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- \documentclass{lecture}
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- \begin{document}
- \subsection{Vollständige Induktion}
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- \begin{bsp}
- Betrachte die Summe der ersten $n$ natürlichen Zahlen. Es gilt:
- \[
- \sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}
- .\]
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- \begin{proof}
- Induktionsanfang für $n=1$:
- \[
- \sum_{k=1}^{1} k = 1 = \frac{1(1+2)}{2} = 1
- .\]
- Induktionsschritt
- \[
- \sum_{k=1}^{n+1} k = \sum_{k=1}^{n} k + n + 1 = \frac{n(n+1)}{2} + n + 1
- = \frac{n(n+1)+2n+2}{2} = \frac{(n+1)(n+2)}{2}
- .\]
- \end{proof}
- \end{bsp}
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- \begin{definition}
- Seien $m, n \in \N, m \le n$\\
- $a_{m}, a_{m+1}, \ldots, a_n \in \R$. Dann
- $a_m + a_{m+1} + \ldots + a_n = \sum_{k=m}^{n} a_{k}$.
- Falls $m>n$, dann $\sum_{k=m}^{n} a_{k} := 0$
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- \end{definition}
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- \begin{bsp}
- Definiere rekursiv für $x \in \R$:
- $x^0 := 1$ und $x^{n+1} := x \cdot x^n, n \in \N_0$
- Betrachte
- \[
- \sum_{k=0}^n x^k = 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + \ldots + x^n, x \in \R
- .\]
- Dann heißt
- \[
- \sum_{k=0}^n x^{k} = \frac{1 - x^{n+1}}{1 - x}
- \] geometrische Summenformel.
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- \begin{proof}
- Induktionsanfang für $n = 1$:
- \[
- 1+x = \frac{(1+x)(1-x)}{1-x} = \frac{1-x^2}{1-x}
- .\]
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- Induktionsschritt: $n \to n + 1$
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- \begin{align*}
- \sum_{n=0}^{n+1} x^k &= \sum_{k=0}^{n} x^k + x^{n+1}\\
- &= \frac{1-x^{n+1}}{1-x} + x^{n+1}
- &= \frac{1-x^{n+1}}{1-x} + \frac{(1-x)(x^{n+1})}{1-x}
- &= \frac{1 - x^{n+2}}{1-x}
- .\end{align*}
- \end{proof}
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- \begin{proof}[Alternativbeweis mit Teleskop-Summe]
- \begin{align*}
- 1-x^{n+1} &= 1 - x + x - x^2 + x^2 - \ldots - x^n + x^n - x^n+1 \\
- &= \sum_{k=0}^{n} x^{k} - \sum_{k=1}^{n+1} x^{k} \\
- &= \sum_{k=0}^{n} x^{k} - \sum_{k=0}^{n} x^{k+1} \\
- &= \sum_{k=0}^{n} x^{k} - x \\
- .\end{align*}
- \end{proof}
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- \end{bsp}
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- Als Anwendung der geometrischen Summenformel ergeben sich nützliche Formeln, z.B.
- $ \forall a, b \in \R$ und $n \in \N$ gilt:
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- \begin{align*}
- a^n - b^n = (a - b) \sum_{k=0}^{n-1} a^{n-1-k} b^k
- \end{align*}
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- \begin{proof}
- Für $a=0$ und $a = b$ stimmt die Formel offenbar.\\
- Betrachte geometrische Reihe mit $x := \frac{b}{a} \neq 1$
- \[
- 1 - \left(\frac{b}{a}\right)^n = 1 - x^n = (1 - x) \sum_{k=0}^{n-1} x^k
- = (1 - \frac{b}{a}) \sum_{k=0}^{n-1} \left(\frac{b}{a}\right)^k
- \]
- \[
- a^n - b^n = (a-b) \sum_{k=0}^{n-1} b^k a^{-k} a^{n-1} = (a - b) \sum_{k=0}^{n-1} a^{n-1-k} b^k
- \]
- \end{proof}
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- \subsection{Elemente der Kombinatorik}
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- Für $n \in \N$ ist die Fakultät $n!$ rekursiv definiert durch:
- \[
- 1! := 1 \text{ und } \forall n \in \N: (n + 1)! = n!(n+1)
- .\] Per Definition $0! := 1$
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- \begin{satz}[Permutationen]
- Die Anzahl aller Anordnungen (oder Permutationen) von $n \in \N$ Elementen ist $n!$.
- \end{satz}
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- \begin{proof}
- Induktionsanfang:
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- $n=1$: Eine Anordnung 1 \\
- $n=2$: Zwei Anordnungen 12, 21
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- Induktionsschritt $n \to n+1$: Anzahl von Anordnungen der Elemente ${1, \ldots, n+1}$,
- die das Element $(n+1)$ auf Platz 1 hat bei beliebiger Anordnung der
- anderen Elemente nach Induktionsannahme ist $n!$. Für jedes der $n+1$
- Plätze ergeben sich wieder $n!$ Anordnungen, d.h. insgesamt:
- $n!(n+1) = (n+1)!$
- \end{proof}
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- \begin{definition}[Binomialkoeffizient]
- Für $n, k \in \N$ definieren wir:\\
- \begin{align*}
- n \ge k \ge 1:& \binom{n}{k} := \frac{n(n-1) \ldots (n -k + 1)}{k!} \\
- k = 0:& \binom{n}{0} := 1
- \end{align*}
- $\binom{n}{k}$ ist die Anzahl der k-Elementigen Teilmengen einer n-Elementigen Menge, z.B.: Lotto $\binom{49}{6} = 13.983.816$.
- \begin{align*}
- \binom{n}{k} &= \frac{n(n-1) \ldots (n - k +1)}{k!}\\
- &= \frac{n(n-1) \ldots (n-k+1)(n-k)!}{k!(n-k)!}\\
- &= \frac{n!}{k!(n-k)!} = \binom{n}{n-k}\\
- .\end{align*}
- Es folgt $\binom{n}{0} = 1$, $\binom{n}{n} = 1$,
- $\binom{n}{1} = \binom{n}{n-1} = n, \forall n \in \N.$
- \end{definition}
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- \end{document}
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