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\documentclass[uebung]{../../../lecture}

\title{Analysis II: Übungsblatt 11}
\author{Leon Burgard, Christian Merten}

\begin{document}

\punkte

\begin{aufgabe}
    \begin{enumerate}[(a)]
        \item Beh.: Das AWP $(*)$ hat eine globale definierte Lösung $u$.
            \begin{proof}
                Da $f$ stetig existiert nach Peano eine lokale Lösung $y(t)$ auf $I \coloneqq [t_0, t_0 + T]$.
                Es ist also
                \[
                    y(t) = y_0 + \int_{t_0}^{t} f(s, y(s)) \d s \quad \forall t \in I
                .\]
                Damit folgt $\forall t \in I$:
                \begin{salign*}
                    \Vert y(t) \Vert &\le \Vert y_0 \Vert + \int_{t_0}^{t} \Vert f(s, y(s)) \d s \\
                    &\stackrel{f \text{ linear beschränkt}}{\le}
                    \Vert y_0 \Vert + \int_{t_0}^{t} (\alpha(s) \Vert y(s) \Vert + \beta(s)) \d s  \\
                    &= \Vert y_0 \Vert + \int_{t_0}^{t} \alpha(s) \Vert y(s) \Vert \d s +
                    \int_{t_0}^{t} \beta(s) \d s 
                    \intertext{Da $I$ kompaktes Intervall, nehmen $\alpha(s)$ und $\beta(s)$ ihr
                    Maximum an. Damit folgt}
                    \Vert y(t) \Vert &\le \Vert y_0 \Vert + \alpha_{max}\int_{t_0}^{t} \Vert y(s) \Vert \d s + \beta_{\text{max}}(t - t_0) \\
                    &\stackrel{t \le T}{\le} \Vert y_0 \Vert + \alpha_{max}\int_{t_0}^{t} \Vert y(s) \Vert \d s + \beta_{\text{max}}T
                    \intertext{Damit folgt mit dem Lemma von Gronwall}
                    \Vert y(t) \Vert &\le \underbrace{e^{\alpha_{\text{max}}(t-t_0)} (\Vert y_0 \Vert + T \beta_{max})}_{\eqqcolon \rho(t)} \\
                    &\le \rho(t)
                .\end{salign*}
                Da $\rho(t)$ stetig folgt globale Fortsetzbarkeit von $y(t)$.
            \end{proof}
        \item Beh.: $f_1$ ist linear beschränkt.
            \begin{proof}
                Aus der Taylorreihe von $\sin(t)$ folgt $|\sin(t)| \le |t|$. Außerdem ist
                $\sqrt{|x|} \le |x| + 1$. Damit folgt direkt
                \begin{salign*}
                    |f_1(t, (x_1, x_2))| &\le |t| |x_1|^{\frac{1}{2}} + |\sin(t)| |x_2| \\
                    &\le |t| (|x_1| + 1) + |t| |x_2| \\
                    &\le \underbrace{|t|}_{=: \alpha(t)} \left( |x_1| + |x_2| \right) + \underbrace{2 |t|}_{=: \beta(t)} \\
                    &= \alpha(t) + \Vert x \Vert_1 + \beta(t)
                .\end{salign*}
            \end{proof}
            Beh.: $f_2$ ist linear beschränkt.
            \begin{proof}
                Es gilt
                \begin{salign*}
                    |f_2(t, (x_1, x_2))| &\le e^{-t^2 |x_1|} + |x_1| \left| \frac{1}{1+x_2^2} \right| \\
                    &\le \frac{1}{e^{t^2}|x_1|} + |x_1| \\
                    &\le 1 + |x_1| \\
                    &\le \underbrace{1}_{=: \beta(t)} + \underbrace{1}_{=: \alpha(t)} \cdot \Vert x \Vert_1 \\
                    &= \alpha(t) \Vert x \Vert_1 + \beta(t)
                .\end{salign*}
            \end{proof}
    \end{enumerate}
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe}
    Beh.: Das Taylorpolynom $4$-ter Ordnung ist gegeben als
    \[
        T_4(u, t, t_0=0) = t - t^2 + \frac{1}{2} t ^{3} - \frac{1}{6} t ^{4}
    .\] 
    \begin{proof}
        $u$ ist Lösung des AWP, d.h. es gilt
        \begin{align*}
            u''(t) &= - \sin(u(t)) - 2u'(t), \quad t \ge 0
            \intertext{Damit folgt}
            u^{(3)}(t) &= - \cos(u(t)) u'(t) - 2u''(t) \\
            u^{(4)}(t) &= \sin(u(t)) u'(t)^2 - \cos(u(t)) u''(t) - 2u^{(3)}(t)
            \intertext{Mit $u(0) = 0$ und $u'(0) = 1$ folgt}
            u^{(3)}(0) &= 3 \\
            u^{(4)}(0) &= -4
            \intertext{Insgesamt folgt dann}
            T_4(u, t) &= u(0) + u'(0) t + \frac{u''(0)}{2} t^2 + \frac{u^{(3)}(0)}{3!} t ^{3}
            + \frac{u^{(4)}(t)}{4!} t ^{4} \\
