uni/sose2022/bachelorarbeit/arbeit.tex

\documentclass{arbeit}

\author{Christian Merten}
\title{Auflösung unbeschränkter Komplexe}
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\begin{document}

\maketitle

\section{Einleitung}

\section{Derivierte Kategorien und abgeleitete Funktoren}

Seien $\mathcal{A}, \mathcal{B}$ abelsche Kategorien und sei $F\colon \mathcal{A} \to 
\mathcal{B}$ ein Funktor. Das Ziel ist es in natürlicher Weise für jedes Objekt
$X \in \mathcal{A}$ einen Komplex $\text{R}F(X)$ zu definieren, dessen Kohomologiegruppen,
falls $F$ linksexakt ist,
mit den klassischen Rechtsableitungen von $F$ bei $X$ übereinstimmen.

Allgemeiner definieren wir $\text{R}F(\com{X})$
für jeden Komplex $\com{X}$ in $\mathcal{A}$. Genauer gesagt konstruieren wir einen
Funktor $\text{R}F$ von der derivierten Kategorie $\mathcal{D}(\mathcal{A})$ von
$\mathcal{A}$ in die derivierte Kategorie $\mathcal{D}(\mathcal{B})$ von $\mathcal{B}$.
Die derivierte Kategorie $\mathcal{D}(\mathcal{A})$ erhalten wir durch Lokalisierung,
analog zum gleichnamigen Vorgang in der kommutativen Algebra: Wir starten mit der Kategorie
$\mathcal{K}(\mathcal{A})$, der Komplexkategorie von $\mathcal{A}$, wobei die Morphismen
Homotopieäquivalenzklassen von Komplexhomomorphismen sind. Daraus erhalten
wir dann $\mathcal{D}(\mathcal{A})$ indem alle Quasiisomorphismen in
$\mathcal{K}(\mathcal{A})$, das heißt Komplexhomomorphismen, die Isomorphismen auf den
Kohomologiegruppen induzieren, in $\mathcal{D}(\mathcal{A})$ zu Isomorphismen erklärt werden.

Dieser Lokalisierungsprozess wird im Folgenden skizziert. Die Vorgehensweise orientiert
sich an Kapitel 1 von \cite{hartshorne}.

\subsection{Triangulierte Kategorien}

Auch wenn $\mathcal{A}$ eine abelsche Kategorie ist, sind $\mathcal{K}(\mathcal{A})$
und $\mathcal{D}(\mathcal{A})$ im Allgemeinen nicht abelsch; sie genügen jedoch einer
anderen Struktur, die einer triangulierten Kategorie.

\begin{definition}[Triangulierte Kategorie]
    Eine triangulierte Kategorie ist eine additive Kategorie $\mathcal{T}$ mit
    \begin{enumerate}[(a)]
        \item einem additiven Kategorienautomorphismus
            $T\colon \mathcal{T} \to \mathcal{T}$, dem Verschiebefunktor, und
        \item einer Klasse von Sextupeln $(X, Y, Z, u, v, w)$, den ausgezeichneten Dreiecken von $\mathcal{T}$, wobei
            $X, Y, Z \in \mathcal{T}$ und $u\colon X \to Y$, $v\colon Y \to Z$, $w\colon Z \to T(X)$ Morphismen sind.
    \end{enumerate}
    Ein Morphismus von ausgezeichneten Dreiecken
    $(X, Y, Z, u, v, w) \to (X', Y', Z', u', v', w')$ ist ein kommutatives Diagramm
    \[
    \begin{tikzcd}
        X \arrow{r}{u} \arrow{d} & Y \arrow{r}{v} \arrow{d} & Z \arrow{r}{w} \arrow{d} & T(X) \arrow{d} \\
        X' \arrow{r}{u'} & Y' \arrow{r}{v'} & Z' \arrow{r}{w'} & T(X') \\
    \end{tikzcd}
    .\] 
    Weiter unterliegen diese Daten den folgenden Axiomen:
    \begin{enumerate}[(TR1), leftmargin=14mm]
        \item Jedes zu einem ausgezeichneten Dreieck
            isomorphe Sextupel $(X, Y, Z, u, v, w)$ wie oben, ist ein ausgezeichnetes Dreieck. Jeder
            Morphismus $u\colon X \to Y$ kann in ein ausgezeichnetes Dreieck $(X, Y, Z, u, v, w)$ eingebettet werden
            und das Sextupel $(X, X, 0, \text{id}_X, 0, 0)$ ist ein ausgezeichnetes Dreieck für alle $X \in \mathcal{T}$.
        \item $(X, Y, Z, u, v, w)$ ist ein ausgezeichnetes Dreieck genau dann wenn $(Y, Z, T(X), v, w, -T(u))$ ein
            ausgezeichnetes Dreieck ist.
        \item Für zwei ausgezeichnete Dreiecke $(X, Y, Z, u, v, w)$ und $(X', Y', Z', u', v', w')$, und
            Morphismen $f\colon X \to X'$, $g\colon Y \to Y'$, die mit $u$ und $u'$ kommutieren, existiert
            ein nicht notwendig eindeutiger Morphismus $h\colon Z \to Z'$, sodass $(f, g, h)$ ein Morphismus
            von ausgezeichneten Dreiecken ist.
    \end{enumerate}
    \label{TR2}
\end{definition}

\begin{bem}
    Streng genommen ist die hier definierte Triangulierte Kategorie nur eine Pretriangulierte Kategorie. Für
    eine vollständig triangulierte Kategorie fehlt noch das Oktaheder Axiom
    (TR4 in \cite{hartshorne}), das wir im Folgenden jedoch nicht benötigen.
\end{bem}

\begin{definition}
    Sei $\mathcal{T}$ eine triangulierte Kategorie mit Verschiebefunktor $T$.
    Eine Unterkategorie $\mathcal{R}$ von $\mathcal{T}$ heißt
    triangulierte Unterkategorie, wenn gilt
    \begin{enumerate}[(i)]
        \item für jedes Objekt $X \in \mathcal{T}$ ist $X \in \mathcal{R}$, genau dann wenn
            $T(X) \in \mathcal{R}$ ist, und
        \item falls zwei Punkte eines ausgezeichneten Dreiecks in $\mathcal{T}$ in $\mathcal{R}$ liegen, so auch
            der dritte.
    \end{enumerate}
    \label{def:triangulated-subcategory}
\end{definition}

\begin{definition}[Triangulierter Funktor]
    Ein additiver (kovarianter) Funktor $F\colon \mathcal{T} \to \mathcal{S}$ zwischen triangulierten Kategorien
    heißt trianguliert, wenn er ausgezeichnete Dreiecke in ausgezeichnete Dreiecke überführt und mit dem
    Verschiebefunktor kommutiert.
\end{definition}

\begin{definition}[Kohomologischer Funktor]
    Ein additiver (kovarianter) Funktor $H\colon \mathcal{T} \to \mathcal{A}$ von einer triangulierten Kategorie
    in eine abelsche Kategorie heißt (kovarianter) kohomologischer Funktor, wenn für jedes
    ausgezeichnete Dreieck $(X, Y, Z, u, v, w)$ von $\mathcal{T}$ die lange Folge
    \[
    \begin{tikzcd}
        \cdots \arrow{r} & H(T^{i}X) \arrow{r} & H(T^{i}Y) \arrow{r} & H(T^{i}Z) \arrow{r} & H(T^{i+1}X) \arrow{r}
        & \cdots
    \end{tikzcd}
    \] exakt ist. Wenn $H$ ein kohomologischer Funktor ist, dann schreiben wir auch $H^{i}(X)$ für $H(T^{i}X)$
    für $i \in \Z$.
\end{definition}

\begin{lemma}
    Sei $\mathcal{T}$ eine triangulierte Kategorie und $X \in \mathcal{T}$.
    Dann sind $\text{Mor}_{\mathcal{T}}(X, -)$ und $\text{Mor}_{\mathcal{T}}(-, X)$ kohomologische Funktoren.
    \label{hom-cohom-func}
\end{lemma}

\begin{proof}
    siehe Proposition 1.1 in \cite{hartshorne}.
\end{proof}

\subsection{Homotopiekategorie}

Das kanonische Beispiel für eine triangulierte Kategorie ist die Homotopiekategorie einer additiven Kategorie $\mathcal{C}$.

\begin{definition}[Homotopiekategorie]
    Sei $\mathcal{C}$ eine additive Kategorie. Dann ist die Homotopiekategorie
    $\mathcal{K}(\mathcal{C})$ von $\mathcal{C}$, die Kategorie, deren Objekte
    Komplexe mit Objekten aus $\mathcal{C}$ sind und
    deren Morphismen Homotopieäquivalenzklassen von Komplexhomomorphismen sind.
\end{definition}

%\begin{bem}
In der Homotopiekategorie haben wir einen natürlichen Kategorienautomorphismus
$T\colon \mathcal{K}(\mathcal{C}) \to \mathcal{K}(\mathcal{C})$, der
durch Verschieben nach links gegeben ist, das
heißt für $\com{X} \in \mathcal{K}(\mathcal{C})$ durch
\begin{equation}
    T(\com{X})^{i} = X^{i+1} \text{ und } d_{T(\com{X})} = - d_{\com{X}}
    \label{eq:shift-functor}
\end{equation}
%\end{bem}

\begin{bem}[Notation]
    Für $\com{X} \in \mathcal{K}(\mathcal{C})$ schreiben wir auch
    \[
        \com{X}[n] = T^{n}(\com{X})
    .\] 
\end{bem}

Um die ausgezeichneten Dreiecke in $\mathcal{K}(\mathcal{C})$ zu erklären, benötigen wir
den Abbildungskegel eines Morphismus in $\mathcal{K}(\mathcal{C})$:

\begin{definition}[Abbildungskegel]
    Seien $\com{X}, \com{Y} \in \mathcal{K}$ zwei Komplexe und $f\colon \com{X} \to \com{Y}$ ein
    Komplexhomomorphismus. Dann sei der Abbildungskegel
    $\com{C}_f \in \mathcal{K}(\mathcal{C})$ definiert durch
    \[
    C_f^{n} = X^{n+1} \oplus Y^{n}
    \] mit Differential
    \[
    d_{\com{C}_f} = \begin{pmatrix} 
        d_{\com{X}[1]} & 0 \\
        f[1] & d_{\com{Y} }
    \end{pmatrix} 
    .\]
    \label{def:mapping-cone}
\end{definition}

\begin{bem}
    \begin{enumerate}[(1)]
        \item In der Situation von \ref{def:mapping-cone} haben wir kanonische Morphismen
            $i\colon \com{Y} \to \com{C}_{f}$ und $p\colon \com{C}_{f} \to \com{X}[1]$.
        \item Oft wird auch die Notation $\com{C}_f = \com{X}[1] \oplus \com{Y}$ verwendet.
            Man beachte jedoch, dass der Abbildungskegel \emph{nicht} das Koprodukt
            von $\com{X}[1]$ und $\com{Y}$ ist.
    \end{enumerate}
\end{bem}

\begin{satz}[Homotopiekategorie ist trianguliert]
    Sei $\mathcal{C}$ eine additive Kategorie. Dann ist die Homotopiekategorie $\mathcal{K}(\mathcal{C})$
    mit den folgenden Daten trianguliert:
    \begin{enumerate}[(a)]
        \item Der Verschiebefunktor $T\colon \mathcal{K}(\mathcal{C}) \to \mathcal{K}(\mathcal{C})$ wie in \ref{eq:shift-functor}.
        \item Ein Sextupel $(\com{X}, \com{Y}, \com{Z}, u, v, w)$
            wie in \ref{TR2} in $\mathcal{K}(\mathcal{C})$ 
            ist ein ausgezeichnetes Dreieck,
            genau dann wenn
            es im Sinne von ausgezeichneten Dreiecken isomorph ist zu einem Sextupel
            der Form
            $(\com{X}, \com{Y}, \com{C_{f}}, f, i, p)$,
            wobei $f\colon \com{X} \to \com{Y} $ ein Morphismus
            in $\mathcal{K}(\mathcal{C})$ ist und $i\colon \com{Y} \to  \com{C_{f}}$,
            $p\colon \com{C}_{f} \to \com{X}[1]$ die kanonischen Morphismen sind.
    \end{enumerate}
\end{satz}

\begin{proof}
    siehe Kapitel 1, §2 in \cite{hartshorne}.
\end{proof}

Sei nun $\mathcal{A}$ eine abelsche Kategorie und $\mathcal{K} = \mathcal{K}(\mathcal{A})$ die Homotopiekategorie.

\begin{lemma}
    Der Funktor $H\colon \mathcal{K} \to \mathcal{A}b$ der einen Komplex $\com{A}$
    auf seine nullte Kohomologiegruppe abbildet, ist ein kohomologischer Funktor.

    \label{lemma:cohom-is-cohom-functor}
\end{lemma}

\begin{proof}
    siehe Kapitel 1, §2 in \cite{hartshorne}.
\end{proof}

Daraus erhalten wir insbesondere folgendes Kriterium, ob ein Komplexhomomorphismus ein Quasiisomorphismus ist:

\begin{lemma}[]
    Seien $\com{A}, \com{B} \in \mathcal{K}$ und $f\colon \com{A} \to \com{B} $ ein Komplexhomomorphismus.
    Dann ist $f$ ein Quasiisomorphismus, genau dann wenn $\com{C}_f$ exakt ist.
    \label{mapping-cone-exact-for-qis}
\end{lemma}

\begin{proof}
    Es ist $(\com{A}, \com{B}, \com{C}_f, f, \iota, \rho)$ ein ausgezeichnetes Dreieck in $\mathcal{K}$ mit
    $\iota\colon \com{B} \to \com{C}_f$ und $\rho\colon \com{C}_f \to \com{A}[1]$ die natürlichen
    Morphismen. Also
    erhalten wir mit \ref{lemma:cohom-is-cohom-functor} für $i \in \Z$ eine exakte Folge
    \[
        \begin{tikzcd}
            H^{i-1}(\com{C}_f) \arrow{r}
            & H^{i}(\com{A}) \arrow{r}{H^{i}(f)}
            & H^{i}(\com{B}) \arrow{r}
            & H^{i}(\com{C}_f) \arrow{r}
            & H^{i+1}(\com{A}) \arrow{r}{H^{i+1}(f)}
            & H^{i+1}(\com{B})
        \end{tikzcd}
    .\] Die Exaktheit liefert nun die Äquivalenz.
\end{proof}

\begin{bem}
    Falls in der Situation von \ref{mapping-cone-exact-for-qis}, 
    $H^{i}(f)$ ein Isomorphismus ist für $i \gg 0$ (bzw. $i \ll 0$), folgt aus der exakten Folge im Beweis,
    dass $H^{i}(\com{C}_f) = 0$ für $i \gg 0$ (bzw. $i \ll 0$).
    \label{bem:mapping-cone-h-bounded}
\end{bem}

\begin{korollar}
    Sei $\mathcal{B}$ eine weitere abelsche Kategorie und
    $F\colon \mathcal{K}(\mathcal{A}) \to \mathcal{K}(\mathcal{B})$
    ein triangulierter Funktor.
    Dann erhält $F$ genau dann Exaktheit von Komplexen, wenn $F$ Quasiisomorphismen erhält.
    \label{kor:exactness-preserver-preserves-qis}
\end{korollar}

\begin{proof}
    ($\Rightarrow$) Seien $\com{X}, \com{Y} \in \mathcal{K}(\mathcal{A})$
    und $f\colon \com{X} \to \com{Y}$ ein Quasiisomorphismus. Dann ist
    \[
    \begin{tikzcd}
        \com{X} \arrow{r}{f} & \com{Y} \arrow{r} & \com{C}_f \arrow{r} & \com{X}[1]
    \end{tikzcd}
    \] ein ausgezeichnetes Dreieck in $\mathcal{K}(\mathcal{A})$, wobei $\com{C}_f$
    nach \ref{mapping-cone-exact-for-qis} exakt ist.  Nach Voraussetzung ist
    \[
    \begin{tikzcd}
        F(\com{X}) \arrow{r}{F(f)} & F(\com{Y}) \arrow{r} & F(\com{C}_f) \arrow{r} & \com{X}[1]
    \end{tikzcd}
    \] ebenfalls ein ausgezeichnetes Dreieck und wir erhalten für $i \in \Z$ die exakte Folge:
    \[
    \begin{tikzcd}
        H^{i-1}(F(\com{C}_f)) \arrow{r} & H^{i}(F(\com{X})) \arrow{r} & H^{i}(F(\com{Y})) \arrow{r} &
        H^{i}(F(\com{C}_f))
    \end{tikzcd}
    .\] Die äußeren Terme sind $0$, weil $F$ Exaktheit erhält. Aus der Exaktheit der Folge, folgt damit
    der gewünschte Isomorphismus.

