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\documentclass[uebung]{../../../lecture}
\usepackage[]{gauss}

\title{Übungsblatt Nr. 10}
\author{Christian Merten}

\begin{document}

\punkte

\begin{aufgabe}
    \[
    \begin{gmatrix}[p]
        0 & 6 & -2 & -1 & 2 \\
        -1 & -1 & 0 & -1 & 11 \\
        -2 & 3 & -1 & -2 & 15 \\
        1 & 0 & 0 & 1 & -10
    \end{gmatrix} 
    \to
    \begin{gmatrix}[p] 
        1 & 0 & 0 & 0 & 2 \\
        0 & 1 & 0 & 0 & -1 \\
        0 & 0 & 1 & 0 & 2 \\
        0 & 0 & 0 & 1 & -12
\end{gmatrix} 
.\] $\text{Rg}(A) = \text{Rg}(A|b) = 4$
    und
    $L = \left\{\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \\ 12 \end{pmatrix} \right\} $
    \[
    \begin{gmatrix}[p] 
        2 & 2 & 1 & 2 & 4 \\
        1 & 0 & 1 & 1 & 4 \\
        1 & 1 & 1 & 2 & 4 \\
        2 & 1 & 1 & 1 & 4
    \end{gmatrix} 
    \to 
    \begin{gmatrix}[p]
        1 & 0 & 0 & -1 & 0 \\
        0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\
        0 & 0 & 1 & 2 & 4 \\
        0 & 0 & 0 & 0 & 0
    \end{gmatrix} 
    .\] $\text{Rg}(A) = \text{Rg}(A|b) = 3$ spezielle Lösung $\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} $,
    damit folgt
    $L = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} + \text{Lin}\left( \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}  \right) $.
    \[
    \begin{gmatrix}[p] 
        1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\
        2 & 2 & 1 & 2 & 2 \\
        1 & 1 & 1 & 2 & 3 \\
        2 & 1 & 1 & 1 & 4
    \end{gmatrix} 
    \to 
    \begin{gmatrix}[p] 
        1 & 0 & 0 & -1 & 1 \\
        0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\
        0 & 0 & 1 & 2 & 0 \\
        0 & 0 & 0 & 0 & 1
    \end{gmatrix} 
    .\] 
    $\text{Rg}(A) = 3 \neq 4 = \text{Rg}(A|b) \implies L = \{\} $
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe}
    \begin{enumerate}[(a)]
        \item Beh.: $x^2 + 1$ und $x^2 + x + 1$ sind teilerfremd.
            \begin{proof}
                Führe den euklidischen Algorithmus mit $f_1 := x^2 + x + 1$ und 
                $f_2 := x^2 + 1$
                aus. So erhalten wir
                \begin{align*}
                    f_1 &= 1 \cdot f_2 + \underbrace{x}_{ =: f_3} \\
                    f_2 &= x \cdot f_3 + \underbrace{1}_{ =: f_4} \\
                    f_3 &= x \cdot f_4
                .\end{align*}
                Damit erhalten wir direkt
                $\text{ggT}(f_1, f_2) = f_4 = 1 \implies f_1, f_2$ teilerfremd.
            \end{proof}
        \item Beh.: Für $p := 1 + x$ und $q := -x$ gilt $p \cdot (x^2 + 1) + q \cdot (x^2 + x + 1) = 1$.
            \begin{proof}
                Steige den euklidischen Algorithmus aus (a) auf.
                \begin{align*}
                    1 = f_4 = f_2 - x \cdot f_3 &= f_2 - x (f_1 - f_2) \\
                                                &= f_2 - x \cdot f_1 + x \cdot f_2 \\
                                                &= (\underbrace{-x}_{=q})
                                                \cdot f_1 + (\underbrace{1 + x}_{=p}) \cdot f_2
                .\end{align*}
            \end{proof}
        \item Sei $f \in K[x]$ ein Polynom.

            Beh.: $f K[x] := \{f g  \mid g \in K[x]\} $ ist Untervektorraum von $K[x]$
             \begin{proof}
                 Seien $g_1, g_2 \in f K[x]$ und $\lambda \in K$ bel. Dann ex.
                 Polynome $h_1, h_2 \in K[x]$ mit $g_1 = h_1 \cdot f$ und
                 $g_2 = h_2 \cdot f$. Damit folgt
                 \[
                     \lambda g_1 + g_2 = \lambda f h_1 + f h_2 = f (\underbrace{\lambda h_1 + h_2}_{ \in K[x]})
                 .\] $\implies \lambda g_1 + g_2 \in f K[x]$.

                 Außerdem $0 \cdot f = 0 \in f K[x]$.
            \end{proof}
        \item Beh.: $\text{dim } K[x] / f K[x] = |\text{deg}(f)|$.
            \begin{proof}
                Für $f = 0$ folgt $f K[x] = \{0\} $ und wegen $K[x] \stackrel{\sim }{=} K[x] / \{0\}$, folgt
                direkt $\text{dim } K[x] = \infty = |-\infty| = \text{deg}(f)$.