            &= t - t^2 + \frac{1}{2} t ^{3} - \frac{1}{6} t ^{4}
        .\end{align*}
    \end{proof}
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe}
    Beh.: Die Matrix $A(t)$ ist gegeben als
    \[
        A(t) = \begin{pmatrix} 1-t & 1 \\
            2t - t^2 & t-1
        \end{pmatrix} 
    .\] 
    \begin{proof}
        Durch Nachrechnen folgt
        \[
            \phi^{-1} = \begin{pmatrix} t^2 - t + 1 & -t \\ -t^2 & t+1 \end{pmatrix} 
        .\] Mit $\phi'(t) = A(t) \phi(t)$ folgt also
        \[
            A(t) = \phi'(t) \phi^{-1}(t) = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2t & 2t-1 \end{pmatrix}
            \begin{pmatrix} t^2 - t + 1 & -t \\ -t^2 & t+1 \end{pmatrix}
            =
            \begin{pmatrix} 1-t & 1 \\
                2t - t^2 & t-1
            \end{pmatrix}
        .\]
    \end{proof}
    Beh.: Die Lösung $u(t)$ ist gegeben als
    \[
        u(t) = \begin{pmatrix} t+1 \\ t^2 \end{pmatrix} +
        \begin{pmatrix} \frac{1}{2} t^2 + t \\ \frac{1}{2} t ^{3} + \frac{3}{2} t^2 \end{pmatrix}
    .\] 
    \begin{proof}
        Nach VL gilt für die partikuläre Lösung mit $u_b(t_0 = 0) = (0,0)^{T}$ und
        $b(t) = (1,t)^{T}$:
        \begin{align*}
            u_b(t) &= \phi(t) \left( \int_{0}^{t} \phi^{-1}(s) b(s) \d s + \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}  \right) \\
            &= \phi(t) \int_{0}^{t} \begin{pmatrix} 1 - s \\ s \end{pmatrix}  \d s \\
            &= \begin{pmatrix} 1 + t & t \\ t^2 & t^2 -t +1 \end{pmatrix}
            \begin{pmatrix} 
                t - \frac{1}{2}t^2 \\
                \frac{1}{2} t^2
            \end{pmatrix} \\
            &= \begin{pmatrix} \frac{1}{2} t^2 + t \\ \frac{1}{2} t ^{3} + \frac{3}{2} t^2 \end{pmatrix} 
            \intertext{Mit der Anfangsbedingung $u(0) = (1,0)^{T}$ folgt}
            u(t) &= c_1 \begin{pmatrix} 1 + t  \\ t^2 \end{pmatrix} + c_2 \begin{pmatrix} t \\ t^2 - t + 1 \end{pmatrix} + u_b(t) \\
            u(0) &= c_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + c_2 \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}
            + \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \stackrel{!}{=} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}
            \intertext{$c_1 = 0$ also insgesamt}
            u(t) &= \begin{pmatrix} t+1 \\ t^2 \end{pmatrix} +
            \begin{pmatrix} \frac{1}{2} t^2 + t \\ \frac{1}{2} t ^{3} + \frac{3}{2} t^2 \end{pmatrix}
        .\end{align*}
    \end{proof}
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe}
    \begin{enumerate}[(a)]
        \item Beh.: Bedingung $(**)$ für die eindeutige Lösbarkeit von (RWP-2.Ord) ist äquivalent
            zur Bedingung $(*)$, wenn (RWP-2.Ord.) als System 1. Ordnung umformuliert wird.
            \begin{proof}
                Es sei ein RWP-2.Ord. wie beschrieben gegeben. Definiere
                $y_1(t) \coloneqq u(t)$ und $y_2(t) \coloneqq y_1'(t)$. Dann
                mit
                \[
                    B_a = \begin{pmatrix} \alpha_0 & \alpha_1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}
                    \quad
                    \text{und}
                    \quad
                    B_b = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ \beta_0 & \beta_1 \end{pmatrix} 
                \] als äquivalente Randwertbedingung
                \[
                    B_a y(a) + B_b y(b) = g := \begin{pmatrix} \eta_0 \\ \eta_1 \end{pmatrix} 
                .\] Sei nun $\{y, z\} $ ein beliebiges Fundamentalsystem der homogenen Gleichung
                mit $\phi(a) = \mathbb{I}$. Dann gilt
                $y_1(a) = z_2(a) = 1$ und $y_2(a) = z_1(a) = 0$. Damit folgt mit
                \[
                    A \coloneqq \begin{pmatrix} \alpha_0 & \alpha_1 \\ \beta_0 y_1(b) + \beta_1 y_2(b)
                    & \beta_0 z_1(b) + \beta_1 z_2(b) \end{pmatrix} 
                \] die zu $(**)$ äquivalente Bedingung $\text{det}(A) \neq 0$.

