziellen inversen bzw. direkten Systemen.

\begin{definition}[Spezielles inverses System]
    Sei $\mathcal{J} \subset \mathcal{K}$ eine Klasse von Komplexen.
    \begin{enumerate}[(a)]
        \item Ein inverses System $(\com{I}_n)_{n \in \N}$ in $\mathcal{K}$ heißt
            $\mathcal{J}$-spezielles inverses System, falls folgende Bedingungen erfüllt sind:
            \begin{enumerate}[(i)]
                \item Falls $n = 1$, dann ist $\com{I}_n = 0$.
                \item Falls $n > 1$, dann sei $\com{C}_n$ der Kern der natürlichen Abbildung
                    $\com{I} _n \to \com{I}_{n-1}$. Dann ist $\com{C}_n \in \mathcal{J}$ und
                    die kurze exakte Folge
                    \[
                    0 \to \com{C}_n \to \com{I}_n \to \com{I} _{n-1} \to 0
                    \] zerfällt stufenweise.
            \end{enumerate}
        \item Die Klasse $\mathcal{J}$ heißt abgeschlossen unter speziellen inversen Limites, falls jedes
            $\mathcal{J}$-spezielle inverse System in $\mathcal{K}$ einen Limes in $\mathcal{J}$ besitzt und jeder
            Komplex in $\mathcal{K}$, der isomorph ist zu einem Komplex in $\mathcal{J}$, bereits in $\mathcal{J}$ ist.
    \end{enumerate}
\end{definition}

Im Folgenden möchten wir zeigen, dass die Klasse der K-projektiven Komplexe 
abgeschlossen unter speziellen inversen Limites ist. Dazu benötigen wir die folgenden Lemmata:

% TODO: beispiel funktioniert nicht mit N als indexmenge, wird nicht benoetigt
%\item Sei $\mathcal{J}$ eine Klasse von Komplexen abgeschlossen unter speziellen inversen Limites mit
%    $\com{A} \in \mathcal{J} \iff \com{A}[1] \in \mathcal{J}$. Dann ist für $\com{A}, \com{B} \in \mathcal{J}$
%    und $u \colon \com{A} \to \com{B} $, auch $\com{C}_u$ in $\mathcal{J}$. Denn 
%    \[
%        \com{C}_u \to \com{A}[1] \to 0
%    \] ist ein $\mathcal{J}$-spezielles inverses System mit Limes $\com{C}_u$.

\begin{lemma}
    Sei $\mathcal{J}_0$ eine Klasse von Objekten von $\mathcal{A}$. Sei weiter $\mathcal{J}$ eine
    unter speziellen inversen Limites abgeschlossene Klasse
    von Objekten in $\mathcal{K}$, so dass jeder Komplex $\com{A} \in \mathcal{K}$ mit nur einem nicht-null
    Term und mit $A^{i} \in \mathcal{J}_0$ für $i \in \Z$, in $\mathcal{J}$ enthalten ist. Dann
    ist jeder nach unten beschränkte Komplex $\com{A} \in \mathcal{K}$ mit $A^{i} \in \mathcal{J}_0$
    für $i \in \Z$ in $\mathcal{J}$ enthalten.

    \label{lemma:bounded-compl-in-complete-class}
\end{lemma}

\begin{proof}
    Sei $\com{A} \in \mathcal{K}^{+}$ mit $A^{i} \in \mathcal{J}_0$ für alle $i \in \Z$. Ohne Einschränkung
    sei $A^{i} = 0$ für alle $i < 0$. Dann sind die Spalten des nachstehenden Diagramms ein
    $\mathcal{J}$-spezielles inverses System $(\com{S}_n)_{n \ge 0}$ mit
    Übergangsabbildungen $p_n$,
    \[
    \begin{tikzcd}
        \cdots \arrow{r} & 0 \arrow{r} \arrow{d} & 0 \arrow{r} \arrow{d} & 0 \arrow{r} \arrow{d} & 0 \arrow{d}\\
        \cdots\arrow{r} & A^{0} \arrow{d} \arrow{r} & A^{0} \arrow{d} \arrow{r} & A^{0} \arrow{d} \arrow{r} & 0 \arrow{d}\\
        \cdots\arrow{r} & A^{1} \arrow{d} \arrow{r} & A^{1} \arrow{d} \arrow{r} & 0 \arrow{d} \arrow{r} & 0 \arrow{d}\\
        \cdots\arrow{r} & A^{2} \arrow{d} \arrow{r} & 0 \arrow{d} \arrow{r} & 0 \arrow{d} \arrow{r} & 0 \arrow{d} \\
        & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
    \end{tikzcd}
    \] denn für $n > 0$ ist $\com{\text{ker } p}_n$ = $[\cdots \to 0 \to \underbrace{A^{n-1}}_{\in \mathcal{J}_0} \to 0 \to \cdots ]$. Nach
    Voraussetzung ist also $\text{ker } p_n$ in $\mathcal{J}$ und die kurze exakte Folge
    $0 \to \com{\text{ker } p}_n \to \com{S}_n \to \com{S}_{n-1} \to 0$ zerfällt gradweise. Also folgt
    $\com{A} = \lim \com{S}_n \in \mathcal{J}$.
\end{proof}

Unser Ziel ist nun zu zeigen, dass die Klasse der exakten Komplexe abgeschlossen ist bezüglich spezieller
inverser Limites. Da der inverse Limes im Allgemeinen nicht exakt ist, benötigen wir ein technisches Hilfswerkzeug.

Wir benötigen im Folgenden mehrmals eine bestimmte Bedingung an inverse Systeme in
$\mathcal{A}b$.

\begin{definition}
    Wir sagen eine totalgeordnete Indexmenge $(I, \le)$ genüge der Bedingung (S), wenn eine ordnungserhaltende
    Bijektion $\iota\colon I \to \N$ existiert. Für $i \in I$ bezeichne, falls dieser existiert, mit $i+1$ bzw. $i-1$, den
    von $\iota$ induzierten Vorgänger bzw. Nachfolger von $i$.

    Weiter sagen wir ein inverses System $(M_i)_{i \in I}$ in $\mathcal{A}b$ genüge der Bedingung
    (R), wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind:
    \begin{enumerate}[(i)]
        \item $I$ genügt Bedingung (S).
        \item $M_1 = 0$.
        \item Für $i > I_{\text{min}}$ ist die Abbildung $M_i \to M_{i-1}$ surjektiv.
    \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{lemma}
    Sei $I$ eine Indexmenge, die Bedingung (S) genügt und seien
    $(A_i)_{i \in I}$, $(B_{i})_{i \in I}$, $(C_i)_{i \in I}$ und $(D_i)_{i \in I}$
    inverse Systeme in $\mathcal{A}b$, die (R) erfüllen und seien
    \begin{equation}
    \begin{tikzcd}
        (A_i)_{i \in I} \arrow{r}{f_i} & (B_i)_{i \in I} \arrow{r}{g_i} &
        (C_i)_{i \in I} \arrow{r}{h_i} & (D_i)_{i \in I}
    \end{tikzcd}
    \label{eq:0.11-inv-systems}
    \end{equation}
    Morphismen von inversen Systemen mit $g_i \circ f_i = 0 = h_i \circ g_i$
    für $i \in I$ und sei
    \[
    \begin{tikzcd}
        A \arrow{r}{f} & B \arrow{r}{g} & C \arrow{r}{h} & D
    \end{tikzcd}
    \] der Limes von \eqref{eq:0.11-inv-systems}. Für $i \in I$ mit $i > I_{\text{min}}$
    seien $A_i'$, $B_i'$, $C_i'$ und $D_i'$ die jeweiligen Kerne
    der Übergangsabbildungen $A_i \to A_{i-1}$, $B_i \to B_{i-1}$, $C_i \to C_{i-1}$
    und $D_i \to D_{i-1}$.

    Sei weiter $j \in I$, s.d. für alle $i > j$ die Folge
    \[
    \begin{tikzcd}
        A_i' \arrow{r} & B_i' \arrow{r} & C_i' \arrow{r} & D_i'
    \end{tikzcd}
    \] exakt ist.

