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\documentclass[uebung]{../../../lecture}

\begin{document}

\punkte[2]
\author{Christian Merten}
\title{Theo II: Übungsblatt 3}

\begin{aufgabe}
    \begin{enumerate}[a)]
        \item Falls $l_0 \le 0$: In beiden Fällen findet keine Bewegung statt.
            Sei also $l_0 > 0$. Die verallgemeinerte Koordinate sei
            $l > 0$, der Abstand des untersten Massepunkts von der Tischkante. Damit ist
            $l(0) = l_0$.
            \begin{enumerate}[(i)]
                \item Zunächst gilt, wegen $m_{\text{ges}} = 2 m$:
                    \[
                        T = m \dot{l}^2
                    .\] 
                    Die potentielle Energie ist abhängig von $l$:
                    \[
                    V = \begin{cases}
                        - m g l & l \le L \\
                        - m g l - m g (l - L) & l > L
                    \end{cases}
                    .\] Damit folgt
                    \[
                        \mathcal{L} = T - V = \begin{cases}
                            m\dot{l}^2 + mgl & l \le L \\
                            m\dot{l}^2 + 2mgl & l > L
                        \end{cases}
                    .\] 
                \item Für die kinetische Energie gilt
                    \[
                        T = \frac{M}{2} \dot{l}^2
                    .\] Da die potentielle Energie mit der Länge der überhängenden Kette
                    steigt, folgt für $l \le L$:
                    \begin{align*}
                        V &= - g \int_{0}^{l} \frac{\d h}{L} Mh = - \frac{Mg}{2L}l^2
                        \intertext{Für $l > L$ muss die Kette durch die Länge $L$ begrenzt werden, damit folgt}
                        V &= - g \int_{l-L}^{l} \frac{M}{L} g h \d h = - Mg \left(l - \frac{L}{2}\right)
                    .\end{align*}
                    Insgesamt folgt damit:
                    \[
                        \mathcal{L} = T - V = \begin{cases}
                            \frac{M}{2} \dot{l}^2 + \frac{Mg}{2L}l^2 & l \le L \\
                            \frac{M}{2} \dot{l}^2 + Mg \left( l - \frac{L}{2} \right) & l > L
                        \end{cases}
                    .\] 
            \end{enumerate}
        \item Mit den Langrange Gleichungen
            \[
                \frac{\mathrm{d}}{\d t} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial{\dot{q}_i}}
                - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial{q_i}} = 0
            .\] folgt
            \begin{enumerate}[(i)]
                \item Mit $l(0) = l_0$ und $v_0 = 0$ folgt für $l \le L$:
                    \[
                        2 m\ddot{l} - mg = 0 \implies l(t) = \frac{1}{4} g t^2 + l_0
                    .\] Für $l > L$ folgt mit $t_e := \sqrt{\frac{4}{g} (L - l_0)}$ und
                    $v_e := \dot{l}(t_e)$:
                    \[
                        2 m \ddot{l} - 2mg = 0 \implies l(t-t_e) = \frac{1}{2}g t^2 + v_e t + L
                    .\] 
                \item Für $l \le L$ folgt
                    \begin{align*}
                        M\ddot{l} - \frac{Mg}{L} l &= 0
                        \intertext{Mit $w^2 := \frac{g}{L}$ folgt}
                        l_{1,2}(t) &= e^{\pm \omega t} \\
                        l(t) &= A e^{\omega t} + B e^{-\omega t}
                        \intertext{Aus den Anfangsbedingungen $l(0) = l_0$ und $v_0 = 0$ folgt}
                        l(t) &= \frac{l_0}{2} \left(e^{\omega t} + e^{-\omega t} \right)
                    .\end{align*}
                    Für $l > L$ folgt für $t \ge t_e$ analog zu (i) eine freie Fallbewegung:
                    \[
                        l(t - t_e) = \frac{1}{2} g t^2 + v_e t + L
                    .\] 
            \end{enumerate}
        \item Mit $E = T + V$ folgt jeweils für $l \le L$:
            \begin{enumerate}[(i)]
                \item
                    \begin{align*}
                        E &= m \dot{l}^2 - mgl
                        = mg \left(\frac{1}{4} g t^2 - \frac{1}{4} gt^2 - l_0\right) = - m g l_0 \\
                        \implies \frac{\d E}{\d t} &= 0
                    .\end{align*}
                \item 
                    \begin{align*}
                        E &= \frac{M}{2} \frac{l_0^2}{4} \omega^2 \left( e^{\omega t} - e^{-\omega t} \right)^2
                        - \frac{Mg}{2L} \frac{l_0^2}{4} \left( e^{\omega t} + e^{- \omega t} \right)^2 \\
                        &= \frac{M}{2} \frac{l_0^2}{4} \left( \omega^2 \left(e^{\omega t} - e^{- \omega t} \right)^2
                        - \omega^2\left(e^{\omega t} + e^{-\omega t}\right)^2 \right) \\
                        &= - \frac{M}{2} l_0^2 \omega^2 \\
                        \implies \frac{\d E}{\d t} &= 0
                    .\end{align*}
            \end{enumerate}
            Für $l > L$ liegt eine freie Fallbewegung vor, hier ist die Energie offensichtlich erhalten.
            Analoge Rechnung zu (i).
    \end{enumerate}
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe}[Verständnisfragen]
    \begin{enumerate}[a)]
        \item Verallgemeinerte Kräfte sind das Analogon zum Übergang von kartesischen
            Koordinaten zu verallgemeinerten Koordinaten. Sie haben jetzt genau
            $f$ Komponenten und haben, genauso wie die verallgemeinerten Koordinaten, nicht mehr die
            Einheit einer Kraft.
            \[
                Q_j = \sum_{i=1}^{3N} F_i \frac{\partial x_i}{\partial q_j}
            .\] 
        \item Die Lagrange-Gleichungen 2. Art sind eine Neuformulierung des 2. Newton'schen Axioms, wobei
            die kartesischen Koordinaten aufgegeben werden und anstatt dessen verallgemeinerte
            Koordinaten eingesetzt werden, die automatisch alle Zwangsbedingungen erfüllen. Das
            2. Newton'sche Axiom wird damit durch die Zwangsbedingungen eingeschränkt, indem der
            $3N$-Konfigurationsraum auf die $f$ dimensionale Untermannigfaltigkeit eingeschränkt wird.
        \item Der verallgemeinerte Impuls, bzw. der kanonisch konjugierte Impuls ist das Analogon
            zu den verallgemeinerten Koordinaten. Er hat nicht zwingend die Einheit eines Impulses und
            ist definiert, als die partielle Ableitung der Lagrange Funktion nach $\dot{q}_i$:
            \[
                p_i = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}
            .\] Im Fall des freien Massenpunkts in kartesischen Koordinaten, geht er in den klassischen Impuls
            über.
    \end{enumerate}
\end{aufgabe}

\end{document}