    ($\Leftarrow$) Sei $\com{X} \in \mathcal{K}(\mathcal{A})$ exakt. Dann ist $\com{X} \to \com{0}$
    ein Quasiisomorphismus, also auch $F(\com{X}) \to F(\com{0} )$. Da $F$ additiv ist, folgt $F(\com{0}) = \com{0}$ und damit
    die Behauptung.
\end{proof}

\subsection{Lokalisierung von Kategorien}

Wie anfangs erwähnt, ist die derivierte Kategorie $\mathcal{D}(\mathcal{A})$ einer
abelschen Kategorie $\mathcal{A}$
eine Lokaliserung der Homotopiekategorie $\mathcal{K}(\mathcal{A})$.
Diese funktioniert analog zum gleichnamigen Prozess in der kommutativen Algebra, was
uns zu folgendem Begriff führt:

\begin{definition}[Multiplikatives System]
    Sei $\mathcal{C}$ eine Kategorie. Eine Klasse $\mathcal{S}$ von Morphismen von $\mathcal{C}$ heißt
    multiplikatives System, wenn es die folgenden Axiome erfüllt:
    \begin{enumerate}[(FR1), leftmargin=14mm]
        \item Wenn $f, g \in \mathcal{S}$, sodass $fg$ existiert, ist $fg \in \mathcal{S}$. Für
            alle $X \in \mathcal{C}$ ist $\text{id}_{X}\in \mathcal{S}$.
        \item Jedes Diagramm in $\mathcal{C}$
            \[
            \begin{tikzcd}
                & Z \arrow{d}{s} \\
                X \arrow{r}{u} & Y \\
            \end{tikzcd}
            \] mit $s \in \mathcal{S}$ kann zu einem kommutativen Diagramm
            \[
            \begin{tikzcd}
                W \arrow{r}{v} \arrow{d}{t} & Z \arrow{d}{s} \\
                X \arrow{r}{u} & Y
            \end{tikzcd}
            \] mit $t \in \mathcal{S}$ ergänzt werden. Analog gilt die selbe Aussage mit allen Pfeilen umgedreht.
        \item Für $f, g \colon X \to Y$ Morphismen in $\mathcal{C}$, sind die folgenden Bedingungen äquivalent:
            \begin{enumerate}[(i)]
                \item Es existiert ein $s\colon Y \to Y'$ in $\mathcal{S}$, sodass $sf = sg$.
                \item Es existiert ein $t\colon X \to X'$ in $\mathcal{S}$, sodass $ft = gt$.
            \end{enumerate}
    \end{enumerate}
    \label{def:mult-system}
\end{definition}

\begin{definition}[Lokalisierung]
    Seien $\mathcal{C}$ eine Kategorie und $\mathcal{S}$ eine Klasse von Morphismen in $\mathcal{C}$. Dann
    ist die Lokalisierung von $\mathcal{C}$ in Bezug auf $\mathcal{S}$ eine Kategorie $\mathcal{C}_{\mathcal{S}}$
    zusammen mit einem Funktor $Q\colon \mathcal{C} \to \mathcal{C}_{\mathcal{S}}$, sodass
    \begin{enumerate}[(a)]
        \item $Q(s)$ ein Isomorphismus ist für alle $s \in \mathcal{S}$ und
        \item jeder Funktor $F\colon \mathcal{C} \to \mathcal{D}$, sodass $F(s)$ ein Isomorphismus ist
            für alle $s \in \mathcal{S}$, eindeutig über $Q$ faktorisiert.
    \end{enumerate}
    \label{def:localisation}
\end{definition}

\begin{definition}
    Sei $\mathcal{C}$ eine Kategorie und $\mathcal{S}$ ein multiplikatives System in $\mathcal{C}$. Dann definiere
    die Kategorie $\mathcal{C}_{\mathcal{S}}$ durch
    \begin{enumerate}[(a)]
        \item $ob(\mathcal{C}) = ob(\mathcal{C}_{\mathcal{S}})$.
        \item Für $X, Y \in \mathcal{C}$ setze
            $\text{Mor}_{\mathcal{C}_{\mathcal{S}}}(X, Y) = \{ (f, Z, s)  \mid f \colon Z \to Y, 
            s \colon Z \to X \text{ mit } s \in \mathcal{S}\} / \sim $ wobei
            $(f, Z, s) \sim (f', Z', s')$ genau dann wenn ein kommutatives Diagramm
            \[
            \begin{tikzcd}
                & Z \arrow{dl}{s} \arrow{dr}{f} & \\
                X & W \arrow{l}{t} \arrow{u}{g} \arrow{d}{h} & Y \\
                  & \arrow{ul}{s'} Z' \arrow{ur}{f'} &
            \end{tikzcd}
            \] mit $t \in \mathcal{S}$ in $\mathcal{C}$ existiert.
        \item Für $(f, U, s) \in \text{Mor}_{\mathcal{C}_{\mathcal{S}}}(X, Y)$,
            $(g, V, t) \in \text{Mor}_{\mathcal{C}_{\mathcal{S}}}(Y, Z)$ sei
            die Komposition definiert durch die äußeren Morphismen des kommutativen Diagramms
            \[
            \begin{tikzcd}
                & & \arrow[dashed]{dl}{r} W \arrow[dashed]{dr}{h} & & \\
                & \arrow{dl}{s} U \arrow{dr}{f} & & \arrow{dl}{t} V \arrow{dr}{g} & \\
                X & & Y & & Z
            \end{tikzcd}
            .\] Die gestrichelten Morphismen existieren wegen \hyperref[def:mult-system]{FR2}.
        \item Für $X \in \mathcal{C}$ ist die Identität $X \to X$ in $\mathcal{C}_{\mathcal{S}}$
            gegeben durch das Tripel $(\text{id}_X, X, \text{id}_X)$.
    \end{enumerate}
    \label{constr:localisation}
\end{definition}

\begin{satz}
    Sei $\mathcal{C}$ eine Kategorie und $\mathcal{S}$ ein multiplikatives System, dann ist
    die in \ref{constr:localisation} konstruierte Kategorie $\mathcal{C}_{\mathcal{S}}$
    wohldefiniert und eine Lokalisierung von $\mathcal{C}$ bezüglich $\mathcal{S}$. Der kanonische
    Funktor $Q\colon \mathcal{C} \to  \mathcal{C}_{\mathcal{S}}$ ist dann gegeben durch
    $Q(X) = X$ für $X \in \mathcal{C}$ und $Q(f) = (f, X, \text{id}_{X})$ für $f\colon X \to Y$ in $\mathcal{C}$.

    \label{satz:existence-localisation}
\end{satz}

\begin{proof}
    siehe Proposition 3.1 in \cite{hartshorne}.
\end{proof}

\begin{bem}
    \begin{enumerate}[(a)]
        \item Da $\mathcal{S}$ eine echte Klasse sein kann, das heißt keine Menge, ist im
            Allgemeinen auch $\text{Mor}_{\mathcal{C}_{\mathcal{S}}}(X, Y)$ für
            $X, Y \in \mathcal{C}_{\mathcal{S}}$
            keine Menge. Das
            heißt streng genommen ist $\mathcal{C}_{\mathcal{S}}$ im Allgemeinen nur
            eine große Kategorie. In unseren Anwendungsfällen kann man jedoch zeigen, dass $\mathcal{C}_{\mathcal{S}}$
            eine (echte) Kategorie ist. Für Details
            siehe Bemerkung 10.3.6 in \cite{set-theoretic}.
            Wir nehmen im Folgenden stillschweigend an, dass $\mathcal{C}_{\mathcal{S}}$
            eine (echte) Kategorie ist.
        \item Die Lokalisierung $\mathcal{C}_{\mathcal{S}}$ einer Kategorie $\mathcal{C}$
    kann auch dual, dass heißt durch Umdrehen aller Pfeile,
    konstruiert werden. Wenn im Folgenden der Kontext klar ist, dann schreiben wir auch einfach
    $X$ für $Q(X)$ für ein Objekt $X \in \mathcal{C}$. Ebenso schreiben wir für $X, Y \in \mathcal{C}$ auch
    $s^{-1}f$ bzw. in der dualen Konstruktion $fs^{-1}$ für die Äquivalenzklasse des Tripels
    $(f, Z, s) \in \text{Mor}_{\mathcal{C}_{\mathcal{S}}}(X, Y)$. In dieser Notation ist
    dann $Q(f) = \text{id}^{-1}f$ bzw. $Q(f) = f\text{id}^{-1}$ für $f\colon X \to Y$ in $\mathcal{C}$.
    \end{enumerate}
\end{bem}

Falls $\mathcal{T}$ eine triangulierte Kategorie ist und $\mathcal{S}$ ein multiplikatives
System, stellt sich die Frage, ob sich
die Triangulation von $\mathcal{C}$
in natürlicher Weise auf $\mathcal{C}_{\mathcal{S}}$ ausdehnt. Dazu fordern wir zusätzlich
an $\mathcal{S}$:

\begin{definition}[Mit Triangulation kompatibles multiplikatives System]
    Sei $\mathcal{T}$ eine triangulierte Kategorie mit Verschiebefunktor $T$
    und $\mathcal{S}$ ein multiplikatives System
    von Morphismen. Wir nennen $\mathcal{S}$ kompatibel mit der Triangulation, wenn die folgenden
    Axiome erfüllt sind:
    \begin{enumerate}[(FR1), leftmargin=14mm]
        \setcounter{enumi}{3}
        \item $s \in \mathcal{S} \iff T(s) \in \mathcal{S}$.
        \item \hyperref[TR2]{TR3} unter der zusätzlichen Annahme, dass $f, g \in \mathcal{S}$
            und der zusätzlichen Forderung, dass $h \in \mathcal{S}$ ist.
    \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{satz}
    Sei $\mathcal{T}$ eine triangulierte Kategorie und $\mathcal{S}$ ein
    mit der Triangulation kompatibles
    multiplikatives System. Dann hat $\mathcal{T}_{\mathcal{S}}$ eine eindeutige
    triangulierte Struktur, sodass $Q$ ein triangulierter Funktor ist und
    die universelle Eigenschaft b) aus \ref{def:localisation} für triangulierte Funktoren in triangulierte
    Kategorien erfüllt.
    \label{satz:existence-triangulated-localisation}
\end{satz}

\begin{proof}
    siehe Proposition 3.2 in \cite{hartshorne}.
\end{proof}

\subsection{Derivierte Kategorie}

Sei im Folgenden $\mathcal{A}$ eine feste abelsche Kategorie und $\mathcal{K} = \mathcal{K}(\mathcal{A})$ die
Homotopiekategorie. Wir bezeichnen im Folgenden die Klasse
der Quasiisomorphismen in $\mathcal{K}$ als $\mathcal{Q}is$.

\begin{lemma}[$\mathcal{Q}is$ ist multiplikativ]
    $\mathcal{Q}is$ ist ein mit der Triangulation von $\mathcal{K}$ kompatibles multiplikatives System.
    \label{lemma:qis-mult}
\end{lemma}

\begin{proof}
    siehe Proposition 4.1 in \cite{hartshorne}.
\end{proof}

Nach \ref{satz:existence-localisation}, \ref{satz:existence-triangulated-localisation} und \ref{lemma:qis-mult} angewendet
auf $\mathcal{K}$ und $\mathcal{Q}is$, existiert die triangulierte Kategorie $\mathcal{K}_{\mathcal{Q}is}$.

\begin{definition}[Derivierte Kategorie]
    Wir bezeichnen die triangulierte Lokalisierung $\mathcal{K}_{\mathcal{Q}is}$
    als die derivierte Kategorie $\mathcal{D} = \mathcal{D}(\mathcal{A})$ von $\mathcal{A}$.
\end{definition}

\begin{bem}[]
    Im Folgenden bezeichne $Q = Q_{\mathcal{A}}\colon \mathcal{K}(\mathcal{A}) \to \mathcal{D}(\mathcal{A})$
    den kanonischen Lokalisierungsfunktor.
\end{bem}

Um zu verstehen, wann zwei Morphismen in $\mathcal{K}$ den selben Morphismus in $\mathcal{D}$ induzieren, hilft
das folgende Lemma:

\begin{lemma}
    Seien $\com{X}, \com{Y} \in \mathcal{K}$ und $f\colon \com{X} \to \com{Y}$. Dann
    sind die folgenden Bedingungen äquivalent:
    \begin{enumerate}[(i)]
        \item $\text{id}^{-1}f = 0$ in $\mathcal{D}$.
        \item Es existiert ein Quasiisomorphismus $t\colon \com{X'}  \to \com{X} $,
            sodass $ft = 0$ in $\mathcal{K}$.
        \item Es existiert ein Quasiisomorphismus $s\colon \com{Y} \to \com{Y'} $,
            sodass $sf = 0$ in $\mathcal{K}$.
    \end{enumerate}
    
    \label{derived-cat-morphism-null}
\end{lemma}

\begin{proof}
    Wegen \hyperref[def:mult-system]{FR3} und \ref{lemma:qis-mult} genügt es
    die Äquivalenz von
    (i) und (ii) zu zeigen. Es ist $\text{id}^{-1}f = 0$, genau dann wenn
    ein kommutatives Diagram
    \[
    \begin{tikzcd}
        & \com{X} \arrow{dl}{\text{id}} \arrow{dr}{f} & \\
        \com{X}  & \arrow[dashed]{l}{t} \com{X'} \arrow[dashed]{d} \arrow[dashed]{u} & \com{Y} \\
                 & \com{X} \arrow{ul}{\text{id}} \arrow{ur}{0} & 
    \end{tikzcd}
    \] mit $t$ Quasiisomorphismus existiert. Das zeigt die Behauptung.
\end{proof}

Wir möchten nun Ableitungen von Funktoren im Kontext von
derivierten Kategorien betrachten.
Seien dafür $\mathcal{A}$ und $\mathcal{B}$ abelsche Kategorien und
$F\colon \mathcal{K}(\mathcal{A}) \to \mathcal{K}(\mathcal{B})$ ein triangulierter
(kovarianter) Funktor.
Das ist zum Beispiel der Fall, wenn $F$ induziert ist von einem additiven Funktor
$F\colon \mathcal{A} \to \mathcal{B}$.

Falls $F$ exakt ist werden Quasiisomorphismen auf Quasiisomorphismen geschickt und $F$ induziert daher
einen Funktor von $\mathcal{D}(\mathcal{A})$ nach $\mathcal{D}(\mathcal{B})$.
Im Allgemeinen ist das nicht der Fall und wir konstruieren dann, unter bestimmten
Voraussetzungen an $F$ und die beteiligten Kategorien, einen Funktor
$\text{R}F\colon \mathcal{D}(\mathcal{A}) \to \mathcal{D}(\mathcal{B})$:

\begin{definition}[Abgeleiteter Funktor]
    Seien $\mathcal{A}, \mathcal{B}$ abelsche Kategorien. Der rechts abgeleitete Funktor von $F$ ist
    ein triangulierter Funktor
    \[
        \text{R}F\colon \mathcal{D}(\mathcal{A}) \to \mathcal{D}(\mathcal{A})
    \] zusammen mit einer natürlichen Transformation
    \[
        \xi\colon Q_{\mathcal{B}} \circ F \to \text{R}F \circ Q_{\mathcal{A}}
    \] von Funktoren von $\mathcal{K}(\mathcal{A})$ nach $\mathcal{D}(\mathcal{B})$ mit
    der folgenden universellen Eigenschaft: Für jeden triangulierten Funktor
    \[
        G\colon \mathcal{D}(\mathcal{A}) \to \mathcal{D}(\mathcal{B})
    \] 
    und jede natürliche Transformation
    \[
        \zeta\colon Q_{\mathcal{B}} \circ F \to G \circ Q_{\mathcal{A}}
    \] existiert eine eindeutige natürliche Transformation
    \[
    \eta\colon \text{R}F \to G
    \] von Funktoren von $\mathcal{D}(\mathcal{A})$ nach $\mathcal{D}(\mathcal{B})$, sodass
    das folgende Diagramm kommutiert:
    \[
    \begin{tikzcd}
        Q_{\mathcal{B}} \circ F \arrow{r}{\xi} \arrow{dr}{\zeta}
        & \text{R}F \circ Q_{\mathcal{A}} \arrow[dashed]{d}{\eta} \\
        & G \circ Q_{\mathcal{A}}
    \end{tikzcd}
    .\] 
\end{definition}

\begin{bem}[]
    \begin{enumerate}[(a)]
        \item Falls $\text{R}F$ existiert, ist dieser bis auf eindeutige natürliche Transformationen eindeutig.
        \item Wir schreiben $R^{i}F$  für $H^{i}(\text{R}F)$ und wenn $F$ induziert ist von einem
            links-exakten Funktor $F\colon \mathcal{A} \to \mathcal{B}$ und $\mathcal{A}$ genügend Injektive hat, sind
            das genau die klassischen rechts-abgeleiteten Funktoren von $F$.
        \item Es gibt den analogen Begriff der Linksableitung $\text{L}F$ (kovarianter)
            Funktoren, bei dem sich die Pfeile der natürlichen Transformationen umdrehen.
    \end{enumerate}
    \label{bem:derived-functors}
\end{bem}

\begin{satz}
    Seien $\mathcal{A}, \mathcal{B}$ abelsche Kategorien und
    $F\colon \mathcal{K}(\mathcal{A}) \to \mathcal{K}(\mathcal{B})$ ein triangulierter Funktor. Angenommen es
    existiert eine triangulierte Unterkategorie $\mathcal{L} \subset \mathcal{K}(\mathcal{A})$, sodass
    \begin{enumerate}[(i)]
        \item Jeder Komplex in $\mathcal{K}(\mathcal{A})$ besitzt einen Quasiisomorphismus in einen
            Komplex aus $\mathcal{L}$.
        \item $F|_{\mathcal{L}}$ ist exakt.
    \end{enumerate}
    Dann existiert der Funktor $\text{R}F\colon \mathcal{D}(\mathcal{A}) \to \mathcal{D}(\mathcal{B})$ und
    für die natürliche Transformation $\xi\colon Q_{\mathcal{B}} \circ F \to \text{R}F \circ Q_{\mathcal{A}}$ gilt, dass
    für alle $\com{I} \in \mathcal{L}$ die Abbildung
    \[
        \xi(\com{I})\colon Q_{\mathcal{B}}(F(\com{I})) \to \text{R}F(Q_{\mathcal{A}}(\com{I}))
    \] ein Isomorphismus in $\mathcal{D}(A)$ ist.
    \label{satz:existence-derived-functors}
\end{satz}

\begin{proof}
    siehe Theorem 5.1 in \cite{hartshorne}.
\end{proof}

Die Voraussetzungen von \ref{satz:existence-derived-functors} sind im Allgemeinen schwer zu erfüllen. Deshalb betrachtet man häufig gewisse Unterkategorien
von $\mathcal{K}(\mathcal{A})$, beispielsweise die Kategeorie
$\mathcal{K}^{+}(\mathcal{A})$ der nach unten beschränkten Komplexe. Dies genügt,
um den Fall (b) aus \ref{bem:derived-functors} zu studieren.