    Dann ist die natürliche Abbildung
    \[
    \text{ker } g / \text{im } f \longrightarrow \text{ker } g_j / \text{im } f_j
    \] ein Isomorphismus.
    \label{0.11}
\end{lemma}

\begin{proof}
    Durch Umbenennung können wir ohne Einschränkung annehmen, dass $I = \N$. Sei
    $j \in \N$ mit der beschriebenen Eigenschaft. Dann betrachte das kommutative Diagramm:
    \begin{equation}
        \begin{tikzcd}
            A \arrow{r}{f} \arrow{d} & \text{im } f \arrow{r}
                                     & \text{ker } g \arrow{r} \arrow{d}
                                     & B \arrow{r}{g} \arrow{d}
                                     & C \arrow{r}{h} \arrow{d}
                                     & D \arrow{d} \\
            A_j \arrow{r}{f_j} & \text{im } f_j \arrow{r}
                             & \text{ker } g_j \arrow{r}
                             & B_j \arrow{r}{g_j}
                             & C_j \arrow{r}{h_j}
                             & D_j \\
            A_{j+1} \arrow{r}{f_{j+1}} \arrow{u}{p_{A}} & \text{im } f_{j+1} \arrow{r} \arrow{u}
                                       & \text{ker } g_{j+1} \arrow{r} \arrow{u}
                                       & B_{j+1} \arrow{r}{g_{j+1}} \arrow{u}{p_B}
                                       & C_{j+1} \arrow{r}{h_{j+1}} \arrow{u}{p_C}
                                       & D_{j+1} \arrow{u}{p_D} \\
            \text{ker } p_{A_{j+1}} \arrow[from=4-1, to=4-4] \arrow{u} & &
                                       & \text{ker } p_{B_{j+1}} \arrow{r} \arrow{u}
                                       & \text{ker } p_{C_{j+1}} \arrow{r} \arrow{u}
                                       & \text{ker } p_{D_{j+1}} \arrow{u} \\
        \end{tikzcd}
        \label{eq:0.11-diag}
    \end{equation}
    Injektivität: Sei $(b_i)_{i \in \N} \in \text{ker } g$, sodass $b_j \in \text{im }f_j$.
    Dann existiert ein $a_j \in A_j$, sodass $f_j(a_j) = b_j$. Da $p_A$ surjektiv,
    existiert ein $x \in A_{j+1}$, sodass $p_A(x) = a_j$. Sei
    $y = f_{j+1}(x)$. Weil \eqref{eq:0.11-diag} kommutativ,
    ist $p_{B}(y) = b_j$. Da $(b_i)_{i \in \N}$ ein kompatibles
    System ist, gilt zudem $p_{B}(b_{j+1}) = b_j$. Also ist
    $b_{j+1} - y \in \text{ker } p_{B}$. Weil $y, b_{j+1} \in \text{ker } g_{j+1}$,
    existiert aufgrund der Exaktheit der unteren Zeile ein $\tilde{x} \in \text{ker } p_A$,
    sodass $f_{j+1}(\tilde{x}) = b_{j+1} - y$. Nun
    setze $a_{j+1} \coloneqq \tilde{x} + x$. Dann ist
    $f_{j+1}(a_{j+1}) = b_{j+1}$ und $p_{A}(a_{j+1}) = a_j$, denn
    $\tilde{x} \in \text{ker } p_{A}$. Konstruiere so induktiv eine kompatible
    Familie $(a_{i})_{i\ge j}$ mit $f(a_i) = (b_i)_{i \ge j}$. Für $i < j$ setze
    $a_i \coloneqq p_{A_{i+1}}(a_{i+1})$. Die Kommutativität von \eqref{eq:0.11-diag}
    liefert dann ein kompatibles System $(a_i)_{i \in \N}$ mit
    $f(a_{i}) = (b_{i})_{i \in \N}$

    Surjektivität: Sei $b \in \text{ker } g_j$. Weil $p_B$ surjektiv, existiert dann ein
    $y \in B_{j+1}$, sodass $p_B(y) = b$. Sei $z = g_{j+1}(y)$.
    Aufgrund der Kommutativität von
    \eqref{eq:0.11-diag} ist dann
    $p_C(z) = p_C(g_{j+1}(y)) = g_j(p_B(y)) = g_j(b) = 0$, also
    folgt $z \in \text{ker } p_C$. Da $h_{j+1} \circ g_{j+1} = 0$ folgt
    $h_{j+1}(z) = h_{j+1}(g_{j+1}(z)) = 0$. Da die untere Zeile exakt ist, existiert nun
    ein $\tilde{y} \in \text{ker } p_B$, s.d. $g_{j+1}(\tilde{y}) = z$. Also ist
    $y - \tilde{y} \in \text{ker } g_{j+1}$ und $p_B(y - \tilde{y}) = p_B(y) = b$.
    Setze $b_{j+1} \coloneqq y - \tilde{y}$ und $b_j \coloneqq b$.
    Dann konstruiere induktiv eine kompatible
    Familie $(b_i)_{i \ge j}$ mit $b_i \in \text{ker } g_{i}$. Für $i < j$ setze wie
    oben $b_i \coloneqq p_{B_{i+1}}(b_{i+1})$. Erneut liefert die Kommutativität von
    \eqref{eq:0.11-diag} ein kompatibles System $(b_i)_{i \in \N} \in \text{ker } g$ mit
    $b_j = b$.
\end{proof}


\begin{lemma}
    Die Klasse der exakten Komplexe in $\mathcal{K}(\mathcal{A}b)$ ist abgeschlossen unter speziellen inversen Limites.

    \label{lemma:exact-comp-complete-inv}
\end{lemma}

\begin{proof}
    Sei $(\com{S}_n)_{n \in \N}$ ein spezielles inverses System in $\mathcal{K}(\mathcal{A}b)$. Für $i \in \Z$
    erfüllt $(S_n^{i})_{n \in \N}$ die Bedingung (R) aus \ref{0.11}. Sei also $i \in \Z$ beliebig. Dann erfüllt
    \[
        (S_n^{i-1})_{n \in \N} \to (S_n^{i})_{n \in \N} \to (S_n^{i+1})_{n \in \N} \to (S_n^{i+2})_{n \in \N}
    \] die Bedingungen von \ref{0.11}, da nach Voraussetzung für alle $n > 1$ $\text{ker}(\com{S}_n \to \com{S}_{n-1})$
    exakt ist. Also ist
    \[
    \begin{tikzcd}
        \lim S_n^{i-1} \arrow{r} \arrow{d}{=} & \lim S_n^{i} \arrow{d}{=} \arrow{r} & \lim S_n^{i+1} \arrow{d}{=}\\
        (\lim S_n)^{i-1} \arrow{r} & (\lim S_n)^{i} \arrow{r} & (\lim S_n)^{i+1}
    \end{tikzcd}
    \] exakt. Da $i \in \Z$  beliebig, folgt $\lim S_n$ exakt.
\end{proof}

\begin{satz}
    Sei $\mathcal{B}$ eine weitere abelsche Kategorie und $\mathcal{J} \subset \mathcal{K}(B)$ abgeschlossen
    unter speziellen inversen Limites. Angenommen inverse Limites existieren in $\mathcal{A}$ und sei
    $F\colon \mathcal{K}(A) \to \mathcal{K}(B)$ ein kovarianter Funktor, der mit inversen Limites vertauscht und
    gradweise zerfallende kurze exakte Folgen erhält.

    Dann ist $F^{-1}(\mathcal{J}) \subset \mathcal{K}(\mathcal{A})$ abgeschlossen unter speziellen inversen Limites.

    \label{satz:complete-inv-system-functor}
\end{satz}

\begin{proof}
    Sei $(\com{S}_n)_{n \in \N}$ ein $F^{-1}(\mathcal{J})$-spezielles inverses System. Dann ist
    $(F(\com{S}_n))_{n \in \N}$ ein $\mathcal{J}$-spezielles System, denn
    \begin{enumerate}[(i)]
        \item $F(S_1) = F(1) = 0$, da $F$ mit inversen Limites vertauscht und die Null der Limes des leeren Diagramms
            ist.
        \item Für $n > 1$ ist nach Voraussetzung
            \[
            \begin{tikzcd}
                0 \arrow{r} & \text{ker } p_n \arrow{r} & \com{S}_n \arrow{r}{p_n} & \com{S}_{n-1} \arrow{r} & 0
            \end{tikzcd}
            \] 
            exakt, zerfällt gradweise und $\text{ker } p_n$ ist in $F^{-1}(\mathcal{J})$. Nach Voraussetzung ist damit
            \[
            \begin{tikzcd}
                0 \arrow{r} & F(\text{ker } p_n) \arrow{r} & F(\com{S}_n) \arrow{r}{F(p_n)} & F(\com{S}_{n-1}) \arrow{r} & 0
            \end{tikzcd}
            \] exakt und zerfällt gradweise. Aus der Exaktheit folgt damit auch
            $\text{ker } F(p_n) = F(\text{ker } p_n)$, also $\text{ker } F(p_n) \in \mathcal{J}$.
    \end{enumerate}
    Also $F(\lim \com{S}_n) = \lim F(\com{S}_n) \in \mathcal{J}$ und damit $\lim \com{S}_n \in F^{-1}(\mathcal{J})$.
\end{proof}

\begin{korollar}[]
    Sei $\mathcal{I}$ eine Klasse von Komplexen und angenommen in $\mathcal{A}$ existieren inverse Limites.