                Für $f \neq 0$ definiere $n := \text{deg}(f) \ge 0$.

                Zz.: Die auf $K[x]_{< n}$ eingeschränkte kanonische Projektion
                $\left.p\right|_{K[x]_{<n}} \longrightarrow K[x] / f K[x]$ ist Isomorphismus.

                $p\colon K[x] \to  K[x] / f K[x]$ ist linear nach VL, damit auch
                $\left.p\right|_{K[x]_{< n}}$.

                Sei nun $h \in K[x]_{< n}$ mit $p(h) = 0 = f K[x]$. Dann ex. $g \in K[x]$, s.d.
                $h = f g$. Angenommen:  $h \neq 0 \implies g \neq 0 \land f \neq 0$. Damit folgt
                \[
                    \text{deg}(h) = \text{deg}(f) + \text{deg}(g) = n + \text{deg}(g)
                .\] 
                Wegen $\text{deg}(g) \ge 0$ folgt damit $\text{deg}(h) \ge  n$.
                $\implies h \not\in K[x]_{<n}$. Widerspruch.\\
                $\implies \text{ker } \left.p\right|_{K[x]_{< n}} = \{0\} $.

                Sei nun $A \in K[x] / f K[x]$. Dann ex. ein $g \in K[x]$ mit $A = g + f K[x]$.
                Definiere nun rekursiv durch Polynomdivision:
                \[
                    g_k := q_{k+1} \cdot f + g_{k+1}
                .\]
                mit $g_1 := g$. Dabei gilt nach VL $\text{deg}(g_{k+1}) < \text{deg}(g_k)$. Wähle
                das erste $g_k$, sodass gilt $\text{deg}(g_k) < n$. Damit folgt
                \begin{align*}
                    &g = g_1 = q_1 \cdot f + \ldots + q_{k} \cdot f + g_k = (q_1 + \ldots + q_k) \cdot f + g_k \\
                    \implies &g - g_k = \underbrace{(q_1 + \ldots + q_k) \cdot f}_{\in f K[x]}
                .\end{align*}
                $\implies$ $g \sim g_k$ und wegen $\text{deg}(g_k) < n$ folgt $g_k \in K[x]_{< n}$.\\
                $\implies \left.p\right|_{K[x]_{<n}}(g_k) = A$.

                Damit ist $\left.p\right|_{K[x]_{<n}}$ bijektiv und damit Isomorphismus, da
                $K[x]_{<n}$ endlich dimensional folgt direkt
                \[
                    \text{dim } K[x] / f K[x] = \text{dim } K[x]_{<n} = n = |\text{deg}(f)|
                .\] 
            \end{proof}
    \end{enumerate}
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe}
    Sei $A \in M_{n, n}(K)$ und $\lambda \in K$.
    \begin{enumerate}[(a)]
        \item Beh.: $\text{det}(\lambda A) = \lambda^{n} \text{det}(A)$
            \begin{proof}
                \begin{align*}
                    \text{det}(\lambda A) &= \text{det}(E_1(\lambda) \cdot \ldots \cdot E_n(\lambda)\cdot A)  \\
                    &= \text{det}(E_1(\lambda)) \cdot \ldots \cdot \text{det}(E_n(\lambda)) \cdot \text{det}(A)  \\
                    &= \lambda^{n} \text{det}(A) 
                .\end{align*}
            \end{proof}
        \item Beh.: Ist $K = \R$, $n = 3$ und $A = - A^{t}$, dann ist $A$ nicht invertierbar.
            \begin{proof}
                Mit $A = (a_{ij})$ und $A = - A^{t}$ folgt für $i = j$ : $a_{ii} = -a_{ii}$. Mit
                $\text{char}(\R) = 0$ folgt $a_{ii} = 0$. Für $i \neq j$: folgt
                $a := a_{12} = - a_{21}$, $b := a_{23} = - a_{32}$ und $c := a_{13} = -a_{31}$.
                Damit folgt direkt
                \[
                    \text{det}(A) = \begin{gmatrix}[v] 0 & a & c \\ -a & 0 & b \\ -c & -b & 0 \end{gmatrix}
                    = 0
                .\] $\implies A$ nicht invertierbar.
            \end{proof}
        \item Ja. $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$ ist antisymmetrisch, aber
            wegen $\begin{gmatrix}[v] 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{gmatrix} = 1$ invertierbar.
        \item Ja. mit $K = \Z / 2\Z$ gilt für $A := \begin{gmatrix}[p] \overline{1} & 0 & 0 \\
            0 & \overline{1} & 0 \\ 0 & 0 & \overline{1} \end{gmatrix}$
            \[
                A + A^{t} = A + A \stackrel{\overline{1} + \overline{1} = 0}{=} 0
            .\] Aber $\text{det}(A) = \overline{1} \cdot \overline{1} \cdot  \overline{1} = \overline{1} \neq 0$.
    \end{enumerate}
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe}
    \begin{enumerate}[(a)]
        \item Beh.: $\text{det}(A) = (x + (n-1)y)(x-y)^{n-1}$.
            \begin{proof}
                \begin{align*}
                    &\begin{gmatrix}[v]
                        x & y & y & \ldots & y \\
                        y & x & y & \ldots & y \\
                        y & y & x & \ldots & y \\
                        \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
                        y & y & y & \ldots &  x
                        \rowops
                        \add[-1]{0}{1}
                        \add[-1]{0}{2}
                        \add[-1]{0}{3}
                    \end{gmatrix} 
                    \to 
                    \begin{gmatrix}[v]
                        x & y & y & \ldots & y \\
                        y-x & x-y & 0 & \ldots & 0 \\
                        y-x & 0 & x - y & \ldots & 0 \\
                        \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
                        y-x & 0 & 0 & \ldots & x-y
                        \colops
                        \add[1]{1}{0}
                        \add[1]{2}{0}
                        \add[1]{3}{0}
                        \add[1]{4}{0}
                    \end{gmatrix} \\[2mm]
                        \to &
                    \begin{gmatrix}[v] 
                        x + (n-1)y & y & \ldots & y \\ 
                        0 & x-y & 0 & \ldots & y \\ 
                        0 & 0 & x-y & \ldots & y \\ 
                        \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
                        0 & 0 & 0 & \ldots & x-y \\ 
                    \end{gmatrix} 
                    = (x+(n-1)y)(x-y)^{n-1}
                .\end{align*}
            \end{proof}
        \item Beh.: $\text{det}(B) = (x^2 - y^2)^{n}$
            \begin{proof}
                durch vollständige Induktion