Für unbeschränkte Komplexe liegt die Schwierigkeit darin eine geeignete
Unterkategorie $\mathcal{L}$ zu finden, die die Bedingungen aus
\ref{satz:existence-derived-functors} erfüllt.
Ziel
dieser Arbeit ist es herauszuarbeiten, dass im Falle von $\mathcal{A} = A\text{-Mod}$
für einen kommutativen
Ring $A$, die Bedingungen für die im Folgenden definierten Funktoren $\com{\text{Hom}}(\com{M}, -)$,
$\com{\text{Hom}}(-, \com{M})$ und $\com{M} \otimes_A -$ erfüllt sind. Das
wird uns erlauben das klassische Adjunktionsresultat
\[
- \otimes_A M \dashv \text{Hom}_{A\text{-Mod}}(M, -)
\] für einen $A$-Modul $M$ auf die abgeleiteten Funktoren zu übertragen.

\begin{definition}
    Seien $\com{X}, \com{Y} \in \mathcal{K}$ zwei Komplexe in einer beliebigen abelschen Kategorie $\mathcal{A}$.
    Dann sei $\com{\text{Hom}}(\com{X}, \com{Y}) \in \mathcal{K}(\mathcal{A}b)$ definiert durch
    \[
    \text{Hom}^{n}(\com{X}, \com{Y}) = \prod_{i \in \Z} \text{Hom}(X^{i}, Y^{i+n})
    \] mit Differentialen
    \[
    d^{n}(f) = d_{\com{Y} } f - (-1)^{n} f d_{\com{X}}
    \] für $f \in \text{Hom}^{n}(\com{X}, \com{Y})$.
    \label{def:hom-compl}
\end{definition}

\begin{definition}
    Sei $A$ ein kommutativer Ring und
    seien $\com{M}, \com{N} \in \mathcal{K}(A\text{-Mod})$. Dann sei
    $\com{M} \otimes_A \com{N} \in \mathcal{K}(A\text{-Mod})$ definiert durch
    \[
        (\com{M} \otimes_A \com{N})^{n} = \bigoplus_{i \in \Z} M^{i} \otimes_A N^{n-i}
    \] mit Differentialen
    \[
    d^{n}(m \otimes n) = d_{\com{M} }(m) \otimes n + (-1)^{i} m \otimes d_{\com{N} }(n)
    \] für $m \in M^{i}, n \in N^{n-i}$.
    \label{def:tor-compl}
\end{definition}
\begin{bem}
    \begin{enumerate}[(a)]
        \item Die Konstruktionen in \ref{def:hom-compl} und \ref{def:tor-compl} sind
            funktoriell in beiden Variablen und induzieren daher entsprechende Funktoren.
        \item
    Wie für das klassiche Tensorprodukt von $A$-Moduln, existieren für
    $\com{M}, \com{N}, \com{P} \in \mathcal{K}(A\text{-Mod})$
    natürliche Isomorphismen
    \[
        \com{M} \otimes_A \com{N} = \com{N} \otimes_A \com{M} \text{ und }
        (\com{M} \otimes_A \com{N}) \otimes_A \com{P} = \com{M} \otimes_A (\com{N} \otimes_A \com{P})
    .\]
    \end{enumerate}
\end{bem}

Die Kohomologiegruppen von $\com{\text{Hom}}(\com{X}, \com{Y})$ für Komplexe
$\com{X}, \com{Y} \in \mathcal{K}$ lassen sich explizit bestimmen:

\begin{lemma}
    Seien $\com{X}, \com{Y} \in \mathcal{K}$ zwei Komplexe. Dann gilt für $n \in \Z$:
    \[
        H^{n}\com{\text{Hom}}(\com{X}, \com{Y}) = \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{X}, \com{Y}[n])
    .\]\label{hom-compl-cohomgroups}
\end{lemma}
\begin{proof}
    Sei $(f^i)_{i \in \Z} \in \prod_{i \in \Z} \text{Hom}(X^{i}, Y^{i+n})$. Dann ist:
    \[
        (f^{i})_{i \in \Z} \in \text{ker } d^{n} \iff (-1)^{n} d_{\com{Y}}^{i+n}  f^i = f^{i+1} d_{\com{X} }^{i}
        \text{ für } i \in \Z
    .\] Wegen $d_{\com{Y}[n]} = (-1)^{n}d_{\com{Y}}$, induziert $(f^i)_{i \in \Z}$ also genau dann
    einen Komplexhomomorphismus $\com{X} \to \com{Y}[n]$, wenn $(f^{i})_{i \in \Z} \in \text{ker } d^{n}$.

    Weiter ist $(f^{i})_{i \in \Z} \in \text{im } d^{n-1}$, genau dann wenn eine Familie
    $(k^{i})_{i \in \Z}\in \prod_{i \in \Z}^{} \text{Hom}(X^{i}, Y^{i+n-1})$ existiert, sodass
    %\[
    %     f^{i} = d_{\com{Y}}^{i+n-1} k^{i} - (-1)^{n-1} k^{i+1} d_{\com{X} }^{i}
    %     = d_{\com{Y}}^{i+n-1} k^{i} + (-1)^{n} k^{i+1} d_{\com{X} }^{i}
    %.\]
    \[
        (-1)^{n}f^{i} = (-1)^{n} d_{\com{Y}}^{i+n-1} k^{i} + k^{i+1} d_{\com{X} }^{i}
    .\] Erneut wegen $d_{\com{Y} [n]} = (-1)^{n} d_{\com{Y} }$, ist also für $(f_i)_{i \in \Z} \in \text{ker } d^{n}$
    der induzierte Komplexhomomorphismus $f\colon \com{X} \to \com{Y} $ genau dann nullhomotop,
    wenn $(f^{i})_{i \in \Z} \in \text{im }d^{n-1}$.
\end{proof}

\begin{lemma}[$\com{\text{Hom}}(-, -)$ und (Co)limites]
    Sei $\com{X} \in \mathcal{K}$ und seien $(\com{S} _n)_{n \in \N}$ bzw. $(\com{T} _n)_{n \in \N}$
    direkte bzw. inverse Systeme in $\mathcal{K}$. Dann sind die natürlichen Homomorphismen
    \[
        \com{\text{Hom}}(\colim \com{S}_n, \com{X}) \longrightarrow \lim \com{\text{Hom}}(\com{S}_n, \com{X}) 
    \] und
    \[
        \com{\text{Hom}}(\com{X}, \lim \com{T}_n) \longrightarrow \lim \com{\text{Hom}}(\com{X}, \com{T}_n)
    \] Isomorphismen.
    \label{lemma:inner-hom-commutes-with-limits}
\end{lemma}

\begin{proof}
    Das gilt gradweise nach Definition von $\lim$ und man verifiert, dass die gradweisen Homomorphismen
    Komplexhomomorphismen bilden.
\end{proof}

\begin{lemma}[Tensorprodukt ist trianguliert]
    Sei $\com{M} \in \mathcal{K}(A\text{-Mod})$.
    Dann ist $- \otimes_A \com{M}$ (und $\com{M} \otimes_A -$) ein triangulierter Funktor von $\mathcal{K}(A\text{-Mod})$
    nach $\mathcal{K}(A\text{-Mod})$.
    \label{satz:tor-is-triangulated}
\end{lemma}

\begin{proof}
    Nach der Definition von ausgezeichneten Dreiecken in $\mathcal{K}$ genügt es nachzurechnen, dass
    für $f\colon \com{X} \to \com{Y} $ in $\mathcal{K}$ und $\com{S} \in \mathcal{K}$ gilt:
    \[
    \com{C}_f \otimes_A \com{S}  = \com{C}_{f \otimes \text{id}_{\com{S}}}
    .\] Das rechnet man gradweise nach und zeigt, dass die Differentiale übereinstimmen.
\end{proof}

\begin{satz}[Adjunktion der Hom- und Tensorproduktkomplexe]
    Seien $\com{M}, \com{N}, \com{P} \in \mathcal{K}(A\text{-Mod})$. Dann existiert
    ein natürlicher Isomorphismus, der funktoriell in allen Variablen ist:
    \[
    \com{\text{Hom}}(\com{M} \otimes_A \com{N}, \com{P})
    = \com{\text{Hom}}(\com{M},\com{\text{Hom}} (\com{N} , \com{P} ))
    .\] 
    \label{satz:adjunction-hom-tor-comp}
\end{satz}

\begin{proof}
    Das gilt gradweise, weil für beliebige $A$-Moduln $M, N, P$ ein natürlicher Isomorphismus
    \[
        \text{Hom}_{A}(M \otimes_A N, P) \to \text{Hom}_{A}(M, \text{Hom}_{A}(N, P))
    \] existiert. Man verifiziert, dass die gradweisen Isomorphismen Komplexhomomorphismen bilden.
\end{proof}

% TODO: verstehe ich nicht aber habe alternative
%\begin{lemma}[]
%    Sei $\com{A} \in \mathcal{K}$ und $\mathcal{G}$ eine Klasse von Objekten
%    von $\mathcal{A}$, sodass jedes Objekt von $\mathcal{A}$ eine Einbettung
%    in ein Objekt aus $\mathcal{G}$ besitzt. Angenommen
%    $\com{\text{Hom}}(\com{A}, E) \in \mathcal{K}(\mathcal{A}b)$ ist exakt für alle
%    $E \in \mathcal{G}$. Dann ist $\com{A} $ exakt.
%    \label{lemma:0.10}
%\end{lemma}

\newpage

\section{K-injektive und K-projektive Auflösungen}

Sei $\com{Y} \in \mathcal{K}$.
Um die Bedingungen von \ref{satz:existence-derived-functors} für
$\com{\text{Hom}}(\com{Y}, -)$ (bzw. $\com{\text{Hom}}(-, \com{Y})$)
zu erfüllen, benötigen wir
eine Unterkategorie $\mathcal{L}$ von Komplexen in $\mathcal{K}$, sodass

\begin{enumerate}[(i)]
    \item für jeden Komplex $\com{X} \in \mathcal{K}$ ein Quasiisomorphismus
        $\com{X} \to \com{I}$ mit $\com{I} \in \mathcal{L}$
        (bzw. $\com{P} \to \com{X} $ mit $\com{P} \in \mathcal{L}$)
        existiert, und
    \item $\com{\text{Hom}}(\com{Y}, -)$ (bzw. $\com{\text{Hom}}(-, \com{Y})$) Exaktheit
        von Komplexen aus $\mathcal{L}$ erhält.
\end{enumerate}

Dazu definieren wir:

\begin{definition}[K-injektiv]
    Ein Komplex $\com{I} \in \mathcal{K}$ heißt K-injektiv, wenn der Funktor
    $\com{\text{Hom}}(-, \com{I})$ Exaktheit von Komplexen erhält. Eine K-injektive
    Auflösung eines Komplexes $\com{X} \in \mathcal{K}$ ist
    ein Quasiisomorphismus $\com{X} \to \com{I} $ mit
    $\com{I} \in \mathcal{K}$ K-injektiv.
\end{definition}

\begin{definition}[K-projektiv]
    Ein Komplex $\com{P} \in \mathcal{K}$ heißt K-projektiv, wenn der Funktor
    $\com{\text{Hom}}(\com{P}, -)$ Exaktheit von Komplexen erhält. Eine K-projektive
    Auflösung eines Komplexes $\com{X} \in \mathcal{K}$ ist
    ein Quasiisomorphismus $\com{P} \to \com{X} $ mit
    $\com{P} \in \mathcal{K}$ K-projektiv.
\end{definition}

Das Ziel dieses Abschnitts ist das folgende Resultat:

\begin{satz}
    Sei $R$ ein Ring und $\mathcal{A}$ die Kategorie der $R$ (links-)Moduln. Dann
    hat jeder Komplex in $\mathcal{A}$ eine K-injektive und eine K-projektive
    Auflösung.
    \label{satz:r-mod-existence-k-proj-and-k-inj-resolutions}
\end{satz}

Die Vorgehensweise orientiert sich dabei an \cite{spaltenstein}.

\subsection{Elementare Eigenschaften von K-injektiven und K-projektiven Komplexen} 

Zunächst werden einige grundlegenden Eigenschaften von K-injektiven und K-projektiven
Komplexen entwickelt.

\begin{lemma}[]
    Sei $\com{X} \in \mathcal{K}$. Es gilt
    \begin{align*}
        \com{X}  \text{ K-injektiv} &\iff \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{S} , \com{X} )  = 0 \quad \forall \com{S} \in \mathcal{K} \text{ exakt}\\
        \com{X}  \text{ K-projektiv} &\iff \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{X} , \com{S} )  = 0 \quad \forall \com{S} \in \mathcal{K} \text{ exakt}
    .\end{align*}
    \label{lemma:mork-crit-for-k-inj}
\end{lemma}

\begin{proof}
    Mit \ref{hom-compl-cohomgroups} ist $\com{X}$
    genau dann K-injektiv, wenn für jeden exakten Komplex
    $\com{S} \in \mathcal{K}$ gilt, dass
    $\text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{S}[i] , \com{X}) = 0$ $\forall i \in \Z$.
    Da Verschieben Exaktheit erhält folgt die Behauptung. Die duale Aussage folgt durch Umdrehen der Pfeile.
\end{proof}

\begin{lemma}
    Ein exakter K-projektiver oder K-injektiver Komplex $\com{X} \in \mathcal{K}$
    ist zusammenziehbar, das heißt ist nullhomotop, also in $\mathcal{K}$ isomorph zum Nullkomplex.
    \label{lemma:k-inj-exact-contractible}
\end{lemma}

\begin{proof}
    Betrachte $\mathrm{id}_{\com{X}} \in \mathrm{Mor}_{\K}(\com{X} , \com{X})
    \stackrel{\ref{hom-compl-cohomgroups}}{=} \mathrm{H}^0 \com{\mathrm{Hom}}(\com{X}, \com{X}) = 0$. Also ist $\mathrm{id}_{\com{X} } = 0$ und damit
    $\com{X} \stackrel{\sim }{=}  0$ in $\K$.
\end{proof}

\begin{bem}
    Aus \ref{lemma:k-inj-exact-contractible} folgt, dass für einen exakten und K-injektiven Komplex
    $\com{I} \in \mathcal{K}$ und
    einen beliebigen Komplex $\com{X} \in \mathcal{K}$,
    der Komplex $\com{\text{Hom}}(\com{X}, \com{I})$ exakt ist, denn
    \[
        H^{i}(\com{\text{Hom}}(\com{X}, \com{I})) = \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{\text{Hom}}(\com{X}, \com{I}[i]))
        \stackrel{\ref{lemma:k-inj-exact-contractible}}{=} \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{\text{Hom}}(\com{X}, 0)) = 0
    .\] Analog gilt die duale Version für exakte K-projektive Komplexe.
    \label{satz:hom-exact-for-k-inj}
    %auch $\com{\text{Hom}}(\com{X}, \com{I})$ exakt ist für alle $\com{M} \in \mathcal{K}$.
\end{bem}

Für ein Objekt $X \in \mathcal{A}$ stellt sich die Frage, ob Injektivität (bzw. Projektivität) von $X$ in $\mathcal{A}$
mit K-injektivität (bzw. K-projektivität) des Komplexes $\com{X}$, wobei $X^{i} = 0$ für alle $i \neq 0$ und
$X^{0} = X$, zusammenhängt. Die folgende Aussage stellt diesen Zusammenhang her:

\begin{satz}
    Sei $\com{X} \in \K$ mit $X^{i} = 0$ $\forall i \neq 0$. Dann ist $\com{X} $ K-projektiv (bzw. K-injektiv) genau
    dann wenn $X^{0}$ projektiv (bzw. injektiv) in $\mathcal{A}$ ist.

    \label{satz:single-degree-compl-k-proj}
\end{satz}

\begin{proof}
    Wir zeigen nur den K-projektiven Fall. Der K-injektive folgt dann durch Umdrehen
    aller Pfeile.

    ($\Leftarrow$) Sei $\com{X} $ K-projektiv und $\com{S} = [0 \to M \to  N \to  P \to 0]$ eine kurze exakte Folge in $\mathcal{A}$. Sei
    $f\colon X^{0} \to P$. Das induziert einen Komplexhomomorphismus $\com{X} \to \com{S}$:
\[\begin{tikzcd}
    0 \arrow{d} \arrow{r} & 0 \arrow{d} \arrow{r} & X^0 \arrow{d}{f} \arrow[dashed]{dl}{k} \arrow{r}
    & 0 \arrow{d} \arrow[dashed]{dl}\\
    M \arrow{r} & N \arrow[twoheadrightarrow]{r}{v} & P \arrow{r} & 0
\end{tikzcd}\]
Nach Voraussetzung ist dieser nullhomotop, das heißt es existiert ein $k \colon X^{0} \to N$, sodass $f = vk$. Also ist
$v_{*}\colon \text{Hom}(X^{0}, N) \to \text{Hom}(X^{0}, P)$ surjektiv und damit $X^{0}$ projektiv.

