|
- \documentclass{../../../lecture}
-
- \usepackage[]{mathrsfs}
-
- \begin{document}
-
- \begin{aufgabe}
- Beh.: $f$ genau dann messbar, wenn $f^{-1}(\mathscr{A}) \subset \mathscr{E}$.
- \begin{proof}
- ,,$\implies$'': trivial, denn $f$ messbar $\implies$ $f^{-1}(\mathscr{F}) \subset \mathscr{E}$ und da $\mathscr{A} \subset \mathscr{F}$, folgt
- $f^{-1}(\mathscr{A}) \subset \mathscr{E}$.
-
- ,,$\impliedby$'': Sei also $f^{-1}(\mathscr{F}) \subset \mathscr{E}$.
- Also $f^{-1}(\mathscr{F}) = \{ f^{-1}(A) \mid A \in \mathscr{F} \} \subset \mathscr{E}$.
- \[
- \mathscr{K} := \{ A \in \mathscr{F} \mid f^{-1}(A) \in \mathscr{E}\}
- .\]
-
- Z.z.: $\mathscr{K}$ $\sigma$-Algebra.
- \begin{enumerate}[(i)]
- \item $Y \in \mathscr{K}$, denn
- $f^{-1}(Y) = X \in \mathscr{E}$, da $\mathscr{E}$
- $\sigma$-Algebra.
- \item Sei $A \in \mathscr{A}$. Dann ist
- $f^{-1}(A) \in \mathscr{E}$ und damit
- $f^{-1}(A^{c}) = f^{-1}(A)^{c} \in \mathscr{E}$, da
- $\mathscr{E}$ $\sigma$-Algebra.
- \item Seien $A_i \in \mathscr{K}$ für $i \in \N$. Dann
- ist $\forall i \in \N$: $f^{-1}(A_i) \in \mathscr{E}$. Damit
- folgt, da $\mathscr{E}$ $\sigma$-Algebra:
- \[
- f^{-1}\left(\bigcup_{i \in \N} A_i \right)
- = \bigcup_{i \in \N} f^{-1}(A_i) \in \mathscr{E}
- .\]
- \end{enumerate}
- Nach Voraussetzung ist $\mathscr{A} \subset \mathscr{K}$. Es
- ist $\mathscr{K} \subset \mathscr{F}$ und
- $\mathscr{K}$ $\sigma$-Algebra, die $\mathscr{A}$ enthält, damit
- folgt $\mathscr{F} = \sigma(\mathscr{A}) \subset \mathscr{K}$,
- also insgesamt $\mathscr{K} = \mathscr{F}$. Also
- folgt $\forall A \in \mathscr{F}\colon f^{-1}(A) \in \mathscr{E}$, also
- $f^{-1}(\mathscr{F}) \subset \mathscr{E}$.
- \end{proof}
- \end{aufgabe}
-
- \end{document}
|