    Dann ist die Klasse aller Komplexe $\com{A} \in \mathcal{K}$, sodass
    $\com{\text{Hom}}(\com{T}, \com{A})$ exakt ist für alle $\com{T} \in \mathcal{I}$, abgeschlossen unter speziellen
    inversen Limites. Insbesondere ist die Klasse der K-injektiven Komplexe abgeschlossen unter speziellen inversen
    Limites.
\end{korollar}

\begin{proof}
    Sei $\mathcal{J}$ die Klasse der exakten Komplexe und für $\com{T} \in \mathcal{I}$ sei
    $\mathcal{E}_{\com{T}}$ die Klasse der Komplexe $\com{A} $, sodass
    $\com{\text{Hom}}(\com{T}, \com{A})$ exakt ist. Dann
    ist $\mathcal{E}_{\com{T}} = \com{\text{Hom}}(\com{T}, -)^{-1}(\mathcal{J})$. $\com{\text{Hom}}(\com{T}, -)$ erfüllt
    die Voraussetzungen von \ref{satz:complete-inv-system-functor}, denn:

    \begin{enumerate}[(i)]
        \item Nach \ref{lemma:exact-comp-complete-inv} ist
            $\mathcal{J}$ abgeschlossen unter speziellen inversen Limites.
        \item Wegen \ref{satz:adjunction-hom-tor-comp} ist $\com{\text{Hom}} (\com{T}, -)$ rechtsadjungiert und
            vertauscht daher mit Limites. Außerdem ist $\com{\text{Hom}}(\com{T}, -)$ gradweise additiv, erhält also
            gradweise zerfallende Folgen.
    \end{enumerate}
    Also ist $\mathcal{E}_{\com{T}}$ und damit $\bigcap_{\com{T} \in \mathcal{I}} \mathcal{E}_{\com{T} }$
    abgeschlossen unter speziellen inversen Limites.

    Das Insbesondere folgt wenn $\mathcal{I} = \mathcal{J}$ gesetzt wird.
\end{proof}

Wenn wir alle Pfeile umdrehen erhalten wir die folgende Definition und Ergebnisse:

\begin{definition}[Spezielles direktes System]
    Sei $\mathcal{P} \subset \mathcal{K}$ eine Klasse von Komplexen.
    \begin{enumerate}[(a)]
        \item Ein direktes System $(\com{P}_n)_{n \in \N}$ in $\mathcal{K}$ heißt $\mathcal{P}$-spezielles
            direktes System, falls folgende Bedingungen erfüllt sind:
            \begin{enumerate}[(i)]
                \item Falls $n = 1$, dann ist $\com{P}_n = 0$.
                \item Falls $n > 1$, dann sei $\com{C}_n$ der Kokern der natürlichen Abbildung
                    $\com{P}_{n-1} \to \com{P}_{n}$. Dann ist $\com{C}_n \in \mathcal{P}$ und
                    die kurze exakte Folge
                    \[
                    0 \to \com{P}_{n-1} \to \com{P}_{n} \to \com{C}_n \to  0
                    \] zerfällt stufenweise.
            \end{enumerate}
        \item Die Klasse $\mathcal{P}$ heißt abgeschlossen unter speziellen direkten Colimites, falls jedes
            $\mathcal{P}$-spezielle direkte System in $\mathcal{K}$ einen Colimes in $\mathcal{P}$ besitzt und jeder
            Komplex in $\mathcal{K}$, der isomorph ist zu einem Komplex in $\mathcal{P}$, bereits in $\mathcal{P}$ ist.
    \end{enumerate}
\end{definition}

Durch Umdrehen aller Pfeile, erhalten wir auch eine duale Version von \ref{lemma:bounded-compl-in-complete-class}.
Ebenfalls analog gilt:

% brauche ich nicht
%\begin{lemma}
%    Die Klasse der exakten Komplexe in $\mathcal{K}(\mathcal{A}b)$ ist abgeschlossen unter speziellen direkten Colimites.
%
%    \label{lemma:exact-comp-complete-inv}
%\end{lemma}
%
%\begin{proof}
%    
%\end{proof}

\begin{satz}
    Sei $\mathcal{B}$ eine weitere abelsche Kategorie und $\mathcal{J} \subset \mathcal{K}(B)$ abgeschlossen
    unter speziellen inversen Limites. Angenommen direkte Colimites existieren in $\mathcal{A}$ und sei
    $F\colon \mathcal{K}(A) \to \mathcal{K}(B)$ ein kontravarianter Funktor, der direkte Colimites in
    inverse Limites überführt und gradweise zerfallende kurze exakte Folgen erhält.

    Dann ist $F^{-1}(\mathcal{J}) \subset \mathcal{K}(\mathcal{A})$ abgeschlossen unter speziellen direkten Colimites.

    \label{satz:complete-dir-system-functor}
\end{satz}

\begin{korollar}[]
    Sei $\mathcal{I}$ eine Klasse von Komplexen und angenommen in $\mathcal{A}$ existieren direkte Colimites.

    Dann ist die Klasse aller Komplexe $\com{A} \in \mathcal{K}$, sodass
    $\com{\text{Hom}}(\com{A},  \com{T})$ exakt ist für alle $\com{T} \in \mathcal{I}$, abgeschlossen unter speziellen
    direkten Colimites. Insbesondere ist die Klasse der K-projektiven Komplexe abgeschlossen unter speziellen direkten
    Colimites.
    \label{kor:k-proj-closed}
\end{korollar}


\begin{definition}[]
    Angenommen inverse (bzw. direkte) Limites existieren in $\mathcal{K}$ und sei $\mathcal{G}$ eine Klasse von
    Komplexen in $\mathcal{K}$. Dann nennen wir $\underset{\leftarrow}{\mathcal{G}}$
    (bzw. $\underset{\rightarrow}{\mathcal{G}})$ die kleinste Klasse von Komplexen in $\mathcal{K}$, die abgeschlossen
    unter speziellen inversen (bzw. direkten) Limites ist und $\mathcal{G}$ enthält.
\end{definition}

\subsection{Existenz von K-projektiven und K-injektiven Auflösungen}

\subsubsection{Linksauflösungen}

Sei $\mathcal{P}$ eine Klasse von Komplexen in $\mathcal{K}$. Die folgenden Bedingungen an $\mathcal{P}$ sind
äquivalent:

% TODO: wirklich notwendig die beschränkung nach oben??
\begin{enumerate}[(1)]
    \item Jeder nach oben beschränkte Komplex $\com{A} \in \mathcal{K}$ hat eine Auflösung $\com{P} \to \com{A} $
        nach links mit $\com{P} \in \mathcal{P}$ und $\com{P} $ nach oben beschränkt.
    \item Für alle $\com{A} \in \mathcal{K} $ und $n \in \Z$, existiert ein $\com{P} \in \mathcal{P}$ mit
        $H^{i}(\com{P}) = 0$ für $i > n$ und ein Komplexhomomorphismus $f\colon \com{P} \to \com{A} $, der
        einen Isomorphismus $H^{i}(\com{P}) \to H^{i}(\com{A})$ induziert für $i \le n$.
\end{enumerate}

\begin{proof}
    (1) $\implies$ (2): Sei $\com{A} \in \mathcal{K}$ und $n \in \Z$. Dann ist $\tau_{\le n} \com{A}$ nach oben
beschränkt, also existiert ein $\com{P} \in \mathcal{P}$ und ein Quasiisomorphismus $s\colon \com{P} \to \tau_{\le n}\com{A}$. Durch Komposition mit dem natürlichen Komplexhomomorphismus $\tau_{\le n}\com{A} \to \com{A}$ erhalten wir
ein $f\colon \com{P} \to \com{A} $.
Für $i > n$ ist nun $H^{i}(\com{P}) = H^{i}(\tau_{\le n}\com{A}) = 0 $. Für $i \le n$ ist
$H^{i}(\tau_{\le n}\com{A}) = H^{i}(\com{A})$, also induziert $f$ den gewünschten Isomorphismus.