($\Rightarrow$) Sei nun $X^{0}$ projektiv, $\com{S} \in \mathcal{K}$ exakt und $f\colon \com{X} \to \com{S}$
Komplexhomomorphismus. Dann betrachte
\[
\begin{tikzcd}
    0 \arrow[from=1-1,to=1-3] \arrow{d} & & X^{0} \arrow{r}
    \arrow[dashed, from=1-3,to=2-1]{}{k^{0}}
    \arrow[dashed]{dl} \arrow{d}{f^{0}} & 0 \arrow{d} \\
    S^{-1} \arrow[twoheadrightarrow]{r}{d^{-1}} & \text{im }d^{-1} \arrow{r} & S^{0} \arrow{r}{d^{0}} & S^{1}
\end{tikzcd}
.\] 
Da $d^{0}f^{0} = 0$, faktorisiert $f^{0}$ über $\text{ker } d^{0} = \text{im }d^{-1}$. Weil
$X^0$ projektiv ist, existiert $k^{0}\colon X^{0} \to S^{-1}$, sodass $f^{0} = d^{-1} k^{0}$.
\end{proof}

\begin{satz}[]
    Die volle Unterkategorie der K-projektiven (bzw. K-injektiven) Komplexe in $\mathcal{K}$ ist
    eine triangulierte Unterkategorie.
    \label{satz:k-proj-triangulated}
\end{satz}
    
\begin{proof}
    Wir zeigen Bedingungen (i) und (ii) aus \ref{def:triangulated-subcategory} in
    der K-projektiven Version, die duale Aussage folgt durch Umdrehen der Pfeile.
    \begin{enumerate}[(i)]
        \item Das folgt aus \ref{lemma:mork-crit-for-k-inj}
            und daraus, dass für $\com{X}, \com{S} \in \mathcal{K}$ gilt: $\com{S} $ exakt $\iff \com{S} [-1]$
            exakt und
            \[
            \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{X}, \com{S}[-1]) = \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{X}[1], \com{S})
            .\]
        \item Sei $(\com{X}, \com{Y}, \com{Z}, u, v, w)$ ein ausgezeichnetes Dreieck in $\mathcal{K}$
            mit $\com{X}, \com{Y} $ K-projektiv
            und $\com{S} \in \mathcal{K}$ ein exakter Komplex. Nach Anwenden von $\text{Mor}_{\mathcal{K}}(-, \com{S})$
            ist dann mit \ref{hom-cohom-func} die Folge
            \[
            \begin{tikzcd}
                \underbrace{\text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{X}[1], \com{S})}_{= 0} \arrow{r}
                & \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{Z}, \com{S} ) \arrow{r}
                & 
                \underbrace{\text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{Y}, \com{S} )}_{= 0}
            \end{tikzcd}
            .\] 
            \[
            \] exakt und die äußeren Terme $0$ nach Voraussetzung und (i). Also folgt
            $\text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{Z}, \com{S}) = 0$, und damit $\com{Z} $ K-projektiv.
            Der allgemeine Fall folgt nun mit \hyperref[TR2]{TR2}.
    \end{enumerate}
\end{proof}

\begin{satz}
    Sei $\com{P} \in \mathcal{K}$. Dann sind äquivalent
    \begin{enumerate}[(i)]
        \item $\com{P} $ K-projektiv
        \item Für $\com{X} \to \com{Y} $ Quasiisomorphismus in $\mathcal{K}$ ist der natürliche Homomorphismus
            \[
            \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{X} ) \to \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{Y} ) 
            \] ein Isomorphismus.
        \item Für $\com{S} \in \mathcal{K}$ ist der natürliche Homomorphismus
            \[
                \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{S} ) \to \text{Mor}_{\mathcal{D}}(\com{P} , \com{S} ) 
            \] ein Isomorphismus.
    \end{enumerate}
    \label{satz:mork=mord-for-kproj}
\end{satz}

\begin{proof}
    (i)$\implies$(ii): Sei $f\colon \com{X} \to \com{Y} $ ein Quasiisomorphismus. Dann ist
    \[
    \begin{tikzcd}
        \com{X} \arrow{r}{f} & \com{Y} \arrow{r} & \com{C_f} \arrow{r} & \com{X}[1]
    \end{tikzcd}
    \] ein ausgezeichnetes Dreieck und $\com{C_f}$ ist nach \ref{mapping-cone-exact-for-qis} exakt. Anwenden von
    $\text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , -) $ liefert mit \ref{hom-cohom-func} eine exakte Folge:
    \[
        \begin{tikzcd}
            \underbrace{\text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{C_f}[-1]) \arrow{r}}_{= 0} &
            \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{X} ) \arrow{r} &
            \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{Y} ) \arrow{r} &
            \underbrace{\text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P}, \com{C_f} ) }_{= 0}
        \end{tikzcd}
    .\] Die äußeren Terme sind 0, da $\com{P} $ K-projektiv ist, also folgt der behauptete Isomorphismus.

    (ii)$\implies$(iii): Injektivität: Sei $f\colon \com{P} \to \com{S} $, sodass $\text{id}^{-1}f = 0$. Nach
    \ref{derived-cat-morphism-null} existiert ein Quasiisomorphismus $t\colon \com{S} \to \com{T} $ , sodass $tf= 0$.
    Nach (ii) ist $t_{*}\colon \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{S} ) \to \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{T} ) $
    injektiv, also folgt $f = 0$. Surjektivität: Sei $a \in \text{Mor}_{\mathcal{D}}(\com{P} , \com{S} ) $. Dann
    ist $a$ ein Diagramm in $\mathcal{K}$
    \[
    \begin{tikzcd}
        & \com{Y} & \\
        \com{P} \arrow{ur}{f} & & \arrow{ul}{s} \com{S} 
    \end{tikzcd}
    \] mit $s$ Quasiisomorphismus. Nach (ii) ist $s_{*}\colon \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{S} ) \to \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{Y} ) $ surjektiv, also existiert ein $g\colon \com{P} \to \com{S} $, sodass $sg = f$. Also
    kommutiert
    \[
    \begin{tikzcd}
        & \com{S} \arrow{d}{s} & \\
        \com{P} \arrow{dr}{f} \arrow{ur}{g} & \com{Y} & \arrow{l}{s} \arrow{ul}{\text{id}} \com{S} \arrow{dl}{s}\\
        & \com{Y} \arrow{u}{\text{id}} & \\
    \end{tikzcd}
    .\] Damit folgt $a = g\text{id}^{-1}$.

    (iii)$\implies$(i): Sei $\com{S} $ exakt. Dann ist $\com{S} \to 0$ ein Quasiisomorphismus, also
    $\com{S} \stackrel{\sim }{=} 0$ in $\mathcal{D}$, also
    \[
        \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{S} )
        \stackrel{\text{(ii)}}{=} \text{Mor}_{\mathcal{D}}(\com{P} , \com{S} )
        = \text{Mor}_{\mathcal{D}}(\com{P} , \com{0} ) = 0
    .\]
\end{proof}

\begin{satz}
    Sei $\com{P} \in \mathcal{K}$. Dann sind äquivalent
    \begin{enumerate}[(i)]
        \item $\com{P} $ K-projektiv.
        \item Für alle Diagramme in $\mathcal{K}$
            \[
            \begin{tikzcd}
                & \com{X} \arrow{d}{s}  \\
                \com{P} \arrow{r}{f} & \com{Y}\\
            \end{tikzcd}
            \] mit $s$ Quasiisomorphismus, existiert genau ein $g\colon \com{P} \to \com{X} $, sodass
            $sg= f$ in $\mathcal{K}$.
        \item Für alle Quasiisomorphismen $s\colon \com{S} \to \com{P} $ in $\mathcal{K}$ existiert ein
            $g\colon \com{P} \to \com{S} $, sodass $sg = \text{id}_{\com{P} }$ in $\mathcal{K}$.
    \end{enumerate}
\end{satz}

\begin{proof}
    (i)$\implies$(ii): Betrachte das gegebene Diagramm in $\mathcal{D}$:
    \[
        \begin{tikzcd}
            & \com{X} \arrow{d}{\text{id}^{-1}s} \\
            \com{P} \arrow[dashed]{ur}{g} \arrow{r}{\text{id}^{-1}f} & \com{Y}
        \end{tikzcd}
    .\] Da $s$ ein Quasiisomorphismus ist, induziert $s$ einen Isomorphismus in $\mathcal{D}$.
    Also existiert genau ein
    $g\colon \com{P} \to \com{X} $ in $\mathcal{D}$, sodass das Diagramm kommutiert. \ref{satz:mork=mord-for-kproj}
    (iii) liefert das gewünschte Diagramm in $\mathcal{K}$.

    (ii)$\implies$(iii): Betrachte
    \[
    \begin{tikzcd}
        & \com{S} \arrow{d}{s} \\
        \com{P} \arrow{r}{\text{id}} & \com{P} 
    \end{tikzcd}
    .\] Da $s$ ein Quasiisomorphismus ist,
    existiert mit (ii) ein $g\colon \com{P} \to \com{S}$, sodass $sg = \text{id}_{\com{P} }$.

    (iii)$\implies$(i): Erneut mit \ref{satz:mork=mord-for-kproj} genügt es zu zeigen, dass für
    $\com{S} \in \mathcal{K}$
    $\text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{S} ) \to \text{Mor}_{\mathcal{D}}(\com{P} , \com{S} ) $ bijektiv ist.
    Injektivität: Sei $f\colon \com{P} \to \com{S} $ mit $\text{id}^{-1}f = 0$ in $\mathcal{D}$. Dann
    existiert nach \ref{derived-cat-morphism-null} ein Quasiisomorphismus $t\colon \com{T} \to \com{P} $
    mit $ft = 0$.
    Also existiert mit (iii) ein $g\colon \com{P} \to \com{T} $, sodass $tg = \text{id}_{\com{P} }$, also
    \[
        f = f \text{id}_{\com{P} } = \underbrace{ft}_{=0}g = 0
    .\] 
    Surjektivität: Sei $a \colon \com{P} \to \com{S} $ in $\mathcal{D}$. Dann ist $a$ gegeben durch ein Diagramm
    \[
    \begin{tikzcd}
        & \com{Q} \arrow{dr}{f} \arrow{dl}{s} & \\
        \com{P} & & \com{S}
    \end{tikzcd}
    \] in $\mathcal{K}$ mit $s$ Quasiisomorphismus. Nach (iii) existiert ein $t\colon \com{P} \to \com{Q}$ mit
    $st = \text{id}_{\com{P} }$. Dann ist
    \[
    \begin{tikzcd}
        & \com{Q} \arrow{dl}{s} \arrow{dr}{f} & \\
        \com{P} & \com{P} \arrow{l}{\text{id}} \arrow{u}{t} \arrow{d}{\text{id}} & \com{S} \\
        & \com{P} \arrow{ul}{\text{id}} \arrow{ur}{ft} & \\
    \end{tikzcd}
    \] ein kommutatives Diagramm in $\mathcal{K}$, also folgt $s^{-1}f = \text{id}^{-1}(ft)$ in $\mathcal{D}$.
\end{proof}

Durch Umdrehen aller Pfeile erhalten wir analog:

\begin{satz}[]
    Für jeden Komplex $\com{I} \in \mathcal{K}$ sind äquivalent:
    \begin{enumerate}[(i)]
        \item $\com{I}$ K-injektiv
        \item Für $\com{S} \in \mathcal{K}$ ist der natürliche Homomorphismus
            \[
            \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{S} , \com{I} ) \to \text{Mor}_{\mathcal{D}}(\com{S} , \com{I} ) 
            \] ein Isomorphismus.
        \item Für jedes Diagramm in $\mathcal{K}$
            \[
            \begin{tikzcd}
                \com{Y} \arrow{r}{f} \arrow{d}{s} & \com{I} \\
                \com{X} 
            \end{tikzcd}
            \] mit $s$ Quasiisomorphismus, existiert genau ein $g\colon \com{X} \to \com{I} $, sodass das Diagramm
            kommutiert.
        \item Für jeden Quasiisomorphismus $s\colon \com{I} \to \com{S} $ in $\mathcal{K}$ existiert ein
            $g\colon \com{S} \to \com{I} $, sodass $gs = \text{id}_{\com{I} }$ in $\mathcal{K}$.
    \end{enumerate}
    \label{satz:mork=mord-for-k-inj}
\end{satz}

\subsection{Spezielle inverse und direkte Systeme}

Nun stellt sich die Aufgabe für jeden Komplex $\com{A} \in \mathcal{K}$ eine K-injektive und eine K-projektive
Auflösung zu konstruieren. Dies machen wir mit sogenannten speziellen inversen bzw. direkten Systemen.

\begin{definition}[Spezielles inverses System]
    Sei $\mathcal{J} \subset \mathcal{K}$ eine Klasse von Komplexen.
    \begin{enumerate}[(a)]
        \item Ein inverses System $(\com{I}_n)_{n \in \N}$ in $\mathcal{K}$ heißt
            $\mathcal{J}$-spezielles inverses System, falls folgende Bedingungen erfüllt sind:
            \begin{enumerate}[(i)]
                \item Falls $n = 1$, dann ist $\com{I}_n = 0$.
                \item Falls $n > 1$, dann sei $\com{C}_n$ der Kern der natürlichen Abbildung
                    $\com{I} _n \to \com{I}_{n-1}$. Dann ist $\com{C}_n \in \mathcal{J}$ und
                    die kurze exakte Folge
                    \[
                    0 \to \com{C}_n \to \com{I}_n \to \com{I} _{n-1} \to 0
                    \] zerfällt stufenweise.
            \end{enumerate}
        \item Die Klasse $\mathcal{J}$ heißt abgeschlossen unter speziellen inversen Limites, falls jedes
            $\mathcal{J}$-spezielle inverse System in $\mathcal{K}$ einen Limes in $\mathcal{J}$ besitzt und jeder
            Komplex in $\mathcal{K}$, der isomorph ist zu einem Komplex in $\mathcal{J}$, bereits in $\mathcal{J}$ ist.
    \end{enumerate}
    \label{def:special-inv-system}
\end{definition}

% TODO: beispiel funktioniert nicht mit N als indexmenge, wird nicht benoetigt
%\item Sei $\mathcal{J}$ eine Klasse von Komplexen abgeschlossen unter speziellen inversen Limites mit
%    $\com{A} \in \mathcal{J} \iff \com{A}[1] \in \mathcal{J}$. Dann ist für $\com{A}, \com{B} \in \mathcal{J}$
%    und $u \colon \com{A} \to \com{B} $, auch $\com{C}_u$ in $\mathcal{J}$. Denn 
%    \[
%        \com{C}_u \to \com{A}[1] \to 0
%    \] ist ein $\mathcal{J}$-spezielles inverses System mit Limes $\com{C}_u$.

\begin{lemma}
    Sei $\mathcal{J}_0$ eine Klasse von Objekten von $\mathcal{A}$. Sei weiter $\mathcal{J}$ eine
    unter speziellen inversen Limites abgeschlossene Klasse
    von Objekten in $\mathcal{K}$, sodass jeder Komplex $\com{A} \in \mathcal{K}$ mit nur einem nicht-null
    Term und mit $A^{i} \in \mathcal{J}_0$ für $i \in \Z$, in $\mathcal{J}$ enthalten ist. Dann
    ist jeder nach unten beschränkte Komplex $\com{A} \in \mathcal{K}$ mit $A^{i} \in \mathcal{J}_0$
    für $i \in \Z$ in $\mathcal{J}$ enthalten.

    \label{lemma:bounded-compl-in-complete-class}
\end{lemma}

\begin{proof}
    Sei $\com{A} \in \mathcal{K}$ nach unten beschränkt mit
    $A^{i} \in \mathcal{J}_0$ für alle $i \in \Z$. Ohne Einschränkung
    sei $A^{i} = 0$ für alle $i < 0$. Dann sind die Spalten des nachstehenden Diagramms ein
    $\mathcal{J}$-spezielles inverses System $(\com{S}_n)_{n \in \N}$ mit
    Übergangsabbildungen $p_n$,
    \[
    \begin{tikzcd}
        \cdots \arrow{r} & 0 \arrow{r} \arrow{d} & 0 \arrow{r} \arrow{d} & 0 \arrow{r} \arrow{d} & 0 \arrow{d}\\
        \cdots\arrow{r} & A^{0} \arrow{d} \arrow{r} & A^{0} \arrow{d} \arrow{r} & A^{0} \arrow{d} \arrow{r} & 0 \arrow{d}\\
        \cdots\arrow{r} & A^{1} \arrow{d} \arrow{r} & A^{1} \arrow{d} \arrow{r} & 0 \arrow{d} \arrow{r} & 0 \arrow{d}\\
        \cdots\arrow{r} & A^{2} \arrow{d} \arrow{r} & 0 \arrow{d} \arrow{r} & 0 \arrow{d} \arrow{r} & 0 \arrow{d} \\
        & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
    \end{tikzcd}
    \] denn für $n > 1$ ist $\com{\text{ker } p}_n$ = $[\cdots \to 0 \to \underbrace{A^{n-2}}_{\in \mathcal{J}_0} \to 0 \to \cdots ]$. Nach
    Voraussetzung ist also $\text{ker } p_n$ in $\mathcal{J}$ und die kurze exakte Folge
    $0 \to \com{\text{ker } p}_n \to \com{S}_n \to \com{S}_{n-1} \to 0$ zerfällt gradweise. Also folgt
    $\com{A} = \lim \com{S}_n \in \mathcal{J}$.
\end{proof}

Im Folgenden zeigen wir, dass die Klasse der K-injektiven Komplexe 
abgeschlossen unter speziellen inversen Limites ist. Dazu zeigen wir zunächst, dass dies für die Klasse
der exakten Komplexe gilt. Da der inverse Limes im Allgemeinen nicht exakt ist, benötigen wir dafür ein
technisches Hilfswerkzeug für inverse Systeme in $\mathcal{A}b$.

\begin{definition}
    %Wir sagen eine totalgeordnete Indexmenge $(I, \le)$ genüge der Bedingung (S), wenn eine ordnungserhaltende
    %Bijektion $\iota\colon I \to \N$ existiert. Für $i \in I$ bezeichne, falls dieser existiert, mit $i+1$ bzw. $i-1$, den
    %von $\iota$ induzierten Vorgänger bzw. Nachfolger von $i$.

