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\documentclass[uebung]{../../../lecture}

\begin{document}

\title{Theo II: Übungsblatt 4}
\author{Christian Merten}

\punkte[2]

\begin{aufgabe}
    In Zylinderkoordinaten ist
    \begin{align*}
        \vec{x} = \rho \vec{e}_{\rho} + z \vec{e}_{z}
        \implies \dot{\vec{x}} = \dot{\rho} \vec{e}_{\varphi} + \rho \dot{\varphi} \vec{e}_{\varphi}
        + \dot{z} \vec{e}_{z}
        \implies \dot{\vec{x}}^2 = \dot{\rho}^2 + \rho^2 \dot{\varphi}^2 + \dot{z}^2
    .\end{align*} Damit folgt
    \begin{align*}
        L &= \frac{m}{2} \left(\dot{\rho}^2 + \rho^2 \dot{\varphi}^2 + \dot{z}^2\right) - V(\rho)
        \intertext{Damit folgt für die verallgemeinerten Impulse}
        \frac{\partial L}{\partial \dot{\rho}} &= m \dot{\rho} =: p_{\rho} \\
        \frac{\partial L}{\partial \dot{\varphi}} &= m \rho^2 \dot{\varphi} := p_{\varphi} \\
        \frac{\partial L}{\partial \dot{z}} &= m \dot{z} =: p_z
        \intertext{Damit folgt die Hamiltonfunktion}
        H(\vec{p}, \vec{q}) &= \frac{p_{\rho}^2}{m} + \frac{p_{\varphi}^2}{m \rho^2} + \frac{p_z^2}{m}
        - \frac{m}{2} \left( \frac{p_{\rho}^2}{m^2} + \rho^2 \frac{p_{\varphi}^2}{m^2 \rho^{4}}
        + \frac{p_{z}^2}{m^2}\right) + V(\rho)\\
        &= \frac{2}{m} \left( p_{\rho}^2 + \frac{p_{\varphi}^2}{\rho^2} + p_{z}^2 \right) + V(\rho)
        \intertext{Als Erhaltungsgrößen folgen damit sofort}
        \frac{\partial L}{\partial \varphi} &= 0 \implies \frac{\d}{\d t} p_{\varphi} = 0 \\
        \frac{\partial L}{\partial z} &= 0 \implies \frac{\d}{\d t} p_{z} = 0 \\
        \frac{\partial H}{\partial t} &= 0 \implies \frac{\d}{\d t} H = 0 \implies E = \text{konst}
    .\end{align*}
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe}[Brachistochrone]
    \begin{align*}
        T[f] = \frac{1}{\sqrt{2g} } \int_{x_0}^{x_E} \sqrt{\frac{1 + [f'(x)]^2}{f(x)}}  \d x 
    .\end{align*}
    \begin{enumerate}[a)]
        \item Die Lagrange Funktion und der verallgemeinerte Impuls sind damit gegeben als
            \begin{align*}
                L &= \frac{\sqrt{1 + f'^2} }{\sqrt{2gf} } \\
                p &= \frac{\partial L}{\partial f'} = \frac{f'}{\sqrt{2 g f( 1+f'^2)}}
                \intertext{Damit folgt für die Hamilton-Funktion, ausgedrückt durch $f'$ statt $p$}
                H(f, f') &= \frac{f'^2}{\sqrt{2 g f(1+f'^2)} } - \frac{\sqrt{1 + f'^2} }{\sqrt{2gf} } \\
                &= - \frac{1}{\sqrt{2 g f (1 + f'^2)}}
                \intertext{Wegen $\frac{\partial H}{\partial x} = 0$, folgt für die Konstante $E > 0$}
                E &:= - H = \frac{1}{\sqrt{2 g f(1+f'^2)} }
            .\end{align*}
            Damit folgt als DGL
            \[
                E \sqrt{2 g f (1+ f'^2)}  = 1
            .\] 
        \item Mit $f(\varphi) = \frac{1 - \cos\varphi}{4 g E^2}$ und
            $ x(\varphi) = \frac{\varphi - \sin\varphi}{4 g E^2}$ folgt
            \begin{align*}
                \frac{\d f}{\d x} = \frac{\d f}{\d \varphi} \frac{\d \varphi}{\d x}
                = \frac{\sin \varphi}{1 - \cos \varphi}
            .\end{align*}
            Damit folgt
            \[
                E \sqrt{2g \frac{1 - \cos \varphi}{4gE^2} \left( 1 + \frac{\sin^2\varphi}{(1 - \cos\varphi)^2}
                \right) }
                = \sqrt{\frac{1 - \cos\varphi}{2} + \frac{1 + \cos\varphi}{2}} = 1
            .\] 
    \end{enumerate}
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe}[Verständnisfragen]
    \begin{enumerate}[a)]
        \item Koordinaten von denen die Lagrange Funktion nicht explizit abhängt,
            heißen zyklisch. Dann ist der kanonisch konjugierte Impuls zeitlich konstant.
            Ihr Nullpunkt kann beliebig verschoben werden, ohne die Bewegungsgleichungen
            zu ändern:
            \[
            q_i \to q_i + c
            .\] 
        \item Das Hamilton'sche Prinzip besagt, dass die Wirkung entlang der wirklichen
            Bahn eines Massenpunkts zwischen zwei Punkten extremal wird. Die Wirkung
            ist das Zeitintegral über die Lagrange Funktion:
            \[
                \delta S[q(t)] = \delta \left[\int_{t_0}^{t_1} L(q, \dot{q}, t) \d t \right] = 0
            .\] 
        \item Nein. Die Lagrange-Funktion kann um die Zeitableitung einer beliebigen Funktion $f(q, t)$
            ergänzt werden
            \[
                L \to L + \frac{\d f(q, t)}{\d t}
            ,\] denn dadurch ändert sich die Wirkung nur um einen konstanten Term, der
            bei der Variation verschwindet. Deshalb bleiben die Bewegungsgleichungen unverändert.
    \end{enumerate}
\end{aufgabe}

\end{document}