    (2) $\implies$ (1): Sei $\com{A} \in \mathcal{K}^{-}$. Ohne Einschränkung ist $A^{i} = 0$ für alle $i > 0$. Dann
    existiert für $n = 0$ ein $f\colon \com{P} \to \com{A} $ mit $\com{P} \in \mathcal{P}$ und $f$ induziert
    $H^{i}(\com{P}) \xrightarrow[\sim]{0 = H^{i}(f)} 0 = H^{i}(\com{A})$ für $i > 0$ und
    $H^{i}(\com{P})\xrightarrow[\sim]{H^{i}(f)} H^{i}(\com{A})$ für $i \le 0$. Also ist $f$ ein Quasiisomorphismus.
\end{proof}

Im Folgenden nehmen wir an, dass $\mathcal{P}$ die Eigenschaft (1) erfüllt.

\begin{bsp}[]
    Falls $\mathcal{A}$ genügend Projektive hat, können wir $\mathcal{P}$ als die Klasse der nach oben beschränkten
    Komplexe
    $\com{P} \in \mathcal{K}$ mit $P^{i}$ projektiv für alle $i \in \Z$ wählen.

    Ein solches $\com{P}$ ist K-projektiv, denn: Für alle eingradigen Komplexe $\com{Q}$ mit
    $Q^{i}$ projektiv für alle $i \in \Z$ ist $\com{Q} $ nach \ref{satz:single-degree-compl-k-proj} K-projektiv. Da
    nach \ref{kor:k-proj-closed} die Klasse der K-projektiven
    abgeschlossen unter speziellen direkten Colimites ist, folgt mit dem Dual von
    \ref{lemma:bounded-compl-in-complete-class}, dass $\com{P} $ K-projektiv ist.

    Erneut nach \ref{kor:k-proj-closed} sind die Komplexe in $\underset{\rightarrow}{\mathcal{P}}$ damit ebenfalls
    $K$-projektiv.

    \label{bsp:bounded-above-projectives}
\end{bsp}

Unser Ziel ist nun für einen gegebenen Komplex $\com{A}$ eine Auflösung nach Links durch einen Komplex
aus $\mathcal{P}$ zu konstruieren. Dazu schneiden wir den Komplex nach oben ab und lösen schrittweise auf. Das
folgende Lemma führt diese Konstruktion aus.

\begin{lemma}
    Sei $\com{A} \in \mathcal{K}$. Dann existiert ein $\mathcal{P}$-spezielles direktes System $(\com{P}_n)_{n\ge -1}$ und
    ein direktes System von Kettenhomomorphismen $f_n \colon \com{P}_n \to \tau_{\le n}\com{A}$, sodass
    $f_n$ ein Quasiisomorphismus ist für alle $n \ge 0$.
    \label{lemma:constr-dir-system}
\end{lemma}

\begin{proof}
    Wir gehen induktiv vor. Setze $\com{P}_{-1} = 0$ und $f_{-1} = 0$. Nach (1) existiert ein Quasiisomorphismus
    $f_0 \colon \com{P}_0 \to \tau_{\le 0}\com{A} $ mit $\com{P}_0 \in \mathcal{P}$.

    Sei nun $n \ge 1$ und seien $\com{P}_{-1}, \ldots, \com{P}_{n-1}$ und $f_{-1}, \ldots, f_{n-1}$ konstruiert mit $\com{P}_i \in \mathcal{K}^{-}$. Dann
    setze $\com{P} = \com{P}_{n-1}$, $\com{B} = \tau_{\le n} \com{A} $. Es sei
    $a_{n-1}\colon \tau_{\le n-1}\com{A} \to \tau_{\le n} \com{A} $ der natürliche Komplexhomomorphismus
    und $f = a_{n-1}f_{n-1}\colon \com{P} \to \com{B}$. Es gilt dann
    \begin{equation}
        f d_P = d_B f
        \label{eq:f-comp-hom} 
    \end{equation}
    Da $\com{B} = \tau_{\le n}\com{A}$ und $\com{P} $ nach oben beschränkt sind und
    $C_f^{i} = P^{i+1} \oplus B^{i}$, existiert mit (1) ein Quasiisomorphismus
    $g\colon \com{Q} \to \com{C}_f[-1] $ mit $\com{Q}[1] \in \mathcal{P}$ und
    $\com{Q} $ nach oben beschränkt. Da gradweise
    $C_f^{i}[-1] = P^{i} \oplus B^{i-1}$ ist $g = (g_i)_{i \in \Z}$ ist $g$ gradweise
    gegeben durch $g'_i\colon Q^{i} \to P^{i} $ und $g''_i\colon Q^{i} \to B^{i-1}$.

    Betrachte für $i \in \Z$ das folgende kommutative Diagramm:
    \begin{equation}
    \begin{tikzcd}
        \cdots \arrow{r} & Q^{i} \arrow{r}{d_{Q}} \arrow{d}{(g', g'')}
                         & Q^{i+1} \arrow{r} \arrow{d}{(g', g'')} & \cdots\\
        \cdots \arrow{r} & P^{i} \oplus B^{i-1} \arrow{r}{d_{C_f[-1]}} &
        P^{i+1} \oplus B^{i} \arrow{r} & \cdots
        \label{eq:1}
    \end{tikzcd}
    \end{equation}
    In Matrixnotation ist
    \begin{align*}
        d_{C_f} &= \begin{pmatrix} d_{P}[1] & 0 \\ f[1] & d_{B} \end{pmatrix} 
        \intertext{Also folgt}
        d_{C_f}[-1] &= - d_{C_f} = \begin{pmatrix} -d_{P}[1] & 0 \\ -f[1] & -d_{B} \end{pmatrix} 
    .\end{align*}
    Auswerten von \eqref{eq:1} in beiden Summanden liefert nun
    \begin{align}
        d_P g' &= g' d_Q \label{eq:g'-comp-hom} \\
        g''d_Q &= -fg' - d_Bg'' \label{eq:g''}
    .\end{align}
    Aus \eqref{eq:g'-comp-hom} folgt, dass $g'\colon \com{Q} \to \com{P} $ ein
    Komplexhomomorphismus ist. Setze nun
    $h\colon \com{C}_{-g'} \to \com{B} $ durch
    \[
        h(x,y) = g''[1](x) + f(y)
    .\]
    Betrachte nun für $i \in \Z$ das folgende Diagramm:
    \[
    \begin{tikzcd}
        \cdots \arrow{r} & Q^{i+1} \oplus P^{i} \arrow{r}{d_{C_{-g'}}} \arrow{d}{h} & Q^{i+2} \oplus P^{i+1} \arrow{r} \arrow{d}{h}
               & \cdots \\
        \cdots \arrow{r} & B^{i} \arrow{r}{d_{B}} & B^{i+1} \arrow{r} & \cdots
    \end{tikzcd}
    .\] In Matrixnotation ist
    \begin{salign*}
        h d_{C_{-g'}} &= \begin{pmatrix} g''[1] & f \end{pmatrix}
        \begin{pmatrix} d_Q[1] & 0 \\ -g'[1] & d_P \end{pmatrix}  \\
            &= \begin{pmatrix} 
                g''[1] d_Q[1] - f g'[1] & f d_P
            \end{pmatrix} \\
            &\stackrel{\eqref{eq:g''}}{=}
            \begin{pmatrix} 
                d_B g'' & f d_P
            \end{pmatrix}  \\
            &\stackrel{\eqref{eq:f-comp-hom}}{=}
            \begin{pmatrix} 
                d_B g'' & d_B f
            \end{pmatrix}  \\
            &= d_B h
    .\end{salign*}
    Also ist $h$ Komplexhomomorphismus. Bleibt zu zeigen, dass $h$ ein Quasiisomorphismus
    ist. Dafür genügt es nach \ref{mapping-cone-exact-for-qis} zu zeigen, dass $\com{C}_h$
    exakt ist. Behauptung: $\com{C}_h = \com{C}_{-g}[1]$.

    Es ist gradweise für $ i \in \Z$
    \[
        C_h^{i} = C_{-g}^{i+1} \oplus B^{i} = (Q^{i+2} \oplus P^{i+1}) \oplus B^{i}
        = Q^{i+2} \oplus (P^{i+1} \oplus B^{i})
        = Q^{i+2} \oplus C_f^i
        = C_{-g}^{i}[1]
    .\] Für die Differentiale gilt, wieder in Matrixnotation:
    \begin{align*}
        d_{C_h} = \begin{pmatrix}
            d_{C_{-g'}}[1] & 0 \\
            h[1] & d_B \end{pmatrix}[1]
            = \begin{pmatrix}
                \begin{pmatrix} d_Q[1] & 0 \\
                    -g'[1] & d_P
                \end{pmatrix}[1] & 0 \\
                    \begin{pmatrix} g''[1] & f \end{pmatrix}[1] & d_B
            \end{pmatrix} 
            = \begin{pmatrix} 
                -d_Q & 0 & 0 \\
                g' & -d_P & 0 \\
                g'' & f & d_B
            \end{pmatrix}
    .\end{align*}
    Analog folgt
    \begin{align*}
        d_{C_{-g}[1]} =
        \begin{pmatrix}
            d_Q[1] & 0 \\
            -g & d_{C_f[-1]}
        \end{pmatrix} [1]
        = \begin{pmatrix} d_Q[1] & 0 \\
            \begin{pmatrix} -g' \\ -g'' \end{pmatrix}[1]
            & \begin{pmatrix} d_P[1] & 0 \\ f[1] & d_{B} \end{pmatrix}[-1]
        \end{pmatrix}[1]
        = \begin{pmatrix} 
            - d_Q & 0 & 0 \\
            g' & -d_P & 0 \\
            g'' & f & d_B
        \end{pmatrix} 
    .\end{align*}
    Also folgt die Behauptung. Da $g$ und demnach $-g$ ein Quasiisomorphismus ist
    und Verschieben Exaktheit erhält,
    folgt damit mit \ref{mapping-cone-exact-for-qis} die Exaktheit von $\com{C}_{-g}[1]$.