    Ein inverses System $(M_n)_{n \in \N}$ in $\mathcal{A}b$ genüge der Bedingung
    (R), wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind:
    \begin{enumerate}[(i)]
        \item $M_1 = 0$.
        \item Für $n > 1$ ist die Abbildung $M_n \to M_{n-1}$ surjektiv.
    \end{enumerate}
    %Weiter sagen wir ein inverses System $(M_i)_{i \in I}$ in $\mathcal{A}b$ genüge der Bedingung
    %(R), wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind:
    %\begin{enumerate}[(i)]
    %    \item $I$ genügt Bedingung (S).
    %    \item $M_1 = 0$.
    %    \item Für $i > I_{\text{min}}$ ist die Abbildung $M_i \to M_{i-1}$ surjektiv.
    %\end{enumerate}
    \label{def:cond-r}
\end{definition}

\begin{bsp}
    Spezielle inverse Systeme erfüllen (R).
\end{bsp}

\begin{lemma}
    Seien
    $(A_n)_{n \in \N}$, $(B_{n})_{n \in \N}$, $(C_n)_{n \in \N}$ und $(D_n)_{n \in \N}$
    inverse Systeme in $\mathcal{A}b$, die (R) erfüllen und seien
    \begin{equation}
    \begin{tikzcd}
        (A_n)_{n \in \N} \arrow{r}{(f_n)_{n \in \N}} & (B_n)_{n \in \N} \arrow{r}{(g_n)_{n \in \N}} &
        (C_n)_{n \in \N} \arrow{r}{(h_n)_{n \in \N}} & (D_n)_{n \in \N}
    \end{tikzcd}
    \label{eq:0.11-inv-systems}
    \end{equation}
    Morphismen von inversen Systemen mit $g_n \circ f_n = 0 = h_n \circ g_n$
    für $n \in \N$ und sei
    \[
    \begin{tikzcd}
        A \arrow{r}{f} & B \arrow{r}{g} & C \arrow{r}{h} & D
    \end{tikzcd}
    \] der Limes von \eqref{eq:0.11-inv-systems}. Für $n \in \N$ mit $n > 1$
    seien $A_n'$, $B_n'$, $C_n'$ und $D_n'$ die jeweiligen Kerne
    der Übergangsabbildungen $A_n \to A_{n-1}$, $B_n \to B_{n-1}$, $C_n \to C_{n-1}$
    und $D_n \to D_{n-1}$.

    Sei weiter $N \in \N$, sodass für alle $n > N$ die Folge
    \[
    \begin{tikzcd}
        A_n' \arrow{r} & B_n' \arrow{r} & C_n' \arrow{r} & D_n'
    \end{tikzcd}
    \] exakt ist.

    Dann ist die natürliche Abbildung
    \[
    \text{ker } g / \text{im } f \longrightarrow \text{ker } g_N / \text{im } f_N
    \] ein Isomorphismus.
    \label{0.11}
\end{lemma}

\begin{proof}
    Sei
    $N \in \N$ mit der beschriebenen Eigenschaft. Dann betrachte das folgende kommutative Diagramm und
    mache Diagrammjagd.
    \begin{equation}
        \begin{tikzcd}
            A \arrow[twoheadrightarrow]{r}{f} \arrow{d} & \text{im } f \arrow[hookrightarrow]{r}
                                     & \text{ker } g \arrow[hookrightarrow]{r} \arrow{d}
                                     & B \arrow{r}{g} \arrow{d}
                                     & C \arrow{r}{h} \arrow{d}
                                     & D \arrow{d} \\
                                     A_N \arrow[twoheadrightarrow]{r}{f_N} & \text{im } f_N \arrow[hookrightarrow]{r}
                             & \text{ker } g_N \arrow[hookrightarrow]{r}
                             & B_N \arrow{r}{g_N}
                             & C_N \arrow{r}{h_N}
                             & D_N \\
                             A_{N+1} \arrow[twoheadrightarrow]{r}{f_{N+1}} \arrow[twoheadrightarrow]{u}{p_{A}}
                             & \text{im } f_{N+1} \arrow[hookrightarrow]{r} \arrow{u}
                                       & \text{ker } g_{N+1} \arrow[hookrightarrow]{r} \arrow{u}
                                       & B_{N+1} \arrow{r}{g_{N+1}} \arrow[twoheadrightarrow]{u}{p_B}
                                       & C_{N+1} \arrow{r}{h_{N+1}} \arrow[twoheadrightarrow]{u}{p_C}
                                       & D_{N+1} \arrow[twoheadrightarrow]{u}{p_D} \\
                                       \text{ker } p_{A} \arrow[from=4-1, to=4-4] \arrow[hookrightarrow]{u} & &
                                       & \text{ker } p_{B} \arrow{r} \arrow[hookrightarrow]{u}
                                       & \text{ker } p_{C} \arrow{r} \arrow[hookrightarrow]{u}
                                       & \text{ker } p_{D} \arrow[hookrightarrow]{u} \\
        \end{tikzcd}
        \label{eq:0.11-diag}
    \end{equation}
    Injektivität: Sei $(b_n)_{n \in \N} \in \text{ker } g$, sodass $b_N \in \text{im }f_N$.
    Dann existiert ein $a_N \in A_N$, sodass $f_N(a_N) = b_N$. Da $p_A$ surjektiv ist,
    existiert ein $x \in A_{N+1}$, sodass $p_A(x) = a_N$. Sei
    $y = f_{N+1}(x)$. Weil \eqref{eq:0.11-diag} kommutativ ist,
    folgt
    \[
        p_B(y) = p_B(f_{N+1}(x)) = f_N(p_A(x)) = f_N(a_N) = b_N
    .\] Da $(b_n)_{n \in \N}$ ein kompatibles
    System ist, gilt zudem $p_{B}(b_{N+1}) = b_N$. Also ist
    $b_{N+1} - y \in \text{ker } p_{B}$. Weil $y, b_{N+1} \in \text{ker } g_{N+1}$,
    existiert aufgrund der Exaktheit der unteren Zeile ein $\tilde{x} \in \text{ker } p_A$,
    sodass $f_{N+1}(\tilde{x}) = b_{N+1} - y$. Nun
    setze $a_{N+1} \coloneqq \tilde{x} + x$. Dann ist
    \[
        f_{N+1}(a_{N+1}) = f_{N+1}(\tilde{x} + x) = b_{N+1} - y + y = b_{N+1}
    \] 
    und
    \[
        p_{A}(a_{N+1}) = p_{A}(\tilde{x} + x) = p_{A}(x) =  a_N
    ,\] denn $\tilde{x} \in \text{ker } p_{A}$. Konstruiere so induktiv eine kompatible
    Familie $(a_{n})_{n\ge N}$ mit $f(a_n) = b_n$ für alle $n \ge N$. Für $n < N$ setze
    $a_n \coloneqq p_{A_{n+1}}(a_{n+1})$. Die Kommutativität von \eqref{eq:0.11-diag}
    liefert dann, dass $(a_n)_{n \in \N}$ ein kompatibles System ist mit $f(a_{n}) = b_n$ für alle $n \in \N$.

    Surjektivität: Sei $b \in \text{ker } g_N$. Weil $p_B$ surjektiv ist, existiert ein
    $y \in B_{N+1}$, sodass $p_B(y) = b$. Sei $z = g_{N+1}(y)$.
    Aufgrund der Kommutativität von
    \eqref{eq:0.11-diag} ist dann
    \[
    p_C(z) = p_C(g_{N+1}(y)) = g_N(p_B(y)) = g_N(b) = 0
    ,\] 
    also
    folgt $z \in \text{ker } p_C$. Da $h_{N+1} \circ g_{N+1} = 0$ folgt
    \[
    h_{N+1}(z) = h_{N+1}(g_{N+1}(z)) = 0
    .\] 
    Da die untere Zeile exakt ist, existiert nun
    ein $\tilde{y} \in \text{ker } p_B$, sodass $g_{N+1}(\tilde{y}) = z$. Also ist
    $y - \tilde{y} \in \text{ker } g_{N+1}$ und
    \[
    p_B(y - \tilde{y}) = p_B(y) = b
    .\] 
    Setze $b_{N+1} \coloneqq y - \tilde{y}$ und $b_N \coloneqq b$.
    Dann konstruiere induktiv eine kompatible
    Familie $(b_n)_{n \ge N}$ mit $b_n \in \text{ker } g_{n}$ für alle $n \ge N$. Für $n < N$ setze wie
    oben $b_n \coloneqq p_{B_{n+1}}(b_{n+1})$. Erneut liefert die Kommutativität von
    \eqref{eq:0.11-diag}, dass $(b_n)_{n \in \N} \in \text{ker } g$ ein kompatibles System mit $b_N = b$ ist.
\end{proof}

\begin{bem}
    Falls in der Situation von \ref{0.11}, $N= 1$ gewählt werden kann, folgt wegen $A_1 = B_1 = C_1 = D_1 = 0$,
    dass die Folge
    \[
    \begin{tikzcd}
        A \arrow{r}{f} & B \arrow{r}{g} & C
    \end{tikzcd}
    \] exakt ist.
\end{bem}

\begin{korollar}
    Die Klasse $\mathcal{E}$ der exakten Komplexe in $\mathcal{K}(\mathcal{A}b)$ ist abgeschlossen unter speziellen inversen Limites.

    \label{lemma:exact-comp-complete-inv}
\end{korollar}

\begin{proof}
    Sei $(\com{S}_n)_{n \in \N}$ ein $\mathcal{E}$-spezielles inverses System in $\mathcal{K}(\mathcal{A}b)$. Für $i \in \Z$
    erfüllt $(S_n^{i})_{n \in \N}$ die Bedingung (R) aus \ref{def:cond-r}. Sei also $i \in \Z$ beliebig. Dann erfüllt
    \[
        (S_n^{i-1})_{n \in \N} \to (S_n^{i})_{n \in \N} \to (S_n^{i+1})_{n \in \N} \to (S_n^{i+2})_{n \in \N}
    \] die Bedingungen von \ref{0.11} für $N = 1$,
    da nach Voraussetzung für alle $n > 1$ der Komplex $\text{ker}(\com{S}_n \to \com{S}_{n-1})$
    exakt ist. Also ist die Folge
    \[
    \begin{tikzcd}
        \lim S_n^{i-1} \arrow{r} \arrow{d}{=} & \lim S_n^{i} \arrow{d}{=} \arrow{r} & \lim S_n^{i+1} \arrow{d}{=}\\
        (\lim S_n)^{i-1} \arrow{r} & (\lim S_n)^{i} \arrow{r} & (\lim S_n)^{i+1}
    \end{tikzcd}
    \] exakt. Da $i \in \Z$  beliebig war, folgt dass $\lim S_n$ exakt ist.
\end{proof}

\begin{satz}
    Sei $\mathcal{B}$ eine weitere abelsche Kategorie und $\mathcal{J} \subset \mathcal{K}(B)$ abgeschlossen
    unter speziellen inversen Limites. Angenommen inverse Limites existieren in $\mathcal{A}$ und sei
    $F\colon \mathcal{K}(A) \to \mathcal{K}(B)$ ein kovarianter Funktor, der mit inversen Limites vertauscht und
    gradweise zerfallende kurze exakte Folgen erhält.

    Dann ist $F^{-1}(\mathcal{J}) \subset \mathcal{K}(\mathcal{A})$ abgeschlossen unter speziellen inversen Limites.

    \label{satz:complete-inv-system-functor}
\end{satz}

\begin{proof}
    Sei $(\com{S}_n)_{n \in \N}$ ein $F^{-1}(\mathcal{J})$-spezielles inverses System. Dann ist
    $(F(\com{S}_n))_{n \in \N}$ ein $\mathcal{J}$-spezielles inverses System, denn
    \begin{enumerate}[(i)]
        \item $F(S_1) = F(0) = 0$, da $F$ mit inversen Limites vertauscht und die Null der (inverse)
            Limes des leeren Diagramms
            ist.
        \item Für $n > 1$ ist nach Voraussetzung
            \[
            \begin{tikzcd}
                0 \arrow{r} & \text{ker } \com{p}_n \arrow{r} & \com{S}_n \arrow{r}{p_n} & \com{S}_{n-1} \arrow{r} & 0
            \end{tikzcd}
            \] 
            exakt, zerfällt gradweise und $\text{ker } \com{p}_n$ ist in $F^{-1}(\mathcal{J})$. Nach Voraussetzung ist damit
            \[
            \begin{tikzcd}
                0 \arrow{r} & F(\text{ker } \com{p}_n) \arrow{r} & F(\com{S}_n) \arrow{r}{F(p_n)} & F(\com{S}_{n-1}) \arrow{r} & 0
            \end{tikzcd}
            \] exakt und zerfällt gradweise. Aus der Exaktheit folgt damit auch
            $\text{ker } F(p_n) = F(\text{ker } p_n)$, also $\text{ker } F(p_n) \in \mathcal{J}$.
    \end{enumerate}
    Also ist $F(\lim \com{S}_n) = \lim F(\com{S}_n) \in \mathcal{J}$ und damit $\lim \com{S}_n \in F^{-1}(\mathcal{J})$.
\end{proof}

\begin{korollar}
    Sei $\mathcal{I}$ eine Klasse von Komplexen und angenommen in $\mathcal{A}$ existieren inverse Limites.

    Dann ist die Klasse aller Komplexe $\com{A} \in \mathcal{K}$, sodass
    $\com{\text{Hom}}(\com{T}, \com{A})$ exakt ist für alle $\com{T} \in \mathcal{I}$, abgeschlossen unter speziellen
    inversen Limites. Insbesondere ist die Klasse der K-injektiven Komplexe abgeschlossen unter speziellen inversen
    Limites.
\end{korollar}

\begin{proof}
    Sei $\mathcal{E}$ die Klasse der exakten Komplexe und für $\com{T} \in \mathcal{I}$ sei
    $\mathcal{H}_{\com{T}}$ die Klasse der Komplexe $\com{A} $, sodass
    $\com{\text{Hom}}(\com{T}, \com{A})$ exakt ist. Dann
    ist $\mathcal{H}_{\com{T}} = \com{\text{Hom}}(\com{T}, -)^{-1}(\mathcal{J})$.
    $\mathcal{E}$ mit $\com{\text{Hom}}(\com{T}, -)$ erfüllt
    die Voraussetzungen von \ref{satz:complete-inv-system-functor}, denn:

    \begin{enumerate}[(i)]
        \item Nach \ref{lemma:exact-comp-complete-inv} ist
            $\mathcal{E}$ abgeschlossen unter speziellen inversen Limites.
        \item Wegen \ref{lemma:inner-hom-commutes-with-limits} vertauscht $\com{\text{Hom}} (\com{T}, -)$ mit Limites.
            Außerdem ist $\com{\text{Hom}}(\com{T}, -)$ gradweise additiv, erhält also
            gradweise zerfallende Folgen.
    \end{enumerate}
    Also ist $\mathcal{H}_{\com{T}}$ und damit $\bigcap_{\com{T} \in \mathcal{I}} \mathcal{H}_{\com{T} }$
    abgeschlossen unter speziellen inversen Limites.
    Das Insbesondere folgt wenn $\mathcal{I} = \mathcal{E}$ gesetzt wird.
\end{proof}

Für die Klasse der K-injektiven Komplexe betrachten wir die duale Version von \ref{def:special-inv-system}:

\begin{definition}[Spezielles direktes System]
    Sei $\mathcal{P} \subset \mathcal{K}$ eine Klasse von Komplexen.
    \begin{enumerate}[(a)]
        \item Ein direktes System $(\com{P}_n)_{n \in \N}$ in $\mathcal{K}$ heißt $\mathcal{P}$-spezielles
            direktes System, falls folgende Bedingungen erfüllt sind:
            \begin{enumerate}[(i)]
                \item Falls $n = 1$, dann ist $\com{P}_n = 0$.
                \item Falls $n > 1$, dann sei $\com{C}_n$ der Kokern der natürlichen Abbildung
                    $\com{P}_{n-1} \to \com{P}_{n}$. Dann ist $\com{C}_n \in \mathcal{P}$ und
                    die kurze exakte Folge
                    \[
                    0 \to \com{P}_{n-1} \to \com{P}_{n} \to \com{C}_n \to  0
                    \] zerfällt stufenweise.
            \end{enumerate}
        \item Die Klasse $\mathcal{P}$ heißt abgeschlossen unter speziellen direkten Colimites, falls jedes
            $\mathcal{P}$-spezielle direkte System in $\mathcal{K}$ einen Colimes in $\mathcal{P}$ besitzt und jeder
            Komplex in $\mathcal{K}$, der isomorph ist zu einem Komplex in $\mathcal{P}$, bereits in $\mathcal{P}$ ist.
    \end{enumerate}
\end{definition}

Durch Umdrehen aller Pfeile, erhalten wir die duale Version von \ref{lemma:bounded-compl-in-complete-class}
und insbesondere die folgenden Ergebnisse:

% brauche ich nicht
%\begin{lemma}
%    Die Klasse der exakten Komplexe in $\mathcal{K}(\mathcal{A}b)$ ist abgeschlossen unter speziellen direkten Colimites.
%
%    \label{lemma:exact-comp-complete-inv}
%\end{lemma}
%
%\begin{proof}
%    
%\end{proof}

\begin{satz}
    Sei $\mathcal{B}$ eine weitere abelsche Kategorie und $\mathcal{J} \subset \mathcal{K}(B)$ abgeschlossen
    unter speziellen inversen Limites. Angenommen direkte Colimites existieren in $\mathcal{A}$ und sei
    $F\colon \mathcal{K}(A) \to \mathcal{K}(B)$ ein kontravarianter Funktor, der direkte Colimites in
    inverse Limites überführt und gradweise zerfallende kurze exakte Folgen erhält.