                Damit g.z.z. $A = B_a + B_b \phi(b)$.
                \begin{align*}
                    B_a + B_b \phi(b) &= \begin{pmatrix} \alpha & \alpha_1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}
                    + \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ \beta_0 & \beta_1 \end{pmatrix}
                    \begin{pmatrix} y_1(b) & z_1(b) \\ y_2(b) & z_2(b) \end{pmatrix} \\
                    &= \begin{pmatrix} \alpha_0 & \alpha_1 \\ \beta_0 y_1(b) + \beta_1 y_2(b)
                    & \beta_0 z_1(b) + \beta_1 z_2(b) \end{pmatrix} = A
                .\end{align*}
            \end{proof}
        \item Hier gilt
            in Analogie zu (a) für (i) bis (iii): $\alpha_0 = 1$, $\alpha_1 = 0$, $\beta_0 = 1$ und
            $\beta_1 = 0$. Sei außerdem $u_1 = \sin(t)$ und $u_2 = \cos(t)$.
            \begin{enumerate}[(i)]
                \item Beh.: Es existiert eine eindeutige Lösung.
                    \begin{proof}
                        Mit
                        \[
                            \text{det}\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = -1 \neq 0
                        \] und (a) folgt die Behauptung.
                    \end{proof}
                \item Beh.: Es existiert keine Lösung.
                    \begin{proof}
                        Das Kriterium aus (a) liefert
                        \[
                            \text{det}\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = 0
                        .\] Ang. es ex. eine Lösung $u(t)$ des RWP. Dann hat diese die
                        Form $u(t) = c_1 \sin(t) + c_2 \cos(t)$.
                        Es gilt weiter $u(0) = 0 \implies c_2 = -1$, aber
                        $u(\pi) = 0 \implies c_2 = 1$ $\contr$.
                    \end{proof}
                \item Beh.: Es existieren unendlich viele Lösungen.
                    \begin{proof}
                        Das Kriterium aus (a) liefert
                        \[
                            \text{det}\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = 0
                        .\] Z.z.: $\forall c_1 \in \R$ ist $u(t) = c_1 \sin(t) + 1$ eine Lösung des
                        RWP. Es ist $u(0) = u(\pi) = 1$ und $u(t)$ ist mit $c_1$ und $c_2 = 0$ Lösung
                        des RWP.
                    \end{proof}
            \end{enumerate}
    \end{enumerate}
\end{aufgabe}

\end{document}