    Setze nun $\com{P}_n \coloneqq \com{C}_{-g'}$ und $f_n \coloneqq h$. Da nach
    Voraussetzung $\com{P} $ und $\com{Q} $ nach oben beschränkt sind, ist auch
    $\com{C}_{-g'}$ nach oben beschränkt.

    Sei $p_{n-1}\colon \com{P}_{n-1} = \com{P} \to \com{P}_n$ die natürliche Abbildung.
    Dann ist $p_{n-1}$ gradweise gegeben durch die natürliche Inklusion
    $P^{i} \to Q^{i+1} \oplus P^{i}$. Also folgt
    $\text{coker } p_{n-1} = \com{Q}[1] \in \mathcal{P}$ und wir haben gradweise
    zerfallende exakte Folgen:
    \[
    \begin{tikzcd}
        0 \arrow{r} & P^{i} \arrow{r}{p_{n-1}} & Q^{i+1} \oplus P^{i} \arrow{r}
                    & Q^{i+1} \arrow{r} & 0
    \end{tikzcd}
    .\]
    Also ist $(\com{P}_n)_{n \ge -1}$ ein $\mathcal{P}$-spezielles direktes System.
    Außerdem ist nach Definition von $h$: $f_n p_{n-1} = h p_{n-1} = f = a_{n-1} f_{n-1}$,
    also kommutiert
    \[
    \begin{tikzcd}
        \com{P}_{n-1} \arrow{r}{p_{n-1}} \arrow{d}{f_{n-1}}
        & \com{P}_{n} \arrow{d}{f_n = h} \\
        \tau_{\le n-1}\com{A} \arrow{r}{a_{n-1}} & \tau_{\le n}\com{A}
    \end{tikzcd}
    \] und $(f_n)_{n \ge -1}$ ist ein direktes System.
\end{proof}

Dieses Lemma können wir nun anwenden, um das zentrale Ergebnis zu zeigen:

\begin{satz}
    Angenommen direkte Colimites existieren in $\mathcal{A}$ und
    $\colim$ ist exakt.

    Dann hat jeder Komplex in $\mathcal{K}$ eine
    $\underset{\rightarrow}{\mathcal{P}}$-Linksauflösung.

    \label{satz:existence-left-resolutions}
\end{satz}

\begin{proof}
    Sei $\com{A} \in \mathcal{K}$ und $(\com{P}_n)_{n \ge -1}$, $(f_n)_{n \ge -1}$ wie
    in \ref{lemma:constr-dir-system}. Da direkte Colimites in $\mathcal{A}$ existieren und
    sich diese in $\mathcal{K}$ gradweise bilden, existieren direkte Colimites
    in $\mathcal{K}$. Nach der Definition von $\underset{\rightarrow}{\mathcal{P}}$ ist dann
    $\com{P} \coloneqq \colim \com{P}_n$ in $\underset{\rightarrow}{\mathcal{P}}$.

    Wir erhalten ebenfalls
    \[
    f\coloneqq \colim f_n \colon \com{P} \longrightarrow \colim \tau_{\le n}\com{A}
    = \com{A} 
    .\] Da $\colim$ exakt, folgt für $i \in \Z$:
    \[
        H^{i}(f) = H^{i}(\colim f_n) = \colim \underbrace{H^{i}(f_n)}_{\text{Isomorphismus}}
    .\] Also ist $f$ ein Quasiisomorphismus.
\end{proof}

\begin{korollar}[]
    Angenommen direkte Colimites existieren in $\mathcal{A}$ und
    $\colim$ ist exakt.

    Dann hat jeder Komplex in $\mathcal{K}$ eine K-projektive Linksauflösung.
    \label{satz:existence-k-proj-resolution}
\end{korollar}

\begin{proof}
    Wähle $\mathcal{P}$ wie in Beispiel \ref{bsp:bounded-above-projectives} und wende
    \ref{satz:existence-left-resolutions} an.
\end{proof}

\subsubsection{Rechtsauflösungen}

Sei $\mathcal{J}$ eine Klasse von Komplexen in $\mathcal{K}$. Im Folgenden nehmen wir an,
dass $\mathcal{J}$ die folgende Eigenschaft erfüllt:

\begin{enumerate}[(1)]
    \item Jeder nach unten beschränkte Komplex $\com{A} \in \mathcal{K}$ hat eine
        Auflösung $\com{A} \to \com{I} $ nach rechts mit $\com{I} \in \mathcal{J}$ und
        $\com{I}$ nach unten beschränkt.
\end{enumerate}

\begin{bsp}
    Falls $\mathcal{A}$ genügend Injektive hat, können wir dual zu Beispiel
    \ref{bsp:bounded-above-projectives} $\mathcal{J}$ als die Klasse
    der nach unten beschränkten Komplexe mit in $\mathcal{A}$ injektiven Objekten wählen.
\end{bsp}

Durch Umdrehen der Pfeile erhalten wir die duale Aussagen von
\ref{lemma:constr-dir-system} und \ref{satz:existence-left-resolutions}:

\begin{lemma}[]
    Sei $\com{A} \in \mathcal{K}$. Dann existiert ein $\mathcal{J}$-spezielles
    inverses System $(\com{I}_n)_{n \ge -1}$ und ein inverses System von
    Kettenhomomorphismen $f_n\colon \tau^{\ge-n}\com{A} \to \com{I}_n$, sodass
    $f_n$ ein Quasiisomorphismus ist.
    \label{lemma:constr-inv-system}
\end{lemma}

\begin{satz}[]
    Angenommen inverse Limites existieren in $\mathcal{A}$ und
    $\lim$ ist exakt.

    Dann hat jeder Komplex in $\mathcal{K}$ eine
    $\underset{\rightarrow}{\mathcal{P}}$-Rechtsauflösung.

    \label{satz:existence-right-resolutions}
\end{satz}

\begin{bem}
    Leider findet \ref{satz:existence-right-resolutions} in $\mathcal{A} = R\text{-Mod}$ für
    $R$ ein Ring keine Anwendung, da hier $\lim$ nicht exakt ist.

    Diese Voraussetzung wird jedoch nur verwendet, um zu zeigen, dass
    $f = \lim f_n\colon \com{A} \to \lim \com{I}_n$ ein Quasiisomorphismus ist.
    Wir können uns der speziellen Struktur des inversen Systems
    $(\com{I}_n)_{n \ge -1}$ bedienen, um für $\mathcal{A} = R\text{-Mod}$ zu zeigen,
    dass $f$ dennoch ein Quasiisomorphismus ist.
\end{bem}

\begin{satz}[]
    Sei $R$ ein Ring und $\mathcal{A}$ die Kategorie der R-links-Moduln. Dann
    hat jeder Komplex in $\mathcal{K}$ eine K-injektive Rechtsauflösung.
    \label{satz:existence-k-inj-resolution}
\end{satz}

\begin{proof}
    Seien $(\com{I}_n)_{n \ge -1}$ und $(f_n)_{n \ge -1}$ wie in
    \ref{lemma:constr-inv-system}.  Seien $\com{I} = \lim \com{I}_n$ und
    $f = \lim f_n$. Es genügt zu zeigen, dass $f$ ein Quasiisomorphismus ist.