    Dann ist $F^{-1}(\mathcal{J}) \subset \mathcal{K}(\mathcal{A})$ abgeschlossen unter speziellen direkten Colimites.

    \label{satz:complete-dir-system-functor}
\end{satz}

\begin{korollar}[]
    Sei $\mathcal{I}$ eine Klasse von Komplexen und angenommen in $\mathcal{A}$ existieren direkte Colimites.

    Dann ist die Klasse aller Komplexe $\com{A} \in \mathcal{K}$, sodass
    $\com{\text{Hom}}(\com{A},  \com{T})$ exakt ist für alle $\com{T} \in \mathcal{I}$, abgeschlossen unter speziellen
    direkten Colimites. Insbesondere ist die Klasse der K-projektiven Komplexe abgeschlossen unter speziellen direkten
    Colimites.
    \label{kor:k-proj-closed}
\end{korollar}


\begin{definition}[]
    Angenommen inverse (bzw. direkte) Limites existieren in $\mathcal{K}$ und sei $\mathcal{G}$ eine Klasse von
    Komplexen in $\mathcal{K}$. Dann nennen wir $\underset{\leftarrow}{\mathcal{G}}$
    (bzw. $\underset{\rightarrow}{\mathcal{G}})$ die kleinste Klasse von Komplexen in $\mathcal{K}$, die abgeschlossen
    unter speziellen inversen Limites (bzw. direkten Colimites) ist und $\mathcal{G}$ enthält.
\end{definition}

\subsection{Existenz von K-projektiven und K-injektiven Auflösungen}

Das Ziel dieses Abschnittes ist es nun Satz \ref{satz:r-mod-existence-k-proj-and-k-inj-resolutions}
zu beweisen. Dazu verallgemeinern wir zunächst die Begriffe K-injektive und K-projektive Auflösungen:

\begin{definition}[Auflösungen]
    Sei $\com{X} \in \mathcal{K}$ und $\mathcal{J}$ eine Klasse von Komplexen aus $\mathcal{K}$. Dann
    ist eine $\mathcal{J}$-Linksauflösung ein Quasiisomorphismus $\com{J} \to \com{X} $
    mit $\com{J} \in \mathcal{J}$. Analog ist eine $\mathcal{J}$-Rechtsauflösung
    ein Quasiisomorphismus $\com{X} \to \com{J} $ mit $\com{J} \in \mathcal{J}$.
\end{definition}

\subsubsection{Linksauflösungen}

Sei $\mathcal{P}$ eine Klasse von Komplexen in $\mathcal{K}$.
%\begin{enumerate}[(L1)]
%    \item Jeder nach oben beschränkte Komplex $\com{A} \in \mathcal{K}$ hat eine
%        $\mathcal{P}$-Linksauflösung.
%\end{enumerate}

\begin{lemma}[]
    Die folgenden Bedingungen an $\mathcal{P}$ sind äquivalent:
    \begin{enumerate}[(i)]
        \item Jeder nach oben beschränkte Komplex $\com{A} \in \mathcal{K}$
             hat eine $\mathcal{P}$-Linksauflösung.
        %\item Jeder nach oben beschränkte Komplex $\com{A} \in \mathcal{K}$ hat eine
        %    Linksauflösung $\com{P} \to \com{A} $ durch einen nach oben beschränkten
        %    Komplex $\com{P} \in \mathcal{P}$.
        \item Für alle $\com{A} \in \mathcal{K} $ und $n \in \Z$, existiert ein $\com{P} \in \mathcal{P}$ mit
            $H^{i}(\com{P}) = 0$ für $i > n$ und ein Komplexhomomorphismus $f\colon \com{P} \to \com{A} $, der
            einen Isomorphismus $H^{i}(\com{P}) \to H^{i}(\com{A})$ induziert für $i \le n$.
    \end{enumerate}
    \label{lemma:class-compl-cond}
\end{lemma}

\begin{proof}
    (i)$\implies$(ii):
    Sei $\com{A} \in \mathcal{K}$ und $n \in \Z$.
    Dann ist $\tau_{\le n} \com{A}$ nach oben beschränkt, also existiert
    ein $\com{P} \in \mathcal{P}$ und ein Quasiisomorphismus
    $s\colon \com{P} \to \tau_{\le n}\com{A}$. Durch Komposition mit dem natürlichen
    Komplexhomomorphismus $\tau_{\le n}\com{A} \to \com{A}$ erhalten
    wir ein $f\colon \com{P} \to \com{A} $. Für $i > n$ ist nun
    $H^{i}(\com{P}) = H^{i}(\tau_{\le n}\com{A}) = 0 $. Für $i \le n$ ist
    $H^{i}(\tau_{\le n}\com{A}) = H^{i}(\com{A})$, also induziert $f$ den gewünschten Isomorphismus.

    (ii)$\implies$(i):
    Sei $\com{A} \in \mathcal{K}$ nach oben beschränkt.
    Ohne Einschränkung ist $A^{i} = 0$ für alle $i > 0$.
    Wähle $n= 0$ in (iii). Dann existiert ein $f\colon \com{P} \to \com{A} $ mit
    $\com{P} \in \mathcal{P}$ und $f$ induziert
    $H^{i}(\com{P}) \xrightarrow[\sim]{0 = H^{i}(f)} 0 = H^{i}(\com{A})$ für $i > 0$ und
    $H^{i}(\com{P})\xrightarrow[\sim]{H^{i}(f)} H^{i}(\com{A})$ für $i \le 0$. Also ist
    $f$ ein Quasiisomorphismus.
\end{proof}

\begin{bem}[]
    Sei $\com{A} \in \mathcal{K}$. Angenommen $\mathcal{P}$ genügt den äquivalenten Bedingungen
    von \ref{lemma:class-compl-cond} und es existiert ein $n \in \Z$, sodass
    für alle $i > n$, $H^{i}(\com{A}) = 0$ ist. Dann hat $\com{A} $ eine
    $\mathcal{P}$-Linksauflösung, denn nach \ref{lemma:class-compl-cond} (ii) existiert dann
    ein $\com{P} \in \mathcal{P}$ und ein Komplexhomomorphismus $f\colon \com{P} \to \com{A}$, sodass
    $H^{i}(\com{P}) = 0 = H^{i}(\com{A})$ für $i > n$ und
    $H^{i}(f)$ ein Isomorphismus ist für $i \le n$. Also ist $f$ ein Quasiisomorphismus.
    \label{bem:p-left-resolutions-for-h-bounded}
\end{bem}

\begin{bsp}
    %Falls $\mathcal{A}$ genügend Projektive hat, können wir $\mathcal{P}$ als
    %die Klasse
    %der nach oben beschränkten Komplexe $\com{P} \in \mathcal{K}$ mit $P^{i}$
    %projektiv für alle $i \in \Z$ wählen.
    Sei $\mathcal{P}$ die Klasse
    der nach oben beschränkten Komplexe $\com{P} \in \mathcal{K}$ mit $P^{i}$
    projektiv für alle $i \in \Z$. Falls $\mathcal{A}$ genügend Projektive hat, erfüllt
    $\mathcal{P}$ die äquivalenten Bedingungen aus \ref{lemma:class-compl-cond}.

    Ein solches $\com{P}$ ist K-projektiv, denn: Für alle eingradigen Komplexe $\com{Q}$ mit
    $Q^{i}$ projektiv für alle $i \in \Z$ ist $\com{Q} $ nach \ref{satz:single-degree-compl-k-proj} K-projektiv. Da
    nach \ref{kor:k-proj-closed} die Klasse der K-projektiven
    abgeschlossen unter speziellen direkten Colimites ist, folgt mit dem Dual von
    \ref{lemma:bounded-compl-in-complete-class}, dass $\com{P} $ K-projektiv ist.

    Erneut nach \ref{kor:k-proj-closed} sind die Komplexe in $\underset{\rightarrow}{\mathcal{P}}$ damit ebenfalls
    $K$-projektiv.

    \label{bsp:bounded-above-projectives}
\end{bsp}

\begin{lemma}
    Sei $\com{A} \in \mathcal{K}$. Dann existiert ein $\mathcal{P}$-spezielles direktes System $(\com{P}_n)_{n \in \N}$ und
    ein direktes System von Kettenhomomorphismen $f_n \colon \com{P}_n \to \tau_{\le n}\com{A}$, sodass
    $f_n$ ein Quasiisomorphismus ist für alle $n \ge 2$.
    \label{lemma:constr-dir-system}
\end{lemma}

\begin{proof}
    Wir gehen induktiv vor. Setze $\com{P}_{1} = 0$ und $f_{1} = 0$.
    Nach den äquivalenten Bedingungen von \ref{lemma:class-compl-cond} existiert ein Quasiisomorphismus
    $f_2 \colon \com{P}_2 \to \tau_{\le 2}\com{A}$ mit $\com{P}_2 \in \mathcal{P}$.

    Sei nun $n \ge 3$ und seien $\com{P}_{1}, \ldots, \com{P}_{n-1}$ und $f_{1}, \ldots, f_{n-1}$
    konstruiert wie im Lemma. Dann
    setze $\com{P} = \com{P}_{n-1}$ und $\com{B} = \tau_{\le n} \com{A} $. Es sei
    $a_{n-1}\colon \tau_{\le n-1}\com{A} \to \tau_{\le n} \com{A} $ der natürliche Komplexhomomorphismus
    und $f = a_{n-1}f_{n-1}\colon \com{P} \to \com{B}$. Es gilt dann
    \begin{equation}
        f d_P = d_B f
        \label{eq:f-comp-hom} 
    \end{equation}
    Da $\com{B}$ nach oben beschränkt ist
    und $H^{i}(\com{P}) \stackrel{\sim }{=} H^{i}(\tau_{\le n-1}\com{A}) = 0$ für $i \gg 0$, folgt
    nach \ref{bem:mapping-cone-h-bounded}
    $H^{i}(\com{C}_f) = 0$ für $i \gg 0$.
    Also existiert nach \ref{bem:p-left-resolutions-for-h-bounded} ein Quasiisomorphismus
    $g\colon \com{Q} \to \com{C}_f[-1]$ mit $\com{Q}[1] \in \mathcal{P}$. Da
    $C_f^{i}[-1] = P^{i} \oplus B^{i-1}$ für $i \in \Z$, ist $g$ gradweise
    gegeben durch Morphismen $g'_i\colon Q^{i} \to P^{i} $ und $g''_i\colon Q^{i} \to B^{i-1}$
    in $\mathcal{A}$.

    Betrachte für $i \in \Z$ das folgende kommutative Diagramm:
    \begin{equation}
    \begin{tikzcd}
        \cdots \arrow{r} & Q^{i} \arrow{r}{d_{Q}} \arrow{d}{(g', g'')}
                         & Q^{i+1} \arrow{r} \arrow{d}{(g', g'')} & \cdots\\
        \cdots \arrow{r} & P^{i} \oplus B^{i-1} \arrow{r}{d_{C_f[-1]}} &
        P^{i+1} \oplus B^{i} \arrow{r} & \cdots
        \label{eq:1}
    \end{tikzcd}
    \end{equation}
    In Matrixnotation ist
    \begin{align*}
        d_{C_f} = \begin{pmatrix} d_{P[1]} & 0 \\ f[1] & d_{B} \end{pmatrix} 
        = \begin{pmatrix} - d_{P} & 0 \\ f & d_{B} \end{pmatrix} 
        \intertext{Also folgt}
        d_{C_f}[-1] = - d_{C_f} = \begin{pmatrix} d_{P} & 0 \\ -f & -d_{B} \end{pmatrix} 
    .\end{align*}
    Auswerten der Kommutativität von \eqref{eq:1} in beiden Summanden liefert nun
    \begin{align}
        d_P g' &= g' d_Q \label{eq:g'-comp-hom} \\
        -fg' - d_Bg'' &= g''d_Q \label{eq:g''}
    .\end{align}
    Aus \eqref{eq:g'-comp-hom} folgt, dass $g'\colon \com{Q} \to \com{P} $ ein
    Komplexhomomorphismus ist. Setze nun
    $h\colon \com{C}_{-g'} \to \com{B} $ durch
    \[
        h(x,y) = g''[1](x) + f(y)
    .\]
    Betrachte für $i \in \Z$ das folgende Diagramm:
    \[
    \begin{tikzcd}
        \cdots \arrow{r} & Q^{i+1} \oplus P^{i} \arrow{r}{d_{C_{-g'}}} \arrow{d}{h} & Q^{i+2} \oplus P^{i+1} \arrow{r} \arrow{d}{h}
               & \cdots \\
        \cdots \arrow{r} & B^{i} \arrow{r}{d_{B}} & B^{i+1} \arrow{r} & \cdots
    \end{tikzcd}
    .\] In Matrixnotation ist
    \begin{salign*}
        h d_{C_{-g'}} &= \begin{pmatrix} g'' & f \end{pmatrix}
        \begin{pmatrix} -d_Q & 0 \\ -g' & d_P \end{pmatrix}  \\
            &= \begin{pmatrix} 
                -g'' d_Q - f g' & f d_P
            \end{pmatrix} \\
            &\stackrel{\eqref{eq:g''}}{=}
            \begin{pmatrix} 
                d_B g'' & f d_P
            \end{pmatrix}  \\
            &\stackrel{\eqref{eq:f-comp-hom}}{=}
            \begin{pmatrix} 
                d_B g'' & d_B f
            \end{pmatrix}  \\
            &= d_B h
    .\end{salign*}
    %\begin{salign*}
    %    h d_{C_{-g'}} &= \begin{pmatrix} g''[1] & f \end{pmatrix}
    %    \begin{pmatrix} d_Q[1] & 0 \\ -g'[1] & d_P \end{pmatrix}  \\
    %        &= \begin{pmatrix} 
    %            g''[1] d_Q[1] - f g'[1] & f d_P
    %        \end{pmatrix} \\
    %        &\stackrel{\eqref{eq:g''}}{=}
    %        \begin{pmatrix} 
    %            d_B g'' & f d_P
    %        \end{pmatrix}  \\
    %        &\stackrel{\eqref{eq:f-comp-hom}}{=}
    %        \begin{pmatrix} 
    %            d_B g'' & d_B f
    %        \end{pmatrix}  \\
    %        &= d_B h
    %.\end{salign*}
    Also ist $h$ ein Komplexhomomorphismus. Bleibt zu zeigen, dass $h$ ein Quasiisomorphismus
    ist. Dafür genügt es nach \ref{mapping-cone-exact-for-qis} zu zeigen, dass $\com{C}_h$
    exakt ist. Behauptung: $\com{C}_h = \com{C}_{-g}[1]$.

    Es ist gradweise für $ i \in \Z$
    \[
        C_h^{i} = C_{-g'}^{i+1} \oplus B^{i} = (Q^{i+2} \oplus P^{i+1}) \oplus B^{i}
        = Q^{i+2} \oplus (P^{i+1} \oplus B^{i})
        = Q^{i+2} \oplus C_f^i
        = C_{-g}^{i}[1]
    .\] Für die Differentiale gilt, wieder in Matrixnotation:
    \begin{align*}
        d_{C_h} = \begin{pmatrix}
            d_{C_{-g'}[1]} & 0 \\
            h[1] & d_B \end{pmatrix}
            = \begin{pmatrix}
                -\begin{pmatrix} -d_Q & 0 \\
                    -g' & d_P
                \end{pmatrix} & 0 \\
                    \begin{pmatrix} g'' & f \end{pmatrix} & d_B
            \end{pmatrix} 
            = \begin{pmatrix} 
                d_Q & 0 & 0 \\
                g' & -d_P & 0 \\
                g'' & f & d_B
            \end{pmatrix}
    .\end{align*}
    Analog folgt
    \begin{align*}
        d_{C_{-g}[1]} =
        \begin{pmatrix}
            d_{Q[1]} & 0 \\
            -g[1] & d_{C_f[-1]}
        \end{pmatrix} [1]
        = -\begin{pmatrix} -d_Q & 0 \\
            \begin{pmatrix} -g' \\ -g'' \end{pmatrix}
            & -\begin{pmatrix} -d_P & 0 \\ f & d_{B} \end{pmatrix}
        \end{pmatrix}
        = \begin{pmatrix} 
            d_Q & 0 & 0 \\
            g' & -d_P & 0 \\
            g'' & f & d_B
        \end{pmatrix} 
    .\end{align*}
    Also folgt die Behauptung. Da $g$ und demnach $-g$ ein Quasiisomorphismus ist
    und Verschieben Exaktheit erhält,
    folgt damit mit \ref{mapping-cone-exact-for-qis} die Exaktheit von $\com{C}_h = \com{C}_{-g}[1]$.