                I.A.: $n = 1$ : $B_2 = \begin{gmatrix}[v] x & y \\ y & x \end{gmatrix} = x^2 - y^2 = (x^2 - y^2)^{1} $

                 I.S.: $n - 1 \to n$. Die Beh. gelte bereits für bel. $n - 1 \in \N$.

                 Entwicklung der Determinante nach der ersten Spalte. Im folgenden
                 bezeichnen $b_{ij}$ Komponenten der Matrix $B_n$.

                 $B_{n}$ ist von der Form:
                 \begin{align*}
                     \begin{gmatrix}[p] 
                         x & 0 & 0 & 0 & \ldots & y \\
                         0 & x & 0 & 0 & \ldots & 0 \\
                         0 & 0 & x & y & \ldots & 0 \\
                         0 & 0 & y & x & \ldots & 0 \\
                         \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
                         y & 0 & 0 & 0 & \ldots & x
                     \end{gmatrix} 
                 .\end{align*}

                 Das heißt $b_{11} = x$, $b_{(2n) 1} = y$ und sonst $b_{i1} = 0$.
                 Damit folgt (hier ist $B = B_{n}$):
                 \begin{align*}
                     |B_{n}| &= \sum_{i=1}^{n} (-1)^{i+j}a_{ij}\text{det}(B_{ij}) \\
                     &= x \cdot \text{det}(B_{11}) - y \cdot \text{det}(B_{(2n)1}) 
                 .\end{align*}
                 Für $B_{11} \in M_{(2n-1)\times (2n-1)}(K)$
                 bzw. $B_{(2n)1} \in M_{(2n-1)\times (2n-1)}(K)$
                 entwickle nach der letzten Spalte $j = 2n-1$. Hier ist
                 jeweils nur in einer Zeile ein Eintrag ungleich Null: $b_{(2n)(2n)} = x$ bzw.
                 $b_{1(2n)} = y$.
                 
                 Die Matrizen $B_{11_{(2n-1)(2n-1)}}, B_{(2n)1_{1(2n-1)}} \in M_{2(n-1) \times 2(n-1)}(K)$
                 sind identisch und gleich $B_{n-1}$. Damit folgt:
                 \begin{align*}
                     |B_{11}| &= (-1)^{2n-1 + 2n-1} x \cdot \text{det}(B_{11_{(2n-1)(2n-1)}}) \\
                              &= x \cdot \text{det}(B_{n-1}) \\
                              &\stackrel{I.V.}{=} x (x^2 - y^2)^{n-1}\\
                     |B_{(2n)1}| &= (-1)^{2n-1 + 1} y \cdot \text{det}(B_{(2n)1_{1(2n-1)}}) \\
                              &= y \cdot \text{det}(B_{n-1}) \\
                              &\stackrel{I.V.}{=} y (x^2 - y^2)^{n-1}
                 .\end{align*}
                 Damit folgt direkt:
                 \[
                     |B_n| = x \cdot x (x^2 - y^2)^{n-1} - y \cdot y (x^2 - y^2)^{n-1} = (x^2 - y^2)(x^2-y^2)^{n-1}
                     = (x^2 - y^2)^{n}
                 .\] 
            \end{proof}
    \end{enumerate}
\end{aufgabe}

\end{document}