    Sei $i \in \Z$ beliebig. Für $n > 1$ haben wir folgendes kommutative Diagramm:
    \[
    \begin{tikzcd}
        \com{I} \arrow{r} \arrow{d}{f} & \com{I}_n \arrow{r}{p_n} \arrow{d}{f_n} & \com{I_{n-1}} \arrow{d}{f_{n-1}} \\
        \com{A} \arrow{r} & \tau^{\ge -n} \com{A} \arrow{r} & \tau^{\ge -(n-1)} \com{A} 
    \end{tikzcd}
    \] Wende nun $H^{i}(-)$ auf dieses Diagramm an:
    \begin{equation}
    \begin{tikzcd}
        H^{i}(\com{I}) \arrow{r} \arrow{d}{H^{i}(f)} & H^{i}(\com{I}_n) \arrow{r}{H^{i}(p_n)}
        \arrow{d}{H^{i}(f_n)}[swap]{\sim} & H^{i}(\com{I_{n-1}}) \arrow{d}{H^{i}(f_{n-1})}[swap]{\sim} \\
        H^{i}(\com{A}) \arrow{r} & H^{i}(\tau^{\ge -n} \com{A}) \arrow{r} & H^{i}(\tau^{\ge -(n-1)} \com{A}) 
    \end{tikzcd}
    \label{eq:diag-hi-in}
    .\end{equation}
    Die rechten beiden vertikalen Pfeile sind Isomorphismen, da $f_k$ ein
    Quasiisomorphismus ist für alle $k \ge -1$.

    Sei nun $n \ge -i+1$. Dann ist $i \ge -n + 1 \ge -n$, also ist
    $H^{i}(\com{A}) = H^{i}(\tau^{\ge -n}\com{A}) = H^{i}(\tau^{\ge -(n-1)} \com{A})$. Also
    sind die Abbildungen in der unteren Zeile in \eqref{eq:diag-hi-in} Isomorphismen und
    damit ist
    $H^{i}(p_n)\colon H^{i}(\com{I}_n) \to H^{i}(\com{I}_{n-1})$
    ein Isomorphismus.

    Betrachte nun die kurze exakte Folge
    \[
    \begin{tikzcd}
        0 \arrow{r} & \text{ker } p_n \arrow{r} & \com{I}_n \arrow{r}{p_n} & \com{I}_{n-1}
        \arrow{r} & 0
    \end{tikzcd}
    .\] Das liefert eine lange exakte Kohomologiefolge:
    \begin{equation}
    \begin{tikzcd}
        H^{i-1}(\com{I}_{n}) \arrow{r}{H^{i-1}(p_n)} & H^{i-1}(\com{I}_{n-1}) \arrow{r}
                                       & H^{i}(\text{ker } p_n) \arrow{r}
                                       & H^{i}(\com{I}_n) \arrow{r}{H^{i}(p_n)}
                                       & H^{i}(\com{I}_{n-1})
    \end{tikzcd}
    \label{eq:long-ex-hi-in}
    \end{equation}
    Anwenden des obigen Arguments auf $i-1$ liefert für
    $n \ge -(i-1) + 1 = -i+2 \ge -i+1$ Isomorphismen $H^{i}(p_n)$ und $H^{i-1}(p_n)$.
    Aufgrund der Exaktheit von \eqref{eq:long-ex-hi-in} folgt, dann dass
    $H^{i}(\text{ker } p_n) = 0$ für alle $n \ge -i+2$.

    Sei nun $m \in \Z$ beliebig. Dann setze $N \coloneqq -m + 1$. Dann ist
    für alle $n > N$:
    \[
        H^{m}(\text{ker } p_n) = 0 = H^{m+1}(\text{ker } p_n)
    .\] 
    Also ist die Folge
    \begin{equation}
        \begin{tikzcd}
            \text{ker } p_n^{m-1} \arrow{r} &
            \text{ker } p_n^{m} \arrow{r} &
            \text{ker } p_n^{m+1} \arrow{r} &
            \text{ker } p_n^{m+2}
        \end{tikzcd}
    \end{equation}
    für $n > N$ exakt. Das System
    \begin{equation*}
        \begin{tikzcd}
            (I_n^{m-1})_{n\ge -1} \arrow{r} &
            (I_n^{m})_{n\ge -1} \arrow{r} &
            (I_n^{m+1})_{n\ge -1} \arrow{r} &
            (I_n^{m+2})_{n\ge -1}
        \end{tikzcd}
    \end{equation*}
    erfüllt damit die Bedingungen von \ref{0.11}. Also ist die natürliche Abbildung
    \[
    H^{m}(\com{I}) \longrightarrow H^{m}(\com{I}_N) 
    \] ein Isomorphismus. Erneute Betrachtung von \eqref{eq:diag-hi-in} für $i=m$ und
    $n=N$ liefert nun, dass $H^{i}(f)$ ein Isomorphismus ist.
\end{proof}

\newpage

\section{Adjunktion von abgeleitetem Hom und Tensorprodukt}

Sei $A$ ein kommutativer Ring und im Folgenden $\mathcal{A}$ die Kategorie der $A$-Moduln.

\subsection{K-flache Komplexe}

Um das Tensorprodukt abzuleiten, benötigen wir noch eine weitere Klasse von Komplexen.

\begin{definition}[K-flacher Komplex]
    Ein Komplex $\com{M} \in \mathcal{K}$ heißt K-flach, wenn für jeden exakten Komplex
    $\com{S} \in \mathcal{K}$ auch $\com{M} \otimes_A \com{S}$ exakt ist.
\end{definition}

\begin{satz}
    Sei $\com{M} \in \mathcal{K}$ mit $M^{i} = 0$ für $i \neq 0$. Dann ist
    $\com{M} $ genau dann K-flach, wenn $M^{0}$ flacher $A$-Modul ist.
\end{satz}

\begin{proof}
    Sei $\com{M} \in \mathcal{K}$ wie im Satz. Dann ist für $\com{S} \in \mathcal{K}$ und
    $n \in \Z$:
    \[
        (\com{M} \otimes_A \com{S})^{n} = \bigoplus_{i+j=n} M^{i} \otimes_A S^{J}
        = M^{0} \otimes S^{n} = (M^{0} \otimes \com{S} )^{n}
    \] und für $m \in M^{0}$, $s \in S^{n}$:
    \[
    d_{\com{M} \otimes_A \com{S} }^{n}(m \otimes s)
    = \underbrace{d_{M}^{0}(m)}_{= 0} \otimes_A s + (-1)^{0} m \otimes_A d_{S}(s)
    = m \otimes_A d_S(s)
    = d_{M^{0} \otimes_A \com{S} }
    .\] Also ist $\com{M} \otimes_A \com{S} = M^{0} \otimes_A \com{S}$. Damit folgt
    die Behauptung aus den Definitionen.
\end{proof}

Im Folgenden benötigen wir folgendes Kritierium für die Exaktheit von Komplexen:

\begin{lemma}
    Sei $\com{A} \in \mathcal{K}$. Angenommen für jeden K-injektiven Komplex $\com{I} \in \mathcal{K}$ ist
    $\com{\text{Hom}}(\com{A}, \com{I})$ exakt. Dann ist $\com{A}$ exakt.
    \label{lemma:0.10}
\end{lemma}

\begin{proof}
    Sei $\com{B} \in \mathcal{K}$ beliebig. Dann existiert nach \ref{satz:existence-k-inj-resolution} ein
    K-injektiver Komplex $\com{I} \in \mathcal{K}$ und ein Quasiisomorphismus $\com{B} \to \com{I}$. Dann
    gilt $\com{B} \stackrel{\sim }{=} \com{I} $ in $\mathcal{D}$ und wir erhalten
    \[
        \text{Mor}_{\mathcal{D}}(\com{A}, \com{B}) \stackrel{\sim }{=} 
        \text{Mor}_{\mathcal{D}}(\com{A} , \com{I} ) \stackrel{\ref{satz:mork=mord-for-k-inj}}{=}
        \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{A} , \com{I} ) = 0
    .\] 
    Mit Yoneda folgt nun, dass $\com{A} \stackrel{\sim }{=} 0$ in $\mathcal{D}$. Da per Definition
    $H^{i}(-)\colon \mathcal{K} \to \mathcal{A}b$ über den kanonischen Funktor $Q\colon \mathcal{K} \to \mathcal{D}$
    faktorisiert, folgt $H^{i}(\com{A}) = 0$ für $i \in \Z$, also $\com{A}$ exakt.
\end{proof}

\begin{satz}[]
    Sei $\com{M} \in \mathcal{K} $. Dann sind äquivalent:
    \begin{enumerate}[(i)]
        \item $\com{M} $ ist K-flach.
        \item $\com{\text{Hom}}(\com{M}, \com{I})$ ist K-injektiv für jeden
            K-injektiven Komplex $\com{I} \in \mathcal{K}$.
    \end{enumerate}
    \label{satz:homs-of-k-flat-are-k-inj}
\end{satz}

\begin{proof}
    (i)$\implies$(ii): Sei $\com{I}$ K-injektiv und $\com{S}$ exakt. Dann ist
    \[
        \com{\text{Hom}} (\com{S} , \com{\text{Hom}}(\com{M}, \com{I}))
        \stackrel{\ref{satz:adjunction-hom-tor-comp}}{=}
        \com{\text{Hom}}(\underbrace{\com{S} \otimes_A \com{M}}_{\text{exakt}}, \underbrace{\com{I}}_{\text{K-injektiv}} )
    .\] Weil $\com{M} $ K-flach ist, folgt $\com{S} \otimes_A \com{M} $ exakt, also wegen $\com{I} $ K-injektiv,
    die Behauptung.