    Setze nun $\com{P}_n \coloneqq \com{C}_{-g'}$ und $f_n \coloneqq h$.
    Sei $p_{n-1}\colon \com{P}_{n-1} = \com{P} \to \com{P}_n$ die natürliche Abbildung.
    Dann ist $p_{n-1}$ gradweise gegeben durch die natürliche Inklusion
    $P^{i} \to Q^{i+1} \oplus P^{i}$. Also folgt
    $\text{coker } p_{n-1} = \com{Q}[1] \in \mathcal{P}$ und wir haben gradweise
    zerfallende exakte Folgen:
    \[
    \begin{tikzcd}
        0 \arrow{r} & P^{i} \arrow{r}{p_{n-1}} & Q^{i+1} \oplus P^{i} \arrow{r}
                    & Q^{i+1} \arrow{r} & 0
    \end{tikzcd}
    .\]
    Also ist $(\com{P}_n)_{n \in \N}$ ein $\mathcal{P}$-spezielles direktes System.
    Außerdem ist nach Definition von $h$: $f_n p_{n-1} = h p_{n-1} = f = a_{n-1} f_{n-1}$,
    also kommutiert
    \[
    \begin{tikzcd}
        \com{P}_{n-1} \arrow{r}{p_{n-1}} \arrow{d}{f_{n-1}}
        & \com{P}_{n} \arrow{d}{f_n = h} \\
        \tau_{\le n-1}\com{A} \arrow{r}{a_{n-1}} & \tau_{\le n}\com{A}
    \end{tikzcd}
    \] und $(f_n)_{n \in \N}$ ist ein direktes System.
\end{proof}

Daraus folgt nun sofort:

\begin{satz}
    Angenommen direkte Colimites existieren in $\mathcal{A}$ und
    $\colim$ ist exakt.
    Dann hat jeder Komplex in $\mathcal{K}$ eine
    $\underset{\rightarrow}{\mathcal{P}}$-Linksauflösung.

    \label{satz:existence-left-resolutions}
\end{satz}

\begin{proof}
    Sei $\com{A} \in \mathcal{K}$ und $(\com{P}_n)_{n \in \N}$, $(f_n)_{n \in \N}$ wie
    in \ref{lemma:constr-dir-system}. Da direkte Colimites in $\mathcal{A}$ existieren und
    sich diese in $\mathcal{K}$ gradweise bilden, existieren direkte Colimites
    in $\mathcal{K}$. Nach der Definition von $\underset{\rightarrow}{\mathcal{P}}$ ist dann
    $\com{P} \coloneqq \colim \com{P}_n$ in $\underset{\rightarrow}{\mathcal{P}}$.

    Wir erhalten ebenfalls
    \[
    f\coloneqq \colim f_n \colon \com{P} \longrightarrow \colim \tau_{\le n}\com{A}
    = \com{A} 
    .\] Da $\colim$ exakt ist, folgt für $i \in \Z$:
    \[
        H^{i}(f) = H^{i}(\colim f_n) = \colim \underbrace{H^{i}(f_n)}_{\text{Isomorphismus}}
    .\] Also ist $f$ ein Quasiisomorphismus.
\end{proof}

\begin{korollar}[]
    Angenommen direkte Colimites existieren in $\mathcal{A}$ und
    $\colim$ ist exakt. Falls $\mathcal{A}$ außerdem genug Projektive hat,
    besitzt jeder Komplex in $\mathcal{K}$ eine K-projektive Auflösung.
    \label{satz:existence-k-proj-resolution}
\end{korollar}

\begin{proof}
    Wähle $\mathcal{P}$ wie in Beispiel \ref{bsp:bounded-above-projectives} und wende
    \ref{satz:existence-left-resolutions} an.
\end{proof}

\subsubsection{Rechtsauflösungen}

Sei $\mathcal{I}$ eine Klasse von Komplexen in $\mathcal{K}$. Im Folgenden nehmen wir an,
dass $\mathcal{I}$ die folgende Eigenschaft erfüllt:
\vspace{2mm}

\noindent\hspace{9mm} \emph{Jeder nach unten beschränkte Komplex $\com{A} \in \mathcal{K}$ hat eine
$\mathcal{I}$-Rechtsauflösung.}

%\begin{enumerate}[(1)]
%    \item \emph{Jeder nach unten beschränkte Komplex $\com{A} \in \mathcal{K}$ hat eine
%        $\mathcal{I}$-Rechtsauflösung.}
%\end{enumerate}

\begin{bsp}
    Falls $\mathcal{A}$ genügend Injektive hat, können wir, dual zu Beispiel
    \ref{bsp:bounded-above-projectives}, $\mathcal{I}$ als die Klasse
    der nach unten beschränkten Komplexe mit in $\mathcal{A}$ injektiven Objekten wählen.
\end{bsp}

Durch Umdrehen der Pfeile erhalten wir die duale Aussagen von
\ref{lemma:constr-dir-system} und \ref{satz:existence-left-resolutions}:

\begin{lemma}[]
    Sei $\com{A} \in \mathcal{K}$. Dann existiert ein $\mathcal{I}$-spezielles
    inverses System $(\com{I}_n)_{n \in \N}$ und ein inverses System von
    Kettenhomomorphismen $f_n\colon \tau^{\ge-n}\com{A} \to \com{I}_n$, sodass
    $f_n$ ein Quasiisomorphismus ist für $n \ge 2$.
    \label{lemma:constr-inv-system}
\end{lemma}

\begin{satz}[]
    Angenommen inverse Limites existieren in $\mathcal{A}$ und
    $\lim$ ist exakt.
    Dann hat jeder Komplex in $\mathcal{K}$ eine
    $\underset{\leftarrow}{\mathcal{I}}$-Rechtsauflösung.

    \label{satz:existence-right-resolutions}
\end{satz}

\begin{bem}
    Leider findet \ref{satz:existence-right-resolutions} in $\mathcal{A} = R\text{-Mod}$ für
    einen Ring $R$ keine Anwendung, da hier $\lim$ nicht exakt ist.

    Diese Voraussetzung wird jedoch nur verwendet, um zu zeigen, dass
    $f = \lim f_n\colon \com{A} \to \lim \com{I}_n$ ein Quasiisomorphismus ist.
    Wir können uns der speziellen Struktur des inversen Systems
    $(\com{I}_n)_{n \in \N}$ bedienen, um für $\mathcal{A} = R\text{-Mod}$ zu zeigen,
    dass $f$ dennoch ein Quasiisomorphismus ist.
\end{bem}

\begin{satz}[]
    Sei $R$ ein Ring und $\mathcal{A}$ die Kategorie der R-links-Moduln. Dann
    hat jeder Komplex in $\mathcal{K}$ eine K-injektive Auflösung.
    \label{satz:existence-k-inj-resolution}
\end{satz}

\begin{proof}
    Seien $(\com{I}_n)_{n \in \N}$ und $(f_n)_{n \in \N}$ wie in
    \ref{lemma:constr-inv-system}.  Seien $\com{I} = \lim \com{I}_n$ und
    $f = \lim f_n$. Es genügt zu zeigen, dass $f$ ein Quasiisomorphismus ist.

    Sei $i \in \Z$ beliebig. Für $n \ge 3$ haben wir folgendes kommutative Diagramm:
    \[
    \begin{tikzcd}
        \com{I} \arrow{r} \arrow{d}{f} & \com{I}_n \arrow{r}{p_n} \arrow{d}{f_n} & \com{I_{n-1}} \arrow{d}{f_{n-1}} \\
        \com{A} \arrow{r} & \tau^{\ge -n} \com{A} \arrow{r} & \tau^{\ge -(n-1)} \com{A} 
    \end{tikzcd}
    \] Wende nun $H^{i}(-)$ auf dieses Diagramm an:
    \begin{equation}
    \begin{tikzcd}
        H^{i}(\com{I}) \arrow{r} \arrow{d}{H^{i}(f)} & H^{i}(\com{I}_n) \arrow{r}{H^{i}(p_n)}
        \arrow{d}{H^{i}(f_n)}[swap]{\sim} & H^{i}(\com{I_{n-1}}) \arrow{d}{H^{i}(f_{n-1})}[swap]{\sim} \\
        H^{i}(\com{A}) \arrow{r} & H^{i}(\tau^{\ge -n} \com{A}) \arrow{r} & H^{i}(\tau^{\ge -(n-1)} \com{A}) 
    \end{tikzcd}
    \label{eq:diag-hi-in}
    .\end{equation}
    Die rechten beiden vertikalen Pfeile sind Isomorphismen, da $f_k$ ein
    Quasiisomorphismus ist für alle $k \ge 2$.

    Sei nun $n \ge -i+1$. Dann ist $i \ge -n + 1 \ge -n$, also ist
    $H^{i}(\com{A}) = H^{i}(\tau^{\ge -n}\com{A}) = H^{i}(\tau^{\ge -(n-1)} \com{A})$. Also
    sind die Morphismen in der unteren Zeile von \eqref{eq:diag-hi-in} Isomorphismen und
    damit ist
    $H^{i}(p_n)\colon H^{i}(\com{I}_n) \to H^{i}(\com{I}_{n-1})$
    ein Isomorphismus.

    Betrachte nun die kurze exakte Folge
    \[
    \begin{tikzcd}
        0 \arrow{r} & \text{ker } p_n \arrow{r} & \com{I}_n \arrow{r}{p_n} & \com{I}_{n-1}
        \arrow{r} & 0
    \end{tikzcd}
    .\] Das liefert für $j \in \Z$ eine lange exakte Kohomologiefolge:
    \begin{equation}
    \begin{tikzcd}
        H^{j-1}(\com{I}_{n}) \arrow{r}{H^{j-1}(p_n)} & H^{j-1}(\com{I}_{n-1}) \arrow{r}
                                       & H^{j}(\text{ker } p_n) \arrow{r}
                                       & H^{j}(\com{I}_n) \arrow{r}{H^{j}(p_n)}
                                       & H^{j}(\com{I}_{n-1})
    \end{tikzcd}
    \label{eq:long-ex-hi-in}
    \end{equation}
    Anwenden des obigen Arguments für $i = j$ und $i = j-1$ liefert für
    $n \ge -(j-1) + 1 \ge -j+1$ Isomorphismen $H^{j}(p_n)$ und $H^{j-1}(p_n)$.
    Aufgrund der Exaktheit von \eqref{eq:long-ex-hi-in} folgt, dann dass
    $H^{j}(\text{ker } p_n) = 0$ für alle $n \ge -(j-1)+1 = -j+2$.

    Sei nun $m \in \Z$ beliebig. Dann setze $N \coloneqq -m + 1$. Dann ist
    für alle $n > N$:
    \[
        H^{m}(\text{ker } p_n) = 0 = H^{m+1}(\text{ker } p_n)
    .\] 
    Also ist die Folge
    \begin{equation}
        \begin{tikzcd}
            \text{ker } p_n^{m-1} \arrow{r} &
            \text{ker } p_n^{m} \arrow{r} &
            \text{ker } p_n^{m+1} \arrow{r} &
            \text{ker } p_n^{m+2}
        \end{tikzcd}
    \end{equation}
    für $n > N$ exakt. Das System
    \begin{equation*}
        \begin{tikzcd}
            (I_n^{m-1})_{n \in \N} \arrow{r} &
            (I_n^{m})_{n \in \N} \arrow{r} &
            (I_n^{m+1})_{n \in \N} \arrow{r} &
            (I_n^{m+2})_{n \in \N}
        \end{tikzcd}
    \end{equation*}
    erfüllt damit die Bedingungen von \ref{0.11}. Also ist die natürliche Abbildung
    \[
    H^{m}(\com{I}) \longrightarrow H^{m}(\com{I}_N) 
    \] ein Isomorphismus. Erneute Betrachtung des linken Vierecks von \eqref{eq:diag-hi-in} für $i=m$ und
    $n=N$ liefert nun, dass $H^{i}(f)$ ein Isomorphismus ist.
\end{proof}

\begin{bem}
    Damit ist \ref{satz:r-mod-existence-k-proj-and-k-inj-resolutions} bewiesen.
\end{bem}

\newpage

\section{Ableitungen und Adjunktion}

Sei $R$ ein Ring und im Folgenden $\mathcal{A}$ die Kategorie der $R$ (links-)Moduln.

\subsection{Abgeleitete $\com{\text{Hom}}$ Funktoren}

%\begin{satz}[]
%    Sei $\com{I} \in \mathcal{K}$ K-injektiv und exakt. Dann ist $\com{\text{Hom}}(\com{M} , \com{I} )$ exakt für alle
%    $\com{M} \in \mathcal{K}$.
%
%    \label{satz:hom-exact-for-k-inj}
%\end{satz}
%
%\begin{proof}
%    Sei $\com{M} \in \mathcal{K}$ beliebig. Dann existiert nach
%    \ref{satz:existence-k-proj-resolution} ein $\com{P} \in \mathcal{K}$ K-projektiv und ein Quasiisomorphismus
%    $\com{P} \to \com{M}$. Da $\com{I} $ K-injektiv, ist $\com{\text{Hom}}(-, \com{I})$ ein exakter Funktor, also
%    folgt
%    \begin{equation}
%        H^{i}(\com{\text{Hom}}(\com{M}, \com{I})) = \com{\text{Hom}}(H^{i}(\com{M}), \com{I})
%        = \com{\text{Hom}}(H^{i}(\com{P}), \com{I})
%        = H^{i}(\com{\text{Hom}}(\com{P} , \com{I}  ))
%        \label{eq:cohom-groups-2}
%    .\end{equation}
%    Da $\com{P} $ K-projektiv und $\com{I} $ exakt, folgt die Exaktheit der rechten Seite und damit die Behauptung.
%\end{proof}

%Umdrehen der Pfeile liefert

%\begin{satz}[]
%    Sei $\com{P} \in \mathcal{K}$ K-projektiv und exakt. Dann ist $\com{\text{Hom}}(\com{P} , \com{M} )$ exakt für alle
%    $\com{M} \in \mathcal{K}$.
%    \label{satz:hom-exact-for-k-proj}
%\end{satz}

\begin{satz}
    Seien $\com{M}, \com{N} \in \mathcal{D}$. Dann ist $\text{R}\com{\text{Hom}}(\com{M}, \com{N})$ wohldefiniert
    und kann mithilfe einer K-projektiven Auflösung von $\com{M} $ oder einer K-injektiven Auflösung von $\com{N} $
    berechnet werden.
    \label{satz:derived-hom}
\end{satz}

\begin{proof}
    In der Notation von \ref{satz:existence-derived-functors} wähle $\mathcal{L}$ als die volle Unterkategorie der
    K-injektiven Komplexe von $\mathcal{K}$. Dann ist für $\com{M} \in \mathcal{K}$ beliebig:
    \begin{enumerate}[(i)]
        \item $\mathcal{L}$ ist trianguliert nach \ref{satz:k-proj-triangulated}.
        \item Für alle $\com{N} \in \mathcal{K}$ existiert wegen \ref{satz:existence-k-inj-resolution} ein Quasiisomorphismus $\com{N} \to \com{I} $
            mit $\com{I} \in \mathcal{L}$.
        \item Nach \ref{satz:hom-exact-for-k-inj} erhält $\com{\text{Hom}}(\com{M}, -)|_{\mathcal{L}}$
            Exaktheit von Komplexen.
    \end{enumerate}
    Also existiert R$\com{\text{Hom}}(\com{M} , -)$. Analog berechnet sich R$\com{\text{Hom}}(-, \com{N})$ für
    $\com{N} \in \mathcal{K}$ unter Wahl von $\mathcal{L}$
    als die volle Unterkategorie der K-projektiven Komplexe von $\mathcal{K}$. Beide Ableitungen stimmen überein, denn
    für $\com{M}, \com{N} \in \mathcal{K}$ beliebig und $\com{P} \to \com{M} $ und $\com{N} \to \com{I} $ K-projektive
    bzw. K-injektive Auflösungen gilt mit wiederholter Anwendung von \ref{satz:existence-derived-functors} und
    wegen $\com{P} \stackrel{\sim }{=} \com{M} $ und $\com{N} \stackrel{\sim }{=} \com{I} $ in $\mathcal{D}$:
    \begin{align*}
        \text{R}\com{\text{Hom}}(\com{M} , - )(\com{N})
        &= \text{R}\com{\text{Hom}}(\com{P} , -)(\com{I}) \\
        &= \com{\text{Hom}}(\com{P}, \com{I}) \\
        &= \text{R}\com{\text{Hom}}(-, \com{I} )(\com{P}) \\
        &= \text{R}\com{\text{Hom}}(-, \com{N} )(\com{M})
    .\end{align*}
\end{proof}

\subsection{Abgeleitetes Tensorprodukt}

Sei von nun an $R = A$ ein kommutativer Ring. Um das Tensorprodukt abzuleiten, benötigen wir noch
eine weitere Klasse von Komplexen in $\mathcal{K}$:

\begin{definition}[K-flach]
    Ein Komplex $\com{M} \in \mathcal{K}$ heißt K-flach, wenn der Funktor
    $\com{M} \otimes_A -$ Exaktheit von Komplexen erhält. Eine K-flache
    Auflösung eines Komplexes $\com{N} \in \mathcal{K}$ ist
    ein Quasiisomorphismus $\com{M} \to \com{N} $ mit
    $\com{P} \in \mathcal{K}$ K-flach.
\end{definition}

\begin{satz}
    Sei $\com{M} \in \mathcal{K}$ mit $M^{i} = 0$ für $i \neq 0$. Dann ist
    $\com{M} $ genau dann K-flach, wenn $M^{0}$ flacher $A$-Modul ist.
\end{satz}

\begin{proof}
    Sei $\com{M} \in \mathcal{K}$ wie im Satz. Dann ist für $\com{S} \in \mathcal{K}$ und
    $n \in \Z$:
    \[
        (\com{M} \otimes_A \com{S})^{n} = \bigoplus_{i+j=n} M^{i} \otimes_A S^{j}
        = M^{0} \otimes S^{n} = (M^{0} \otimes \com{S} )^{n}
    \] und für $m \in M^{0}$, $s \in S^{n}$:
    \[
    d_{\com{M} \otimes_A \com{S} }^{n}(m \otimes s)
    = \underbrace{d_{M}^{0}(m)}_{= 0} \otimes_A s + (-1)^{0} m \otimes_A d_{S}(s)
    = m \otimes_A d_S(s)
    = d_{M^{0} \otimes_A \com{S} }
    .\] Also ist $\com{M} \otimes_A \com{S} = M^{0} \otimes_A \com{S}$. Damit folgt
    die Behauptung aus den Definitionen.
\end{proof}

Im Folgenden benötigen wir folgendes Kritierium für die Exaktheit von Komplexen:

\begin{lemma}
    Sei $\com{A} \in \mathcal{K}$. Angenommen für jeden K-injektiven Komplex $\com{I} \in \mathcal{K}$ ist
    $\com{\text{Hom}}(\com{A}, \com{I})$ exakt. Dann ist $\com{A}$ exakt.
    \label{lemma:0.10}
\end{lemma}

\begin{proof}
    Sei $\com{B} \in \mathcal{K}$ beliebig. Dann existiert nach \ref{satz:existence-k-inj-resolution} ein
    K-injektiver Komplex $\com{I} \in \mathcal{K}$ und ein Quasiisomorphismus $\com{B} \to \com{I}$. Dann
    gilt $\com{B} \stackrel{\sim }{=} \com{I} $ in $\mathcal{D}$ und wir erhalten
    \[
        \text{Mor}_{\mathcal{D}}(\com{A}, \com{B}) \stackrel{\sim }{=} 
        \text{Mor}_{\mathcal{D}}(\com{A} , \com{I} ) \stackrel{\ref{satz:mork=mord-for-k-inj}}{=}
        \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{A} , \com{I} ) = 0
    .\] 
    Mit Yoneda folgt nun, dass $\com{A} \stackrel{\sim }{=} 0$ in $\mathcal{D}$. Da
    $H^{i}(-)\colon \mathcal{K} \to \mathcal{A}b$ über den kanonischen Funktor $Q\colon \mathcal{K} \to \mathcal{D}$
    faktorisiert, folgt $H^{i}(\com{A}) = 0$ für $i \in \Z$, also ist $\com{A}$ exakt.
\end{proof}

\begin{satz}[]
    Sei $\com{M} \in \mathcal{K} $. Dann sind äquivalent:
    \begin{enumerate}[(i)]
        \item $\com{M} $ ist K-flach.
        \item $\com{\text{Hom}}(\com{M}, \com{I})$ ist K-injektiv für jeden
            K-injektiven Komplex $\com{I} \in \mathcal{K}$.
    \end{enumerate}
    \label{satz:homs-of-k-flat-are-k-inj}
\end{satz}

\begin{proof}
    (i)$\implies$(ii): Sei $\com{I}$ K-injektiv und $\com{S}$ exakt. Dann ist
    \[
        \com{\text{Hom}} (\com{S} , \com{\text{Hom}}(\com{M}, \com{I}))
        \stackrel{\ref{satz:adjunction-hom-tor-comp}}{=}
        \com{\text{Hom}}(\underbrace{\com{S} \otimes_A \com{M}}_{\text{exakt}}, \underbrace{\com{I}}_{\text{K-injektiv}} )
    .\] Weil $\com{M} $ K-flach ist, folgt $\com{S} \otimes_A \com{M} $ exakt, also wegen $\com{I} $ K-injektiv,
    die Behauptung.

    (ii)$\implies$(i): Sei $\com{S} $ exakt. Wegen \ref{lemma:0.10} genügt es zu
    zeigen, dass für jeden K-injektiven Komplex $\com{I} \in \mathcal{K}$,
    $\com{\text{Hom}}(\com{S} \otimes_A \com{M}, I) $ exakt ist. Dazu
    sei $\com{I}$ ein K-injektiver Komplex. Dann ist
    \[
        \com{\text{Hom}}(\com{S} \otimes_A \com{M}, \com{I})
        \stackrel{\ref{satz:adjunction-hom-tor-comp}}{=} \com{\text{Hom}}(\underbrace{\com{S}}_{\text{exakt}}, \underbrace{\com{\text{Hom}}(\com{M}, \com{I})}_{\text{K-injektiv}})
    \] exakt.
\end{proof}

\begin{satz}[]
    \begin{enumerate}[(a)]
        \item Falls $\com{M}, \com{N} \in \mathcal{K}$ K-flach sind, dann ist
            auch $\com{M} \otimes_A \com{N} $ K-flach.
        \item $\com{M} \in \mathcal{K}$ ist K-flach genau dann wenn $\com{M}[1]$
            K-flach ist.
        \item Falls zwei Punkte eines ausgezeichneten Dreiecks in $\mathcal{K}$ K-flach
            sind,
            dann auch der dritte.
    \end{enumerate}
    Insbesondere ist die volle Unterkategorie der K-flachen Komplexe in $\mathcal{K}$
    eine triangulierte Unterkategorie.
    \label{satz:k-flat-triangulated}
\end{satz}

\begin{proof}
    \begin{enumerate}[(a)]
        \item Seien $\com{M}, \com{N} \in \mathcal{K}$ K-flach und $\com{S} $ exakt. Dann
            ist
            \[
            (\com{M} \otimes_A \com{N}) \otimes \com{S} =
            \com{M} \otimes_A (\com{N} \otimes_A \com{S})
            \] und die rechte Seite ist exakt.
        \item Seien $\com{S}, \com{M} \in \mathcal{K}$.
            Dann sind $- \otimes_A \com{S} $ und $\com{M} \otimes_A -$ nach
            \ref{satz:tor-is-triangulated} triangulierte Funktoren, also folgt
            \[
                \com{M}[1] \otimes_A \com{S} =
                (\com{M} \otimes_A \com{S})[1]
                = \com{M} \otimes_A \com{S}[1]
            .\] Da Verschieben Exaktheit erhält, folgt daraus die Äquivalenz.
        \item Sei $(\com{M}, \com{N}, \com{P}, u, v, w)$ ein ausgezeichnetes Dreieck
            in $\mathcal{K}$ mit $\com{M}$ und $\com{N} $ K-flach. Sei weiter
            $\com{S} $ exakt. Da $- \otimes_A \com{S} $ nach \ref{satz:tor-is-triangulated}
            ein triangulierter Funktor ist, erhalten wir das ausgezeichnete Dreieck
            $(\com{M} \otimes_A \com{S}, \com{N} \otimes_A \com{S}, \com{P} \otimes_A \com{S}, u \otimes \text{id}_{\com{S} }, v \otimes \text{id}_{\com{S} }, w \otimes \text{id}_{\com{S} })$
            und damit für $i \in \Z$ die exakte Folge
            \[
            \begin{tikzcd}
                H^{i}(\com{N} \otimes_A \com{S}) \arrow{r} &
                H^{i}(\com{P} \otimes_A \com{S}) \arrow{r} &
                H^{i+1}(\com{M} \otimes_A \com{S})
            \end{tikzcd}
            .\] Da die äußeren Terme nach Voraussetzung $0$ sind, folgt die
            Exaktheit von $\com{P} \otimes_A \com{S} $ und damit, dass $\com{P} $
            K-flach ist.
            Der allgemeine Fall folgt nun mit \ref{TR2}.
    \end{enumerate}
    
\end{proof}

\begin{satz}[]
    Sei $\com{M} \in \mathcal{K}$ K-projektiv. Dann ist $\com{M} $ K-flach.
    Insbesondere hat jeder Komplex $\com{N} \in \mathcal{K}$ eine K-flache Auflösung.
    \label{satz:k-proj-is-k-flat}
\end{satz}

\begin{proof}
    Sei $\com{M} $ K-projektiv und $\com{S} $ exakt. Sei weiter $\com{I} $ K-injektiv. Dann folgt
    \[
        \com{\text{Hom}} (\com{M} \otimes_A \com{S}, \com{I}) \stackrel{\ref{satz:adjunction-hom-tor-comp}}{=}
        \com{\text{Hom}}(\com{M}, \com{\text{Hom}}(\com{S}, \com{I} )
    .\] Es ist $\com{\text{Hom}}(\com{S}, \com{I})$ exakt, da $\com{I} $ K-injektiv und damit die rechte Seite, da
    $\com{M} $ K-projektiv ist. Also folgt die Behauptung mit \ref{lemma:0.10}. Das Insbesondere folgt
    nun aus \ref{satz:existence-k-proj-resolution}.
\end{proof}

\begin{satz}[]
    Sei $\com{M} \in \mathcal{K}$ K-flach und exakt. Dann ist $\com{M} \otimes_A \com{N} $ exakt
    für alle $\com{N} \in \mathcal{K}$.
    \label{satz:tor-exact-for-k-flat}
\end{satz}

\begin{proof}
    Sei $\com{M} \in \mathcal{K}$ K-flach und exakt und sei $\com{N} \in \mathcal{K}$ beliebig. Dann existiert nach
    \ref{satz:k-proj-is-k-flat} ein K-flacher Komplex $\com{P} \in \mathcal{K}$ und ein Quasiisomorphismus
    $\com{P} \to \com{N} $. Da $\com{M} $ K-flach ist, erhält $\com{M} \otimes_A -$ nach
    \ref{kor:exactness-preserver-preserves-qis} Quasiisomorphismen. Damit folgt
    \begin{equation}
        H^{i}(\com{M} \otimes_A \com{N}) = H^{i}(\com{M} \otimes_A \com{P})
        \label{eq:cohom-groups-1}
    .\end{equation}
    Da $\com{P} $ K-flach ist, folgt mit der Exaktheit von $\com{M} $, dass
    $\com{M} \otimes_A \com{P} $ exakt ist. Damit folgt die Behauptung aus \eqref{eq:cohom-groups-1}.
\end{proof}

Damit erhalten wir:

\begin{satz}
    Seien $\com{M}, \com{N} \in \mathcal{D}$. Dann ist $\com{M} \otimes_A^{\text{L}} \com{N}$ wohldefiniert und
    kann mithilfe einer K-flachen Auflösung einer der Faktoren berechnet werden.
    \label{satz:derived-tor}
\end{satz}

\begin{proof}
    In der Notation (der Linksableitungsversion) von \ref{satz:existence-derived-functors} wähle $\mathcal{L}$
    als die volle Unterkategorie der K-flachen Komplexe von $\mathcal{K}$. Dann ist
    für $\com{N}$ beliebig:
    \begin{enumerate}[(i)]
        \item $\mathcal{L}$ ist trianguliert nach \ref{satz:k-flat-triangulated}.
        \item Für alle $\com{M} \in \mathcal{K}$ existiert nach \ref{satz:k-proj-is-k-flat}
            ein Quasiisomorphismus
            $\com{P} \to \com{M}$ mit $\com{P} \in \mathcal{L}$.
        \item Nach \ref{satz:tor-exact-for-k-flat} erhält
            $\com{N} \otimes_A -|_{\mathcal{L}}$ Exaktheit von Komplexen.
    \end{enumerate}
    Also existiert $\com{N} \otimes_A^{\text{L}} -$. Analog zeigt man die Existenz von
    $- \otimes_A^{L} \com{N}$ und wie im Beweis von \ref{satz:derived-hom}, dass
    beide Ableitungen übereinstimmen.
\end{proof}

\subsection{Adjunktion}

Jetzt können wir alles zusammentragen und erhalten:

\begin{satz}
    Seien $\com{M}, \com{N}, \com{P} \in \mathcal{D}$. Dann existiert ein natürlicher
    Isomorphismus, der funktoriell in allen Variablen ist:
    \[
    \text{R}\com{\text{Hom}}(\com{M} \otimes_A^{\text{L}} \com{N}, \com{P})
    = \text{R}\com{\text{Hom}}(\com{M}, \text{R}\com{\text{Hom}}(\com{N}, \com{P}))
    .\] 
    \label{satz:adjunction-rhom-rtor}
\end{satz}

\begin{proof}
    Nach \ref{satz:derived-hom} und \ref{satz:derived-tor} sind alle Terme wohldefiniert
    und wir können mit
    \ref{satz:k-proj-is-k-flat} ohne Einschränkung annehmen, dass $\com{N} $ K-flach ist,
    und mit \ref{satz:existence-k-inj-resolution}, dass $\com{P} $ K-injektiv ist.

    Dann folgt
    \begin{align*}
        \text{R}\com{\text{Hom}}(\com{M} \otimes_A^{\text{L}} \com{N}, \com{P})
        &= \text{R}\com{\text{Hom}}(\com{M} \otimes_A \com{N}, \com{P}) \\
        &= \com{\text{Hom}}(\com{M} \otimes_A \com{N}, \com{P} ) \\
        &\stackrel{\ref{satz:adjunction-hom-tor-comp}}{=}
        \com{\text{Hom}}(\com{M}, \com{\text{Hom}}(\com{N}, \com{P})) \\
        &= \text{R}\com{\text{Hom}}(\com{M}, \com{\text{Hom}}(\com{N}, \com{P})) \\
        &= \text{R}\com{\text{Hom}}(\com{M}, \text{R}\com{\text{Hom}}(\com{N}, \com{P}))
    .\end{align*}
    Das letzte Gleichheitszeichen gilt, weil nach \ref{satz:homs-of-k-flat-are-k-inj}
    $\com{\text{Hom}}(\com{N}, \com{P})$ K-injektiv ist.
\end{proof}

\begin{korollar}[]
    Seien $\com{M}, \com{N}, \com{P} \in \mathcal{D}$. Dann existiert ein natürlicher
    Isomorphismus, der funktoriell in allen Variablen ist:
    \[
        \text{Mor}_{\mathcal{D}}(\com{M} \otimes_A^{\text{L}} \com{N}, \com{P})
        = \text{Mor}_{\mathcal{D}}(\com{M}, \text{R}\com{\text{Hom}}(\com{N} , \com{P} )
    .\] Insbesondere gilt folgende Funktoradjunktion in $\mathcal{D}$:
    \[
    - \otimes_A^{\text{L}} N \dashv \text{R}\com{\text{Hom}}(\com{N}, -)
    .\] 
\end{korollar}

\begin{proof}
    Wir können wieder annehmen, dass $\com{N}$ K-flach und $\com{P} $ K-injektiv ist.
    Dann betrachte:
    \begin{salign*}
        \text{Mor}_{\mathcal{D}}(\com{M} \otimes_A^{\text{L}} \com{N}, \com{P})
        &\stackrel{\ref{satz:mork=mord-for-k-inj}}{=}
        \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{M} \otimes_A^{\text{L}} \com{N}, \com{P}) \\
        &\stackrel{\ref{hom-compl-cohomgroups}}{=}
        H^{0}\com{\text{Hom}}(\com{M} \otimes_A^{\text{L}} \com{N}, \com{P}) \\
        &= H^{0}\com{\text{Hom}}(\com{M} \otimes_A \com{N}, \com{P}) \\
        &\stackrel{\ref{satz:adjunction-hom-tor-comp}}{=}
        H^{0}\com{\text{Hom}}(\com{M}, \com{\text{Hom}}(\com{N}, \com{P})) \\
        &\stackrel{\ref{hom-compl-cohomgroups}}{=}
        \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{M}, \com{\text{Hom}}(\com{N}, \com{P})) \\
        &\stackrel{\ref{satz:mork=mord-for-k-inj}}{=}
        \text{Mor}_{\mathcal{D}}(\com{M}, \com{\text{Hom}}(\com{N}, \com{P})) \\
        &= \text{Mor}_{\mathcal{D}}(\com{M}, \text{R}\com{\text{Hom}}(\com{N}, \com{P}))
    .\end{salign*}
    Das letzte Gleichheitszeichen gilt erneut, weil nach \ref{satz:homs-of-k-flat-are-k-inj}
    $\com{\text{Hom}}(\com{N}, \com{P})$ K-injektiv ist.
\end{proof}

% TODO: zitate richtig machen
\begin{thebibliography}{9}
\bibitem{hartshorne}
Hartshorne, R. \emph{Residues and duality.} Lecture Notes in Math. 20, Springer-Verlag (1966)
\bibitem{spaltenstein}
%N. Spaltenstein. Resolutions of unbounded complexes. \emph{Composito Mathematica 65}. (1988)
Spaltenstein, N. \emph{Resolutions of unbounded complexes.} Compositio Mathematica, Tome 65 (1988) no. 2, pp. 121-154. %http://www.numdam.org/item/CM_1988__65_2_121_0/
\bibitem{set-theoretic}
%Charles A. Weibel. An introduction to homological algebra. \emph{Cambridge studies in advanced mathematics}. 38 (1988)
Weibel, C. \emph{An Introduction to Homological Algebra}. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Cambridge: Cambridge University Press (1994).%  doi:10.1017/CBO9781139644136

\end{thebibliography}

\end{document}