    (ii)$\implies$(i): Sei $\com{S} $ azyklisch. $A$-Mod hat genügend Injektive, also genügt es wegen \ref{lemma:0.10} zu
    zeigen, dass für jeden injektiven $A$-Modul $I$, $\com{\text{Hom}}(\com{S} \otimes_A \com{M}, I) $ exakt ist. Dazu
    sei $I$ injektiver $A$-Modul und $\com{I} = [ \cdots \to 0 \to I \to 0 \cdots]$.
    Dann ist nach \ref{satz:single-degree-compl-k-proj} $\com{I} $ K-injektiv und damit
    \[
        \com{\text{Hom}}(\com{S} \otimes_A \com{M}, I) = \com{\text{Hom}}(\com{S} \otimes_A \com{M}, \com{I})
        \stackrel{\ref{satz:adjunction-hom-tor-comp}}{=} \com{\text{Hom}}(\underbrace{\com{S}}_{\text{exakt}}, \underbrace{\com{\text{Hom}}(\com{M}, \com{I})}_{\text{K-injektiv}})
    \] exakt.
\end{proof}

\begin{satz}[]
    \begin{enumerate}[(a)]
        \item Falls $\com{M}, \com{N} \in \mathcal{K}$ K-flach sind, dann ist
            auch $\com{A} \otimes_A \com{B} $ K-flach.
        \item $\com{M} \in \mathcal{K}$ ist K-flach genau dann wenn $\com{M}[1]$
            K-flach ist.
        \item Falls zwei Punkte eines ausgezeichneten Dreiecks in $\mathcal{K}$ K-flach
            sind,
            dann auch der dritte.
    \end{enumerate}
    Insbesondere ist die volle Unterkategorie der K-flachen Komplexe in $\mathcal{K}$
    eine triangulierte Unterkategorie.
    \label{satz:k-flat-triangulated}
\end{satz}

\begin{proof}
    \begin{enumerate}[(a)]
        \item Seien $\com{M}, \com{N} \in \mathcal{K}$ K-flach und $\com{S} $ exakt. Dann
            ist
            \[
            (\com{M} \otimes_A \com{N}) \otimes \com{S} =
            \com{M} \otimes_A (\com{N} \otimes_A \com{S})
            \] und die rechte Seite ist exakt.
        \item Seien $\com{S}, \com{M} \in \mathcal{K}$.
            Dann sind $- \otimes_A \com{S} $ und $\com{M} \otimes_A -$ nach
            \ref{satz:tor-is-triangulated} ein triangulierter Funktor, also folgt
            \[
                \com{M}[1] \otimes_A \com{S} =
                (\com{M} \otimes_A \com{S})[1]
                = \com{M} \otimes_A \com{S}[1]
            .\] Da Verschieben Exaktheit erhält folgt daraus die Äquivalenz.
        \item Sei $(\com{M}, \com{N}, \com{P}, u, v, w)$ ein ausgezeichnetes Dreieck
            in $\mathcal{K}$ mit $\com{M}$ und $\com{N} $ K-flach. Sei weiter
            $\com{S} $ exakt. Da $- \otimes_A \com{S} $ nach \ref{satz:tor-is-triangulated}
            ein triangulierter Funktor ist, erhalten wir das ausgezeichnete Dreieck
            $(\com{M} \otimes_A \com{S}, \com{N} \otimes_A \com{S}, \com{P} \otimes_A \com{S}, u \otimes \text{id}_{\com{S} }, v \otimes \text{id}_{\com{S} }, w \otimes \text{id}_{\com{S} })$
            und damit für $i \in \Z$ die exakte Folge
            \[
            \begin{tikzcd}
                H^{i}(\com{N} \otimes_A \com{S}) \arrow{r} &
                H^{i}(\com{P} \otimes_A \com{S}) \arrow{r} &
                H^{i+1}(\com{M} \otimes_A \com{S})
            \end{tikzcd}
            .\] Da die äußeren Terme nach Voraussetzung $0$ sind, folgt die
            Exaktheit von $\com{P} \otimes_A \com{S} $ und damit, dass $\com{P} $
            K-flach ist.
            Der allgemeine Fall folgt nun mit \ref{TR2}.
    \end{enumerate}
    
\end{proof}

\begin{satz}[]
    Sei $\com{M} \in \mathcal{K}$ K-projektiv. Dann ist $\com{M} $ K-flach.
    \label{satz:k-proj-is-k-flat}
\end{satz}

\begin{proof}
    Sei $\com{M} $ K-projektiv und $\com{S} $ exakt. Sei weiter $\com{I} $ K-injektiv. Dann folgt
    \[
        \com{\text{Hom}} (\com{M} \otimes_A \com{S}, \com{I}) \stackrel{\ref{satz:adjunction-hom-tor-comp}}{=}
        \com{\text{Hom}}(\com{M}, \com{\text{Hom}}(\com{S}, \com{I} )
    .\] Es ist $\com{\text{Hom}}(\com{S}, \com{I})$ exakt, da $\com{I} $ K-injektiv und damit die rechte Seite, da
    $\com{M} $ K-projektiv ist. Also folgt die Behauptung mit \ref{lemma:0.10}.
\end{proof}

\begin{satz}[]
    Sei $\com{M} \in \mathcal{K}$ K-flach und exakt. Dann ist $\com{M} \otimes_A \com{N} $ exakt
    für alle $\com{N} \in \mathcal{K}$.
    \label{satz:tor-exact-for-k-flat}
\end{satz}

\begin{proof}
    Sei $\com{M} \in \mathcal{K}$ K-flach und exakt und sei $\com{N} \in \mathcal{K}$ beliebig. Dann existiert nach
    \ref{satz:existence-k-proj-resolution} ein $\com{P} \in \mathcal{K}$ K-projektiv und ein Quasiisomorphismus
    $\com{P} \to \com{N} $. Da $\com{M} $ K-flach, ist $\com{M} \otimes_A -$ ein exakter Funktor also folgt
    \begin{equation}
        H^{i}(\com{M} \otimes_A \com{N}) = \com{M} \otimes_A H^{i}(\com{N})
        = \com{M} \otimes_A H^{i}(\com{P})
        = H^{i}(\com{M} \otimes_A \com{P})
        \label{eq:cohom-groups-1}
    .\end{equation}
    Wegen \ref{satz:k-proj-is-k-flat} ist $\com{P} $ K-flach, also folgt mit der Exaktheit von $\com{M} $, dass
    $\com{M} \otimes_A \com{P} $ exakt ist. Damit folgt die Behauptung aus \eqref{eq:cohom-groups-1}.
\end{proof}

\begin{satz}[]
    Sei $\com{I} \in \mathcal{K}$ K-injektiv und exakt. Dann ist $\com{\text{Hom}}(\com{M} , \com{I} )$ exakt für alle
    $\com{M} \in \mathcal{K}$.

    \label{satz:hom-exact-for-k-inj}
\end{satz}

\begin{proof}
    Sei $\com{M} \in \mathcal{K}$ beliebig. Dann existiert nach
    \ref{satz:existence-k-proj-resolution} ein $\com{P} \in \mathcal{K}$ K-projektiv und ein Quasiisomorphismus
    $\com{P} \to \com{M}$. Da $\com{I} $ K-injektiv, ist $\com{\text{Hom}}(-, \com{I})$ ein exakter Funktor, also
    folgt
    \begin{equation}
        H^{i}(\com{\text{Hom}}(\com{M}, \com{I})) = \com{\text{Hom}}(H^{i}(\com{M}), \com{I})
        = \com{\text{Hom}}(H^{i}(\com{P}), \com{I})
        = H^{i}(\com{\text{Hom}}(\com{P} , \com{I}  ))
        \label{eq:cohom-groups-2}
    .\end{equation}
    Da $\com{P} $ K-projektiv und $\com{I} $ exakt, folgt die Exaktheit der rechten Seite und damit die Behauptung.
\end{proof}

Umdrehen der Pfeile liefert

\begin{satz}[]
    Sei $\com{P} \in \mathcal{K}$ K-projektiv und exakt. Dann ist $\com{\text{Hom}}(\com{P} , \com{M} )$ exakt für alle
    $\com{M} \in \mathcal{K}$.
    \label{satz:hom-exact-for-k-proj}
\end{satz}

\subsection{Abgeleitete $\com{\text{Hom}}$ Funktoren}

\begin{satz}[]
    Seien $\com{M}, \com{N} \in \mathcal{D}$. Dann ist $\text{R}\com{\text{Hom}}(\com{M}, \com{N})$ wohldefiniert
    und kann mithilfe einer K-projektiven Auflösung von $\com{M} $ oder einer K-injektiven Auflösung von $\com{N} $
    berechnet werden.
    \label{satz:derived-hom}
\end{satz}

\begin{proof}
    In der Notation von \ref{satz:existence-derived-functors} wähle $\mathcal{L}$ als die volle Unterkategorie der
    K-injektiven Komplexe von $\mathcal{K}$. Dann ist für $\com{M} $ beliebig:
    \begin{enumerate}[(i)]
        \item $\mathcal{L}$ ist trianguliert nach \ref{satz:k-proj-triangulated}.
        \item Für alle $\com{N} \in \mathcal{K}$ existiert ein Quasiisomorphismus $\com{N} \to \com{I} $ wegen \ref{satz:existence-k-inj-resolution}
            mit $\com{I} \in \mathcal{L}$.
        \item Nach \ref{satz:hom-exact-for-k-inj} ist $\com{\text{Hom}}(\com{M}, -)|_{\mathcal{L}}$ exakt.
    \end{enumerate}
    Also existiert R$\com{\text{Hom}}(\com{M} , -)$. Analog berechnet sich R$\com{\text{Hom}}(-, \com{N})$ für
    $\com{N} \in \mathcal{K}$ unter Wahl von $\mathcal{L}$
    als die volle Unterkategorie der K-projektiven Komplexe von $\mathcal{K}$. Beide Ableitungen stimmen überein, denn
    für $\com{M}, \com{N} \in \mathcal{K}$ beliebig und $\com{P} \to \com{M} $ und $\com{N} \to \com{I} $ K-projektive
    bzw. K-injektive Auflösungen gilt mit wiederholter Anwendung von \ref{satz:existence-derived-functors} und
    wegen $\com{P} \stackrel{\sim }{=} \com{M} $ und $\com{N} \stackrel{\sim }{=} \com{I} $ in $\mathcal{D}$:
    \begin{align*}
        \text{R}\com{\text{Hom}}(\com{M} , - )(\com{N})
        &= \text{R}\com{\text{Hom}}(\com{P} , -)(\com{I}) \\
        &= \com{\text{Hom}}(\com{P}, \com{I}) \\
        &= \text{R}\com{\text{Hom}}(-, \com{I} )(\com{P}) \\
        &= \text{R}\com{\text{Hom}}(-, \com{N} )(\com{M})
    .\end{align*}
\end{proof}

\subsection{Abgeleitetes Tensorprodukt}

\begin{satz}[]
    Seien $\com{M}, \com{N} \in \mathcal{D}$. Dann ist $\com{M} \otimes_A^{\text{L}} \com{N}$ wohldefiniert und
    kann mithilfe einer K-flachen Auflösung einer der Faktoren berechnet werden.
    \label{satz:derived-tor}
\end{satz}

\begin{proof}
    Erneut in der Notation von \ref{satz:existence-derived-functors} wähle $\mathcal{L}$
    als die volle Unterkategorie der K-flachen Komplexe von $\mathcal{K}$. Dann ist
    für $\com{N}$ beliebig:
    \begin{enumerate}[(i)]
        \item $\mathcal{L}$ ist trianguliert nach \ref{satz:k-flat-triangulated}.
        \item Für alle $\com{M} \in \mathcal{K}$ existiert nach
            \ref{satz:existence-k-proj-resolution} und \ref{satz:k-proj-is-k-flat}
            ein Quasiisomorphismus
            $\com{P} \to \com{M}$ mit $\com{P} \in \mathcal{L}$.
        \item Nach \ref{satz:tor-exact-for-k-flat} ist
            $\com{N} \otimes_A -|_{\mathcal{L}}$ exakt.
    \end{enumerate}
    Also existiert $\com{N} \otimes_A^{\text{L}} -$ und analog für
    $- \otimes_A^{L} \com{N}$.
\end{proof}

\subsection{Adjunktion}

Jetzt können wir alles zusammentragen und erhalten:

\begin{satz}
    Seien $\com{M}, \com{N}, \com{P} \in \mathcal{D}$. Dann existiert ein natürlicher
    Isomorphismus, der funktoriell in allen Variablen ist:
    \[
    \text{R}\com{\text{Hom}}(\com{M} \otimes_A^{\text{L}} \com{N}, \com{P})
    = \text{R}\com{\text{Hom}}(\com{M}, \text{R}\com{\text{Hom}}(\com{N}, \com{P}))
    .\] 
    \label{satz:adjunction-rhom-rtor}
\end{satz}

\begin{proof}
    Nach \ref{satz:derived-hom} und \ref{satz:derived-tor} sind alle Terme wohldefiniert
    und wir können mit \ref{satz:existence-k-proj-resolution} und
    \ref{satz:k-proj-is-k-flat} ohne Einschränkung annehmen, dass $\com{N} $ K-flach ist,
    und mit \ref{satz:existence-k-inj-resolution}, dass $\com{P} $ K-injektiv ist.

    Dann folgt
    \begin{align*}
        \text{R}\com{\text{Hom}}(\com{M} \otimes_A^{\text{L}} \com{N}, \com{P})
        &= \text{R}\com{\text{Hom}}(\com{M} \otimes_A \com{N}, \com{P}) \\
        &= \com{\text{Hom}}(\com{M} \otimes_A \com{N}, \com{P} ) \\
        &\stackrel{\ref{satz:adjunction-hom-tor-comp}}{=}
        \com{\text{Hom}}(\com{M}, \com{\text{Hom}}(\com{N}, \com{P})) \\
        &= \text{R}\com{\text{Hom}}(\com{M}, \com{\text{Hom}}(\com{N}, \com{P})) \\
        &= \text{R}\com{\text{Hom}}(\com{M}, \text{R}\com{\text{Hom}}(\com{N}, \com{P}))
    .\end{align*}
    Das letzte Gleichheitszeichen gilt, weil nach \ref{satz:homs-of-k-flat-are-k-inj}
    $\com{\text{Hom}}(\com{N}, \com{P})$ K-injektiv ist.
\end{proof}

\begin{korollar}[]
    Seien $\com{M}, \com{N}, \com{P} \in \mathcal{D}$. Dann existiert ein natürlicher
    Isomorphismus, der funktoriell in allen Variablen ist:
    \[
        \text{Mor}_{\mathcal{D}}(\com{M} \otimes_A^{\text{L}} \com{N}, \com{P})
        = \text{Mor}_{\mathcal{D}}(\com{M}, \text{R}\com{\text{Hom}}(\com{N} , \com{P} )
    .\] Insbesondere gilt folgende Funktoradjunktion in $\mathcal{D}$:
    \[
    - \otimes_A^{\text{L}} N \dashv \text{R}\com{\text{Hom}}(\com{N}, -)
    .\] 
\end{korollar}

\begin{proof}
    Wir können wieder annehmen, dass $\com{N}$ K-flach und $\com{P} $ K-injektiv ist.
    Dann betrachte:
    \begin{salign*}
        \text{Mor}_{\mathcal{D}}(\com{M} \otimes_A^{\text{L}} \com{N}, \com{P})
        &\stackrel{\ref{satz:mork=mord-for-k-inj}}{=}
        \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{M} \otimes_A^{\text{L}} \com{N}, \com{P}) \\
        &\stackrel{\ref{hom-compl-cohomgroups}}{=}
        H^{0}\com{\text{Hom}}(\com{M} \otimes_A^{\text{L}} \com{N}, \com{P}) \\
        &= H^{0}\com{\text{Hom}}(\com{M} \otimes_A \com{N}, \com{P}) \\
        &\stackrel{\ref{satz:adjunction-hom-tor-comp}}{=}
        H^{0}\com{\text{Hom}}(\com{M}, \com{\text{Hom}}(\com{N}, \com{P})) \\
        &\stackrel{\ref{hom-compl-cohomgroups}}{=}
        \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{M}, \com{\text{Hom}}(\com{N}, \com{P})) \\
        &\stackrel{\ref{satz:mork=mord-for-k-inj}}{=}
        \text{Mor}_{\mathcal{D}}(\com{M}, \com{\text{Hom}}(\com{N}, \com{P})) \\
        &= \text{Mor}_{\mathcal{D}}(\com{M}, \text{R}\com{\text{Hom}}(\com{N}, \com{P}))
    .\end{salign*}
    Das letzte Gleichheitszeichen gilt erneut, weil nach \ref{satz:homs-of-k-flat-are-k-inj}
    $\com{\text{Hom}}(\com{N}, \com{P})$ K-injektiv ist.
\end{proof}

\end{document}